Për të përdorur me sukses operacionin e nxjerrjes së rrënjëve në praktikë, duhet të njiheni me vetitë e këtij operacioni.
Të gjitha vetitë formulohen dhe vërtetohen vetëm për vlerat jo negative të variablave që përmbahen nën shenjat e rrënjëve.
Teorema 1. Rrënja e n-të (n=2, 3, 4,...) e prodhimit të dy çipave jo negative është e barabartë me prodhimin e rrënjëve të n-të të këtyre numrave:
Koment:
1.
Teorema 1 mbetet e vlefshme për rastin kur shprehja radikale është prodhim i më shumë se dy numrave jonegativë.
Teorema 2.Nëse,
dhe n është një numër natyror më i madh se 1, atëherë barazia është e vërtetë
E shkurtër formulim (ndonëse i pasaktë), i cili është më i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë: rrënja e një fraksioni është e barabartë me fraksionin e rrënjëve.
Teorema 1 na lejon të shumëzojmë t vetëm rrënjë të së njëjtës shkallë
, d.m.th. vetëm rrënjët me të njëjtin indeks.
Teorema 3.Nëse ,k është një numër natyror dhe n është një numër natyror më i madh se 1, atëherë barazia është e vërtetë
Me fjalë të tjera, për të ngritur rrënjë në një fuqi natyrore, mjafton të ngrihet shprehja radikale në këtë fuqi.
Kjo është pasojë e teoremës 1. Në fakt, për shembull, për k = 3 ne marrim: Ne mund të arsyetojmë saktësisht në të njëjtën mënyrë në rastin e çdo vlere tjetër natyrore të eksponentit k.
Teorema 4.Nëse ,k, n janë numra natyrorë më të mëdhenj se 1, atëherë barazia është e vërtetë
Me fjalë të tjera, për të nxjerrë një rrënjë nga një rrënjë, mjafton të shumëzoni treguesit e rrënjëve.
Për shembull,
Bej kujdes! Mësuam se katër operacione mund të kryhen në rrënjë: shumëzimi, pjesëtimi, fuqizimi dhe nxjerrja e rrënjës (nga rrënja). Por çfarë ndodh me mbledhjen dhe zbritjen e rrënjëve? Në asnjë mënyrë.
Për shembull, në vend që të shkruani Really, Por është e qartë se
Teorema 5.Nëse treguesit e rrënjës dhe shprehjes radikale shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë, d.m.th.
Shembuj të zgjidhjes së problemeve
Shembulli 1. Llogaritni
Zgjidhje. Duke përdorur vetinë e parë të rrënjëve (teorema 1), marrim:
Shembulli 2. Llogaritni
Zgjidhje. Shndërroni një numër të përzier në një thyesë jo të duhur.
Kemi Përdorimin e vetive të dytë të rrënjëve ( Teorema 2
), marrim:
Shembulli 3. Llogaritni: 
Zgjidhje.Çdo formulë në algjebër, siç e dini mirë, përdoret jo vetëm "nga e majta në të djathtë", por edhe "nga e djathta në të majtë". Kështu, vetia e parë e rrënjëve do të thotë se ato mund të përfaqësohen në formë dhe, anasjelltas, mund të zëvendësohen nga shprehja. E njëjta gjë vlen edhe për vetinë e dytë të rrënjëve. Duke marrë parasysh këtë, le të bëjmë llogaritjet.
Urime: sot do të shikojmë rrënjët - një nga temat më marramendëse në klasën e 8-të. :)
Shumë njerëz ngatërrohen për rrënjët, jo sepse ato janë komplekse (çka është kaq e ndërlikuar në të - disa përkufizime dhe disa veçori të tjera), por sepse në shumicën e teksteve shkollore rrënjët përcaktohen përmes një xhungleje të tillë që vetëm autorët e teksteve vetë mund ta kuptojnë këtë shkrim. Dhe edhe atëherë vetëm me një shishe uiski të mirë. :)
Prandaj, tani do të jap përkufizimin më të saktë dhe më kompetent të rrënjës - i vetmi që duhet të mbani mend vërtet. Dhe pastaj do të shpjegoj: pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe si ta zbatojmë atë në praktikë.
Por së pari, mbani mend një pikë të rëndësishme që shumë përpilues të teksteve shkollore për ndonjë arsye "harrojnë":
Rrënjët mund të jenë të shkallës çift ($\sqrt(a)$ tona të preferuara, si dhe të gjitha llojet e $\sqrt(a)$ dhe çift $\sqrt(a)$) dhe të shkallës tek (të gjitha llojet e $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, etj.). Dhe përkufizimi i rrënjës së një shkalle tek është disi i ndryshëm nga një çift.
