Le të jetë një matricë katrore e rendit të n-të
Matrica A -1 quhet matricë e anasjelltë në lidhje me matricën A, nëse A*A -1 = E, ku E është matrica e identitetit të rendit të n-të.
Matrica e identitetit- një matricë e tillë katrore në të cilën të gjithë elementët përgjatë diagonales kryesore, duke kaluar nga këndi i sipërm i majtë në këndin e poshtëm të djathtë, janë njësh, dhe pjesa tjetër janë zero, për shembull:
matricë e anasjelltë mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore ato. për ato matrica në të cilat numri i rreshtave dhe kolonave përputhet.
Teorema për kushtin e ekzistencës së një matrice të anasjelltë
Në mënyrë që një matricë të ketë një matricë të anasjelltë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë jo njëjës.
Matrica A = (A1, A2,...A n) quhet jo i degjeneruar, nëse vektorët e kolonës janë linearisht të pavarur. Numri i vektorëve të kolonës linearisht të pavarur të një matrice quhet rangu i matricës. Prandaj, mund të themi se për të ekzistuar një matricë e kundërt, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës të jetë i barabartë me dimensionin e saj, d.m.th. r = n.
Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt
- Shkruani matricën A në tabelën për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën Gaussian dhe caktojeni matricën E në të djathtë (në vend të anëve të djathta të ekuacioneve).
- Duke përdorur transformimet Jordan, reduktoni matricën A në një matricë të përbërë nga kolona njësi; në këtë rast, është e nevojshme të transformohet njëkohësisht matrica E.
- Nëse është e nevojshme, riorganizoni rreshtat (ekuacionet) e tabelës së fundit në mënyrë që nën matricën A të tabelës origjinale të merrni matricën e identitetit E.
- Shkruani matricën e kundërt A -1, e cila ndodhet në tabelën e fundit nën matricën E të tabelës origjinale.
Për matricën A, gjeni matricën e anasjelltë A -1
Zgjidhje: Shkruajmë matricën A dhe caktojmë matricën e identitetit E në të djathtë. Duke përdorur transformimet e Jordanit, reduktojmë matricën A në matricën e identitetit E. Llogaritjet janë dhënë në tabelën 31.1.
Le të kontrollojmë korrektësinë e llogaritjeve duke shumëzuar matricën origjinale A dhe matricën e kundërt A -1.
Si rezultat i shumëzimit të matricës, u mor matrica e identitetit. Prandaj, llogaritjet janë bërë në mënyrë korrekte.
Përgjigje: 
Zgjidhja e ekuacioneve të matricës
Ekuacionet e matricës mund të duken si:
AX = B, HA = B, AXB = C,
ku A, B, C janë matricat e specifikuara, X është matrica e dëshiruar.
Ekuacionet e matricës zgjidhen duke shumëzuar ekuacionin me matricat e anasjellta.
Për shembull, për të gjetur matricën nga ekuacioni, duhet ta shumëzoni këtë ekuacion me në të majtë.
Prandaj, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin, duhet të gjeni matricën e kundërt dhe ta shumëzoni atë me matricën në anën e djathtë të ekuacionit.
Ekuacionet e tjera zgjidhen në mënyrë të ngjashme.
Zgjidheni ekuacionin AX = B nëse 
Zgjidhje: Meqenëse matrica e kundërt është e barabartë me (shih shembullin 1)
Metoda e matricës në analizën ekonomike
Së bashku me të tjerat përdoren edhe ato metodat e matricës. Këto metoda bazohen në algjebër lineare dhe me matricë vektoriale. Metoda të tilla përdoren për qëllime të analizimit të dukurive ekonomike komplekse dhe shumëdimensionale. Më shpesh këto metoda përdoren kur është e nevojshme vlerësim krahasues funksionimin e organizatave dhe ndarjet strukturore të tyre.
Në procesin e aplikimit të metodave të analizës së matricës, mund të dallohen disa faza.
Në fazën e parë sistemi po formohet treguesit ekonomikë dhe mbi bazën e saj, përpilohet një matricë e të dhënave burimore, e cila është një tabelë në të cilën numrat e sistemit tregohen në rreshtat e tij individualë (i = 1,2,....,n), dhe në kolonat vertikale - numrat e treguesve (j = 1,2,....,m).
Në fazën e dytë Për secilën kolonë vertikale, identifikohet vlera më e madhe e treguesit në dispozicion, e cila merret si një.
Pas kësaj, të gjitha shumat e pasqyruara në këtë kolonë ndahen me vlerën më të madhe dhe formohet një matricë e koeficientëve të standardizuar.
Në fazën e tretë të gjithë komponentët e matricës janë në katror. Nëse ato kanë rëndësi të ndryshme, atëherë çdo treguesi të matricës i caktohet një koeficient i caktuar peshe k. Vlera e kësaj të fundit përcaktohet nga ekspertiza.
Në të fundit, faza e katërt gjetur vlerat e vlerësimit Rj grupohen sipas rritjes ose uljes së tyre.
Metodat e matricës të përshkruara duhet të përdoren, për shembull, kur analiza krahasuese projekte të ndryshme investimi, si dhe kur vlerësohen tregues të tjerë ekonomikë të organizatave.
Në këtë artikull do të flasim për metodën e matricës për zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare, do të gjejmë përkufizimin e tij dhe do të japim shembuj zgjidhjesh.
Përkufizimi 1
Metoda e matricës së kundërt është një metodë që përdoret për zgjidhjen e SLAE-ve nëse numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve.
Shembulli 1
Gjeni një zgjidhje për sistemin n ekuacionet lineare me n të panjohura:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Lloji i regjistrimit të matricës : A × X = B
ku A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n është matrica e sistemit.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - kolona e të panjohurave,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - kolona e koeficientëve të lirë.
Nga ekuacioni që morëm, është e nevojshme të shprehim X. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni të dy anët e ekuacionit të matricës në të majtë me A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B.
Meqenëse A - 1 × A = E, atëherë E × X = A - 1 × B ose X = A - 1 × B.
Komentoni
Matrica e anasjelltë ndaj matricës A ka të drejtë të ekzistojë vetëm nëse plotësohet kushti d e t A nuk është i barabartë me zero. Prandaj, kur zgjidhen SLAE duke përdorur metodën e matricës së kundërt, para së gjithash gjendet d e t A.
