Seksionet: Matematika
Nëse një problem ka më pak se tre variabla, nuk është problem; nëse është më shumë se tetë, është e pazgjidhshme. Enon.
Problemet me parametrat gjenden në të gjitha Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit, pasi zgjidhja e tyre zbulon më qartë se sa të thella dhe joformale janë njohuritë e të diplomuarit. Vështirësitë që hasin nxënësit gjatë kryerjes së detyrave të tilla shkaktohen jo vetëm nga kompleksiteti i tyre relativ, por edhe nga fakti se atyre nuk u kushtohet vëmendje e mjaftueshme në tekstet shkollore. Në versionet e KIM-ve në matematikë, ekzistojnë dy lloje detyrash me parametra. E para: "për secilën vlerë të parametrit, zgjidhni ekuacionin, pabarazinë ose sistemin". E dyta: "gjeni të gjitha vlerat e parametrit, për secilën prej të cilave zgjidhjet e pabarazisë, ekuacionit ose sistemit plotësojnë kushtet e dhëna". Prandaj, përgjigjet në problemet e këtyre dy llojeve ndryshojnë në thelb. Në rastin e parë, përgjigja liston të gjitha vlerat e mundshme të parametrit dhe për secilën nga këto vlera shkruhen zgjidhjet e ekuacionit. E dyta liston të gjitha vlerat e parametrave në të cilat plotësohen kushtet e problemit. Shkrimi i përgjigjes është një fazë thelbësore e zgjidhjes; është shumë e rëndësishme të mos harroni të pasqyroni të gjitha fazat e zgjidhjes në përgjigje. Studentët duhet t'i kushtojnë vëmendje kësaj.
Shtojca e mësimit përmban materiale shtesë me temën “Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me parametra”, e cila do të ndihmojë në përgatitjen e studentëve për certifikimin përfundimtar.
Objektivat e mësimit:
- sistematizimi i njohurive të studentëve;
- zhvillimi i aftësisë për të përdorur paraqitje grafike gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve;
- zhvillimi i aftësisë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare që përmbajnë parametra;
- zbatimin e kontrollit operacional dhe vetëkontrollit të nxënësve;
- zhvillimi i veprimtarisë kërkimore dhe njohëse të nxënësve të shkollës, aftësia për të vlerësuar rezultatet e marra.
Mësimi zgjat dy orë.
Gjatë orëve të mësimit
- Koha e organizimit
Komunikoni temën, qëllimet dhe objektivat e mësimit.
- Përditësimi i njohurive bazë të studentëve
Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. Si detyre shtepie nxënësve iu kërkua të zgjidhin secilin nga tre sistemet e ekuacioneve lineare
a) b) 
V)
grafikisht dhe analitikisht; nxirrni një përfundim për numrin e zgjidhjeve të marra për çdo rast
Dëgjohen dhe analizohen përfundimet e nxjerra nga nxënësit. Rezultatet e punës nën drejtimin e mësuesit përmblidhen në fletore.
Në përgjithësi, një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura mund të paraqitet si: .
Vendosni këtë sistem ekuacione grafikisht nënkupton gjetjen e koordinatave të pikave të kryqëzimit të grafikëve të këtyre ekuacioneve ose vërtetimin se nuk ka asnjë. Grafiku i çdo ekuacioni të këtij sistemi në një rrafsh është një vijë e caktuar e drejtë.
Ekzistojnë tre raste të mundshme të rregullimit të ndërsjellë të dy vijave të drejta në një plan:
<Рисунок1>;
<Рисунок2>;
<Рисунок3>.
Për çdo rast është e dobishme të bëni një vizatim.
- Mësimi i materialit të ri
Sot në mësim do të mësojmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve lineare që përmbajnë parametra. Ne do ta quajmë një parametër një ndryshore të pavarur, vlera e së cilës në problem konsiderohet të jetë një numër real i dhënë fiks ose arbitrar, ose një numër që i përket një grupi të paracaktuar. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me një parametër nënkupton krijimin e një korrespondence që lejon çdo vlerë të parametrit të gjejë grupin përkatës të zgjidhjeve të sistemit.
