Qëllimi i hulumtimit është të zhvillojë një metodë logjike (metoda e kufizimeve Boolean) të orientuar drejt përdorimit të superkompjuterëve dhe një teknologjie të orientuar drejt shërbimit për krijimin dhe përdorimin e një sistemi kompjuterik për një studim cilësor të dinamikës së sjelljes së trajektoreve të sisteme dinamike binare autonome mbi një interval kohor të fundëm. Rëndësia e temës konfirmohet nga diapazoni në rritje i vazhdueshëm i aplikimeve të modeleve binare në kërkimin shkencor dhe të aplikuar, si dhe nevoja për një analizë cilësore të modeleve të tilla me një dimension të madh të vektorit të gjendjes. Është paraqitur një model matematikor i një sistemi binar autonom në një interval kohor të fundëm dhe një ekuacion Boolean ekuivalent me këtë sistem. Propozohet të shkruhet specifikimi i një vetie dinamike në gjuhën e logjikës së kallëzuesit duke përdorur sasi të kufizuar të ekzistencës dhe universalitetit. Janë marrë ekuacionet e Bulit për kërkimin e gjendjeve dhe cikleve të ekuilibrit të një sistemi binar dhe kushtet për izolimin e tyre. Karakteristikat kryesore të llojit të arritshmërisë janë të specifikuara (arritshmëria, siguria, arritshmëria e njëkohshme, arritshmëria nën kufizimet fazore, tërheqja, lidhja, arritshmëria totale). Për çdo veti, modeli i tij ndërtohet në formën e një kufizimi Boolean (një ekuacion Boolean ose një formulë e llogaritur e Bulit), duke përmbushur specifikimet logjike të vetive dhe ekuacionet e dinamikës së sistemit. Kështu, kontrolli i realizueshmërisë së vetive të ndryshme të sjelljes së trajektoreve të sistemeve dinamike binar autonome në një interval kohor të fundëm reduktohet në problemin e përmbushjes së kufizimeve Boolean duke përdorur zgjidhës moderne SAT dhe TQBF. Jepet një shembull demonstrues i përdorimit të kësaj teknologjie për të testuar fizibilitetin e disa prej vetive të përshkruara më parë. Si përfundim, renditen avantazhet kryesore të metodës së kufizimeve Boolean, përshkruhen veçoritë e zbatimit të softuerit të tij në kuadrin e një qasjeje të orientuar nga shërbimi dhe udhëzimet. zhvillimin e mëtejshëm metodë për klasat e tjera të sistemeve dinamike binare.
sistem dinamik binar
veti dinamike
analiza cilësore
kufizimet boolean
Problemi i kënaqshmërisë Boolean
1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teoria dhe Praktika e Zgjidhjes SAT. Raportet Dagstuhl. 2015. vëll. 5.nr. 4. R. 98–122.
2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dymbëdhjetë vjet vlerësime të QBF: QSAT Is PSPACE-Hard and It Shows. Fundam. Informoni. 2016. vëll. 149. R. 133–58.
3. Bohman D., Posthof H. Sistemet dinamike binare. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 f.
4. Maslov S.Yu. Teoria e sistemeve deduktive dhe zbatimi i saj. M.: Radio dhe komunikim, 1986. 133 f.
5. Jhala R., Majumdar R. Kontrollimi i modelit të softuerit. ACM Computing Surveys. 2009. vëll. 41.nr. 4. R. 21:1–21:54.
6. Vasiliev S.N. Metoda e reduktimit dhe analiza cilësore e sistemeve dinamike. I–II // Lajmet e Akademisë së Shkencave Ruse. Teoria dhe sistemet e kontrollit. 2006. Nr. 1. fq. 21–29. Nr. 2. f. 5–17.
7. Formati DIMACS [Burimi elektronik]. Mënyra e hyrjes: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (data e hyrjes: 24.07.2018).
8. Standardi QDIMACS [Burimi elektronik]. Mënyra e hyrjes: http://qbflib.org/qdimacs.html (data e hyrjes: 24.07.2018).
9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Sistemet e kohës diskrete me dinamikë të bazuar në ngjarje: Zhvillimet e fundit në metodat e analizës dhe sintezës. Mario Alberto Jordan (Red.). Sistemet e kohës diskrete. InTech. 2011. R. 447–476.
10. Vasiliev S.N. Arritshmëria dhe lidhja në një rrjet automatik me rregull i përgjithshëm ndërrimi i gjendjes // Ekuacionet diferenciale. 2002. T. 38. Nr. 11. P. 1533–1539.
11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Teknologji me shumë agjentë për automatizimin e zgjidhjes paralele të ekuacioneve Boolean në një mjedis llogaritës të shpërndarë // Teknologjitë llogaritëse. 2016. T. 21. Nr. 3. F. 5–17.
12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Një zgjidhës QBF i vetëdijshëm për varësinë. Gazeta mbi kënaqësinë. Modelimi dhe Llogaritja Boolean. 2010. vëll. 9. R. 71–76.
13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Zgjidhësit e shpërndarë të problemeve të aplikuara bazuar në mikroshërbimet dhe rrjetet e agjentëve. Proc. Nga praktikanti i 41-të. Konventa për Teknologjinë e Informacionit dhe Komunikimit, Elektronikën dhe Mikroelektronikën (MIPRO-2018). R. 1643–1648.
14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Zgjidhës paralel i shkallëzueshëm i problemeve të kënaqshmërisë Boolean. Proc. Nga praktikanti i 41-të. Konventa për Teknologjinë e Informacionit dhe Komunikimit. Elektronikë dhe Mikroelektronikë (MIPRO-2018). R. 244–249.
15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Teknologjia e Zbatuar e Zgjidhjes së Problemeve Bazuar në Modelin e Domenit të Lëndëve Llogaritëse të Shpërndara: Një Qasje e Decentralizuar // Konferenca Ndërkombëtare e XII të Teknologjive Paralel të Informatikës, PaVT'2018, Rostov-on-Don, 2–6 prill 2018. Artikuj të shkurtër dhe përshkrime të posterave. Chelyabinsk: Qendra Botuese SUSU, 2018. fq. 34–48.
Gama e aplikimeve të modeleve dinamike binare është jashtëzakonisht e gjerë, dhe çdo vit numri i objekteve dhe detyrave ku kërkohet përdorimi i tyre po rritet vetëm. Një shembull klasik është një automat binar sinkron, i cili është një model i shumë pajisjeve diskrete në sistemet e kontrollit, teknologjinë kompjuterike dhe telemekanikë. Aplikimet moderne të modeleve dinamike binare përfshijnë probleme në bioinformatikë, ekonomi, sociologji dhe një sërë fushash të tjera që duken larg përdorimit të variablave binare. Në këtë drejtim, rëndësia e zhvillimit të metodave të reja dhe përmirësimit ekzistues për analizën cilësore të sjelljes së trajektoreve të sistemeve dinamike binare (DDS) rritet ndjeshëm.
Siç dihet, qëllimi i analizës cilësore të një sistemi dinamik (jo vetëm binar) është të merret një përgjigje pozitive ose negative në pyetjen: A qëndron vetia dinamike e kërkuar në një sistem të caktuar? Le ta riformulojmë këtë pyetje si më poshtë: A plotëson sjellja e trajektoreve të një sistemi dinamik një grup të caktuar kufizimesh që karakterizojnë pronën? Më tej do të përdorim pikërisht këtë interpretim të qëllimit të analizës cilësore të vetive dinamike të sistemit.
Për DDS, funksionimi i të cilit konsiderohet në një interval kohor të fundëm, kufizime të tilla janë Boolean dhe shkruhen në gjuhën e ekuacioneve Boolean ose formulave Boolean me kuantifikues. Lloji i parë i kufizimeve çon në nevojën për të zgjidhur problemin SAT (Problemi i kënaqshmërisë Boolean); lloji i dytë i kufizimeve shoqërohet me zgjidhjen e problemit TQBF (testimi i së vërtetës së formulave të kuantifikuara Boolean). Problemi i parë është një përfaqësues tipik i klasës së kompleksitetit NP, dhe problemi i dytë është një përfaqësues tipik i klasës së kompleksitetit PSPACE. Siç dihet, plotësia e PSPACE e një problemi diskrete siguron prova më të forta të pazgjidhshmërisë së tij sesa plotësia e NP. Për shkak të kësaj, reduktimi i problemit të analizës cilësore të DDS në një problem SAT është më i preferueshëm sesa reduktimi i tij në një problem TQBF. Në përgjithësi, studimi i jo çdo vetie të një DDS mund të përfaqësohet në gjuhën e ekuacioneve Boolean.
Mundësia teorike e përdorimit të kufizimeve Boolean (përkatësisht, ekuacioneve Boolean) në analizën cilësore të DDS u demonstrua fillimisht në punim. Megjithatë, duhet theksuar se zbatimi i kësaj qasjeje në praktikë në atë kohë ishte penguar nga mungesa e algoritme efikase dhe programe për zgjidhjen e ekuacioneve Boolean (veçanërisht me një numër të madh variablash të panjohur), të cilat mund të zvogëlojnë ndjeshëm hapësirën e kërkimit. Në dekadën e fundit, si rezultat i hulumtimeve intensive në këtë fushë, janë shfaqur një numër i mjaftueshëm i zgjidhësve të ndryshëm efikas të ekuacioneve Boolean (zgjidhës SAT), duke përdorur përparimet moderne (heuristika të reja, struktura të shpejta të dhënash, llogaritje paralele, etj.) në zgjidhje problemi i kënaqshmërisë Boolean. Procese të ngjashme (por me njëfarë vonese) vërehen në fushën e krijimit të algoritmeve dhe programeve gjithnjë e më efikase për zgjidhjen e problemit TQBF. Kështu, deri më sot, ekzistojnë të gjitha parakushtet e nevojshme për zhvillimin sistematik të metodës së kufizimeve Boolean në analizën cilësore të DDS, zbatimin dhe aplikimin e tij softuer në zgjidhjen e problemeve shkencore dhe aplikative.
Përveç metodës së kufizimeve Boolean, metoda të tjera të analizës cilësore janë të aplikueshme për DDS, të cilat përfshijnë analizën deduktive, kontrollin e modelit dhe metodën e reduktimit. Secila prej këtyre metodave (përfshirë metodën e kufizimit Boolean) ka kufizimet, avantazhet dhe disavantazhet e veta. Një disavantazh i përbashkët është se të gjitha metodat janë të natyrës së forcës brutale dhe problemi i reduktimit të forcës brutale është thelbësor për këto metoda.