Në rast se d e t A nuk është e barabartë me zero, sistemi ka vetëm një opsion zgjidhjeje: duke përdorur metodën e matricës së kundërt. Nëse d e t A = 0, atëherë sistemi nuk mund të zgjidhet me këtë metodë.
Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e matricës së kundërt
Shembulli 2Ne e zgjidhim SLAE duke përdorur metodën e matricës së kundërt:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Si të zgjidhet?
- Sistemin e shkruajmë në formën e një ekuacioni matricor A X = B, ku
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- Ne shprehim X nga ky ekuacion:
- Gjeni përcaktuesin e matricës A:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A nuk është e barabartë me 0, prandaj metoda e zgjidhjes së matricës së kundërt është e përshtatshme për këtë sistem.
- Ne gjejmë matricën e kundërt A - 1 duke përdorur matricën aleate. Llogaritim plotësimet algjebrike A i j të elementeve përkatës të matricës A:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Ne shkruajmë matricën aleate A *, e cila është e përbërë nga plotësimet algjebrike të matricës A:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Ne shkruajmë matricën e kundërt sipas formulës:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Ne shumëzojmë matricën e kundërt A - 1 me kolonën e termave të lirë B dhe marrim një zgjidhje për sistemin:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Përgjigju : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Kjo temë është ndër më të urryerat mes studentëve. Më keq, ndoshta, janë kualifikueset.
Truku është se vetë koncepti i një elementi të anasjelltë (dhe nuk po flas vetëm për matricat) na referon në operacionin e shumëzimit. Edhe në kurrikulën e shkollës, shumëzimi konsiderohet një veprim kompleks dhe shumëzimi i matricave është përgjithësisht një temë më vete, të cilës i kam kushtuar një paragraf dhe video të tërë.
Sot nuk do të hyjmë në detajet e llogaritjeve të matricës. Le të kujtojmë vetëm: si përcaktohen matricat, si shumëzohen dhe çfarë rrjedh nga kjo.
Rishikimi: Shumëzimi i matricës
Para së gjithash, le të biem dakord për shënimin. Një matricë $A$ me madhësi $\majtas[ m\herë n \djathtas]$ është thjesht një tabelë numrash me saktësisht $m$ rreshta dhe $n$ kolona:
\=\nënbrace(\majtas[ \fillimi(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\fund (matricë) \djathtas])_(n)\]
Për të shmangur përzierjen aksidentale të rreshtave dhe kolonave (më besoni, në një provim mund të ngatërroni një me dy, e lëre më disa rreshta), thjesht shikoni foton:
Përcaktimi i indekseve për qelizat e matricës Cfare po ndodh? Nëse vendosni sistemin standard të koordinatave $OXY$ në të majtë këndi i sipërm dhe drejtojini boshtet në mënyrë që të mbulojnë të gjithë matricën, atëherë çdo qelizë e kësaj matrice mund të lidhet në mënyrë unike me koordinatat $\left(x;y\right)$ - ky do të jetë numri i rreshtit dhe numri i kolonës.
Pse sistemi i koordinatave vendoset në këndin e sipërm të majtë? Po, sepse prej andej fillojmë të lexojmë ndonjë tekst. Është shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.
Pse boshti $x$ është i drejtuar poshtë dhe jo djathtas? Përsëri, është e thjeshtë: merrni një sistem koordinativ standard (boshti $x$ shkon djathtas, boshti $y$ shkon lart) dhe rrotullojeni në mënyrë që të mbulojë matricën. Ky është një rrotullim 90 gradë në drejtim të akrepave të orës - ne e shohim rezultatin në foto.
Në përgjithësi, ne kemi kuptuar se si të përcaktojmë indekset e elementeve të matricës. Tani le të shohim shumëzimin.
Përkufizimi. Matricat $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$, kur numri i kolonave në të parën përkon me numrin e rreshtave në të dytën, janë quajtur konsistente.
Pikërisht në atë rend. Dikush mund të ngatërrohet dhe të thuhet se matricat $A$ dhe $B$ formojnë një çift të renditur $\left(A;B \djathtas)$: nëse ato janë të qëndrueshme në këtë renditje, atëherë nuk është aspak e nevojshme që $B $ dhe $A$ ato. çifti $\left(B;A \djathtas)$ është gjithashtu konsistent.
Vetëm matricat e përputhura mund të shumëzohen.
Përkufizimi. Prodhimi i matricave të përputhura $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$ është matrica e re $C=\majtas[ m\herë k \djathtas ]$ , elementet e të cilit $((c)_(ij))$ llogariten sipas formulës:
\[((c)_(ij))=\shuma\limits_(k=1)^(n)((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Me fjalë të tjera: për të marrë elementin $((c)_(ij))$ të matricës $C=A\cdot B$, ju duhet të merrni rreshtin $i$ të matricës së parë, $j$ -kolona e matricës së dytë, dhe më pas shumëzoni në çift elementet nga kjo rresht dhe kolonë. Shtoni rezultatet.
Po, ky është një përkufizim kaq i ashpër. Nga ajo rrjedhin menjëherë disa fakte:
- Shumëzimi i matricës, në përgjithësi, është jokomutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Megjithatë, shumëzimi është asociativ: $\majtas(A\cdot B \djathtas)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \djathtas)$;
- Dhe madje edhe në mënyrë distributive: $\majtas(A+B \djathtas)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- Dhe edhe një herë në mënyrë distributive: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Shpërndarja e shumëzimit duhej të përshkruhej veçmas për faktorin e shumës majtas dhe djathtas pikërisht për shkak të moskomutativitetit të operacionit të shumëzimit.
Nëse rezulton se $A\cdot B=B\cdot A$, matricat e tilla quhen komutative.
Ndër të gjitha matricat që shumëzohen me diçka atje, ka të veçanta - ato që, kur shumëzohen me çdo matricë $A$, përsëri japin $A$:
Përkufizimi. Një matricë $E$ quhet identitet nëse $A\cdot E=A$ ose $E\cdot A=A$. Në rastin e një matrice katrore $A$ mund të shkruajmë:
Matrica e identitetit është një mysafir i shpeshtë kur zgjidh ekuacionet e matricës. Dhe në përgjithësi, një mysafir i shpeshtë në botën e matricave. :)
Dhe për shkak të këtij $E$, dikush doli me të gjitha marrëzitë që do të shkruhen më pas.