Ndoshta 95% e të gjitha gabimeve dhe keqkuptimeve që lidhen me rrënjët janë të fshehura në këtë ndyrë "disi ndryshe". Pra, le të sqarojmë terminologjinë njëherë e përgjithmonë:
Përkufizimi. Edhe rrënjë n nga numri $a$ është cilido jo negative numri $b$ është i tillë që $((b)^(n))=a$. Dhe rrënja tek e të njëjtit numër $a$ është përgjithësisht çdo numër $b$ për të cilin vlen e njëjta barazi: $((b)^(n))=a$.
Në çdo rast, rrënja shënohet si kjo:
\(a)\]
Numri $n$ në një shënim të tillë quhet eksponent rrënjë, dhe numri $a$ quhet shprehje radikale. Në veçanti, për $n=2$ marrim rrënjën tonë katrore "të preferuar" (meqë ra fjala, kjo është një rrënjë e shkallës çift), dhe për $n=3$ marrim një rrënjë kubike (shkallë tek), e cila është gjithashtu gjenden shpesh në probleme dhe ekuacione.
Shembuj. Shembuj klasikë të rrënjëve katrore:
\[\fillim(lidh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fund (radhis)\]
Meqë ra fjala, $\sqrt(0)=0$ dhe $\sqrt(1)=1$. Kjo është mjaft logjike, pasi $((0)^(2))=0$ dhe $((1)^(2))=1$.
Rrënjët e kubit janë gjithashtu të zakonshme - nuk ka nevojë të kesh frikë prej tyre:
\[\fillim(lidh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fund (radhis)\]
Epo, disa "shembuj ekzotikë":
\[\fillim(lidh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fund (radhis)\]
Nëse nuk e kuptoni se cili është ndryshimi midis shkallës çift dhe tek, rilexoni përsëri përkufizimin. Eshte shume e rendesishme!
Ndërkohë, do të shqyrtojmë një veçori të pakëndshme të rrënjëve, për shkak të së cilës na duhej të prezantonim një përkufizim të veçantë për eksponentët çift dhe tek.
Pse duhen rrënjët fare?
Pas leximit të përkufizimit, shumë studentë do të pyesin: "Çfarë pinin duhan matematikanët kur dolën me këtë?" Dhe me të vërtetë: pse nevojiten fare të gjitha këto rrënjë?
Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kthehemi për një moment në shkollën fillore. Mbani mend: në ato kohë të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe petat më të shijshme, shqetësimi ynë kryesor ishte të shumëzonim saktë numrat. Epo, diçka si "pesë me pesë - njëzet e pesë", kjo është e gjitha. Por ju mund të shumëzoni numrat jo në çifte, por në treshe, katërfisha dhe përgjithësisht grupe të plota:
\[\fillim(lidh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \fund(rreshtoj)\]
Megjithatë, ky nuk është thelbi. Truku është i ndryshëm: matematikanët janë dembelë, kështu që ata e kishin të vështirë të shkruanin shumëzimin e dhjetë pesësheve si kjo:
Prandaj dolën me diploma. Pse të mos shkruani numrin e faktorëve si një mbishkrim në vend të një vargu të gjatë? Diçka si kjo:
Është shumë i përshtatshëm! Të gjitha llogaritjet janë reduktuar ndjeshëm dhe nuk duhet të humbisni një tufë fletësh pergamenë dhe fletore për të shkruar rreth 5183. Ky rekord u quajt fuqia e një numri; në të u gjetën një mori pronash, por lumturia doli të jetë jetëshkurtër.
Pas një festë madhështore të pijes, e cila u organizua vetëm për "zbulimin" e diplomave, një matematikan veçanërisht kokëfortë pyeti befas: "Po sikur të dimë shkallën e një numri, por vetë numri është i panjohur?" Tani, në të vërtetë, nëse e dimë se një numër i caktuar $b$, le të themi, fuqia e 5-të jep 243, atëherë si mund të hamendësojmë se me çfarë është i barabartë vetë numri $b$?
Ky problem doli të ishte shumë më global sesa mund të duket në shikim të parë. Sepse doli që për shumicën e fuqive "të gatshme" nuk ka numra të tillë "fillestarë". Gjykojeni vetë:
\[\fillo(rreshtoj) & ((b)^(3))=27\Djathtas b=3\cdot 3\cdot 3\Djathtas shigjeta b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Djathtas b=4\cdot 4\cdot 4\Djathtas shigjeta b=4. \\ \fund (radhis)\]
Po sikur $((b)^(3))=50$? Rezulton se duhet të gjejmë një numër të caktuar që, kur shumëzohet me veten tre herë, do të na japë 50. Por cili është ky numër? Është qartësisht më i madh se 3, pasi 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Kjo është ky numër qëndron diku midis tre dhe katër, por ju nuk do të kuptoni se me çfarë është e barabartë.