Rëndësia e analizës deduktive, e cila përfshin përdorimin e aksiomave dhe rregullave të konkluzionit për të vërtetuar funksionimin e saktë të një sistemi, njihet nga një gamë e gjerë specialistësh, por është një metodë që kërkon punë dhe për këtë arsye përdoret rrallë. Në metodën e kontrollit të modelit, gjuha e logjikës kohore, e cila është e pazakontë për specialistët e dinamikës së automateve, përdoret si gjuhë për të specifikuar pronën e kërkuar. Metoda e reduktimit shoqërohet me ndërtimin e një modeli të thjeshtuar (në një kuptim të caktuar) të sistemit origjinal, studimin e vetive të tij dhe kushtet për transferimin e këtyre vetive në sistemin kompleks origjinal. Kushtet për transferueshmërinë e pronave janë vetëm të mjaftueshme. Thjeshtësia e idesë së metodës së reduktimit në analizën cilësore të DDS përballet me problemin e zgjedhjes së një sistemi të thjeshtuar që plotëson të gjitha kushtet e metodës.
Përdorimi praktik i metodës së kufizimit Boolean përfshin algorithmizimin dhe automatizimin e proceseve të mëposhtme:
1) zhvillimi i një gjuhe logjike për specifikimin e vetive dinamike që synojnë një specialist në dinamikën e sistemit;
2) ndërtimi i një modeli të një vetie dinamike në formën e një kufizimi Boolean të një lloji ose një tjetër që plotëson specifikimet logjike të vetive dhe ekuacionet e dinamikës së një sistemi binar;
3) prezantimi i modelit që rezulton në formatin ndërkombëtar DIMACS ose QDIMACS;
4) përzgjedhja (zhvillimi) i një zgjidhësi efektiv paralel (të shpërndarë) për problemin e kënaqshmërisë së kufizimeve Boolean (zgjidhës SAT ose TQBF);
5) zhvillimi i mjeteve për krijimin e shërbimeve softuerike;
6) zhvillimi i shërbimeve për hulumtime cilësore të vetive të ndryshme dinamike të DDS.
Qëllimi Ky studim synon të zgjidhë vetëm dy problemet e para në lidhje me algoritmin e studimeve cilësore të DDS sinkron autonome (pa hyrje kontrolli). Në botimet në gjuhën angleze, sisteme të tilla zakonisht quhen rrjete sinkrone Boolean. Aspekte të tjera të aplikimit të metodës së kufizimit Boolean (përfshirë DDS me hyrje kontrolli) janë objekt i botimeve të mëposhtme.
Modeli matematikor i DDS autonome
Le të X = Bn (B = (0, 1) - një grup vektorësh binarë të dimensionit n (hapësira e gjendjes së DDS) Le të tregojmë t∈T = (1,…,k) kohë diskrete (numër takti).
Për çdo gjendje x0∈X, e quajtur gjendja fillestare, ne përcaktojmë trajektoren x(t, x0) si një sekuencë të fundme gjendjesh x0, x1,…, xk nga bashkësia X. Më pas, do të shqyrtojmë DDS në të cilën çdo çift e gjendjeve fqinje xt, x(t - 1) (t∈T) trajektoret lidhen me relacionin
xt = F (xt - 1). (1)
Këtu F:X>X është një funksion vektorial i algjebrës së logjikës, i quajtur funksioni i tranzicionit. Kështu, për çdo x0∈X, sistemi i ekuacioneve të Bulit (1) paraqet një model të dinamikës së sjelljes së trajektoreve DDS në hapësirën e gjendjes X në një interval kohor të fundëm T = (1, 2,…,k). Këtu dhe më poshtë, vlera k në përkufizimin e bashkësisë T supozohet të jetë një konstante e paracaktuar. Ky kufizim është mjaft i natyrshëm. Fakti është se në një analizë cilësore të sjelljes së trajektoreve DDS, çështja me interes praktik është se çfarë mund të thuhet për fizibilitetin e çdo vetie dinamike për një k fikse, jo shumë të madhe. Zgjedhja e vlerës së k në çdo rast specifik kryhet në bazë të informacionit apriori për kohëzgjatjen e proceseve në sistemin diskret të simuluar.
Dihet se sistemi i ekuacioneve të Bulit (1) me gjendjen fillestare x0∈X për T = (1, 2,…,k) është i barabartë me një ekuacion të Bulit të formës
Për k = 1 (konsiderohen vetëm kalimet me një hap), ekuacioni (2) merr formën
(3)
Zgjidhjet e këtij ekuacioni përcaktojnë një graf të drejtuar të përbërë nga 2n kulme, të shënuara nga një nga 2n gjendjet e bashkësisë X. Kulmet x0 dhe x1 të grafikut lidhen me një hark të drejtuar nga gjendja x0 në gjendjen x1. Një grafik i tillë në teorinë e automatave binare quhet diagramë tranzicioni. Paraqitja e sjelljes së DDS në formën e një diagrami tranzicioni është shumë e qartë si gjatë ndërtimit të trajektoreve ashtu edhe në studimin e vetive të tyre, por është praktikisht i realizueshëm vetëm për dimensionet e vogla n të vektorit të gjendjes x∈X.
Mjete gjuhësore për specifikimin e vetive dinamike
Është më e përshtatshme për të specifikuar një pronë dinamike në gjuhën e logjikës formale. Në vijim të punës, le të shënojmë me X0∈X, X1∈X, X*∈X bashkësitë e gjendjeve fillestare, të pranueshme dhe të synuara.
Elementet kryesore sintaksore të formulës logjike të një vetie dinamike janë: 1) variablat lëndore (përbërësit e vektorëve x0, x1,…, xk, koha t); 2) kuantifikues të kufizuar të ekzistencës dhe universalitetit; 3) lidhjet logjike v, &; formulat përfundimtare. Formula përfundimtare paraqet një deklaratë për anëtarësimin e disa gjendjeve të grupit të trajektoreve x(t, x0) (x0∈X0) në grupet e vlerësimit X* dhe X1.
Duhet të theksohet se përdorimi i kuantifikuesve të kufizuar të ekzistencës dhe universalitetit siguron një lloj regjistrimi të një vetie dinamike që është e njohur për një specialist të dinamikës. Në procesin e ndërtimit të një modeli Boolean të vetive për sistemin (1), sasiorët e kufizuar zëvendësohen nga ata të zakonshëm sipas përcaktimeve të mëposhtme:
ku A(y) është një kallëzues që kufizon vlerën e ndryshores y.
Për shkak të fundshmërisë së gamës së variacionit të ndryshores t, sasiorët e kufizuar të ekzistencës dhe universalitetit në lidhje me këtë variabël zëvendësohen me formula ekuivalente që nuk përmbajnë sasiorë.
Në vijim do të supozojmë se elementet e bashkësive X0, X1, X* përcaktohen, përkatësisht, nga zerot e ekuacioneve të Bulit të mëposhtëm
ose funksionet karakteristike të këtyre grupeve, .
Duke marrë parasysh kufizimin në gjendjet fillestare G0(x) = 0, së bashku me ekuacionet (2, 3), ne do të përdorim ekuacionet e mëposhtme të Bulit për të shkurtuar shënimin:
(4)
Analiza paraprake cilësore e DDS autonome
Në fazën e analizës paraprake, mund të identifikohet degëzimi i një shteti (shumë nga paraardhësit e tij të menjëhershëm), prania e gjendjeve të ekuilibrit dhe trajektoreve (cikleve) të mbyllura (nëse është e nevojshme).
Gjendja x1 në (3) do të quhet pasardhëse e gjendjes x0, dhe x0 - paraardhëse e gjendjes x1. Në një DDS autonome, çdo shtet ka vetëm një pasardhës, dhe numri i paraardhësve të një gjendjeje të caktuar mund të ndryshojë nga zero në 2n - 1. Të gjithë paraardhësit e menjëhershëm x0 të gjendjes s∈X janë zero të ekuacionit Boolean
Nëse ekuacioni (6) nuk ka zgjidhje, atëherë nuk ka paraardhës të gjendjes s.
Gjendjet e ekuilibrit (nëse ekzistojnë) janë zgjidhje për ekuacionin Boolean
Një trajektore x0, x1,…, xk quhet një cikël me gjatësi k nëse gjendjet x0, x1,…, xk-1 janë çift të ndryshme nga njëra-tjetra dhe xk = x0. Një sekuencë ciklike me gjatësi k (nëse ekziston) është një zgjidhje për ekuacionin Boolean
ku = 0 ( 
) - kushtet për ndryshimin në çift të bashkësisë së gjendjeve C të një cikli me gjatësi k. Nëse asnjë nga gjendjet e një cikli nuk ka paraardhës që nuk i përkasin grupit C, atëherë një cikël i tillë quhet i izoluar. Le të përcaktohen elementet s të grupit C nga zgjidhja e ekuacionit të Bulit Gc(s) = 0. Atëherë është e lehtë të tregohet se kushti për ciklin që do të izolohet është ekuivalent me mungesën e zerove në Booleanin vijues ekuacioni:
Zgjidhjet e ekuacionit (7) (nëse ekzistojnë) përcaktojnë gjendjet e ciklit që kanë paraardhës që nuk i përkasin grupit C.
Meqenëse gjendja e ekuilibrit është një cikël me gjatësi k = 1, kushti për izolimin e tij është i ngjashëm me kushtin për izolim me k ≥ 2, me ndryshimin që Gc(s) ka formën e një disjunksioni të plotë që përcakton këtë gjendje ekuilibri. .
Në vijim, ne do t'i quajmë tërheqës gjendjet dhe ciklet e ekuilibrit jo të izoluar.
Specifikimi i vetive dinamike të llojit të arritshmërisë
Vetia kryesore e DDS, nevoja për të testuar që lind më shpesh në praktikë, është vetia e arritshmërisë, e studiuar tradicionalisht në teorinë e grafikëve (në rastin tonë, një grafik i tillë është një diagram tranzicioni) dhe variacionet e tij të ndryshme. B arritshmëria përkufizohet si një problem klasik i analizës së sjelljes së trajektoreve DDS.
Përkufizimi i kësaj vetie shoqërohet me specifikimin e grupeve të prezantuara më parë X0, X*, X1 (që korrespondojnë me këto grupe ekuacionesh Boolean). Supozohet se bashkësitë X0, X*, X1 plotësojnë kufizimin
Për shkak të fundshmërisë së grupit T, vetia e arritshmërisë dhe variacionet e saj do të kuptohen më tej si veti e arritshmërisë praktike (arritshmëria në një numër të kufizuar ciklesh). Karakteristikat e mëposhtme të llojit të arritshmërisë merren parasysh:
1. Vetia kryesore e arritshmërisë së një grupi X* nga një grup X0 formulohet si më poshtë: çdo trajektore e lëshuar nga grupi i gjendjeve fillestare X0 arrin grupin e synuar X*. Duke përdorur sasi të kufizuar të ekzistencës dhe universalitetit, formula për këtë veti është:
2. Vetia e sigurisë siguron që për çdo trajektore të lëshuar nga X0 grupi X* është i paarritshëm:
3. Pronë e arritshmërisë së njëkohshme. Në disa raste, mund të vendoset një "kërkesë më e rreptë", e cila është që secila trajektore të arrijë objektivin e vendosur në saktësisht k cikle orësh (k∈T):
4. Prona e arritshmërisë sipas kufizimeve fazore:
Kjo veti garanton që të gjitha trajektoret e emetuara nga grupi X0, përpara se të hyjnë në grupin e synuar X*, janë në grupin X1.