Zgjidhja e një problemi me një parametër varet nga pyetja e shtruar në të. Nëse thjesht duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh për vlera të ndryshme të një parametri ose ta studioni atë, atëherë duhet të jepni një përgjigje të argumentuar për çdo vlerë të parametrit ose për vlerën e një parametri që i përket një grupi të specifikuar më parë në problemin. Nëse është e nevojshme të gjenden vlerat e parametrave që plotësojnë kushte të caktuara, atëherë nuk kërkohet një studim i plotë dhe zgjidhja e sistemit është e kufizuar në gjetjen e këtyre vlerave specifike të parametrave.
Shembulli 1. Për çdo vlerë parametri, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve
Zgjidhje.
- Sistemi ka një zgjidhje unike nëse
Në këtë rast kemi
- Nëse a = 0, atëherë sistemi merr formën
Sistemi është i paqëndrueshëm, d.m.th. nuk ka zgjidhje.
- Nëse atëherë sistemi shkruhet në formë
Natyrisht, në këtë rast sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje të formës x = t; ku t është çdo numër real.
Përgjigje:
Shembulli 2.
- ka një zgjidhje unike;
- ka shumë zgjidhje;
- nuk ka zgjidhje?
Zgjidhje.
Përgjigje:
Shembulli 3. Le të gjejmë shumën e parametrave a dhe b për të cilët sistemi
ka zgjidhje të panumërta.
Zgjidhje. Sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje nëse
Kjo do të thotë, nëse a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
Përgjigje: 48.
- Konsolidimi i asaj që është mësuar gjatë zgjidhjes së problemeve
- Nr. 15.24 (a) . Për çdo vlerë parametri, zgjidhni sistemin e ekuacioneve
- Nr. 15.25(a) Për çdo vlerë parametri, zgjidhni sistemin e ekuacioneve
- Me cilat vlera të parametrit a bën sistemi i ekuacioneve
a) nuk ka zgjidhje; b) ka pafundësisht shumë zgjidhje.
Përgjigje: për a = 2 nuk ka zgjidhje, për a = -2 ka një numër të pafund zgjidhjesh
- Punë praktike në grup
Klasa është e ndarë në grupe me 4-5 persona. Çdo grup përfshin nxënës me nivele të ndryshme të përgatitjes matematikore. Secili grup merr një kartë detyrash. Ju mund t'i ftoni të gjitha grupet të zgjidhin një sistem ekuacionesh dhe të zyrtarizojnë zgjidhjen. Grupi që ka përfunduar i pari saktë detyrën paraqet zgjidhjen e tij; pjesa tjetër ia dorëzon mësuesit zgjidhjen.
Kartelë. Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare
për të gjitha vlerat e parametrit a.
Përgjigje: kur 
sistemi ka një zgjidhje unike 
; kur nuk ka zgjidhje; për a = -1 ka pafundësisht shumë zgjidhje të formës, (t; 1- t) ku t R
Nëse klasa është e fortë, grupeve mund t'u ofrohen sisteme të ndryshme ekuacionesh, lista e të cilave është në Shtojcën 1. Më pas secili grup prezanton zgjidhjen e tij para klasës.
Raporti i grupit që ishte i pari që përfundoi saktë detyrën
Pjesëmarrësit shprehin dhe shpjegojnë zgjidhjen e tyre dhe u përgjigjen pyetjeve të ngritura nga përfaqësues të grupeve të tjera.
- Punë e pavarur
opsioni 1
Opsioni 2
- Përmbledhja e mësimit
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me parametra mund të krahasohet me një studim që përfshin tre kushte themelore. Mësuesi/ja fton nxënësit t'i formulojnë ato.
Kur vendosni, mbani mend:
- Në mënyrë që një sistem të ketë një zgjidhje unike, është e nevojshme që linjat që i përgjigjen ekuacionit të sistemit të kryqëzohen, d.m.th. kushti duhet të plotësohet;
- për të mos pasur zgjidhje, vijat duhet të jenë paralele, d.m.th. kushti u plotësua
- dhe, së fundi, që një sistem të ketë pafundësisht shumë zgjidhje, linjat duhet të përkojnë, d.m.th. kushti u plotësua.