Kjo është pikërisht arsyeja pse matematikanët dolën me $n$th rrënjë. Kjo është pikërisht arsyeja pse u prezantua simboli radikal $\sqrt(*)$. Për të caktuar vetë numrin $b$, i cili në shkallën e treguar do të na japë një vlerë të njohur më parë
\[\sqrt[n](a)=b\Djathtas ((b)^(n))=a\]
Unë nuk debatoj: shpesh këto rrënjë llogariten lehtësisht - ne pamë disa shembuj të tillë më lart. Por prapëseprapë, në shumicën e rasteve, nëse mendoni për një numër arbitrar dhe më pas përpiqeni të nxirrni rrënjën e një shkalle arbitrare prej tij, do të përballeni me një problem të tmerrshëm.
Cfare ishte atje! Edhe $\sqrt(2)$ më i thjeshtë dhe më i njohur nuk mund të përfaqësohet në formën tonë të zakonshme - si një numër i plotë ose një thyesë. Dhe nëse futni këtë numër në një kalkulator, do të shihni këtë:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Siç mund ta shihni, pas pikës dhjetore ka një sekuencë të pafund numrash që nuk i binden asnjë logjike. Sigurisht, mund ta rrumbullakosni këtë numër për ta krahasuar shpejt me numrat e tjerë. Për shembull:
\[\sqrt(2)=1,4142...\afërsisht 1,4 \lt 1,5\]
Ose këtu është një shembull tjetër:
\[\sqrt(3)=1,73205...\afërsisht 1,7 \gt 1,5\]
Por të gjitha këto rrumbullakime, së pari, janë mjaft të përafërta; dhe së dyti, gjithashtu duhet të jeni në gjendje të punoni me vlera të përafërta, përndryshe mund të kapni një mori gabimesh jo të dukshme (nga rruga, aftësia e krahasimit dhe rrumbullakimit kërkohet të testohet në profilin e Provimit të Unifikuar të Shtetit).
Prandaj, në matematikën serioze nuk mund të bësh pa rrënjë - ata janë të njëjtët përfaqësues të barabartë të grupit të të gjithë numrave realë $\mathbb(R)$, ashtu si thyesat dhe numrat e plotë që kanë qenë prej kohësh të njohur për ne.
Pamundësia për të paraqitur një rrënjë si një pjesë e formës $\frac(p)(q)$ do të thotë se kjo rrënjë nuk është një numër racional. Numra të tillë quhen irracionalë dhe nuk mund të paraqiten me saktësi përveçse me ndihmën e një radikali ose konstruksioneve të tjera të krijuara posaçërisht për këtë (logarithme, fuqi, kufij, etj.). Por më shumë për këtë herë tjetër.
Le të shqyrtojmë disa shembuj ku, pas të gjitha llogaritjeve, numrat irracionalë do të mbeten ende në përgjigje.
\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\afërsisht 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\afërsisht -1,2599... \\ \fund (radhis)\]
Natyrisht, nga pamja e rrënjës është pothuajse e pamundur të merret me mend se cilët numra do të vijnë pas pikës dhjetore. Sidoqoftë, mund të mbështeteni në një kalkulator, por edhe llogaritësi më i avancuar i datës na jep vetëm disa shifrat e para të një numri irracional. Prandaj, është shumë më e saktë të shkruani përgjigjet në formën $\sqrt(5)$ dhe $\sqrt(-2)$.
Pikërisht për këtë janë shpikur. Për të regjistruar me lehtësi përgjigjet.
Pse duhen dy përkufizime?
Lexuesi i vëmendshëm ndoshta e ka vënë re tashmë se të gjitha rrënjët katrore të dhëna në shembuj janë marrë nga numra pozitivë. Epo, të paktën nga e para. Por rrënjët e kubit mund të nxirren me qetësi nga absolutisht çdo numër - qoftë pozitiv apo negativ.