5. Pronë e tërheqjes. Le të jetë X* një tërheqës. Atëherë formula logjike për vetinë e tërheqjes përkon me formulën për vetinë bazë të arritshmërisë:
ato. për çdo trajektore të lëshuar nga bashkësia X0, ekziston një moment kohor t∈T, nga i cili nis trajektorja nuk shkon përtej kufijve të grupit X*. Bashkësia X0 në këtë rast i përket një pjese të fushës së tërheqjes së bashkësisë X*(X0∈Xa, ku Xa është domeni i plotë i tërheqjes (pool) i tërheqësit).
Vini re se të gjitha variablat në formulat e mësipërme të vetive janë në të vërtetë të lidhura, pasi trajektorja x0, x1,…, xk përcaktohet plotësisht nga gjendja fillestare. Meqenëse sasiorët mbi ndryshoren t zëvendësohen nga operacionet e ndarjes shumëvendëshe ose lidhja e kallëzuesve përkatës, në secilën nga formulat mbetet një sasior i vetëm universal i kufizuar (), i cili bën të mundur shkrimin e kushteve për përmbushjen e këtyre vetive në gjuha e ekuacioneve Boolean (në formën e një problemi SAT).
Le të paraqesim dy veti, verifikimi i të cilave çon në nevojën e zgjidhjes së problemit TQBF.
6. Vetia e lidhjes së grupit të synuar:
ato. ekziston një gjendje fillestare x0∈X0 e tillë që çdo gjendje qëllimi x*⊆X* është e arritshme në një moment t∈T, që nënkupton ekzistencën e një trajektoreje që korrespondon me këtë gjendje, e tillë që të gjitha gjendjet e qëllimit x*∈X* i përkasin në këtë trajektore.
7. Vetia e arritshmërisë totale të një grupi X* nga X0:
ato. çdo gjendje objektivi është e arritshme nga X0.
Kontrollimi i fizibilitetit të vetive dinamike
Për pronat (1-5), kontrolli i fizibilitetit të tyre zbret në kërkimin e zerove të një ekuacioni Boolean, teknologjia e formimit e cila është e standardizuar dhe konsiderohet në detaje vetëm për vetinë kryesore të arritshmërisë. Vetitë (6, 7) çojnë në problemin e kontrollit të së vërtetës së një formule të llogaritur Boolean.
1. Vetia kryesore e arritshmërisë. Formula e saj logjike duket si
Duke marrë parasysh (4), ne shkruajmë formulën (8) në formë
ku është funksioni karakteristik i grupit të gjendjeve të trajektores së çliruar nga gjendja fillestare x0∈X0. Le të heqim qafe sasinë e ekzistencës në (9). Atëherë do të kemi
ku është funksioni karakteristik i bashkësisë X*. Le të zëvendësojmë kuantifikuesit universalë të kufizuar me sasiorë të zakonshëm. Si rezultat marrim
Formula (10) është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse shprehja e nënkuantifikuesit është identikisht e vërtetë, d.m.th.
E vërteta identike e nënkuptimit do të thotë se funksioni Boolean është pasojë logjike e funksionit, d.m.th. çdo trajektore me gjendje fillestare x0∈X0 arrin grupin e synuar X*.
Vlefshmëria e identitetit (11) është ekuivalente me mungesën e zeros në ekuacionin Boolean
Me nxjerrjen (12), ne hoqëm qafe nënkuptimin dhe zëvendësuam ϕ*(x0, x1,..., xk) me 
. Nëse ekuacioni (12) ka të paktën një zgjidhje, atëherë vetia e arritshmërisë nuk vlen. Një zgjidhje e tillë përfaqëson (në një kuptim të caktuar) një kundërshembull për pronën që testohet dhe mund të ndihmojë studiuesin të identifikojë shkakun e gabimit.
Më tej, për shkurtim të paraqitjes, për secilën veti (2-4) do të shkruajmë vetëm një ekuacion të tipit (12), duke e ftuar lexuesin të riprodhojë në mënyrë të pavarur arsyetimin e nevojshëm, afër atyre të dhëna për vetinë kryesore të arritshmërisë.
2. Pronë sigurie
3. Prona e arritshmërisë së njëkohshme
4. Vetia e arritshmërisë nën kufizimet fazore
5. Pronë e tërheqjes. Fizibiliteti i kësaj prone kontrollohet në dy faza. Në fazën e parë, përcaktohet nëse grupi X* është tërheqës. Nëse përgjigja është po, atëherë në fazën e dytë kontrollohet vetia kryesore e arritshmërisë. Nëse X* është i arritshëm nga X0, atëherë të gjitha kushtet e pronës tërheqëse janë të përmbushura.
6. Vetia e lidhjes
7. Pronë e arritshmërisë totale`
Për vetitë (6, 7), forma skalare e barazisë së dy vektorëve Boolean xt = x* ka formën
Le të demonstrojmë teknologjinë e përshkruar më sipër për analizën cilësore të DDS autonome duke përdorur metodën e kufizimeve Boolean kur kontrollojmë realizueshmërinë e disa prej vetive të listuara më sipër për modelin 3.2 nga puna:
Le të shënojmë me x0∈X = B3 gjendjen fillestare të modelit (13). Le të jetë T = (1, 2). Le të shkruajmë funksionet e tranzicionit me një hap dhe dy hapa të modelit (13) të kërkuar për specifikimin e vetive:
(14)
ku shenja është "." tregohet funksionimi i lidhjes.
Për të kontrolluar përshtatshmërinë e secilës veti, specifikohen grupet fillestare (X0) dhe objektivi (X*), të përcaktuara nga zerot e ekuacioneve G0(x) = 0, G*(x) = 0 ose funksionet karakteristike të këtyre grupe (shih seksionin 2). Zgjidhësi i kompleksit instrumental (IC) REBUS përdoret si zgjidhës SAT dhe DepQBF përdoret si zgjidhës TQBF. Kodimi i variablave në modelet Boolean të vetive të konsideruara më poshtë për këta zgjidhës është dhënë në Tabelën. 1, modelet Boolean të këtyre vetive në formatet DIMACS dhe QDIMACS janë të vendosura në tabelë. 2.
Tabela 1
Kodimi i ndryshueshëm
|
Numri i ndryshueshëm në modelin Boolean |
||||||||||||
|
Prona 1 |
||||||||||||
|
Prona 2 |
||||||||||||
|
Prona 3 |
||||||||||||
|
Prona 4 |
||||||||||||
|
Prona 5 |
tabela 2
Modelet e pronave Boolean
|
Prona 1 |
Prona 2 |
Prona 3 |
Prona 4 (A) |
Prona 4 (B) |
Prona 5 |
|
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0 |
1. Vetia themelore e arritshmërisë (k = 2). Le të X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Grupet fillestare dhe të synuara përcaktohen nga ekuacionet G0(x) = x1 = 0 dhe , përkatësisht. Ekuacioni Boolean (12) në këtë rast merr formën
ku funksioni ϕ(x0, x1, x2) është përcaktuar në (14). Zgjidhësi IR REBUS prodhon përgjigjen "unsat" (ekuacioni nuk ka zero), kështu që vetia e arritshmërisë së X* nga X0 është e kënaqur, siç mund të shihet qartë nga diagrami i mëposhtëm i tranzicionit i paraqitur në figurë.
2. Ciklet me gjatësi k = 2. Një sekuencë ciklike me gjatësi 2 (nëse ekziston) është një zgjidhje për ekuacionin e Bulit
Funksioni duket si
Shprehja R(x0, x1) nuk është përfshirë në ekuacion gjatë gjetjes së ciklit, pasi nuk ka cikle me gjatësi k = 1 (gjendje ekuilibri) në modelin (13). Duke përdorur zgjidhësin IR REBUS, u morën dy përgjigje (në formatin e daljes DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 dhe 1 2 -3 4 5 6 0, që korrespondojnë me sekuencat ciklike (figura): ((1 1 1) , (1 1 0)) dhe ((1 1 0), (1 1 1)). Grupet e gjendjeve të të dy cikleve përputhen, që do të thotë se në modelin (13) ekziston një cikël me gjatësi k = 2.
Diagrami i tranzicionit të sistemit (13)
3. Vetia e izolimit të ciklit. Nëse elementet s të grupit të gjendjeve C të një cikli me gjatësi k = 2 përcaktohen nga zgjidhja e ekuacionit të Bulit Gc(s) = 0, atëherë kushti i izolimit të ciklit është ekuivalent me mungesën e zeros në Booleanin vijues ekuacioni:
Meqenëse C = ((1 1 1), (1 1 0)), kemi
Për këtë ekuacion, zgjidhësi IR REBUS gjen dy zgjidhje: -1 2 3 4 5 -6 0 dhe -1 2 -3 4 5 -6 0 (në paraqitjen binar sipas kodimit të variablave në tabelën 1, këto janë çifte të gjendjet (0 1 1), (1 1 0) dhe ((0 1 0), (1 1 0)). Kështu, gjendja e ciklit (1 1 0) ka dy paraardhës, (0 1 1) dhe (0 1 0), të cilat nuk i përkasin grupit të ciklit të gjendjeve Kjo do të thotë që vetia e izolimit të ciklit nuk plotësohet, pra ky cikël është tërheqës.
4. Pronë e tërheqjes. Le të jetë X* = C një tërheqës. Formula logjike për vetinë e tërheqjes përkon me formulën për vetinë bazë të arritshmërisë
dhe ekuacioni përkatës Boolean për rastin tonë ka formën
Le të shkruajmë funksionet G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) dhe . Funksioni ϕ(x0, x1, x2) është dhënë në (14). Për X* = C shprehja është . Le të shqyrtojmë dy opsione për specifikimin e grupit të gjendjeve fillestare X0, për rastet e përmbushjes (A) dhe mospërmbushjes (B) të vetive tërheqëse në k = 2 cikle ore.
A. Le të . Pastaj
Në këtë rast, përgjigja “unsat” jepet për ekuacionin Boolean (15). Prona e tërheqjes është e kënaqur për një grup të caktuar X0.
B. Le të . Pastaj
Në këtë rast, IR REBUS për ekuacionin (15) gjen një zgjidhje: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, e cila korrespondon me trajektoren ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)). Kjo trajektore me gjendjen fillestare x0 = (1 0 1) nuk e arrin bashkësinë X* = C në dy hapa, që do të thotë se vetia e tërheqjes nuk plotësohet për një X0 të dhënë.