Çfarë është një matricë e kundërt
Meqenëse shumëzimi i matricës është një operacion shumë i mundimshëm (duhet të shumëzoni një grup rreshtash dhe kolonash), koncepti i një matrice të kundërt gjithashtu rezulton të mos jetë më i parëndësishëm. Dhe kërkon një shpjegim.
Përkufizimi kyç
Epo, është koha për të ditur të vërtetën.
Përkufizimi. Një matricë $B$ quhet inversi i një matrice $A$ nëse
Matrica e anasjelltë shënohet me $((A)^(-1))$ (të mos ngatërrohet me shkallën!), kështu që përkufizimi mund të rishkruhet si më poshtë:
Duket se gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë dhe e qartë. Por kur analizohet ky përkufizim, lindin menjëherë disa pyetje:
- A ekziston gjithmonë një matricë e kundërt? Dhe nëse jo gjithmonë, atëherë si të përcaktohet: kur ekziston dhe kur jo?
- Dhe kush tha që ekziston saktësisht një matricë e tillë? Po sikur për një matricë fillestare $A$ të ketë një turmë të tërë inversesh?
- Si duken të gjitha këto "të kundërta"? Dhe saktësisht, si duhet t'i numërojmë ato?
Sa i përket algoritmeve të llogaritjes, ne do të flasim për këtë pak më vonë. Por ne do t'u përgjigjemi pyetjeve të mbetura tani. Le t'i formulojmë ato në formën e pohimeve-lemave të veçanta.
Vetitë themelore
Le të fillojmë me atë se si duhet, në parim, të duket matrica $A$ në mënyrë që $((A)^(-1))$ të ekzistojë për të. Tani do të sigurohemi që të dyja këto matrica duhet të jenë katrore dhe me të njëjtën madhësi: $\majtas[n\herë n \djathtas]$.
Lema 1. Jepet matrica $A$ dhe e anasjellta e saj $((A)^(-1))$. Atëherë të dyja këto matrica janë katrore dhe me të njëjtin rend $n$.
Dëshmi. Është e thjeshtë. Lëreni matricën $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$, $((A)^(-1))=\majtas[ a\herë b \djathtas]$. Meqenëse produkti $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ekziston sipas përkufizimit, matricat $A$ dhe $((A)^(-1))$ janë konsistente në rendin e treguar:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ m\herë n \djathtas]\cdot \majtas[ a\herë b \djathtas]=\majtas[ m\herë b \djathtas] \\ & n=a \fund( rreshtoj)\]
Kjo është një pasojë e drejtpërdrejtë e algoritmit të shumëzimit të matricës: koeficientët $n$ dhe $a$ janë "transit" dhe duhet të jenë të barabartë.
Në të njëjtën kohë, është përcaktuar edhe shumëzimi i anasjelltë: $((A)^(-1))\cdot A=E$, prandaj matricat $((A)^(-1))$ dhe $A$ janë gjithashtu konsistente në rendin e specifikuar:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ a\herë b \djathtas]\cdot \majtas[ m\herë n \djathtas]=\majtas[ a\herë n \djathtas] \\ & b=m \fund( rreshtoj)\]
Kështu, pa humbur përgjithësimin, mund të supozojmë se $A=\left[ m\herë n \djathtas]$, $((A)^(-1))=\left[n\herë m \djathtas]$. Sidoqoftë, sipas përkufizimit të $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, prandaj madhësitë e matricave përkojnë rreptësisht:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ m\herë n \djathtas]=\majtas[n\herë m \djathtas] \\ & m=n \fund (radhis)\]
Pra, rezulton se të tre matricat - $A$, $((A)^(-1))$ dhe $E$ - janë matrica katrore me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$. Lema është e vërtetuar.
Epo, tashmë është mirë. Ne shohim se vetëm matricat katrore janë të kthyeshme. Tani le të sigurohemi që matrica e kundërt të jetë gjithmonë e njëjtë.
Lema 2. Jepet matrica $A$ dhe e anasjellta e saj $((A)^(-1))$. Atëherë kjo matricë e kundërt është e vetmja.
Dëshmi. Le të kalojmë sipas kontradiktës: le të ketë matrica $A$ të paktën dy të kundërta - $B$ dhe $C$. Atëherë, sipas përkufizimit, barazitë e mëposhtme janë të vërteta:
\[\fillim(lidh) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \fund (radhis)\]
Nga Lema 1 konkludojmë se të katër matricat - $A$, $B$, $C$ dhe $E$ - janë katrorë të të njëjtit rend: $\majtas[n\herë n \djathtas]$. Prandaj, produkti përcaktohet:
Meqenëse shumëzimi i matricës është shoqërues (por jo komutativ!), mund të shkruajmë:
\[\filloj(rreshtoj) & B\cdot A\cdot C=\majtas(B\cdot A \djathtas)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \majtas(A\cdot C \djathtas)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Djathtas shigjetë B=C. \\ \fund (radhis)\]
Ne morëm opsionin e vetëm të mundshëm: dy kopje të matricës së kundërt janë të barabarta. Lema është e vërtetuar.
Argumentet e mësipërme përsërisin pothuajse fjalë për fjalë provën e veçantisë së elementit të anasjelltë për të gjithë numra realë$b\ne 0$. E vetmja shtesë domethënëse është marrja parasysh e dimensionit të matricave.
Sidoqoftë, ne ende nuk dimë asgjë nëse çdo matricë katrore është e kthyeshme. Këtu na vjen në ndihmë përcaktori - kjo është një karakteristikë kryesore për të gjitha matricat katrore.