Pse po ndodh kjo? Hidhini një sy grafikut të funksionit $y=((x)^(2))$:
Grafiku i një funksioni kuadratik jep dy rrënjë: pozitive dhe negative Le të përpiqemi të llogarisim $\sqrt(4)$ duke përdorur këtë grafik. Për ta bërë këtë, në grafik vizatohet një vijë horizontale $y=4$ (e shënuar me të kuqe), e cila kryqëzohet me parabolën në dy pika: $((x)_(1))=2$ dhe $((x )_(2)) =-2$. Kjo është mjaft logjike, pasi
Gjithçka është e qartë me numrin e parë - është pozitiv, pra është rrënja:
Por atëherë çfarë të bëjmë me pikën e dytë? A thua katër kanë dy rrënjë njëherësh? Në fund të fundit, nëse e vendosim në katror numrin −2, do të marrim edhe 4. Pse të mos shkruani atëherë $\sqrt(4)=-2$? Dhe pse mësuesit i shikojnë postimet e tilla sikur duan të të hanë? :)
Problemi është se nëse nuk vendosni ndonjë kusht shtesë, atëherë kuadrati do të ketë dy rrënjë katrore - pozitive dhe negative. Dhe çdo numër pozitiv do të ketë gjithashtu dy prej tyre. Por numrat negativë nuk do të kenë rrënjë fare - kjo mund të shihet nga i njëjti grafik, pasi parabola nuk bie kurrë nën boshtin y, d.m.th. nuk pranon vlera negative.
Një problem i ngjashëm ndodh për të gjitha rrënjët me një eksponent çift:
- Në mënyrë të rreptë, çdo numër pozitiv do të ketë dy rrënjë me eksponent çift $n$;
- Nga numrat negativ, rrënja me madje $n$ nuk nxirret fare.
Kjo është arsyeja pse në përkufizimin e një rrënjë të një shkalle çift $n$ është përcaktuar në mënyrë specifike që përgjigja duhet të jetë një numër jo negativ. Kështu shpëtojmë nga paqartësia.
Por për $n$ teke nuk ka një problem të tillë. Për ta parë këtë, le të shohim grafikun e funksionit $y=((x)^(3))$:
Një parabolë kubike mund të marrë çdo vlerë, kështu që rrënja e kubit mund të merret nga çdo numër Nga ky grafik mund të nxirren dy përfundime:
- Degët e një parabole kubike, ndryshe nga ajo e rregullt, shkojnë në pafundësi në të dy drejtimet - lart dhe poshtë. Prandaj, pavarësisht nga lartësia që vizatojmë një vijë horizontale, kjo vijë sigurisht që do të kryqëzohet me grafikun tonë. Rrjedhimisht, rrënja e kubit mund të nxirret gjithmonë nga absolutisht çdo numër;
- Për më tepër, një kryqëzim i tillë do të jetë gjithmonë unik, kështu që nuk keni nevojë të mendoni se cili numër konsiderohet rrënja "e saktë" dhe cili duhet të injorohet. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i rrënjëve për një shkallë tek është më i thjeshtë se për një shkallë çift (nuk ka kërkesë për jonegativitet).
Është për të ardhur keq që këto gjëra të thjeshta nuk shpjegohen në shumicën e teksteve shkollore. Në vend të kësaj, truri ynë fillon të fluturojë me të gjitha llojet e rrënjëve aritmetike dhe vetitë e tyre.
Po, unë nuk debatoj: ju gjithashtu duhet të dini se çfarë është një rrënjë aritmetike. Dhe unë do të flas për këtë në detaje në një mësim të veçantë. Sot do të flasim gjithashtu për të, sepse pa të të gjitha mendimet për rrënjët e shumëfishimit $n$-th do të ishin të paplota.
Por së pari ju duhet të kuptoni qartë përkufizimin që dhashë më lart. Përndryshe, për shkak të bollëkut të termave, në kokën tuaj do të fillojë një rrëmujë e tillë që në fund nuk do të kuptoni asgjë fare.
E tëra çfarë ju duhet të bëni është të kuptoni ndryshimin midis treguesve çift dhe tek. Prandaj, le të mbledhim edhe një herë gjithçka që vërtet duhet të dini për rrënjët:
- Një rrënjë e një shkalle çift ekziston vetëm nga një numër jonegativ dhe në vetvete është gjithmonë një numër jo negativ. Për numrat negativ, një rrënjë e tillë është e papërcaktuar.
- Por rrënja e një shkalle tek ekziston nga çdo numër dhe në vetvete mund të jetë çdo numër: për numrat pozitivë është pozitiv, dhe për numrat negativ, siç lë të kuptohet kapaku, është negativ.
Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Është e qartë? Po, është plotësisht e qartë! Kështu që tani do të praktikojmë pak me llogaritjet.