5. Vetia e lidhjes. Formula logjike për vetinë e lidhjes merr formën e deklaratës së mëposhtme:
Për k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), ku funksioni ϕ(x0, x1, x2) është dhënë në (14). Le të zgjedhim gjendjen (1 0 1) si gjendje fillestare. Pastaj . Le të vendoset objektivi X* = ((0 1 1), (1 0 0)). Në këtë rast, funksioni G*(x*) ka formën
Le të shkruajmë G*(x*) në formatin CNF:
Duke përdorur ligjin e DeMorgan-it, gjejmë mohimin e funksionit ϕ*(x0, x1, x2). Duke zëvendësuar të gjitha funksionet e marra në (16) dhe duke marrë parasysh kodimin e variablave Boolean (Tabela 1), marrim një model Boolean në formatin QDIMACS (Tabela 2). Zgjidhësi DepQBF kthen përgjigjen "sat", që do të thotë se pohimi (16) është i vërtetë. Vetia e lidhjes për X0, X*, T = (1, 2) është e kënaqur.
konkluzioni
Përparësitë kryesore të metodës së kufizimit Boolean në kërkimin cilësor të DDS përfshijnë:
1. Një gjuhë logjike për përcaktimin e një vetie dinamike, e njohur për një specialist në dinamikën e automateve, nëpërmjet përdorimit të sasive të kufizuara të ekzistencës dhe universalitetit.
2. Duke përdorur formulën e vetive dhe ekuacionet dinamike, ndërtohet automatikisht ekuacioni Boolean përkatës ose formula e Kuantifikuar Boolean.
3. Procesi i konvertimit të shprehjeve Boolean rezultuese në formë normale lidhëse me gjenerimin e mëtejshëm të një skedari në formatet DIMAX dhe QDIMAX, të cilat janë hyrje për zgjidhësit SAT dhe zgjidhës QBF, është thjesht i automatizuar.
4. Problemi i zvogëlimit të kërkimit, në një shkallë ose në një tjetër, zgjidhet nga zhvilluesit e këtyre zgjidhësve dhe mbrohet nga specialistët në analizën cilësore të DDS.
5. Është e mundur të zgjidhet problemi i analizës cilësore të DDS për dimensione të mëdha të vektorit të gjendjes n për një periudhë mjaftueshëm të gjatë kohore T. Për sa i përket numrit të gjendjeve, metoda e kufizimeve Boolean është sasiorisht e krahasueshme me Metoda e kontrollit të modelit. Për shkak të faktit se vitet e fundit ka pasur një rritje të konsiderueshme në performancën e algoritmeve të specializuara për zgjidhjen e problemeve SAT dhe TQBF, numri i përgjithshëm i variablave në një model të vetive Boolean për zgjidhësit modernë mund të matet në mijëra.
Softueri për procesin e analizës cilësore të DDS bazuar në metodën e kufizimeve Boolean zbatohet në kuadrin e një qasjeje të orientuar drejt shërbimit duke përdorur zgjidhës të specializuar të ekuacioneve Boolean. Punimi ofron një shembull të zbatimit të metodës së kufizimit Boolean bazuar në një qasje të orientuar drejt shërbimit për kërkimin e cikleve dhe gjendjeve të ekuilibrit në rrjetet rregullatore të gjeneve.
Duhet të theksohet se metoda e kufizimeve Boolean është një metodë mjaft e përgjithshme për analizën cilësore të DDS në një interval kohor të fundëm. Është i zbatueshëm jo vetëm për sistemet autonome, por edhe për sistemet me hyrje kontrolli, për sistemet me një thellësi memorie më të madhe se një, për DDS pamje e përgjithshme, kur funksioni i tranzicionit është i pazgjidhshëm në lidhje me gjendjen xt dhe ka formën F(xt, xt-1) = 0. Për DDS me hyrje, vetia e kontrollueshmërisë dhe variacionet e saj të ndryshme janë të një rëndësie të veçantë. Përveç problemeve të analizës DDS, metoda e kufizimeve Boolean është e zbatueshme për problemet e sintezës së reagimit (statike ose dinamike, sipas gjendjes ose me hyrje), duke siguruar përmbushjen e vetive dinamike të kërkuara në sistemin e sintetizuar.
Studimi u mbështet nga Fondacioni Rus për Kërkime Bazë, projekti nr. 18-07-00596/18.
Lidhje bibliografike
Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. METODA E KUFIZIMEVE BOOLEAN NË ANALIZËN CILËSORE TË SISTEMEVE DINAMIKE BINARE // Revistë ndërkombëtare kërkimi i aplikuar dhe themelor. – 2018. – Nr.9. – F. 19-29;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (data e hyrjes: 03/18/2020). Ne sjellim në vëmendjen tuaj revistat e botuara nga shtëpia botuese "Akademia e Shkencave të Natyrës"
Automatizimi dhe telemekanika, L-1, 2007
RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j
© 2007 Yu.S. POPKOV, Doktor i Inxhinierisë. Shkenca (Instituti analiza e sistemit RAS, Moskë)
ANALIZA CILËSORE E SISTEMEVE DINAMIKE ME OPERATOR Vd-ENTROPI
Propozohet një metodë për studimin e ekzistencës, unike dhe lokalizimit të pikave singulare të klasës së konsideruar të DSEO. Janë marrë kushtet për stabilitet "në të vogla" dhe "në të mëdha". Janë dhënë shembuj të zbatimit të kushteve të fituara.
1. Hyrje
Shumë probleme të modelimit matematik të proceseve dinamike mund të zgjidhen bazuar në konceptin e sistemeve dinamike me operator entropie (DSEO). DSEO është një sistem dinamik në të cilin jolineariteti përshkruhet nga problemi parametrik i maksimizimit të entropisë. Feio-miologjikisht, DSEO është një model i një makrosistemi me vetë-riprodhim "të ngadaltë" dhe shpërndarje "të shpejtë" të burimeve. Disa veti të DSEO janë studiuar në. Kjo punë vazhdon ciklin e kërkimit mbi vetitë cilësore të DSEO.
Ne konsiderojmë një sistem dinamik me operatorin e entropisë Vd:
^ = £(x,y(x)), x e En:
y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.
Në këto shprehje:
C(x,y), c(x) janë funksione vektoriale vazhdimisht të diferencueshme;
Entropia
(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;
T - (r x w)-matrica me elemente ^ 0 ka rang të plotë të barabartë me r;
Funksioni vektorial q(x) supozohet të jetë vazhdimisht i diferencueshëm, bashkësia ^ ^^ ^e ngjitur q është një paralelipiped pozitiv
(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,
ku a- dhe a + janë vektorë nga E+, dhe a- është një vektor me komponentë të vegjël.
Përdorimi i paraqitjes së njohur të operatorit të entropisë në termat e shumëzuesve Lagranzh. Le ta transformojmë sistemin (1.1) në formën e mëposhtme:
- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+
Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-
O(x,z) = Ty(z) = d(x),
ku rk = exp(-Ak) > 0 janë shumëzues eksponencial të Lagranzhit.
Së bashku me DSEO të formës së përgjithshme (1.1), ne do të shqyrtojmë ndjekjen e klasifikimit të dhënë në.
DSEO me rrjedhje të ndashme:
(1-5) ^ = I(x) + Ву(r),
ku B(n x m)-matricë;
DSEO me rrjedhë shumëzuese:
(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab
ku Ш është një matricë (n x m) me elementë jonegativë, a është një vektor me komponentë pozitivë, ® është shenja e shumëzimit të koordinatave.
Objektivi i kësaj pune është të studiojë ekzistencën, veçantinë dhe lokalizimin e pikave singulare të DSEO dhe qëndrueshmërinë e tyre.
2. Pikat njëjës
2.1. Ekzistenca
Le të shqyrtojmë sistemin (1.4). Pikat singulare të këtij sistemi dinamik përcaktohen nga ekuacionet e mëposhtme:
(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;
(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:
(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.
Le të shqyrtojmë së pari sistemin ndihmës të ekuacioneve:
(2.4) C(d,r) = g, d e R,
ku bashkësia R përcaktohet nga barazia (1.3) dhe C(d,r) është një funksion vektorial me komponentë
(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.
Ekuacioni (2.4) ka një zgjidhje unike r* për çdo vektor fiks d, e cila rrjedh nga vetitë e operatorit të entropisë Vd (shih).
Nga përkufizimi i përbërësve të funksionit vektorial C(d,r) ekziston një vlerësim i qartë:
(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:
Zgjidhjen e ekuacionit të parë ta shënojmë me r+ dhe të dytin me r-. Le të përcaktojmë
(2.7) C (a+,z) = z, C(a
(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk
dhe vektorët r-dimensionale
(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).
Lema 2.1. Për të gjitha q G Q (1 . 3) zgjidhjet z*(q) të ekuacionit (2.4) i përkasin, vektori 1 në segmentin
zmin< z*(q) < zmax,
ku vektorët zmin dhe zmax përcaktohen nga shprehjet (2.7)-(2.9).
Vërtetimi i teoremës është dhënë në Shtojcë. Qq
qk(x) (1.3) për x G Rn, atëherë
Përfundimi 2.1. Le të plotësohen kushtet e Lemës 2.1 dhe funksionet qk(x) të plotësojnë kushtet (1.3) për të gjithë ex x G Rn. Atëherë për të gjithë x G Rm zgjidhjet z* të ekuacionit (2.3) i përkasin segmentit vektorial
zmin< z* < zmax
Le t'i kthehemi tani ekuacioneve (2.2). të cilat përcaktojnë përbërësit e funksionit vektorial y(z). Elementet e Jakobianit të saj kanë formën
(2.10) jb aj zk JJ & > 0
për të gjitha z G R+ përveç 0 dhe f. Rrjedhimisht, funksioni vektorial y(z) është rreptësisht në rritje monotonike. Sipas Lemës 2.1, ajo kufizohet poshtë dhe sipër, d.m.th. për të gjitha z G Rr (prandaj, për të gjitha x G Rn) vlerat e tij i përkasin grupit
(2.11) Y = (y: y-< y < y+},
ku përbërësit e vektorëve yk, y+ përcaktohen nga shprehjet:
(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.
(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,
Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë në (2.1) dhe ta rishkruajmë atë në formën:
(2.14) L(x,y) = 0 për të gjithë y e Y C E^.
Ky ekuacion përcakton varësinë e ndryshores x nga ndryshorja y, që i përket Y
ne (1.4) redukton në ekzistencën e një funksioni të nënkuptuar x(y) të përcaktuar nga ekuacioni (2.14).
Lema 2.2. Le të plotësohen kushtet e mëposhtme:
a) funksioni vektorial L(x,y) është i vazhdueshëm në bashkësinë e ndryshoreve;
b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;
c) det J (x, y) = 0 për të gjithë ex x e Ep për çdo y e Y të caktuar.
Pastaj ekziston një funksion unik i nënkuptuar x*(y) i përcaktuar në Y. Në këtë lemë, J(x, y) është një jakobian me elemente
(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.
Prova është dhënë në shtojcë. Nga lemat e mësipërme rrjedh
Teorema 2.1. Le të plotësohen kushtet e Lemave 2.1 dhe 2.2. Pastaj ekziston një pikë unike unike e DSEO (1.4) dhe, në përputhje me rrethanat, (1.1).