Lema 3. Jepet një matricë $A$. Nëse matrica e saj e kundërt $((A)^(-1))$ ekziston, atëherë përcaktori i matricës origjinale është jozero:
\[\majtas| A\djathtas|\ne 0\]
Dëshmi. Ne tashmë e dimë se $A$ dhe $((A)^(-1))$ janë matrica katrore me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$. Prandaj, për secilën prej tyre mund të llogarisim përcaktorin: $\left| A\djathtas|$ dhe $\majtas| ((A)^(-1)) \djathtas|$. Sidoqoftë, përcaktori i një produkti është i barabartë me produktin e përcaktorëve:
\[\majtas| A\cdot B \djathtas|=\majtas| Një \djathtas|\cdot \majtas| B \djathtas|\Shigjeta djathtas \majtas| A\cdot ((A)^(-1)) \djathtas|=\majtas| Një \djathtas|\cdot \majtas| ((A)^(-1)) \djathtas|\]
Por sipas përkufizimit, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, dhe përcaktorja e $E$ është gjithmonë e barabartë me 1, pra
\[\begin(lidh) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \majtas| A\cdot ((A)^(-1)) \djathtas|=\majtas| E\djathtas|; \\ & \majtas| Një \djathtas|\cdot \majtas| ((A)^(-1)) \djathtas|=1. \\ \fund (radhis)\]
Prodhimi i dy numrave është i barabartë me një vetëm nëse secili nga këta numra është jo zero:
\[\majtas| Një \djathtas|\ne 0;\katër \majtas| ((A)^(-1)) \djathtas|\ne 0.\]
Pra, rezulton se $\left| Një \djathtas|\ne 0$. Lema është e vërtetuar.
Në fakt, kjo kërkesë është mjaft logjike. Tani do të analizojmë algoritmin për gjetjen e matricës së kundërt - dhe do të bëhet plotësisht e qartë pse, me një përcaktues zero, në parim nuk mund të ekzistojë asnjë matricë e kundërt.
Por së pari, le të formulojmë një përkufizim "ndihmës":
Përkufizimi. Një matricë njëjës është një matricë katrore me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$, përcaktori i së cilës është zero.
Kështu, mund të pretendojmë se çdo matricë e kthyeshme është jo njëjës.
Si të gjeni inversin e një matrice
Tani do të shqyrtojmë një algoritëm universal për gjetjen e matricave të anasjellta. Në përgjithësi, ekzistojnë dy algoritme të pranuara përgjithësisht, dhe ne do të shqyrtojmë gjithashtu të dytin sot.
Ajo që do të diskutohet tani është shumë efektive për matricat me madhësi $\left[ 2\herë 2 \djathtas]$ dhe - pjesërisht - madhësi $\left[ 3\herë 3 \djathtas]$. Por duke u nisur nga madhësia $\left[ 4\herë 4 \djathtas]$ është më mirë të mos e përdorni. Pse - tani do të kuptoni gjithçka vetë.
Shtesat algjebrike
Behu gati. Tani do të ketë dhimbje. Jo, mos u shqetësoni: një infermiere e bukur me një fund, çorape me dantella nuk do t'ju vijë dhe nuk do t'ju bëjë një injeksion në vithe. Gjithçka është shumë më prozaike: shtesat algjebrike dhe Madhëria e Saj "Matrica e Bashkimit" vijnë tek ju.
Le të fillojmë me gjënë kryesore. Le të jetë një matricë katrore me madhësi $A=\majtas[n\herë n \djathtas]$, elementët e së cilës quhen $((a)_(ij))$. Pastaj për secilin element të tillë mund të përcaktojmë një plotësues algjebrik:
Përkufizimi. Komplement algjebrik $((A)_(ij))$ për elementin $((a)_(ij))$ që ndodhet në rreshtin $i$th dhe në kolonën $j$th të matricës $A=\majtas[ n \times n \right]$ është një ndërtim i formës
\[((A)_(ij))=((\majtas(-1 \djathtas))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Ku $M_(ij)^(*)$ është përcaktuesi i matricës i marrë nga $A$ origjinale duke fshirë të njëjtin rresht $i$th dhe kolonën $j$th.
Përsëri. Komplementi algjebrik i një elementi matricë me koordinata $\left(i;j \right)$ shënohet si $((A)_(ij))$ dhe llogaritet sipas skemës:
- Së pari, ne fshijmë kolonën $i$-rresht dhe $j$-th nga matrica origjinale. Marrim një matricë të re katrore dhe përcaktuesin e saj e shënojmë si $M_(ij)^(*)$.
- Më pas ne e shumëzojmë këtë përcaktor me $((\left(-1 \djathtas))^(i+j))$ - në fillim kjo shprehje mund të duket tërheqëse, por në thelb ne thjesht po kuptojmë shenjën përpara $M_(ij)^(*) $.
- Ne numërojmë dhe marrim një numër specifik. ato. mbledhja algjebrike është pikërisht një numër, dhe jo ndonjë matricë e re, etj.
Vetë matrica $M_(ij)^(*)$ quhet minore shtesë e elementit $((a)_(ij))$. Dhe në këtë kuptim, përkufizimi i mësipërm i një komplementi algjebrik është një rast i veçantë i një përkufizimi më kompleks - atë që shikuam në mësim në lidhje me përcaktorin.
Shënim i rëndësishëm. Në fakt, në matematikën "të rritur", shtesat algjebrike përcaktohen si më poshtë:
- Marrim rreshta $k$ dhe kolona $k$ në një matricë katrore. Në kryqëzimin e tyre marrim një matricë me madhësi $\left[ k\times k \right]$ - përcaktori i saj quhet minor i rendit $k$ dhe shënohet $((M)_(k))$.
- Pastaj ne kryqëzojmë këto rreshta $k$ dhe kolona $k$ "të zgjedhura". Edhe një herë ju merrni një matricë katrore - përcaktori i saj quhet minor shtesë dhe shënohet $M_(k)^(*)$.
- Shumëzo $M_(k)^(*)$ me $((\left(-1 \djathtas))^(t))$, ku $t$ është (vëmendje tani!) shuma e numrave të të gjitha rreshtave të zgjedhur dhe kolonat. Kjo do të jetë shtesa algjebrike.
Shikoni hapin e tretë: në fakt ka një shumë prej $2k $ terma! Një gjë tjetër është se për $k=1$ do të marrim vetëm 2 terma - këto do të jenë të njëjtat $i+j$ - "koordinatat" e elementit $((a)_(ij))$ për të cilin jemi duke kërkuar për një plotësues algjebrik.
Pra, sot ne po përdorim një përkufizim pak të thjeshtuar. Por siç do ta shohim më vonë, do të jetë më se e mjaftueshme. Gjëja e mëposhtme është shumë më e rëndësishme:
Përkufizimi. Matrica aleate $S$ në matricën katrore $A=\left[n\times n \right]$ është një matricë e re me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$, e cila merret nga $A$ duke zëvendësuar $((a)_(ij))$ me shtesa algjebrike $((A)_(ij))$:
\\ Shigjeta djathtas S=\majtas[ \fillimi(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\fund (matricë) \djathtas]\]
Mendimi i parë që lind në momentin e realizimit të këtij përkufizimi është "sa do të duhet numëruar!" Relaksohuni: do të duhet të numëroni, por jo aq shumë. :)
Epo, e gjithë kjo është shumë e bukur, por pse është e nevojshme? Por pse.