Karakteristikat dhe kufizimet themelore
Rrënjët kanë shumë veti dhe kufizime të çuditshme - kjo do të diskutohet në një mësim të veçantë. Prandaj, tani do të shqyrtojmë vetëm "mashtrimin" më të rëndësishëm, i cili vlen vetëm për rrënjët me një indeks të barabartë. Le ta shkruajmë këtë veti si formulë:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\majtas| x\djathtas|\]
Me fjalë të tjera, nëse e ngremë një numër në një fuqi çift dhe më pas nxjerrim rrënjën e së njëjtës fuqi, nuk do të marrim numrin origjinal, por modulin e tij. Kjo është një teoremë e thjeshtë që mund të vërtetohet lehtësisht (mjafton të konsiderohen jo-negativët $x$ veç e veç, dhe më pas ato negative veçmas). Mësuesit flasin vazhdimisht për të, është dhënë në çdo tekst shkollor. Por, sapo bëhet fjalë për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale (d.m.th., ekuacioneve që përmbajnë një shenjë radikale), studentët e harrojnë njëzëri këtë formulë.
Për të kuptuar çështjen në detaje, le të harrojmë të gjitha formulat për një minutë dhe të përpiqemi të llogarisim dy numra menjëherë:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4))=?\]
Këta janë shembuj shumë të thjeshtë. Shumica e njerëzve do të zgjidhin shembullin e parë, por shumë njerëz ngecin në të dytin. Për të zgjidhur çdo gjë të tillë pa probleme, gjithmonë merrni parasysh procedurën:
- Së pari, numri rritet në fuqinë e katërt. Epo, është disi e lehtë. Do të merrni një numër të ri që mund të gjendet edhe në tabelën e shumëzimit;
- Dhe tani nga ky numër i ri është e nevojshme të nxirret rrënja e katërt. ato. nuk ndodh asnjë "zvogëlim" i rrënjëve dhe fuqive - këto janë veprime të njëpasnjëshme.
Le të shohim shprehjen e parë: $\sqrt((3)^(4)))$. Natyrisht, së pari duhet të llogaritni shprehjen nën rrënjë:
\[((3)^(4))=3\cpika 3\cpika 3\cpika 3=81\]
Pastaj nxjerrim rrënjën e katërt të numrit 81:
Tani le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Së pari, ne e ngremë numrin -3 në fuqinë e katërt, e cila kërkon shumëzimin e tij me vetveten 4 herë:
\[((\left(-3 \djathtas))^(4))=\majtas(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \ majtas(-3 \djathtas)=81\]
Ne morëm një numër pozitiv, pasi numri i përgjithshëm i minuseve në produkt është 4, dhe të gjithë do të anulojnë njëri-tjetrin (në fund të fundit, një minus për një minus jep një plus). Pastaj e nxjerrim përsëri rrënjën:
Në parim, kjo rresht nuk mund të ishte shkruar, pasi është e pamend që përgjigja do të ishte e njëjtë. ato. një rrënjë e barabartë e së njëjtës fuqi uniforme "djeg" minuset, dhe në këtë kuptim rezultati nuk dallohet nga një modul i rregullt:
\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((3)^(4)))=\majtas| 3 \djathtas|=3; \\ & \sqrt(((\majtas(-3 \djathtas))^(4)))=\majtas| -3 \djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]
Këto llogaritje janë në përputhje të mirë me përcaktimin e një rrënja të një shkalle çift: rezultati është gjithmonë jo negativ dhe shenja radikale gjithashtu përmban gjithmonë një numër jo negativ. Përndryshe, rrënja është e papërcaktuar.
Shënim për procedurën
- Shënimi $\sqrt(((a)^(2)))$ do të thotë që fillimisht ne katrore numrin $a$ dhe më pas marrim rrënjën katrore të vlerës që rezulton. Prandaj, mund të jemi të sigurt se ka gjithmonë një numër jo negativ nën shenjën e rrënjës, pasi $((a)^(2))\ge 0$ në çdo rast;
- Por shënimi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, përkundrazi, do të thotë që ne fillimisht marrim rrënjën e një numri të caktuar $a$ dhe vetëm pastaj rezultatin në katror. Prandaj, numri $a$ në asnjë rast nuk mund të jetë negativ - kjo është një kërkesë e detyrueshme e përfshirë në përkufizim.
Kështu, në asnjë rast nuk duhet të zvogëlohen pa menduar rrënjët dhe shkallët, duke gjoja "thjeshtuar" shprehjen origjinale. Sepse nëse rrënja ka një numër negativ dhe eksponenti i saj është çift, marrim një mori problemesh.
Sidoqoftë, të gjitha këto probleme janë të rëndësishme vetëm për treguesit madje.