2.2. Lokalizimi
Me studimin e lokalizimit të një pike njëjës nënkuptojmë mundësinë e vendosjes së intervalit në të cilin ndodhet. Kjo detyrë nuk është shumë e thjeshtë, por për një klasë të caktuar të DSEO mund të vendoset një interval i tillë.
Le t'i drejtohemi grupit të parë të ekuacioneve në (2.1) dhe t'i paraqesim ato në formë
(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,
ku y- dhe y+ përcaktohen nga barazitë (2.12), (2.13).
Teorema 2.2. Le të jetë funksioni vektorial L(x,y) vazhdimisht i diferencueshëm dhe në rritje monotonike në të dy variablat, d.m.th.
-- > 0, -- > 0; i, l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj
Atëherë zgjidhja e sistemit (2.16) në lidhje me ndryshoren x i përket intervalit (2.17) xmin х x х xmax,
a) vektorët xmin, xmax kanë formën
Min = i x 1 xmax = r x t;
\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):
xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;
6) x- dhe x+ - përbërës të zgjidhjes për ekuacionet e mëposhtme
(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0
me oo m me te vertete.
Vërtetimi i teoremës është dhënë në Shtojcë.
3. Stabiliteti i DSEO "në të vogla"
3.1. DSEO me rrjedhje të ndashme Le t'i drejtohemi ekuacioneve të DSEO me rrjedhje të ndashme, duke i paraqitur ato në formën:
- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab
U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1,"~ 8 = 1
0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.
Këtu vlerat e përbërësve të funksionit vektorial d(x) i përkasin grupit Q (1.3), matrica (n x w) B ka një renditje të plotë të barabartë me n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.
Sistemi në shqyrtim le të ketë një pikë njëjës x. Për të studiuar qëndrueshmërinë e kësaj pike njëjës "në të vogël" ndërtojmë një sistem të linearizuar
ku A është një matricë (n x n), elementet e së cilës llogariten në pikën x dhe vektori £ = x - x. Sipas ekuacionit të parë në (3.1), matrica e sistemit të linearizuar ka
A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x), x = g (x),
| 3 = 1, w, k = 1,
I k = 1,g, I = 1,p
Nga (3.1) përcaktohen elementet e matricës Vr: DN.
"bkz P" 8=1
3, g8 x8, 5 1, g.
Për të përcaktuar elementet e matricës Zx, i drejtohemi grupit të fundit të ekuacioneve në (3.1). Është treguar se këto ekuacione përcaktojnë një funksion vektorial të nënkuptuar r(x), i cili është vazhdimisht i diferencueshëm nëse funksioni vektorial d(x) është vazhdimisht i diferencueshëm. Jakobian Zx i funksionit vektorial r(x) përcaktohet nga ekuacioni
<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),
vg (X) = T Ug (X),
ddk, -t-, -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\
Nga ky ekuacion kemi (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).
Zëvendësimi i këtij rezultati në barazi (3.3). marrim:
A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).
Kështu, ekuacioni i sistemit të linearizuar merr formën
(z.i) | = (j+p)e
Këtu elementet e matricave J, P llogariten në pikën njëjës. Kushtet e mjaftueshme për stabilitet “në DSEO të vogla” (3.1) përcaktohen nga sa vijon
Teorema 3.1. DSEO (3.1) ka një pikë të qëndrueshme "në të vogël" njëjës x nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:
a) matricat J, P (3.10) të sistemit të linearizuar (3.11) kanë eigenvlera reale dhe të dallueshme, dhe matrica J ka vlerën vetjake maksimale
Ptah = max Pg > 0,
Wmax = max Ui< 0;
Umax + Ptah<
Nga kjo teoremë dhe barazi (3.10) del se për pikat njëjës për të cilat Qx(x) = 0 dhe (ose) për X, = 0 dhe tkj ^ 1 për të gjitha k,j nuk plotësohen kushtet e mjaftueshme të teoremës.
3.2. DSEO me rrjedhje shumëzuese Merrni parasysh ekuacionin (1.6). duke i paraqitur në formën:
X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;
yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;
(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts
Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.
sistemeve. Do të ketë:
(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).
Në këtë shprehje, diagnoza C] është një matricë diagonale me elemente pozitive a1,..., an, Vr, Zx - matrica të përcaktuara nga barazitë (3.4)-(3.7).
Le të paraqesim matricën A në formë
(3.14) A = diag+P (x),
(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).
Shënojmë: maxi ai = nmax dhe wmax është eigenvlera maksimale e matricës P(x) (3.15). Atëherë Teorema 3.1 është gjithashtu e vlefshme për DSEO (1.6). (3.12).
4. Stabiliteti i DSEO "në përgjithësi"
Le të kthehemi te ekuacionet DESO (1.4), në të cilat vlerat e përbërësve të funksionit vektorial q(x) i përkasin grupit Q (1.3). Në sistemin në shqyrtim ekziston një pikë njëjës Z, e cila korrespondon me vektorët z(x) = z ^ z- > 0 dhe
y(x) = y(z) = y > y- > 0.
Le të prezantojmë vektorët e devijimeve £, C, П nga pika njëjës: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.
ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009
Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm
Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.
Postuar në http://www.allbest.ru/
Ushtrimi
kontrolloni frekuencën automatike të nyquist
Analizoni vetitë dinamike të sistemit të kontrollit automatik të specifikuar nga diagrami bllok i paraqitur në Figurën 1, duke përfshirë fazat e mëposhtme:
Përzgjedhja dhe arsyetimi i metodave të kërkimit, ndërtimi i një modeli matematikor të sistemeve të kontrollit automatik;
Pjesa llogaritëse, duke përfshirë modelimin matematik të sistemeve të kontrollit automatik në një kompjuter;
Analiza e stabilitetit të modelit matematik të objektit të kontrollit dhe sistemit të kontrollit automatik;
Studimi i qëndrueshmërisë së modelit matematik të objektit të kontrollit dhe sistemit të kontrollit automatik.
Bllok diagrami i ACS në studim, ku funksionet e transferimit të objektit të kontrollit (OU), aktivizuesit (AM), sensorit (D) dhe pajisjes korrigjuese (CU)
Vlerat e koeficientëve K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 dhe T4 janë dhënë në tabelën 1.
Opsioni për caktimin e lëndëve
|
Opsione |
|||||||
Prezantimi
Dizajni i automatizimit është një nga fushat më komplekse dhe më të rëndësishme në inxhinieri, prandaj njohja e bazave të automatizimit, një ide e nivelit të automatizimit në procese të ndryshme teknologjike, mjetet e automatizimit të përdorura dhe bazat e projektimit janë kushte të nevojshme për punë e suksesshme e inxhinierëve dhe teknologëve. Funksionimi normal i çdo procesi teknologjik karakterizohet nga vlera të caktuara të parametrave, dhe funksionimi ekonomik dhe i sigurt i pajisjes sigurohet duke ruajtur parametrat operacionalë brenda kufijve të kërkuar. Për qëllime të funksionimit normal të pajisjeve, si dhe zbatimin e procesit të kërkuar teknologjik në çdo instalim termik, është e nevojshme të përfshihen mjete automatizimi në zhvillimet e projektimit. Aktualisht, sistemet e kontrollit automatik po përdoren gjithnjë e më shumë në të gjithë sektorët e ekonomisë kombëtare, duke përfshirë edhe bujqësinë. Kjo nuk është për t'u habitur, pasi automatizimi i proceseve teknologjike karakterizohet nga zëvendësimi i pjesshëm ose i plotë i operatorit njerëzor me mjete të veçanta teknike të monitorimit dhe kontrollit. Mekanizimi, elektrifikimi dhe automatizimi i proceseve teknologjike sigurojnë një ulje të peshës së punës fizike të rëndë dhe të pakualifikuar në bujqësi, gjë që çon në një rritje të produktivitetit të saj.
Kështu, nevoja për të automatizuar proceset teknologjike është e dukshme dhe ekziston nevoja për të mësuar se si të llogariten parametrat e sistemeve të kontrollit automatik (ACS) për zbatimin e mëvonshëm të njohurive të tyre në praktikë.
Puna e kursit përfshin një analizë të vetive dinamike të një diagrami të caktuar strukturor të një sistemi kontrolli automatik me përpilimin dhe analizën e modeleve matematikore të objekteve të kontrollit.
1 . Analiza e stabilitetit të ACS duke përdorur kriterin Nyquist
Për të gjykuar stabilitetin e një sistemi kontrolli automatik, nuk ka nevojë të përcaktohen vlerat e sakta të rrënjëve të ekuacionit të tij karakteristik. Prandaj, një zgjidhje e plotë e ekuacionit karakteristik të sistemit është qartësisht e panevojshme dhe ne mund të kufizohemi në përdorimin e një ose një tjetër kriteri të stabilitetit indirekt. Në veçanti, nuk është e vështirë të tregohet se për stabilitetin e një sistemi është e nevojshme (por jo e mjaftueshme) që të gjithë koeficientët e ekuacionit të tij karakteristik të kenë të njëjtën shenjë ose mjafton që pjesët reale të të gjitha rrënjëve të ekuacionit karakteristik. janë negative. Nëse pjesët reale të të gjitha rrënjëve të ekuacionit karakteristik nuk janë negative, atëherë për të përcaktuar qëndrueshmërinë e këtij ACS është e nevojshme të studiohet duke përdorur kritere të tjera, pasi nëse funksioni i transferimit sipas kriterit të mësipërm i përket një blloku të paqëndrueshëm në të cilin emëruesi ka rrënjë me pjesë reale pozitive, atëherë nëse plotësohen disa kushte, sistemi i mbyllur mund të jetë i qëndrueshëm edhe në këtë rast.
Më i përshtatshmi për studimin e stabilitetit të shumë sistemeve të kontrollit të procesit është kriteri i qëndrueshmërisë Nyquist, i cili formohet si më poshtë.
Një sistem që është i qëndrueshëm në gjendje të hapur do të mbetet i qëndrueshëm edhe pasi të mbyllet nga reagimet negative, nëse hodografi CFC në gjendje të hapur W(jш) nuk mbulon një pikë me koordinata (-1; j0) në planin kompleks. .
Në formulimin e mësipërm të kriterit Nyquist, konsiderohet se hodografi CFC W(jш) "nuk mbulon" pikën (-1; j0) nëse këndi i përgjithshëm i rrotullimit të vektorit është tërhequr nga pika e specifikuar në hodograf. W(jш) është e barabartë me zero kur frekuenca ndryshon nga у=0 në sh > ?.