Mësuesi/ja vlerëson punën e klasës në tërësi dhe u cakton nota për mësimin nxënësve të veçantë. Pas kontrollit të punës së tyre të pavarur, çdo nxënës do të marrë një notë për mësimin.
- Detyre shtepie
Në cilat vlera të parametrit b funksionon sistemi i ekuacioneve 
- ka pafundësisht shumë zgjidhje;
- nuk ka zgjidhje?
Grafikët e funksioneve y = 4x + b dhe y = kx + 6 janë simetrikë rreth ordinatës.
- Gjeni b dhe k,
- gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të këtyre grafikëve.
Zgjidheni sistemin e ekuacioneve për të gjitha vlerat e m dhe n.
Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare për të gjitha vlerat e parametrit a (çdo vlerë sipas zgjedhjes suaj).
Letërsia
- Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore: tekst shkollor. për klasën e 11-të arsimi i përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Arsimi, 2008.
- Matematika: Klasa e 9-të: Përgatitja për certifikimin përfundimtar shtetëror / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
- Ne po përgatitemi për universitet. Matematika. Pjesa 2. Tutorial për t'u përgatitur për Provimin e Unifikuar të Shtetit, pjesëmarrje në testimin e centralizuar dhe kalimin e testeve pranuese në Universitetin Teknik Shtetëror Kuban / Kuban. shteti teknologjisë. Universiteti; Instituti i Modernes teknologjisë. dhe ekon.; Përpiluar nga: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. - Krasnodar, 2006.
- Koleksioni i problemeve në matematikë për kurset përgatitore TUSUR: Teksti mësimor / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Shteti Universiteti i Sistemeve të Kontrollit dhe Radioelektronikës, 1998.
- Matematikë: kurs intensiv i përgatitjes së provimit / O. Yu. Cherkasov, A. G. Yakushev. - M.: Rolf, Iris-press, 1998.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) është padyshim tema më e rëndësishme kursi i algjebrës lineare. Një numër i madh problemesh nga të gjitha degët e matematikës zbresin në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni
- zgjidhni metodën optimale për zgjidhjen e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
- studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
- zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare duke marrë në konsideratë zgjidhje të detajuara për shembujt dhe problemet tipike.
Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.
Së pari, ne japim të gjitha përkufizimet, konceptet e nevojshme dhe prezantojmë shënimet.
Më pas, do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe të cilat kanë një zgjidhje unike. Së pari, ne do të përqendrohemi në metodën e Cramer-it, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve dhe së treti, do të analizojmë metodën e Gauss (metoda e eliminimit sekuencial të ndryshoreve të panjohura). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.
Pas kësaj, ne do të kalojmë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare pamje e përgjithshme, në të cilën numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është njëjës. Le të formulojmë teoremën Kronecker-Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE-ve. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (nëse ato janë të pajtueshme) duke përdorur konceptin e një baze minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.
Do të ndalemi patjetër në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare. Le të japim konceptin e një sistemi themelor zgjidhjesh dhe të tregojmë se si zgjidhja e përgjithshme e një SLAE shkruhet duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.
Si përfundim, ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve që mund të reduktohen në ato lineare, si dhe probleme të ndryshme në zgjidhjen e të cilave lindin SLAE.
Navigimi i faqes.
Përkufizime, koncepte, emërtime.
Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës
Variabla të panjohur, - koeficientë (disa numra realë ose kompleksë), - terma të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).
Kjo formë e regjistrimit të SLAE quhet koordinoj.
NË forma matrice shkrimi i këtij sistemi ekuacionesh ka formën,
Ku 
- matrica kryesore e sistemit, - një matricë kolone e ndryshoreve të panjohura, - një matricë kolone e termave të lirë.
Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Në mënyrë tipike, një matricë e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet me një vijë vertikale nga kolonat e mbetura, d.m.th. 
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura që i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të ndryshoreve të panjohura bëhet gjithashtu një identitet.
Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.
Nëse një sistem ekuacionesh nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.
Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.
Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero 
, atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.
Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.
Nëse numri i ekuacioneve të sistemit është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është e barabartë me zero, atëherë do t'i quajmë SLAE të tilla elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.
Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në gjimnaz. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një variabël të panjohur në terma të të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, pastaj morëm ekuacionin tjetër, shprehëm variablin tjetër të panjohur dhe e zëvendësuam me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, domethënë kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.
Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer.
Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare 
në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .
Le të jetë përcaktori i matricës kryesore të sistemit, dhe 
- përcaktorët e matricave që fitohen nga A me zëvendësim 1, 2, ..., e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë: 
Me këtë shënim, ndryshoret e panjohura llogariten duke përdorur formulat e metodës Cramer si 
. Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.
Shembull.
Metoda e Cramer-it 
.
Zgjidhje.
Matrica kryesore e sistemit ka formën 
. Le të llogarisim përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është jozero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer.
Le të hartojmë dhe llogarisim përcaktorët e nevojshëm 
(përcaktorin e marrim duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë me terma të lirë, përcaktorin duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë dhe duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë me terma të lirë) : 
Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula 
:
Përgjigje:
Disavantazhi kryesor i metodës Cramer (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve në sistem është më shumë se tre.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës (duke përdorur një matricë inverse).
Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare në formë matrice, ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.
Meqenëse , matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë me të majtën, marrim një formulë për gjetjen e një matrice-kolone të ndryshoreve të panjohura. Kështu kemi marrë një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare metoda e matricës.
Shembull.
Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare metoda e matricës.
Zgjidhje.
Le të rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës: 
Sepse
atëherë SLAE mund të zgjidhet duke përdorur metodën e matricës. Duke përdorur matricën e kundërt, zgjidhja për këtë sistem mund të gjendet si 
.
Le të ndërtojmë një matricë të kundërt duke përdorur një matricë nga shtimet algjebrike të elementeve të matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Mbetet për të llogaritur matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt 
në një kolonë matricë të anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): 
Përgjigje:
ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Problemi kryesor gjatë gjetjes së zgjidhjeve për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore të rendit më të lartë se e treta.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.
Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura 
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.
Thelbi i metodës Gauss përbëhet nga përjashtimi sekuencial i variablave të panjohur: së pari, x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa vetëm ndryshorja e panjohur x n mbetet në ekuacionin e fundit. Ky proces i transformimit të ekuacioneve të sistemit për të eliminuar në mënyrë sekuenciale variablat e panjohur quhet Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian. Pas përfundimit të goditjes përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, duke përdorur këtë vlerë nga ekuacioni i parafundit, llogaritet x n-1 dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura gjatë lëvizjes nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari inversi i metodës Gaussian.
Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.
Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke riorganizuar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën 
ku dhe 
.
Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.
Më tej, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë 
Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , ekuacionin e katërt i shtojmë të dytin, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të dytin, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën 
ku dhe 
. Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.
Më pas, vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3, ndërkohë që veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë. 
Pra, ne vazhdojmë progresionin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën 
Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .
Shembull.
Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare Metoda e Gausit.
Zgjidhje.
Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy anët e ekuacionit të dytë dhe të tretë shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuara me dhe me, përkatësisht: 
Tani eliminojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në anën e majtë dhe të djathtë të tij anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të dytë, shumëzuar me: 
Kjo përfundon goditjen përpara të metodës Gauss; ne fillojmë goditjen e kundërt.
Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve gjejmë x 3: 
Nga ekuacioni i dytë marrim .
Nga ekuacioni i parë gjejmë variablin e mbetur të panjohur dhe në këtë mënyrë plotësojmë të kundërtën e metodës Gauss.
Përgjigje:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Në përgjithësi, numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:
SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe njëjës.
Teorema Kronecker–Capelli.
Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile dhe kur është jokonsistente jepet nga Teorema Kronecker–Capelli:
Në mënyrë që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th. , Rank(A)=Ranku(T).
Le të shqyrtojmë, si shembull, zbatimin e teoremës Kronecker-Capelli për të përcaktuar përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare.
Shembull.
Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka 
Zgjidhjet.
Zgjidhje.
. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minoren e rendit të dytë 
të ndryshme nga zero. Le të shohim të miturit e rendit të tretë në kufi me të: 
Meqenëse të gjitha minoret kufitare të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është i barabartë me dy.
Nga ana tjetër, rangu i matricës së zgjeruar 
është e barabartë me tre, pasi i mituri është i rendit të tretë 
të ndryshme nga zero.