Heqja e shenjës minus nën shenjën e rrënjës
Natyrisht, edhe rrënjët me eksponentë tek kanë veçorinë e tyre, e cila në parim nuk ekziston me çiftin. Gjegjësisht:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Me pak fjalë, mund të hiqni minusin nga nën shenjën e rrënjëve të shkallës tek. Kjo është një pronë shumë e dobishme që ju lejon të "hedhni" të gjitha disavantazhet:
\[\fillim(radhis) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \djathtas)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fund (radhis)\]
Kjo veçori e thjeshtë thjeshton shumë llogaritjet. Tani nuk keni nevojë të shqetësoheni: po sikur një shprehje negative të fshihej nën rrënjë, por shkalla në rrënjë doli të ishte e barabartë? Mjafton vetëm të "hedhni" të gjitha minuset jashtë rrënjëve, pas së cilës ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën, të ndahen dhe në përgjithësi të bëjnë shumë gjëra të dyshimta, të cilat në rastin e rrënjëve "klasike" garantohen të na çojnë në një gabim.
Dhe këtu del në skenë një përkufizim tjetër - i njëjti me të cilin në shumicën e shkollave ata fillojnë studimin e shprehjeve irracionale. Dhe pa të cilën arsyetimi ynë do të ishte i paplotë. Takohuni!
Rrënja aritmetike
Le të supozojmë për një moment se nën shenjën e rrënjës mund të ketë vetëm numra pozitivë ose, në raste ekstreme, zero. Le të harrojmë për treguesit çift/tek, le të harrojmë të gjitha përkufizimet e dhëna më lart - do të punojmë vetëm me numra jo negativë. Po pastaj?
Dhe pastaj do të marrim një rrënjë aritmetike - ajo pjesërisht mbivendoset me përkufizimet tona "standarde", por ende ndryshon prej tyre.
Përkufizimi. Një rrënjë aritmetike e shkallës $n$të të një numri jonegativ $a$ është një numër jonegativ $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$.
Siç mund ta shohim, ne nuk jemi më të interesuar për barazi. Në vend të kësaj, u shfaq një kufizim i ri: shprehja radikale tani është gjithmonë jo-negative, dhe vetë rrënja është gjithashtu jo-negative.
Për të kuptuar më mirë se si ndryshon rrënja aritmetike nga ajo e zakonshme, hidhini një sy grafikëve të parabolës katrore dhe kubike me të cilat jemi njohur tashmë:
Zona e kërkimit aritmetik të rrënjës - numra jonegativë Siç mund ta shihni, tani e tutje ne jemi të interesuar vetëm për ato pjesë të grafikëve që ndodhen në tremujorin e parë të koordinatave - ku koordinatat $x$ dhe $y$ janë pozitive (ose të paktën zero). Nuk keni më nevojë të shikoni treguesin për të kuptuar nëse kemi të drejtë të vendosim një numër negativ nën rrënjë apo jo. Sepse numrat negativë nuk konsiderohen më në parim.
Ju mund të pyesni: "Epo, pse na duhet një përkufizim kaq i sterilizuar?" Ose: "Pse nuk mund t'ia dalim me përkufizimin standard të dhënë më lart?"
Epo, unë do të jap vetëm një pronë për shkak të së cilës përkufizimi i ri bëhet i përshtatshëm. Për shembull, rregulli për fuqizimin:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Ju lutemi vini re: ne mund ta ngremë shprehjen radikale në çdo fuqi dhe në të njëjtën kohë të shumëzojmë eksponentin e rrënjës me të njëjtën fuqi - dhe rezultati do të jetë i njëjti numër! Këtu janë shembuj:
\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \fund (liroj)\]
Pra, çfarë është puna e madhe? Pse nuk mund ta bënim këtë më parë? Ja pse. Le të shqyrtojmë një shprehje të thjeshtë: $\sqrt(-2)$ - ky numër është mjaft normal në kuptimin tonë klasik, por absolutisht i papranueshëm nga pikëpamja e rrënjës aritmetike. Le të përpiqemi ta konvertojmë atë:
$\begin(lidh) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\majtas(-2 \djathtas))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \fund (rreshtoj)$
Siç mund ta shihni, në rastin e parë hoqëm minusin nga poshtë radikalit (kemi të drejtë, pasi eksponenti është tek), dhe në rastin e dytë kemi përdorur formulën e mësipërme. ato. Nga pikëpamja matematikore, gjithçka bëhet sipas rregullave.
WTF?! Si mund të jetë i njëjti numër pozitiv dhe negativ? Në asnjë mënyrë. Thjesht formula për fuqizimin, e cila funksionon mirë për numrat pozitivë dhe zero, fillon të prodhojë herezi të plotë në rastin e numrave negativë.
Pikërisht për të hequr qafe një paqartësi të tillë u shpikën rrënjët aritmetike. Një mësim i veçantë i madh u kushtohet atyre, ku ne i konsiderojmë të gjitha pronat e tyre në detaje. Kështu që ne nuk do të ndalemi në to tani - mësimi tashmë ka rezultuar shumë i gjatë.