Nëse hodografi i përgjigjes së frekuencës W(jш) në një frekuencë të caktuar, e quajtur frekuenca kritike schk, kalon në pikën (-1; j0), atëherë procesi kalimtar në një sistem të mbyllur paraqet lëkundje të pamposhtura me një frekuencë schk, d.m.th. Sistemi e gjen veten në kufirin e stabilitetit të shprehur si më poshtë:
Këtu W(p) është funksioni i transferimit të sistemit të kontrollit automatik me qark të hapur. Le të supozojmë se sistemi i hapur është i qëndrueshëm. Më pas, për qëndrueshmërinë e një sistemi kontrolli automatik me qark të mbyllur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që hodografi i karakteristikës amplitudë-fazore W(jw) të sistemit me qark të hapur (kjo karakteristikë merret nga W(p) duke zëvendësuar p=jw) nuk e mbulon pikën me koordinata (-1, j0). Frekuenca në të cilën |W(jw)| = 1, quhet frekuenca e ndërprerjes (w cf).
Për të vlerësuar se sa larg është sistemi nga kufiri i stabilitetit, është prezantuar koncepti i marzheve të stabilitetit. Marzhi i qëndrueshmërisë në amplitudë (moduli) tregon se sa herë është e nevojshme të ndryshohet gjatësia e vektorit të rrezes së hodografit AFC në mënyrë që të sjellë sistemin në kufirin e qëndrueshmërisë pa ndryshuar zhvendosjen e fazës. Për sisteme absolutisht të qëndrueshme, moduli i marzhit të qëndrueshmërisë DK llogaritet duke përdorur formulën:
ku frekuenca w 0 përcaktohet nga relacioni arg W(jw 0) = - 180 0.
Marzhi i qëndrueshmërisë për amplituda DK llogaritet gjithashtu duke përdorur formulën:
DK = 1 - K 180;
ku K 180 është vlera e koeficientit të transmetimit në një zhvendosje fazore prej -180°.
Nga ana tjetër, marzhi i qëndrueshmërisë së fazës tregon se sa është e nevojshme të rritet vlera absolute e argumentit AFC në mënyrë që ta çoni sistemin në kufirin e qëndrueshmërisë pa ndryshuar vlerën e modulit.
Marzhi i stabilitetit fazor Dj llogaritet me formulën:
Dj = 180° - j K=1 ;
ku j K=1 është vlera e zhvendosjes së fazës në koeficientin e transmetimit K = 1;
Vlera Dj = 180 0 + arg W (j; w av) përcakton kufirin e qëndrueshmërisë së fazës. Nga kriteri Nyquist rrjedh se një ACS që është e qëndrueshme në gjendje të hapur do të jetë e qëndrueshme në gjendje të mbyllur nëse zhvendosja e fazës në frekuencën e ndërprerjes nuk arrin -180°. Përmbushja e këtij kushti mund të verifikohet duke ndërtuar karakteristikat logaritmike të frekuencës së një sistemi kontrolli automatik me lak të hapur.
2. Studimi i qëndrueshmërisë së ACS duke përdorur kriterin Nyquist
Studimi i stabilitetit sipas kriterit Nyquist duke analizuar AFC me një ACS të hapur. Për ta bërë këtë, ne thyejmë sistemin siç tregohet në diagramin bllok të ACS në studim:
Bllok diagrami i armës vetëlëvizëse në studim
Më poshtë janë funksionet e transferimit të objektit të kontrollit (OU), aktivizuesit (AM), sensorit (D) dhe pajisjes korrigjuese (CU):
Vlerat e koeficientit për detyrën janë si më poshtë:
K1 =1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.
Le të llogarisim funksionin e transferimit pasi sistemi të prishet:
W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);
W(p) = H H H
Duke zëvendësuar koeficientët e dhënë në funksion, marrim:
Duke analizuar këtë funksion në programin e modelimit matematik (“MATLAV”), marrim hodografinë e përgjigjes amplitudë-fazë-frekuencë (APFC) të ACS me lak të hapur në planin kompleks, të paraqitur në figurë.
Hodograf i përgjigjes së frekuencës fazore të një sistemi kontrolli automatik me qark të hapur në një plan kompleks.
Studimi i qëndrueshmërisë së armëve vetëlëvizëse bazuar në AFFC
Ne llogarisim koeficientin e transmetimit për një zhvendosje fazore prej -180 °, K 180 = 0.0395.
Marzhi i qëndrueshmërisë për amplituda DK sipas formulës:
DK = 1 - K 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; ku K 180 = 0,0395.
Le të përcaktojmë kufirin e fazës Dj:
Marzhi i qëndrueshmërisë së fazës Dj përcaktohet me formulën: Dj = 180° - j K=1 ; ku j K=1 është vlera e zhvendosjes së fazës në koeficientin e transmetimit K = 1. Por duke qenë se në rastin tonë nuk vërehet j K=1 (amplituda është gjithmonë më e vogël se uniteti), atëherë sistemi në studim është i qëndrueshëm në çdo vlerë të zhvendosjes së fazës (ACS është e qëndrueshme në të gjithë intervalin e frekuencës).
Studimi i qëndrueshmërisë së armëve vetëlëvizëse duke përdorur karakteristika logaritmike
Përgjigja logaritmike e amplitudës-frekuencës së një sistemi kontrolli automatik me lak të hapur
Karakteristikë logaritmike e frekuencës së fazës së një sistemi kontrolli automatik me lak të hapur
Duke përdorur programin e modelimit matematikor (“MATLAB”), marrim karakteristikat logaritmike të ACS-së së studiuar, të cilat janë paraqitur në figurën 4 (karakteristika logaritmike amplitudë-frekuencë) dhe figurën 5 (karakteristika logaritmike faze-frekuencë), ku;
L(w) = 20lg|W (j; w) |).
Kriteri logaritmik për qëndrueshmërinë e një ACS është një shprehje e kriterit të Nyquist në formë logaritmike.
Për të gjetur vlerën e zhvendosjes së fazës prej 180° (Figura 5), vizatoni një vijë horizontale në kryqëzimin me LFCH, nga kjo pikë kryqëzimi vizatoni një vijë vertikale në kryqëzimin me LFCH (Figura 4). Ne marrim vlerën e koeficientit të transmetimit për një zhvendosje fazore prej 180°:
20lgК 180° = - 28,05862;
në këtë rast K 180 ° = 0,0395 (DK" = 28,05862).
Marzhi i qëndrueshmërisë së amplitudës gjendet duke zgjatur vijën vertikale në vlerën 20lgК 180° = 0.
Për të gjetur kufirin e qëndrueshmërisë së fazës, një vijë horizontale kalohet përgjatë vijës 20lgК 180 ° = 0 në kryqëzimin me LFC dhe një vijë vertikale kalohet nga kjo pikë në kryqëzimin me LFC. Në këtë rast, diferenca midis vlerës së gjetur të zhvendosjes së fazës dhe një zhvendosje fazore të barabartë me 180° do të jetë marzhi i qëndrueshmërisë së fazës.
Dj = 180° - j K;
Dj = 180° - 0 = 180°.
ku: j K - vlera e gjetur e zhvendosjes fazore;
Meqenëse LFCH e armës vetëlëvizëse në studim shtrihet nën vijën 20logK 180° = 0, prandaj arma vetëlëvizëse do të ketë një diferencë të stabilitetit fazor për çdo vlerë të zhvendosjes së fazës nga zero në 180°.
Përfundim: pas analizimit të LFC dhe LFFC, rezulton se ACS në studim është i qëndrueshëm në të gjithë diapazonin e frekuencave.
konkluzioni
Në këtë punim të kursit, u sintetizua dhe u studiua një sistem gjurmues instrumentesh duke përdorur metoda dhe mjete moderne të teorisë së kontrollit. Në këtë punë llogaritëse dhe grafike, ne gjetëm funksionin e transferimit të një sistemi kontrolli automatik me qark të mbyllur duke përdorur një diagram të caktuar strukturor dhe shprehje të njohura për funksionet e transferimit të lidhjeve dinamike.
Bibliografi
1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Automatizimi i proceseve teknologjike. Libër mësuesi për universitetet. Moska. "Spike", 2004.
2. V.S. Gutnikov. Elektronika e integruar në pajisjet matëse. "Energoatomizdat". Dega e Leningradit, 1988.
3. N.N. Ivashçenko. Rregullimi automatik. Teoria dhe elementet e sistemeve. Moska. "Inxhinieri Mekanike", 1978.
Postuar në Allbest.ru
...Dokumente të ngjashme
Përcaktimi i funksioneve të transferimit dhe karakteristikave kalimtare të lidhjeve të sistemit të kontrollit automatik. Ndërtimi i karakteristikave amplituda-fazore. Vlerësimi i stabilitetit të sistemit. Zgjedhja e një pajisje korrigjimi. Treguesit e cilësisë së rregullores.
puna e kursit, shtuar 21.02.2016
Studimi i sistemit të kontrollit të shpejtësisë së motorit me dhe pa qark korrigjimi. Vlerësimi i stabilitetit të sistemit duke përdorur kriteret Hurwitz, Mikhailov dhe Nyquist. Ndërtimi i karakteristikave logaritmike amplitudë-frekuencë dhe faza-frekuencë.
puna e kursit, shtuar 22.03.2015
Zhvillimi i një diagrami skematik të një modeli kryesor matematikor elektrik të një sistemi kontrolli automatik, të korrigjuar nga pajisjet korrigjuese. Vlerësimi i qëndrueshmërisë së sistemit origjinal me metodën Routh-Hurwitz. Sinteza e përgjigjes së dëshiruar të frekuencës.
puna e kursit, shtuar 24.03.2013
Karakteristikat e objektit të kontrollit (daulle e bojlerit), projektimi dhe funksionimi i sistemit të kontrollit automatik, diagrami i tij funksional. Analiza e stabilitetit të sistemit duke përdorur kriteret Hurwitz dhe Nyquist. Vlerësimi i cilësisë së menaxhimit bazuar në funksionet e tranzicionit.
puna e kursit, shtuar 13/09/2010
Qëllimi i sistemit të kontrollit automatik për ushqimin e kryqëzuar gjatë bluarjes me prerje zhytjeje. Ndërtimi i një diagrami funksional. Llogaritja e funksioneve të transferimit të konvertuesit, motorit elektrik, kutisë së shpejtësisë. Përcaktimi i qëndrueshmërisë duke përdorur kriterin Nyquist.
puna e kursit, shtuar 08/12/2014
Metodologjia për përcaktimin e qëndrueshmërisë së një sistemi duke përdorur kriteret algjebrike (kriteret Rouse dhe Hurwitz) dhe kriteret e stabilitetit të frekuencës (kriteret Mikhailov dhe Nyquist), duke vlerësuar saktësinë e rezultateve të tyre. Karakteristikat e përpilimit të një funksioni transferimi për një sistem të mbyllur.
punë laboratorike, shtuar 15.12.2010
Ndërtimi i një qarku elementar dhe studimi i parimit të funksionimit të sistemit të kontrollit automatik, rëndësia e tij në zbatimin e metodës së rregullimit të sistemit të AIDS. Elementet kryesore të sistemit dhe marrëdhëniet e tyre. Analiza e qëndrueshmërisë së qarkut dhe frekuencave optimale të tij.
test, shtuar 09/12/2009
Përcaktimi i funksionit të transferimit të një sistemi të hapur, forma standarde e regjistrimit të tij dhe shkalla e astatizmit. Studimi i karakteristikave amplituda-fazore, reale dhe imagjinare të frekuencës. Ndërtimi i hodografit AFFC. Kriteret algjebrike të Routh dhe Hurwitz.
puna e kursit, shtuar 05/09/2011
Futja e funksioneve të reja që ndikojnë në funksionimin e një stacioni të qarkullimit të pompës në një fabrikë çeliku. Instalimi i pajisjeve të kontrollit dhe matjes. Kriteret e stabilitetit të Mikhailov dhe kriteret e Nyquist të fazës amplitudë. Modernizimi i sistemit.
tezë, shtuar 19.01.2017
Diagrami funksional i sistemit për kontrollin automatik të temperaturës së ajrit të furnizimit në një objekt magazinimi të patates. Përkufizimi i ligjit të rregullimit të sistemit. Analiza e stabilitetit duke përdorur kriteret Hurwitz dhe Nyquist. Cilësia e menaxhimit për funksionet kalimtare.