Kështu, Rang(A), pra, duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.
Përgjigje:
Sistemi nuk ka zgjidhje.
Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e një sistemi duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.
Por si të gjesh një zgjidhje për një SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?
Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e një baze minore të një matrice dhe një teoremë për rangun e një matrice.
Minorja e rendit më të lartë të matricës A, e ndryshme nga zero, quhet bazë.
Nga përkufizimi i një baze minore rezulton se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë A jo-zero mund të ketë disa minore bazë; ka gjithmonë një bazë minore.
Për shembull, merrni parasysh matricën 
.
Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.
Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi ato nuk janë zero 
Të miturit 
nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.
Teorema e rangut të matricës.
Nëse renditja e një matrice të rendit p me n është e barabartë me r, atëherë të gjithë elementët e rreshtit (dhe kolonës) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve të rreshtit (dhe kolonës) përkatëse që formojnë bazë e vogël.
Çfarë na tregon teorema e renditjes së matricës?
Nëse, sipas teoremës Kronecker-Capelli, ne kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo bazë minore të matricës kryesore të sistemit (rendi i saj është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që bëjnë nuk formojnë bazën e zgjedhur minor. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).
Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të panevojshme të sistemit, dy raste janë të mundshme.
Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.
Shembull.
.
Zgjidhje.
Rangu i matricës kryesore të sistemit 
është e barabartë me dy, pasi e vogla është e rendit të dytë 
të ndryshme nga zero. Rank i zgjeruar i matricës 
është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është zero 
dhe minorja e rendit të dytë e konsideruar më sipër është e ndryshme nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker–Capelli, mund të pohojmë përputhshmërinë e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2.
Si bazë minor ne marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë: 
Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën mbi rangun e matricës: 
Kështu kemi marrë një sistem elementar të ekuacioneve algjebrike lineare. Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer: 
Përgjigje:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura n, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve i lëmë termat që formojnë bazën të vogla, dhe termat e mbetur i transferojmë në anët e djathta të ekuacionet e sistemit me shenjën e kundërt.
Ndryshoret e panjohura (r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.
Quhen variabla të panjohura (ka n - r pjesë) që janë në anët e djathta falas.
Tani ne besojmë se ndryshoret e panjohura të lira mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen përmes ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE që rezulton duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.
Le ta shohim me një shembull.
Shembull.
Zgjidh një sistem ekuacionesh algjebrike lineare 
.
Zgjidhje.
Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit 
me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor jozero i rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor jo zero të rendit të dytë që kufizohet me këtë minor: 
Kështu gjetëm një minor jozero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë: 
Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu i barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.
Ne marrim minorin e gjetur jozero të rendit të tretë si bazë.
Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël: 
Ne i lëmë termat e përfshirë në bazë të vogël në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit dhe transferojmë pjesën tjetër me shenja të kundërta në anët e djathta: 
Le t'u japim variablave të panjohur të lirë x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë pranojmë 
, ku janë numra arbitrarë. Në këtë rast, SLAE do të marrë formën 
Le të zgjidhim sistemin elementar rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it: 
Prandaj, .
Në përgjigjen tuaj, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.
Përgjigje:
Ku janë numrat arbitrarë.
Përmblidhni.
Për të zgjidhur një sistem të ekuacioneve të përgjithshme lineare algjebrike, së pari përcaktojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse renditja e matricës kryesore nuk është e barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm.
Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim një bazë minore dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e bazës së vogël të zgjedhur.
Nëse rendi i bazës minore e barabartë me numrin variabla të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, të cilën e gjejmë me çdo metodë të njohur për ne.
Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë termat me variablat kryesore të panjohura, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe i japim vlera arbitrare. variablat e panjohura të lira. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare gjejmë variablat kryesore të panjohura duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Metoda e Gausit mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çdo lloji, pa i testuar më parë ato për konsistencë. Procesi i eliminimit sekuencial të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për papajtueshmërinë e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.
Nga pikëpamja llogaritëse, metoda Gaussian është e preferueshme.
Shikoje atë pershkrim i detajuar dhe analizoi shembuj në artikull metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.
Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemet algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.