Rrënja algjebrike: për ata që duan të dinë më shumë
Kam menduar gjatë nëse këtë temë ta vendos në një paragraf të veçantë apo jo. Në fund vendosa ta lë këtu. Ky material është menduar për ata që duan të kuptojnë rrënjët edhe më mirë - jo më në nivelin mesatar "shkollor", por në atë afër nivelit të Olimpiadës.
Pra: përveç përkufizimit "klasik" të rrënjës $n$th të një numri dhe ndarjes së lidhur në eksponentë çift dhe tek, ekziston një përkufizim më "i rritur" që nuk varet aspak nga barazia dhe hollësitë e tjera. Kjo quhet rrënjë algjebrike.
Përkufizimi. Rrënja algjebrike $n$th e çdo $a$ është bashkësia e të gjithë numrave $b$ të tillë që $((b)^(n))=a$. Nuk ka asnjë përcaktim të përcaktuar për rrënjë të tilla, kështu që ne thjesht do të vendosim një vizë sipër:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\majtas\( b\majtas| b\in \mathbb(R);((b)^(n)=a \djathtas. \djathtas\) \]
Dallimi thelbësor nga përkufizimi standard i dhënë në fillim të mësimit është se një rrënjë algjebrike nuk është një numër specifik, por një grup. Dhe meqenëse ne punojmë me numra realë, ky grup vjen në vetëm tre lloje:
- Komplet bosh. Ndodh kur duhet të gjeni një rrënjë algjebrike të një shkalle çift nga një numër negativ;
- Një grup i përbërë nga një element i vetëm. Të gjitha rrënjët e fuqive tek, si dhe rrënjët e fuqive çift zero, bëjnë pjesë në këtë kategori;
- Së fundi, grupi mund të përfshijë dy numra - të njëjtët $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))=-((x)_(1))$ që pamë në grafik funksion kuadratik. Prandaj, një rregullim i tillë është i mundur vetëm kur nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga një numër pozitiv.
Rasti i fundit meriton shqyrtim më të detajuar. Le të numërojmë disa shembuj për të kuptuar ndryshimin.
Shembull. Vlerësoni shprehjet:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Zgjidhje. Shprehja e parë është e thjeshtë:
\[\overline(\sqrt(4))=\majtas\( 2;-2 \djathtas\)\]
Janë dy numra që janë pjesë e grupit. Sepse secila prej tyre në katror jep një katër.
\[\overline(\sqrt(-27))=\majtas\( -3 \djathtas\)\]
Këtu shohim një grup të përbërë nga vetëm një numër. Kjo është mjaft logjike, pasi eksponenti i rrënjës është i çuditshëm.
Më në fund, shprehja e fundit:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Morëm një grup bosh. Sepse nuk ka asnjë numër të vetëm real që, kur të ngrihet në fuqinë e katërt (d.m.th., çift!), të na japë numrin negativ -16.
Shënim përfundimtar. Ju lutemi vini re: jo rastësisht vura re kudo se ne punojmë me numra realë. Sepse ka edhe numra kompleksë - është mjaft e mundur të llogaritet $\sqrt(-16)$ atje, dhe shumë gjëra të tjera të çuditshme.
Sidoqoftë, numrat kompleksë pothuajse kurrë nuk shfaqen në kurset moderne të matematikës shkollore. Ato janë hequr nga shumica e teksteve shkollore sepse zyrtarët tanë e konsiderojnë temën "shumë të vështirë për t'u kuptuar".
Kjo eshte e gjitha. Në mësimin tjetër do të shikojmë të gjitha vetitë kryesore të rrënjëve dhe më në fund do të mësojmë se si të thjeshtojmë shprehjet irracionale. :)
ose duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve si kjo:
- (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.
Prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero.
Shprehja x 2 +4 nuk mund të jetë e barabartë me zero, prandaj gjithçka që mbetet është (x 2 -4)=0.
E zgjidhim dhe marrim dy përgjigje.
Përgjigje: x=-2 dhe x=2.
Ne zbuluam se ekuacioni x 4 =16 ka vetëm 2 rrënjë reale. Këto janë rrënjë të shkallës së katërt nga numri 16. Për më tepër, rrënja pozitive quhet rrënja aritmetike e shkallës së 4-të nga numri 16. Dhe ato janë caktuar 4√16. Kjo do të thotë, 4√16=2.
Përkufizimi
- Një rrënjë aritmetike e një fuqie natyrore n>=2 e një numri jo negativ a është një numër jo negativ, kur ngrihet në fuqinë n, fitohet numri a.