Teorema kryesore
Le të kthehemi pak prapa. Mbani mend, në Lemën 3 u deklarua se matrica e kthyeshme $A$ është gjithmonë jo njëjës (d.m.th., përcaktori i saj është jo zero: $\left| A \right|\ne 0$).
Pra, e kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse matrica $A$ nuk është njëjës, atëherë ajo është gjithmonë e kthyeshme. Madje ekziston edhe një skemë kërkimi për $((A)^(-1))$. Kontrolloje:
Teorema e matricës së anasjelltë. Le të jepet një matricë katrore $A=\left[n\times n \right]$ dhe përcaktorja e saj është jozero: $\left| Një \djathtas|\ne 0$. Atëherë matrica e anasjelltë $((A)^(-1))$ ekziston dhe llogaritet me formulën:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\majtas| A \djathtas|)\cdot ((S)^(T))\]
Dhe tani - gjithçka është e njëjtë, por me shkrim të lexueshëm. Për të gjetur matricën e kundërt, ju duhet:
- Llogaritni përcaktorin $\left| Një \right|$ dhe sigurohuni që të mos jetë zero.
- Ndërtoni matricën e bashkimit $S$, d.m.th. numëroni 100500 shtesa algjebrike $((A)_(ij))$ dhe vendosini në vend $((a)_(ij))$.
- Transpozoni këtë matricë $S$ dhe më pas shumëzojeni me një numër $q=(1)/(\left| A \djathtas|)\;$.
Kjo eshte e gjitha! Është gjetur matrica e anasjelltë $((A)^(-1))$. Le të shohim shembuj:
\[\majtas[ \fillimi(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\fund (matrica) \djathtas]\]
Zgjidhje. Le të kontrollojmë kthyeshmërinë. Le të llogarisim përcaktorin:
\[\majtas| A\djathtas|=\majtas| \fillimi(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\fund (matrica) \djathtas|=3\cpika 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Përcaktori është i ndryshëm nga zero. Kjo do të thotë që matrica është e kthyeshme. Le të krijojmë një matricë bashkimi:
Le të llogarisim shtesat algjebrike:
\[\fillim(rreshtoj) & ((A)_(11))=((\majtas(-1 \djathtas))^(1+1))\cdot \majtas| 2 \djathtas|=2; \\ & ((A)_(12))=((\majtas(-1 \djathtas))^(1+2))\cdot \majtas| 5 \djathtas|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\majtas(-1 \djathtas))^(2+1))\cdot \majtas| 1 \djathtas|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\majtas(-1 \djathtas))^(2+2))\cdot \majtas| 3\djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]
Ju lutemi vini re: përcaktorët |2|, |5|, |1| dhe |3| janë përcaktues të matricave me madhësi $\left[ 1\herë 1 \djathtas]$, dhe jo module. ato. Nëse ka pasur numra negativë në përcaktuesit, nuk ka nevojë të hiqet "minus".
Në total, matrica jonë e bashkimit duket si kjo:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\majtas| A \djathtas|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \djathtas])^(T))=\majtas[ \filloj (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ fund (array) \djathtas]\]
OK tani ka mbaruar. Problemi është zgjidhur.
Përgjigju. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \djathtas]$
Detyrë. Gjeni matricën e anasjelltë:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\fund (grase) \djathtas] \]
Zgjidhje. Ne llogarisim përsëri përcaktorin:
\[\filloj(rreshtoj) & \majtas| \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\fund(array) \djathtas|=\fillim(matricë ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \djathtas)\cdot \left(-1 \djathtas)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \djathtas)- \\ -\majtas (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \djathtas)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \djathtas)\cdot 0 \djathtas) \\\fund (matrica)= \ \ & =\majtas(2+1+0 \djathtas)-\majtas(4+0+0 \djathtas)=-1\ne 0. \\ \fund (rreshtoj)\]
Përcaktori është jozero - matrica është e kthyeshme. Por tani do të jetë vërtet e vështirë: duhet të numërojmë deri në 9 (nëntë, dreq!) shtesa algjebrike. Dhe secila prej tyre do të përmbajë përcaktorin $\left[ 2\herë 2 \djathtas]$. Fluturoi:
\[\fillimi(matrica) ((A)_(11))=((\majtas(-1 \djathtas))^(1+1))\cdot \majtas| \fillimi(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas|=2; \\ ((A)_(12))=((\majtas(-1 \djathtas))^(1+2))\cdot \majtas| \fillimi(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas|=-1; \\ ((A)_(13))=((\majtas(-1 \djathtas))^(1+3))\cdot \majtas| \fillimi(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\majtas(-1 \djathtas))^(3+3))\cdot \majtas| \fillimi(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\fund(matrica) \djathtas|=2; \\ \fund (matricë)\]
Shkurtimisht, matrica e bashkimit do të duket kështu:
Prandaj, matrica e anasjelltë do të jetë:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ fund (matricë) \djathtas]=\ majtas[ \fillim(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\fund (array) \djathtas]\]
Kjo eshte. Këtu është përgjigja.
Përgjigju. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end (array) \djathtas ]$
Siç mund ta shihni, në fund të çdo shembulli kemi kryer një kontroll. Në këtë drejtim, një shënim i rëndësishëm:
Mos u bëni dembel për të kontrolluar. Shumëzoni matricën origjinale me matricën e gjetur të kundërt - duhet të merrni $E$.
Kryerja e këtij kontrolli është shumë më e lehtë dhe më e shpejtë sesa kërkimi i një gabimi në llogaritjet e mëtejshme kur, për shembull, jeni duke zgjidhur një ekuacion matricë.
Mënyra alternative
Siç thashë, teorema e matricës së kundërt funksionon shkëlqyeshëm për madhësitë $\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$ dhe $\majtas[ 3\herë 3 \djathtas]$ (në rastin e fundit, nuk është aq "i shkëlqyer" " ), por për matricat më të mëdha fillon trishtimi.