Në këtë pjesë do të flasim për sisteme të njëkohshme homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë një numër të pafund zgjidhjesh.
Le të merremi së pari me sistemet homogjene.
Sistemi themelor i zgjidhjeve sistemi homogjen i p ekuacioneve algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura është një koleksion (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.
Nëse shënojmë zgjidhje lineare të pavarura të një SLAE homogjene si X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë matrica kolone të dimensionit n me 1), atëherë zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me koeficientë konstante arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), pra .
Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?
Kuptimi është i thjeshtë: formula specifikon të gjitha zgjidhjet e mundshme të SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstanteve arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), duke përdorur formulën që ne do të merrni një nga tretësirat e SLAE origjinale homogjene.
Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i përkufizojmë të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .
Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.
Ne zgjedhim bazën minore të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta. Le t'u japim variablave të panjohura të lira vlerat 1,0,0,...,0 dhe të llogarisim të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, duke përdorur metodën Cramer. Kjo do të rezultojë në X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse caktojmë vlerat 0.0,…,0.1 variablave të panjohura të lira dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (n-r) . Në këtë mënyrë, do të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .
Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës dhe është zgjidhja e veçantë e SLAE inhomogjene origjinale, të cilën e marrim duke i dhënë vlerat të panjohurave të lira. 0,0,…,0 dhe llogaritja e vlerave të të panjohurave kryesore.
Le të shohim shembuj.
Shembull.
Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare 
.
Zgjidhje.
Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Si minor jo zero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Le të gjejmë minorin kufitar jozero të rendit të dytë: 
Është gjetur një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero: 
Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është i barabartë me dy. Le ta marrim . Për qartësi, le të shënojmë elementet e sistemit që e formojnë atë: 
Ekuacioni i tretë i SLAE origjinale nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, prandaj mund të përjashtohet: 
Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anët e djathta të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:
Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE përbëhet nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura, dhe rendi i minorit bazë të tij është i barabartë me dy. Për të gjetur X (1), ne u japim ndryshoreve të panjohura të lira vlerat x 2 = 1, x 4 = 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve 
.
Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer: 
Kështu,.
Tani le të ndërtojmë X (2) . Për ta bërë këtë, ne u japim variablave të panjohura të lira vlerat x 2 = 0, x 4 = 1, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve lineare 
.
Le të përdorim përsëri metodën e Cramer: 
marrim.
Pra, ne morëm dy vektorë të sistemit themelor të zgjidhjeve dhe, tani mund të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare: 
, ku C 1 dhe C 2 janë numra arbitrar., janë të barabarta me zero. Ne gjithashtu do të marrim minorin si bazë, do të eliminojmë ekuacionin e tretë nga sistemi dhe do t'i zhvendosim termat me të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit: 
Për të gjetur, le t'u japim variablave të panjohura të lira vlerat x 2 = 0 dhe x 4 = 0, atëherë sistemi i ekuacioneve do të marrë formën 
, nga ku gjejmë variablat kryesore të panjohura duke përdorur metodën e Cramer: 
Ne kemi 
, prandaj, 
ku C 1 dhe C 2 janë numra arbitrar.
Duhet të theksohet se zgjidhjet e një sistemi homogjen të papërcaktuar të ekuacioneve algjebrike lineare gjenerojnë hapësirë lineare Zgjidhje.
Ekuacioni kanonik i një elipsoidi në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor ka formën 
. Detyra jonë është të përcaktojmë parametrat a, b dhe c. Meqenëse elipsoidi kalon nëpër pikat A, B dhe C, atëherë kur zëvendësohen koordinatat e tyre në ekuacionin kanonik të elipsoidit, ai duhet të kthehet në një identitet. Pra, marrim një sistem prej tre ekuacionesh: 
Le të shënojmë 
, atëherë sistemi do të bëhet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare 
.
Le të llogarisim përcaktuesin e matricës kryesore të sistemit: 
Meqenëse është jo zero, ne mund ta gjejmë zgjidhjen duke përdorur metodën e Cramer:
). Natyrisht, x = 0 dhe x = 1 janë rrënjët e këtij polinomi. Koeficient nga pjesëtimi 
në 
është . Kështu, kemi një zgjerim dhe shprehja origjinale merr formën 
.