KINETIKA E PROCESEVE BIOLOGJIKE
Si mund ta përshkruajmë dinamikën e sistemeve biologjike? Në çdo moment në kohë, një sistem biologjik ka një sërë karakteristikash të caktuara. Për shembull, duke vëzhguar një popullatë të një specie, ju mund të regjistroni madhësinë e saj, sipërfaqen e zënë nga territori, sasinë e ushqimit në dispozicion, temperaturën e ambientit, etj. Ecuria e një reaksioni kimik mund të karakterizohet nga përqendrimet e substancat e përfshira, presioni, temperatura dhe niveli i aciditetit të mjedisit. Grupi i vlerave të të gjitha karakteristikave që studiuesi ka zgjedhur për të përshkruar sistemin është gjendja e sistemit në çdo moment në kohë. Kur krijoni një model, variablat dhe parametrat zgjidhen nga popullata e specifikuar. Variabla janë ato sasi, ndryshimet e të cilave janë kryesisht me interes për studiuesin, parametrat janë kushtet e "mjedisit të jashtëm". Pikërisht për variablat e përzgjedhur hartohen ekuacione që pasqyrojnë modelet e ndryshimit në sistem me kalimin e kohës. Për shembull, kur krijohet një model për rritjen e një kulture mikrobike, numri i tij zakonisht përdoret si një variabël dhe shkalla e riprodhimit të tij zakonisht përdoret si parametër. Ndoshta temperatura në të cilën ndodh rritja është e rëndësishme, atëherë ky tregues përfshihet gjithashtu në model si parametër. Dhe nëse, për shembull, niveli i ajrimit është gjithmonë i mjaftueshëm dhe nuk ka ndonjë efekt në proceset e rritjes, atëherë ai nuk përfshihet fare në model. Si rregull, parametrat mbeten të pandryshuar gjatë eksperimentit, megjithatë vlen të përmendet se kjo nuk është gjithmonë kështu.
Dinamika e një sistemi biologjik (d.m.th., ndryshimet në gjendjen e tij me kalimin e kohës) mund të përshkruhet duke përdorur modele diskrete dhe të vazhdueshme. Modelet diskrete supozojnë se koha është një sasi diskrete. Kjo korrespondon me regjistrimin e vlerave të variablave në intervale të caktuara fikse (për shembull, një herë në orë ose një herë në vit). Në modelet e vazhdueshme, ndryshorja biologjike është një funksion i vazhdueshëm i kohës, i shënuar p.sh. x(t).
Shpesh me rëndësi të madhe kushtet fillestare model – gjendja e karakteristikës në studim në momentin fillestar të kohës, d.m.th. në t = 0.
Kur studiohet ndryshimi i vazhdueshëm i disa karakteristikave x(t) mund të dimë informacion për shkallën e ndryshimit të tij. Ky informacion në përgjithësi mund të shkruhet në formën e një ekuacioni diferencial:
Ky shënim formal do të thotë se shkalla e ndryshimit të disa karakteristikave në studim është një funksion i kohës dhe madhësisë së kësaj karakteristike.
Nëse ana e djathtë e një ekuacioni diferencial të formës është qartësisht e pavarur nga koha, d.m.th. i drejtë:
atëherë quhet ky ekuacion autonome(Sistemi i përshkruar nga një ekuacion i tillë quhet autonome). Gjendja e sistemeve autonome në çdo moment në kohë karakterizohet nga një sasi e vetme - vlera e ndryshores x në këtë moment në kohë t.
Le t'i bëjmë vetes pyetjen: le të jepet një ekuacion diferencial për x(t), a është e mundur të gjenden të gjitha funksionet x(t) plotëson këtë ekuacion? Ose: nëse dihet vlera fillestare e një variabli të caktuar (për shembull, madhësia fillestare e popullsisë, përqendrimi i një substance, përçueshmëria elektrike e mjedisit, etj.) dhe ka informacion për natyrën e ndryshimit në këtë variabël. , a është e mundur të parashikohet se cila do të jetë vlera e tij në të gjitha pikat e mëvonshme të kohës? Përgjigja për pyetjen e parashtruar është si më poshtë: nëse jepen kushtet fillestare dhe plotësohen kushtet e teoremës së Cauchy për ekuacionin (një funksion i përcaktuar në një fushë të caktuar dhe derivati i tij i pjesshëm janë të vazhdueshëm në këtë fushë), atëherë ekziston një zgjidhje unike e ekuacionit që plotëson kushtet fillestare të dhëna. (Kujtojmë se çdo funksion i vazhdueshëm që plotëson një ekuacion diferencial quhet zgjidhje e atij ekuacioni.) Kjo do të thotë se ne mund të parashikojmë në mënyrë unike sjelljen e një sistemi biologjik nëse dihen karakteristikat e gjendjes fillestare dhe ekuacioni i modelit plotëson kushtet e Teorema e Cauchy-t.
Gjendje stacionare. Qëndrueshmëria
Do të shqyrtojmë ekuacionin diferencial autonom
Në një gjendje stacionare, vlerat e variablave në sistem nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, domethënë, shkalla e ndryshimit në vlerat e variablave është 0: . Nëse ana e majtë e ekuacionit (1.2) është e barabartë me zero, atëherë edhe ana e djathtë është e barabartë me zero: . Rrënjët e këtij ekuacioni algjebrik janë gjendjet stacionare ekuacioni diferencial (1.2).
Shembull 1.1: Gjeni gjendjet stacionare të ekuacionit.
Zgjidhje: Lëvizim termin që nuk përmban derivatin në anën e djathtë të barazisë: . Sipas përkufizimit, në një gjendje stacionare vlen barazia e mëposhtme: . Kjo do të thotë që barazia duhet të plotësohet 
. Ne zgjidhim ekuacionin:
,
Pra, ekuacioni ka 3 gjendje stacionare: , .
Sistemet biologjike përjetojnë vazhdimisht ndikime të ndryshme të jashtme dhe luhatje të shumta. Për më tepër, ato (sistemet biologjike) kanë homeostazë, d.m.th. të qëndrueshme. Në gjuhën matematikore, kjo do të thotë që variablat kthehen në vlerat e tyre stacionare me devijime të vogla. A do ta pasqyrojë modeli i tij matematik këtë sjellje të një sistemi biologjik? A janë të qëndrueshme gjendjet e palëvizshme të modelit?
Gjendja e qëndrueshme është të qëndrueshme, nëse, me një devijim mjaft të vogël nga pozicioni i ekuilibrit, sistemi nuk lëviz kurrë larg nga pika njëjës. Një gjendje e qëndrueshme korrespondon me një mënyrë të qëndrueshme të funksionimit të sistemit.
Gjendja e ekuilibrit të një ekuacioni është Lyapunov e qëndrueshme nëse për ndonjë është gjithmonë e mundur të gjendet e tillë që nëse, atëherë për të gjithë.
Ekziston një metodë analitike për studimin e stabilitetit të një gjendjeje të palëvizshme - metoda Lyapunov. Për ta justifikuar atë, le të kujtojmë formula e Taylor-it.
Thënë lirshëm, formula e Taylor-it tregon sjelljen e një funksioni në lagjen e një pike të caktuar. Le të ketë funksioni derivate të të gjitha urdhrave deri në n- th përfshirëse. Atëherë formula e Taylor është e vlefshme:
Duke hedhur poshtë termin e mbetur , i cili përfaqëson veten si një infinitezimal i një rendi më të lartë se , marrim formulën e përafërt të Taylor:
Ana e djathtë e formulës së përafërt quhet Polinom Taylor funksionet, shënohet si .
Shembull 1.2: Zgjero funksionin në një seri Taylor në një lagje të një pike deri në rendin e 4-të.
Zgjidhja: Le të shkruajmë serinë Taylor deri në rendin e 4-të në formën e përgjithshme:
Le të gjejmë derivatet e funksionit të dhënë në pikën:
,
Le të zëvendësojmë vlerat e marra në formulën origjinale:
Metoda analitike për studimin e qëndrueshmërisë së një gjendjeje të palëvizshme ( Metoda Lyapunov) është si më poshtë. Le të jetë gjendja e palëvizshme e ekuacionit. Le të vendosim një devijim të vogël të ndryshores x nga vlera e tij stacionare: , ku . Le të zëvendësojmë shprehjen për pikën x në ekuacionin origjinal: 
. Ana e majtë e ekuacionit do të marrë formën: 
, pasi në gjendje stacionare shpejtësia e ndryshimit të vlerës së ndryshores është zero: . Le të zgjerojmë anën e djathtë në një seri Taylor në afërsi të gjendjes së palëvizshme, duke marrë parasysh se, ne lëmë vetëm termin linear në anën e djathtë të ekuacionit:
Mora ekuacioni i linearizuar ose ekuacioni i përafrimit të parë. Sasia është një vlerë konstante, le ta shënojmë atë a: . Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të linearizuar ka formën: . Kjo shprehje përshkruan ligjin sipas të cilit devijimi që specifikojmë nga gjendja e palëvizshme do të ndryshojë me kalimin e kohës. Devijimi do të zbehet me kalimin e kohës, d.m.th. në , nëse eksponenti në eksponent është negativ, d.m.th. . Sipas përkufizimit, gjendja e qëndrueshme do të jetë të qëndrueshme. Nëse , atëherë me rritjen e kohës devijimi vetëm do të rritet, gjendja e palëvizshme është e paqëndrueshme. Në rastin kur ekuacioni i përafrimit të parë nuk mund t'i japë përgjigje pyetjes për qëndrueshmërinë e gjendjes së palëvizshme. Është e nevojshme të merren parasysh termat e rendit më të lartë në zgjerimin e serisë Taylor.
Përveç metodës analitike për studimin e qëndrueshmërisë së një gjendjeje të palëvizshme, ekziston edhe një grafike.
Shembulli 1.3. Le . Gjeni gjendjet stacionare të ekuacionit dhe përcaktoni llojin e qëndrueshmërisë së tyre duke përdorur grafikun e funksionit 
.