Por mos u shqetësoni: ekziston një algoritëm alternativ me të cilin mund të gjeni me qetësi të kundërtën edhe për matricën $\left[ 10\herë 10 \djathtas]$. Por, siç ndodh shpesh, për të shqyrtuar këtë algoritëm na duhet një sfond i vogël teorik.
Transformimet elementare
Ndër të gjitha transformimet e mundshme të matricës, ka disa të veçanta - ato quhen elementare. Ekzistojnë saktësisht tre transformime të tilla:
- Shumëzimi. Ju mund të merrni rreshtin $i$th (kolona) dhe ta shumëzoni atë me çdo numër $k\ne 0$;
- Shtesa. Shtoni në rreshtin $i$-th (kolona) çdo rresht tjetër $j$-th (kolona), shumëzuar me çdo numër $k\ne 0$ (sigurisht mund të bëni $k=0$, por çfarë është çështja? ? Asgjë nuk do të ndryshojë).
- Rirregullimi. Merrni rreshtat (kolonat) $i$th dhe $j$th dhe ndërroni vendet.
Pse këto transformime quhen elementare (për matricat e mëdha ato nuk duken aq elementare) dhe pse ka vetëm tre prej tyre - këto pyetje janë përtej qëllimit të mësimit të sotëm. Prandaj, ne nuk do të hyjmë në detaje.
Një gjë tjetër është e rëndësishme: ne duhet t'i kryejmë të gjitha këto perversione në matricën adjoint. Po, po: keni dëgjuar mirë. Tani do të ketë një përkufizim më shumë - i fundit në mësimin e sotëm.
Matrica e bashkuar
Me siguri në shkollë keni zgjidhur sisteme ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes. Epo, atje, zbrit një tjetër nga një rresht, shumëzo një rresht me një numër - kjo është e gjitha.
Pra: tani gjithçka do të jetë e njëjtë, por në një mënyrë "të rritur". Gati?
Përkufizimi. Le të jepet një matricë $A=\majtas[n\herë n \djathtas]$ dhe një matricë identiteti $E$ me të njëjtën madhësi $n$. Pastaj matrica adjoint $\left[ A\left| E\ drejt. \right]$ është një matricë e re me madhësi $\left[ n\herë 2n \djathtas]$ që duket kështu:
\[\majtas[ A\majtas| E\ drejt. \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(rrrr|rrrr)(a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ fundi (vargu) \djathtas]\]
Shkurtimisht, marrim matricën $A$ dhe në të djathtë i caktojmë matricën e identitetit $E$ madhësinë e duhur, i ndajmë me një vijë vertikale për bukuri - ja ku e keni bashkangjitur. :)
Çfarë është kapja? Ja çfarë:
Teorema. Le të jetë matrica $A$ e kthyeshme. Konsideroni matricën e bashkuar $\left[ A\left| E\ drejt. \djathtas]$. Nëse përdorni konvertimet elementare të vargut silleni në formën $\left[ E\left| B\ drejt. \djathtas]$, d.m.th. duke shumëzuar, zbritur dhe riorganizuar rreshtat për të marrë nga $A$ matricën $E$ në të djathtë, atëherë matrica $B$ e marrë në të majtë është e anasjellta e $A$:
\[\majtas[ A\majtas| E\ drejt. \djathtas]\në \majtas[ E\majtas| B\ drejt. \djathtas]\Shigjeta djathtas B=((A)^(-1))\]
Është kaq e thjeshtë! Shkurtimisht, algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt duket si ky:
- Shkruani matricën adjoint $\left[ A\left| E\ drejt. \djathtas]$;
- Kryeni konvertime elementare të vargut derisa të shfaqet $E$ në vend të $A$;
- Sigurisht, diçka do të shfaqet gjithashtu në të majtë - një matricë e caktuar $B$. Kjo do të jetë e kundërta;
- FITIMI! :)
Sigurisht, kjo është shumë më e lehtë të thuhet sesa të bëhet. Pra, le të shohim disa shembuj: për madhësitë $\left[ 3\herë 3 \djathtas]$ dhe $\left[ 4\herë 4 \djathtas]$.
Detyrë. Gjeni matricën e anasjelltë:
\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\fund (array) \djathtas]\ ]
Zgjidhje. Ne krijojmë matricën e bashkuar:
\[\ majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 dhe 1 \\\ fundi (array) \djathtas]\]
Meqenëse kolona e fundit e matricës origjinale është e mbushur me një, zbritni rreshtin e parë nga pjesa tjetër:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ fund (matricë) \djathtas]\fillim (matricë) \poshtë \\ -1 \\ -1 \\\fund (matricë)\në \\ & \në \ majtas [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Nuk ka më njësi, përveç rreshtit të parë. Por ne nuk e prekim atë, përndryshe njësitë e hequra rishtazi do të fillojnë të "shumohen" në kolonën e tretë.
Por ne mund ta zbresim rreshtin e dytë dy herë nga e fundit - marrim një në këndin e poshtëm të majtë:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]\fillimi (matrica) \ \\ \poshtë \\ -2 \\\fund (matricë)\në \\ & \majtas [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Tani mund të zbresim rreshtin e fundit nga i pari dhe dy herë nga i dyti - në këtë mënyrë "zero" kolonën e parë:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ fund (matricë) \djathtas]\fillim (matricë) -1 \\ -2 \\ \udhëz lart \\\fund (matricë)\në \\ & \ në \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Shumëzojeni rreshtin e dytë me −1, pastaj zbrisni atë 6 herë nga i pari dhe shtoni 1 herë në të fundit:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\fund(array) \djathtas]\fillim(matricë) \ \\ \majtas| \cdot \left(-1 \djathtas) \djathtas. \\ \ \\\fund (matricë)\në \\ & \në \ majtas[ \fillim(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]\fillim (matricë) -6 \\ \lart ngushtë \\ +1 \\\ fund (matricë)\në \\ & \në \majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (radhis)\]
Gjithçka që mbetet është të ndërroni rreshtat 1 dhe 3:
\[\ majtas[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ fund (array) \djathtas]\]
Gati! Në të djathtë është matrica e kërkuar e kundërt.