Le të përdorim metodën e koeficientëve të pacaktuar. 
Duke barazuar koeficientët përkatës të numëruesve, arrijmë në një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. 
. Zgjidhja e tij do të na japë koeficientët e dëshiruar të pacaktuar A, B, C dhe D.
Le të zgjidhim sistemin duke përdorur metodën Gaussian: 
Duke përdorur të kundërtën e metodës Gaussian, gjejmë D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
marrim 
Përgjigje:
.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është një nga problemet kryesore të algjebrës lineare. Ky problem ka një rëndësi të rëndësishme aplikative në zgjidhjen e problemeve shkencore dhe teknike, përveç kësaj, është ndihmës në zbatimin e shumë algoritmeve në matematikën llogaritëse, fizikën matematikore dhe përpunimin e rezultateve të kërkimit eksperimental.
Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare quhet sistem ekuacionesh të formës: (1)
Ku – i panjohur; - anëtarë të lirë.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh(1) thirrni çdo grup numrash që, kur vendosen në sistemin (1) në vend të të panjohurave konverton të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi numerike të sakta.
Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje.
Sistemi i njëkohshëm i ekuacioneve quhet të caktuara, nëse ka një zgjidhje unike, dhe i pasigurt, nëse ka të paktën dy zgjidhje të ndryshme.
Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente ose ekuivalente, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.
Sistemi (1) quhet homogjene, nëse kushtet e lira janë zero: 
Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent - ai ka një zgjidhje 
(ndoshta jo i vetmi).
Nëse në sistemin (1), atëherë kemi sistemin n ekuacionet lineare me n i panjohur: 
Ku –
i panjohur;
- koeficientët për të panjohurat,
- anëtarë të lirë.
Sistemi linear mund të ketë një zgjidhje të vetme, pafundësisht shumë zgjidhje, ose asnjë zgjidhje fare.
Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura 
Nëse atëherë sistemi ka një zgjidhje unike;
Nëse 
atëherë sistemi nuk ka zgjidhje;
Nëse 
atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Shembull. Sistemi ka një zgjidhje unike për një çift numrash
Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, zgjidhjet për një sistem të caktuar janë çifte numrash, etj.
Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi ndryshimi i dy numrave nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme.
Përkufizimi. Përcaktues i rendit të dytë quhet një shprehje e formës:
.
Përcaktori caktohet me simbolin D.
Numrat A 11, …, A 22 quhen elemente të përcaktorit.
Diagonale e formuar nga elementë A 11 ; A 22 quhen kryesore diagonale e formuar nga elementë A 12 ; A 21 − anësor
Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.
Vini re se përgjigjja është një numër.
Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:
Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura: 
Ku X 1,
X 2 –
i panjohur; A 11 , …, A 22 - koeficientët për të panjohurat, b 1 , b 2 – anëtarë të lirë.
Nëse një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura ka një zgjidhje unike, atëherë ai mund të gjendet duke përdorur përcaktorë të rendit të dytë.
Përkufizimi. Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktues i sistemit: D= .
Kolonat e përcaktorit D përmbajnë koeficientët, përkatësisht, për X 1 dhe në , X 2. Le të prezantojmë dy kualifikues shtesë, të cilat fitohen nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar njërën nga kolonat me një kolonë termash të lira: D 1 = D 2 = .
Teorema 14(Kramer, për rastin n=2). Nëse përcaktorja D e sistemit është i ndryshëm nga zero (D¹0), atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat: 
Këto formula quhen Formulat e Cramer-it.
Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer: 
Zgjidhje. Le të gjejmë numrat
Përgjigju. 
Përkufizimi. Përcaktori i rendit të tretë quhet një shprehje e formës:
Elementet A 11; A 22 ; A 33 - formoni diagonalen kryesore.
Numrat A 13; A 22 ; A 31 - formoni një diagonale anësore.
Hyrja me plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e mbetur janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore. Termat minus formohen sipas të njëjtës skemë në lidhje me diagonalen dytësore.
Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:
Ku –
i panjohur;
- koeficientët për të panjohurat,
- anëtarë të lirë.