Mund të vërtetohet se për çdo jonegativ a dhe n natyror, ekuacioni x n =a do të ketë një rrënjë të vetme jo negative. Është kjo rrënjë që quhet rrënja aritmetike e shkallës së n-të të numrit a.
Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri shënohet si më poshtë: n√a.
Numri a në këtë rast quhet shprehje radikale.
Në rastin kur n=2, nuk shkruajnë dy, por thjesht shkruajnë √a.
Rrënjët aritmetike të shkallës së dytë dhe të tretë kanë emrat e tyre të veçantë.
Një rrënjë aritmetike e shkallës së dytë quhet rrënjë katrore dhe një rrënjë aritmetike e shkallës së tretë quhet rrënjë kubike.
Duke përdorur vetëm përkufizimin e një rrënjë aritmetike, mund të vërtetohet se n√a është e barabartë me b. Për ta bërë këtë duhet të tregojmë se:
- 1. b është më i madh ose i barabartë me zero.
- 2. b n =a.
Për shembull, 3√(64) = 4, pasi 1. 4>0, 2. 4 3 =64.
Përfundim i përkufizimit të një rrënjë aritmetike.
- (n√a) n = a.
- n√(a n) = a.
Për shembull, (5√2) 5 = 2.
Nxjerrja e rrënjës së n-të
Nxjerrja e rrënjës së n-të është veprimi që përdoret për të gjetur rrënjën e n-të. Marrja e rrënjës së n-të është e kundërta e ngritjes së saj në fuqinë e n-të.
Le të shohim një shembull.
Zgjidheni ekuacionin x 3 = -27.
Le ta rishkruajmë këtë ekuacion në formën (-x) 3 =27.
Le të vendosim y=-x, pastaj y 3 =27. Ky ekuacion ka një rrënjë pozitive y= 3√27 = 3.
Ky ekuacion nuk ka rrënjë negative, pasi y 3
Gjejmë se ekuacioni 3 =27 ka vetëm një rrënjë.
Duke u kthyer në ekuacionin origjinal, gjejmë se ai gjithashtu ka vetëm një rrënjë x=-y=-3.
Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, Ku n- numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n shkalla e së cilës është e barabartë me a.
Shkalla e rrënjës n nga numri a tregohet me simbolin. Sipas këtij përkufizimi.
Gjetja e rrënjës n-shkalla e nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri A quhet numër radikal (shprehje), n- tregues rrënjë. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia për çdo numër real a. Kur edhe n ka një rrënjë n-fuqia vetëm për numrat jonegativë a. Për të zbardhur rrënjën n-shkalla e nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n-shkalla e nga mesi a.
Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N
Nëse n- numri natyror, më i madh 1 , atëherë ka dhe vetëm një numër jo negativ X, në mënyrë që barazia të plotësohet. Ky numër X quhet rrënjë aritmetike n fuqia e një numri jo negativ A dhe është caktuar. Numri A quhet një numër radikal, n- tregues rrënjë.
Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , do të thotë, së pari, atë dhe, së dyti, se, d.m.th. .
Koncepti i një shkalle me një eksponent racional
Shkalla me eksponent natyror: le Aështë një numër real, dhe n- një numër natyror më i madh se një, n-fuqia e numrit A thirrni punën n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, d.m.th. . Numri A- bazën e diplomës, n- eksponent. Një fuqi me një eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë: supozohet nga përkufizimi nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Një shkallë me një eksponent thyesor: supozohet me përkufizim nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .
Operacionet me rrënjë.
Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli nënkupton një rrënjë aritmetike (shprehja radikale është pozitive).
1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:
2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e rrënjëve të dividendit dhe pjesëtuesit:
3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi: 
4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës n herë dhe në të njëjtën kohë e rritni numrin radikal në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë: 
5. Nëse ulni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht nxirrni rrënjën e n-të të numrit radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani ne kemi konsideruar shkallë vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.
Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit negativ: 
Tani formula a m: a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madhe se n, por edhe për m më të vogël se n.
SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.
Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.
SHEMBUJ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.
Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e n-të të fuqisë mth të këtij numri a:
Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.
Rasti 1.
Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.
Në fakt, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit kemi: a = 0 x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0
Rasti 2.
Çdo numër.
Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër të caktuar x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 · x. Por kjo barazi vlen për çdo numër x, që është ajo që duhej vërtetuar.
Vërtet,
Zgjidhja. Le të shqyrtojmë tre raste kryesore:
1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion
2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë se x është çdo numër; por duke marrë parasysh se në rastin tonë x > 0, përgjigja është x > 0;
3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
në këtë rast nuk ka zgjidhje. Kështu x > 0.