Përgjigju. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \djathtas ]$
Detyrë. Gjeni matricën e anasjelltë:
\[\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\fund (matricë) \djathtas]\]
Zgjidhje. Ne e kompozojmë përsëri adjoint:
\[\ majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\fund (arriti) \djathtas]\]
Le të qajmë pak, të trishtohemi se sa duhet të numërojmë tani... dhe të fillojmë të numërojmë. Së pari, le të "zeroojmë" kolonën e parë duke zbritur rreshtin 1 nga rreshtat 2 dhe 3:
\[\fillo(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\fund (vargu) \djathtas]\fillimi(matrica) \poshtë \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\fund(matrica)\në \\ & \në \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\fund (arresë) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Ne shohim shumë "kundër" në rreshtat 2-4. Shumëzoni të tre rreshtat me -1 dhe më pas digjni kolonën e tretë duke zbritur rreshtin 3 nga pjesa tjetër:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \djathtas]\fillimi(matrica) \ \\ \majtas| \cdot \left(-1 \djathtas) \djathtas. \\ \majtas| \cdot \left(-1 \djathtas) \djathtas. \\ \majtas| \cdot \left(-1 \djathtas) \djathtas. \\\fund (matricë)\në \\ & \në \majtas[ \fillim(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \djathtas]\fillimi(matrica) -2 \\ -1 \\ \lart-lart \\ -2 \\\fund (matrica)\në \\ & \në \majtas[ \fillimi(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fund (arresë) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Tani është koha për të "skuqur" kolonën e fundit të matricës origjinale: zbritni rreshtin 4 nga pjesa tjetër:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fund (grumbullim ) \djathtas]\fillim(matricë) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \udhë \\\fund (matricë)\në \\ & \në \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Hedhja e fundit: "djeg" kolonën e dytë duke zbritur rreshtin 2 nga rreshtat 1 dhe 3:
\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fund( grup) \djathtas]\fillim(matricë) 6 \\ \lart-lartë \\ -5 \\ \ \\\fund (matricë)\në \\ & \në \majtas[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\fund (array) \djathtas] \\ \fund (rreshtoj)\]
Dhe përsëri matrica e identitetit është në të majtë, që do të thotë se anasjellta është në të djathtë. :)
Përgjigju. $\majtas[ \fillimi(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\fund (matricë) \djathtas]$
OK tani ka mbaruar. Bëni kontrollin vetë - jam i dëshpëruar. :)
Matrica algjebra - Matricë e kundërtmatricë e anasjelltë
Matrica e anasjelltëështë një matricë që, kur shumëzohet si në të djathtë ashtu edhe në të majtë me një matricë të caktuar, jep matricën e identitetit.
Le të shënojmë matricën e kundërt të matricës A përmes , atëherë sipas përkufizimit marrim:
Ku E– matrica e identitetit.
Matrica katrore thirrur jo e veçantë (jo i degjeneruar) nëse përcaktorja e saj nuk është zero. Ndryshe quhet e veçantë (i degjeneruar) ose njëjës.
Teorema qëndron: Çdo matricë jo njëjës ka një matricë të kundërt.
Operacioni i gjetjes së matricës së kundërt quhet ankim matricat. Le të shqyrtojmë algoritmin e përmbysjes së matricës. Le të jepet një matricë jo njëjës n- urdhri:
ku Δ = det A ≠ 0.
Shtimi algjebrik i një elementi matricat n- urdhri A quhet përcaktor i një matrice të marrë me një shenjë të caktuar ( n–1) urdhri i marrë me fshirje i-linja e th dhe j kolona e matricës A:
Le të krijojmë të ashtuquajturat bashkangjitur matricë:
ku janë plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të matricës A.
Vini re se shtimet algjebrike të elementeve të rreshtit të matricës A vendosen në kolonat përkatëse të matricës Ã
, domethënë, matrica transpozohet në të njëjtën kohë.
Duke i ndarë të gjithë elementët e matricës Ã
nga Δ – vlera e përcaktorit të matricës A, ne marrim matricën e kundërt si rezultat:
Le të vëmë re një numër karakteristikash të veçanta të matricës së kundërt:
1) për një matricë të caktuar A matricën e saj të kundërt
është i vetmi;
2) nëse ka një matricë të kundërt, atëherë anasjelltas djathtas Dhe majtas anasjelltas matricat përkojnë me të;
3) një matricë katrore njëjës (njëjës) nuk ka matricë të kundërt.
Karakteristikat themelore të një matrice të anasjelltë:
1) përcaktori i matricës së kundërt dhe përcaktori i matricës origjinale janë reciproke;
2) matrica e kundërt e produktit të matricave katrore është e barabartë me produktin e matricës së kundërt të faktorëve, e marrë në rend të kundërt:
3) matrica e kundërt e transpozuar është e barabartë me matricën e kundërt të matricës së transpozuar të dhënë:
SHEMBULL Llogaritni inversin e matricës së dhënë.
Le të vazhdojmë bisedën për veprimet me matrica. Gjegjësisht, gjatë studimit të kësaj ligjërate do të mësoni se si të gjeni matricën e kundërt. Mësoni. Edhe nëse matematika është e vështirë.
Çfarë është një matricë e kundërt? Këtu mund të nxjerrim një analogji me numrat e kundërt: merrni parasysh, për shembull, numrin optimist 5 dhe numrin e tij të kundërt. Prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me një: . Gjithçka është e ngjashme me matricat! Prodhimi i një matrice dhe matricës së saj të kundërt është i barabartë me - matrica e identitetit, e cila është analoge matricore e njësisë numerike. Sidoqoftë, gjërat e para - së pari le të zgjidhim një çështje të rëndësishme praktike, domethënë, të mësojmë se si ta gjejmë këtë matricë shumë të kundërt.
Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të gjetur matricën e kundërt? Ju duhet të jeni në gjendje të vendosni kualifikueset. Ju duhet të kuptoni se çfarë është matricë dhe të jetë në gjendje të kryejë disa veprime me to.
Ekzistojnë dy metoda kryesore për gjetjen e matricës së kundërt:
duke përdorur shtesat algjebrike Dhe duke përdorur transformimet elementare.
Sot do të studiojmë metodën e parë, më të thjeshtë.
Le të fillojmë me më të tmerrshmen dhe të pakuptueshmen. Le të shqyrtojmë katrore matricë. Matrica e anasjelltë mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:
Ku është përcaktori i matricës, është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.
Koncepti i një matrice inverse ekziston vetëm për matricat katrore, matricat “dy nga dy”, “tre nga tre” etj.