Në rastin e një zgjidhjeje unike, një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura mund të zgjidhet duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë.
Përcaktori i sistemit D ka formën: 
Le të prezantojmë tre përcaktues shtesë:
Teorema 15(Kramer, për rastin n=3). Nëse përcaktorja D e sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat e Cramer:
Shembull. Le të zgjidhim sistemin 
sipas rregullit të Cramer-it.
Zgjidhje. Le të gjejmë numrat 
Le të përdorim formulat e Cramer dhe të gjejmë zgjidhjen për sistemin origjinal:
Përgjigju.
Vini re se teorema e Cramer-it është e zbatueshme kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe kur përcaktorja e sistemit D është jozero.
Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë në këtë rast sistemi ose mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë një numër të pafund zgjidhjesh. Këto raste studiohen veçmas.
Le të vërejmë vetëm një rast. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero (D=0), dhe të paktën një nga përcaktorët shtesë është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, domethënë është i paqëndrueshëm.
Teorema e Cramer-it mund të përgjithësohet në sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur: 
Ku –
i panjohur;
- koeficientët për të panjohurat,
- anëtarë të lirë.
Nëse përcaktorja e një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura 
atëherë e vetmja zgjidhje për sistemin gjendet duke përdorur formulat e Cramer: 
Kualifikues shtesë 
fitohet nga përcaktorja D nëse përmban një kolonë koeficientësh për të panjohurën x i zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë.
Vini re se përcaktorët D, D 1 , ... , D n kanë rregull n.
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave. - Metoda e Gausit. Kjo metodë është një përgjithësim i metodës së zëvendësimit dhe konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave derisa të mbetet një ekuacion me një të panjohur.
Metoda bazohet në disa transformime të një sistemi ekuacionesh lineare, që rezulton në një sistem ekuivalent me sistemin origjinal. Algoritmi i metodës përbëhet nga dy faza.
Faza e parë quhet drejt përpara Metoda e Gausit. Ai konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave nga ekuacionet. Për ta bërë këtë, në hapin e parë, ndajeni ekuacionin e parë të sistemit me (në të kundërtën, riorganizoni ekuacionet e sistemit). Ata tregojnë koeficientët e ekuacionit të reduktuar që rezulton, e shumëzojnë atë me koeficientin dhe e zbresin atë nga ekuacioni i dytë i sistemit, duke e eliminuar atë nga ekuacioni i dytë (zero koeficientin).
Bëni të njëjtën gjë me ekuacionet e mbetura dhe merrni një sistem të ri, në të gjitha ekuacionet e të cilit, duke filluar nga i dyti, koeficientët për , përmbajnë vetëm zero. Natyrisht, që rezulton sistemi i ri, do të jetë ekuivalent me sistemin origjinal.
Nëse koeficientët e rinj, për , nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ata mund të përjashtohen në të njëjtën mënyrë nga ekuacioni i tretë dhe i mëpasshëm. Duke vazhduar këtë operacion për të panjohurat e mëposhtme, sistemi sillet në të ashtuquajturën formë trekëndore: 
Këtu simbolet tregojnë koeficientët numerikë dhe termat e lirë që kanë ndryshuar si rezultat i transformimeve.
Nga ekuacioni i fundit i sistemit, të panjohurat e mbetura përcaktohen në mënyrë unike, dhe më pas me zëvendësim vijues.
Koment. Ndonjëherë, si rezultat i transformimeve, në ndonjë nga ekuacionet të gjithë koeficientët dhe pjesa e djathtë kthehet në zero, pra ekuacioni kthehet në identitetin 0=0. Duke eleminuar një ekuacion të tillë nga sistemi, numri i ekuacioneve zvogëlohet në krahasim me numrin e të panjohurave. Një sistem i tillë nuk mund të ketë një zgjidhje të vetme.
Nëse, në procesin e aplikimit të metodës së Gausit, çdo ekuacion kthehet në një barazi të formës 0 = 1 (koeficientët për të panjohurat kthehen në 0, dhe ana e djathtë merr një vlerë jo zero), atëherë sistemi origjinal nuk ka zgjidhje, pasi një barazi e tillë është e rreme për çdo vlerë të panjohur.
Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:
(2)
Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.