Zgjidhja: Le të gjejmë pika të veçanta:
,
,
Ndërtojmë një grafik të funksionit (Fig. 1.1).
Oriz. 1.1. Grafiku i një funksioni (shembulli 1.3).
Le të përcaktojmë nga grafiku nëse secila nga gjendjet stacionare të gjetura është e qëndrueshme. Le të vendosim një devijim të lehtë të pikës përfaqësuese nga pika njëjës në të majtë: . Në pikën me koordinatën, funksioni merr një vlerë pozitive: ose . Pabarazia e fundit do të thotë që me kalimin e kohës koordinata duhet të rritet, domethënë pika që përfaqëson duhet të kthehet në pikë. Tani le të vendosim një devijim të lehtë të pikës përfaqësuese nga pika njëjës në të djathtë: . Në këtë rajon, funksioni ruan një vlerë pozitive, prandaj, me kalimin e kohës, koordinata x gjithashtu rritet, domethënë, pika përfaqësuese do të largohet nga pika. Kështu, një devijim i vogël e nxjerr sistemin nga një gjendje stacionare, prandaj, sipas përkufizimit, një pikë njëjës është e paqëndrueshme. Arsyetimi i ngjashëm çon në faktin se çdo devijim nga pika njëjës zbehet me kalimin e kohës, dhe gjendja e palëvizshme është e qëndrueshme. Devijimi i pikës përfaqësuese në çdo drejtim nga gjendja e palëvizshme çon në largimin e saj nga pika; kjo është një gjendje stacionare e paqëndrueshme.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh diferenciale lineare
Le të kalojmë në studimin e sistemeve të ekuacioneve, së pari lineare. Në përgjithësi, një sistem ekuacionesh diferenciale lineare mund të përfaqësohet si:
Analiza e një sistemi ekuacionesh fillon me gjetjen e gjendjeve stacionare. Sistemet e tipit (1.3) kanë një pikë unike njëjës, koordinatat e saj janë (0,0). Përjashtim është rasti i degjeneruar kur ekuacionet mund të paraqiten si:
(1.3*)
Në këtë rast, të gjitha çiftet që plotësojnë relacionin janë pika stacionare të sistemit (1.3*). Në veçanti, pika (0,0) është gjithashtu e palëvizshme për sistemin (1.3*). Në rrafshin fazor në këtë rast kemi një vijë të drejtë me një koeficient të pjerrësisë që kalon nga origjina e koordinatave, secila pikë e së cilës është një pikë e vetme e sistemit (1.3*) (shih tabelën 1.1, paragrafi 6).
Pyetja kryesore që duhet të përgjigjet rezultati i studimit të një sistemi ekuacionesh është: a është e qëndrueshme gjendja e palëvizshme e sistemit dhe çfarë karakteri ka kjo zgjidhje (monotonike apo jo monotonike).
Vendim i përbashkët një sistem me dy ekuacione lineare ka formën:
Numrat karakteristikë mund të shprehet përmes koeficientëve të ekuacioneve lineare si më poshtë:
Numrat karakteristikë mund të jenë 1) real të shenjave të ndryshme, 2) real të së njëjtës shenjë, 3) të konjuguar kompleks, dhe gjithashtu, në raste të degjeneruara, 4) thjesht imagjinarë, 5) real që përputhen, 6) real, njëra prej të cilave (ose të dyja) është e barabartë me zero. Këto raste përcaktojnë llojin e sjelljes së zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh diferenciale të zakonshme. Portretet përkatëse fazore janë paraqitur në tabelën 1.1.
Tabela 1.1. Llojet e gjendjeve stacionare të një sistemi me dy ekuacione diferenciale lineare dhe portretet përkatëse fazore. Shigjetat tregojnë drejtimin e lëvizjes së pikës përfaqësuese
Ndërtimi i portreteve fazore dhe kinetike të një sistemi me dy ekuacione diferenciale lineare
Plani fazor quhet një rrafsh me boshte koordinative në të cilin vizatohen vlerat e variablave x Dhe y, çdo pikë e rrafshit i përgjigjet një gjendje të caktuar të sistemit. Një grup pikash në planin fazor, pozicioni i të cilave korrespondon me gjendjet e sistemit në procesin e ndryshimit të variablave me kalimin e kohës, sipas ekuacioneve të dhëna të sistemit në studim, quhet trajektorja e fazës. Seti i trajektoreve fazore për vlera të ndryshme fillestare të variablave jep një portret të sistemit. Ndërtimi portret fazor ju lejon të nxirrni përfundime në lidhje me natyrën e ndryshimeve në variabla x Dhe y pa njohuri për zgjidhjet analitike të sistemit origjinal të ekuacioneve.
Le të shqyrtojmë një sistem ekuacionesh diferenciale lineare:
Ne fillojmë të ndërtojmë një portret fazor duke ndërtuar izoklinat kryesore(izoklina është një vijë përgjatë gjithë gjatësisë së së cilës pjerrësia e kurbës së fazës (trajektorja), e përcaktuar nga ekuacioni, mbetet konstante). Për një sistem me dy ekuacione diferenciale lineare, këto janë gjithmonë vija të drejta që kalojnë përmes origjinës së koordinatave. Ekuacioni izoklinat e tangjentave horizontale: 
. Ekuacioni i izoklinës së tangjentave vertikale: 
. Për të ndërtuar më tej portretin fazor, është e dobishme të ndërtohet një izoklina e tangjentave që kalojnë në një kënd . Për të gjetur ekuacionin përkatës të izoklinës, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni 
. Ju gjithashtu mund të gjeni izoklina të tangjentave të këndeve të tjera duke përdorur vlerat e përafërta të tangjentave të këndeve. Në ndërtimin e një portreti fazor, mund të ndihmojë edhe përgjigjja e pyetjes se në çfarë këndi duhet të kryqëzojnë trajektoret e fazës me boshtet e koordinatave. Për ta bërë këtë, ekuacioni i izoklinës 
ne zëvendësojmë barazitë përkatëse (për të përcaktuar këndin e prerjes me boshtin OY) dhe (për të përcaktuar këndin e prerjes me boshtin OX).
Shembulli 1.4. Përcaktoni llojin e pikës njëjës të sistemit të ekuacioneve lineare:
Ndërtoni një portret fazor dhe kinetik të sistemit.
Zgjidhja: Koordinatat e pikës njëjës janë (0,0). Koeficientët e ekuacioneve lineare janë: , , , . Le të përcaktojmë llojin e gjendjes së palëvizshme (shiko seksionin mbi numrat karakteristik):
Kështu, rrënjët karakteristike janë imagjinare: prandaj, pika njëjës e sistemit linear në shqyrtim është e tipit qendror (Fig. 1.2a).
Ekuacioni i izoklinës së tangjentave horizontale: , ekuacioni i izoklinalit të tangjentave vertikale: . Në një kënd prej 45°, trajektoret e sistemit kryqëzojnë një vijë të drejtë 
.
Pas ndërtimit të portretit fazor, është e nevojshme të përcaktohet drejtimi i lëvizjes përgjatë trajektoreve të gjetura. Kjo mund të bëhet si më poshtë. Le të marrim një pikë arbitrare në çdo trajektore. Për shembull, në izoklinën e tangjentave horizontale (1,1). Le të zëvendësojmë koordinatat e kësaj pike në sistemin e ekuacioneve. Le të marrim shprehje për shkallët e ndryshimit të variablave x,y në këtë pikë:
Vlerat e marra tregojnë se shkalla e ndryshimit të ndryshores x– negative, pra vlera e tij duhet të ulet, dhe ndryshorja y nuk ndryshon. Ne shënojmë drejtimin që rezulton me një shigjetë. Kështu, në shembullin në shqyrtim, lëvizja përgjatë trajektoreve të fazës drejtohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Duke zëvendësuar koordinatat e pikave të ndryshme në sistem, mund të merrni një "hartë" të drejtimeve të shpejtësisë, të ashtuquajturat fushë vektoriale.
Figura 1.2. Portreti i fazës (a) dhe kinetik (b) i sistemit, shembulli 1.4
Vini re se në izoklinën e tangjentave horizontale ndryshorja y arrin vlerën maksimale ose minimale në një trajektore të caktuar. Përkundrazi, në izoklinën e tangjentave vertikale, ndryshorja arrin vlerën maksimale absolute për trajektoren e zgjedhur. x.
Të ndërtosh një portret kinetik të një sistemi do të thotë të ndërtosh grafikë të varësisë së vlerave të variablave. x,y nga koha. Duke përdorur portretin fazor, mund të ndërtoni një kinetik dhe anasjelltas. Një trajektore fazore korrespondon me një palë kthesa kinetike. Le të zgjedhim një pikë arbitrare në një trajektore fazore arbitrare në portretin fazor. Kjo është pika fillestare që korrespondon me momentin në kohë. Në varësi të drejtimit të lëvizjes në sistemin në shqyrtim, vlerat e variablave x,y ose ulet ose rritet. Le të jenë koordinatat e pikës së fillimit (1,1). Sipas portretit fazor të ndërtuar, duke u nisur nga kjo pikë, duhet të lëvizim në drejtim të kundërt të akrepave të orës, koordinatat x Dhe y në të njëjtën kohë do të ulet. Me kalimin e kohës, koordinata x kalon në 0, vlera y megjithatë ajo mbetet pozitive. Koordinata të mëtejshme x Dhe y vazhdojnë të ulen, koordinohem y kalon në 0 (vlera x sado negative). Madhësia x arrin një vlerë minimale në izoklinën e tangjentave vertikale, pastaj fillon të rritet. Madhësia y arrin vlerën e saj minimale në izoklinën e tangjentave horizontale (vlera x negative në këtë moment kohor). Më tej, madhësia x, dhe madhësisë y rritje, duke u kthyer në vlerat fillestare (Fig. 1.2b).
Studimi i qëndrueshmërisë së gjendjeve stacionare të sistemeve jolineare të rendit të dytë
Le të përshkruhet një sistem biologjik nga një sistem i dy ekuacioneve diferenciale autonome të rendit të dytë të formës së përgjithshme:
Vlerat stacionare të variablave të sistemit përcaktohen nga ekuacionet algjebrike:
Në fqinjësi të çdo gjendje të palëvizshme mund të konsiderojmë sistemi i parë i përafrimit(sistemi i linearizuar), studimi i të cilit mund t'i përgjigjet pyetjes për qëndrueshmërinë e një pike të vetme dhe natyrën e trajektoreve të fazës në lagjen e saj të vogël.
Jashtë
Ne kemi 
... pika e veçantë është e përafërt. Rrënjët karakteristike të sistemit të parë të përafrimit janë të barabarta me , të dyja janë reale dhe negative, prandaj, në afërsi të pikës zero njëjës, sjellja e trajektoreve fazore të sistemit do të korrespondojë me llojin e nyjës së qëndrueshme.