Emërtimet: Siç mund ta keni vënë re tashmë, matrica e anasjelltë shënohet me një mbishkrim
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - një matricë dy-nga-dy. Më shpesh, natyrisht, kërkohet "tre nga tre", por, megjithatë, unë rekomandoj fuqimisht të studioni një detyrë më të thjeshtë për të zotëruar parim i përgjithshëm Zgjidhjet.
Shembull:
Gjeni inversin e një matrice
Le të vendosim. Është i përshtatshëm për të zbërthyer sekuencën e veprimeve pikë për pikë.
1) Së pari gjejmë përcaktorin e matricës.
Nëse kuptimi juaj për këtë veprim nuk është i mirë, lexoni materialin Si të llogarisim përcaktorin?
E rëndësishme! Nëse përcaktori i matricës është i barabartë me ZERO– matricë e anasjelltë NUK EKZISTON.
Në shembullin në shqyrtim, siç doli, , që do të thotë se gjithçka është në rregull.
2) Gjeni matricën e të miturve.
Për të zgjidhur problemin tonë, nuk është e nevojshme të dini se çfarë është një i mitur, megjithatë, këshillohet të lexoni artikullin Si të llogarisim përcaktorin.
Matrica e të miturve ka të njëjtat përmasa si matrica, domethënë në këtë rast.
E vetmja gjë që mbetet për të bërë është të gjeni katër numra dhe t'i vendosni ato në vend të yjeve.
Le të kthehemi në matricën tonë
Le të shohim së pari elementin e sipërm majtas:
Si ta gjeni e mitur?
Dhe kjo bëhet si kjo: MENDORSH kaloni rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet ky element:
Numri i mbetur është minor i këtij elementi, të cilën e shkruajmë në matricën tonë të të miturve:
Merrni parasysh elementin e mëposhtëm të matricës:
Kaloni mendërisht rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet ky element:
Ajo që mbetet është minori i këtij elementi, të cilin e shkruajmë në matricën tonë:
Në mënyrë të ngjashme, ne konsiderojmë elementët e rreshtit të dytë dhe gjejmë të miturit e tyre:
Gati.
Është e thjeshtë. Në matricën e të miturve ju duhet NDRYSHO SHENJAT dy numra:
Këta janë numrat që kam rrethuar!
– matrica e mbledhjeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.
Dhe thjesht...
4) Gjeni matricën e transpozuar të shtesave algjebrike.
– matricë e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.
5) Përgjigje.
Le të kujtojmë formulën tonë
Gjithçka është gjetur!
Pra, matrica e anasjelltë është: 
Është më mirë ta lini përgjigjen ashtu siç është. NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me 2, pasi rezultati është numra thyesorë. Kjo nuancë diskutohet më në detaje në të njëjtin artikull. Veprimet me matrica.
Si të kontrolloni zgjidhjen?
Ju duhet të kryeni shumëzimin e matricës ose
Ekzaminimi: 
Marrë përmendur tashmë matrica e identitetitështë një matricë me ato nga diagonale kryesore dhe zero në vende të tjera.
Kështu, matrica e kundërt gjendet saktë.
Nëse e kryeni veprimin, rezultati do të jetë gjithashtu një matricë identiteti. Ky është një nga rastet e pakta ku shumëzimi i matricës është i permutueshëm, më shumë informacion i detajuar mund të gjenden në artikull Vetitë e veprimeve në matrica. Shprehje matrice. Vini re gjithashtu se gjatë kontrollit, konstantja (fraksioni) sillet përpara dhe përpunohet në fund - pas shumëzimit të matricës. Kjo është një teknikë standarde.
Le të kalojmë në një rast më të zakonshëm në praktikë - matricën tre-nga-tre:
Shembull:
Gjeni inversin e një matrice 
Algoritmi është saktësisht i njëjtë si për rastin "dy nga dy".
Matricën e anasjelltë e gjejmë duke përdorur formulën: , ku është matrica e transpozuar e plotësimeve algjebrike të elementeve përkatëse të matricës.
1) Gjeni përcaktorin e matricës.
Këtu zbulohet përcaktori në rreshtin e parë.
Gjithashtu, mos harroni këtë, që do të thotë se gjithçka është në rregull - ekziston matrica e anasjelltë.
2) Gjeni matricën e të miturve.
Matrica e të miturve ka një dimension "tre me tre" 
, dhe ne duhet të gjejmë nëntë numra.
Unë do të shikoj në detaje disa të mitur:
Merrni parasysh elementin e mëposhtëm të matricës: 
Kryqëzoni MENDORisht rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet ky element: 
Katër numrat e mbetur i shkruajmë në përcaktorin "dy nga dy". 
Ky përcaktues dy-nga-dy dhe është minori i këtij elementi. Duhet të llogaritet: 
Kjo është ajo, e mitura është gjetur, ne e shkruajmë atë në matricën tonë të të miturve: 
Siç ndoshta e keni marrë me mend, duhet të llogaritni nëntë përcaktues dy nga dy. Procesi, natyrisht, është i lodhshëm, por rasti nuk është më i rëndë, mund të jetë më i keq.
Epo, për t'u konsoliduar - duke gjetur një tjetër të mitur në foto: 
Mundohuni të llogaritni vetë të miturit e mbetur.
Rezultati përfundimtar: 
– matrica e minoreve të elementeve përkatëse të matricës.
Fakti që të gjithë të miturit rezultuan negativë është thjesht një aksident.
3) Gjeni matricën e mbledhjeve algjebrike.
Në matricën e të miturve është e nevojshme NDRYSHO SHENJAT rreptësisht për elementët e mëposhtëm: 
Në këtë rast:
Ne nuk e konsiderojmë gjetjen e matricës së kundërt për një matricë "katër me katër", pasi një detyrë e tillë mund të jepet vetëm nga një mësues sadist (që studenti të llogarisë një përcaktues "katër nga katër" dhe 16 përcaktorë "tre nga tre" ). Në praktikën time, ka pasur vetëm një rast të tillë, dhe klienti punë testuese e pagoi mjaft shtrenjtë mundimin tim =).
Në një numër tekstesh dhe manualesh mund të gjeni një qasje paksa të ndryshme për gjetjen e matricës së kundërt, por unë rekomandoj përdorimin e algoritmit të zgjidhjes të përshkruar më sipër. Pse? Sepse gjasat për t'u ngatërruar në llogaritjet dhe shenjat janë shumë më pak.