Obwód, powierzchnia i objętość. Obwód, powierzchnia i objętość Jak znaleźć pole kwadratu

Zależność promienia okręgu od długości boku kwadratu. Odległość środka opisanego koła od wierzchołka wpisanego w nie kwadratu jest równa promieniowi okręgu. Aby znaleźć bok kwadratu S, musisz podzielić kwadrat po przekątnej na 2 trójkąty prostokątne. Każdy z tych trójkątów będzie miał równe boki A I B i wspólna przeciwprostokątna Z, równy dwukrotności promienia opisanego okręgu ( 2r).

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć bok kwadratu. Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w dowolnym trójkącie prostokątnym z nogami A I B i przeciwprostokątna Z: za 2 + b 2 = do 2. Ponieważ w naszym przypadku A = B(pamiętaj, że patrzymy na kwadrat!) i o tym wiemy c = 2r, to możemy przepisać i uprościć to równanie:

za 2 + za 2 = (2r) 2 ""; Teraz uprośćmy to równanie:
2a 2 = 4(r) 2; Teraz podzielmy obie strony równania przez 2:
(a 2) = 2 (r) 2; Weźmy teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
za = √(2r). Zatem s = √ (2r).

Pomnóż znaleziony bok kwadratu przez 4, aby obliczyć jego obwód. W tym przypadku obwód kwadratu wynosi: P = 4√(2r). Formułę tę można przepisać w następujący sposób: Р = 4√2 * 4√r = 5,657r, gdzie r jest promieniem opisanego okręgu.
Przykład. Rozważmy kwadrat wpisany w okrąg o promieniu 10. Oznacza to, że przekątna kwadratu wynosi 2 * 10 = 20. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: 2(a 2) = 20 2, to jest 2a 2 = 400. Teraz dzielimy obie strony równania przez 2 i otrzymujemy: za 2 = 200. Weźmy teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania i otrzymamy: a = 14,142. Pomnóż tę wartość przez 4 i oblicz obwód kwadratu: P=56,57.
- Zauważ, że ten sam wynik możesz uzyskać po prostu mnożąc promień (10) przez 5,657: 10 * 5,567 = 56,57 ; ale ta metoda jest trudna do zapamiętania, dlatego lepiej zastosować proces obliczeniowy opisany powyżej.

Obliczanie obwodu kwadratu jest ważną umiejętnością. I nie chodzi tylko o to zajęcia szkolne. Przecież za pomocą prostych operacji matematycznych można łatwo obliczyć ilość potrzebnego materiału budowlanego. Na przykład, aby zainstalować ogrodzenie na obwodzie kwadratowej działki lub tapetę w kwadratowym pomieszczeniu.

Aby znaleźć obwód kwadratu, musisz znać wartość jednego z boków, pole lub promień opisanego koła. Rozważmy te metody bardziej szczegółowo.

Jak znaleźć obwód kwadratu, mając jeden bok kwadratu

Obwód figury to suma wszystkich jej boków. Ponieważ kwadrat ma tylko 4 boki, jego obwód wynosi:
P = a + b + do + re,
gdzie P jest obwodem,
a, b, c, d - boki.
Wiedząc, że wszystkie boki kwadratu są równe, upraszczamy wzór:
P = 4a,
gdzie a jest jednym ze stron,
4 to suma boków.
Przykładowe rozwiązanie: jeśli bok wynosi 7, to
P = 4*7 = 28.

Jak znaleźć obwód kwadratu, biorąc pod uwagę powierzchnię kwadratu

Pole kwadratu oblicza się ze wzoru:
S = a*a = a²,
gdzie S jest obszarem,
a - dowolna strona.
Przepiszmy formułę:
a² = S,
a = √S.
Przykładowe rozwiązanie: jeśli pole wynosi 121, to
za = √121 = 11.
Znając bok kwadratu, możemy obliczyć obwód:
P = 4*a.
Przykładowe rozwiązanie: P = 4*11 = 44.

Jak znaleźć obwód kwadratu, mając promień opisanego koła

Załóżmy, że mamy kwadrat i znamy promień okręgu, który opisuje go ze wszystkich stron. Jeśli narysujemy przekątną pomiędzy przeciwległymi rogami kwadratu, otrzymamy 2 trójkąty o kątach prostych. W takim przypadku grzechem byłoby nie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza: „Suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej”.

Co jeszcze wiemy:

Boki b i c 2 trójkątów są równe, ponieważ są to boki kwadratu. Są także nogami.
Trójkąty mają wspólną przeciwprostokątną a, która jest jednocześnie średnicą okręgu.
Średnica jest równa dwóm promieniom (2r).

Zacznijmy znajdować obwód:

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
b² + c² = a²,
gdzie b i c są ramionami trójkąta prostokątnego,
a jest przeciwprostokątną.
Wiedząc, że a (przeciwprostokątna) = 2r i b = c, upraszczamy wzór:
в² + в² = (2r)²,
2в² = 4(r)², zmniejsz o 2:
cal² = 2(r)²,
в = √2r, gdzie
c jest bokiem kwadratu.
Ponieważ obwód kwadratu jest równy sumie boków, modyfikujemy wzór:
Р = 4√2r,
gdzie P jest pożądanym obwodem,
4 - suma boków,
√2r - długość boku.
Uprośćmy formułę:
Р = 4√2 * 4√r,
P = 5,657r,
gdzie P jest pożądanym obwodem,
r jest promieniem okręgu.

Przykładowe rozwiązanie:

Jeśli promień okręgu wynosi 20:

P = 5,657*20 = 113,14.

Liczby szybko się zapominają, ale problem zawsze można rozwiązać, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

cal² + cal² = (2*20)²,
2в² = 40²,
2в² = 1600, podziel przez 2:
cal² = 800,
w = √800,
w = 28,28,
gdzie jest jedna strona.
Więc,
P = 4*28,29,
P = 113,14.

Sposobów na znalezienie obwodu kwadratu jest wiele, jednak wszystkie sprowadzają się do tego, że obwód jest równy sumie wszystkich boków.

Kwadrat to dodatni czworobok (lub romb), w którym wszystkie kąty są proste, a boki równe. Jak każdy inny wielokąt foremny, kwadrat pozwolono obliczyć obwód i obszar. Jeśli obszar kwadrat już sławny, potem odkryj jego strony, a potem obwód nie będzie trudne.

Instrukcje

1. Kwadrat kwadrat znajduje się według wzoru: S = a? Oznacza to, że w celu obliczenia powierzchni kwadrat, musisz pomnożyć długości jego 2 boków przez siebie. W konsekwencji, jeśli znasz okolicę kwadrat, następnie wyodrębniając pierwiastek z danej wartości, możesz dowiedzieć się o długości boku kwadrat.Przykład: obszar kwadrat 36 cm?, aby dowiedzieć się, z której strony kwadrat, musisz wziąć pierwiastek kwadratowy z wartości pola. Zatem długość boku danego kwadrat 6cm

2. Znaleźć obwód A kwadrat musisz dodać długości wszystkich jego boków. Za pomocą wzoru można to wyrazić w następujący sposób: P = a+a+a+a Jeśli weźmiemy pierwiastek z wartości pola kwadrat, a następnie dodaj wynikową wartość 4 razy, a następnie możesz wykryć obwód kwadrat .

3. Przykład: Biorąc pod uwagę kwadrat o powierzchni 49 cm?. Trzeba to odkryć obwód.Rozwiązanie: Najpierw musisz wyodrębnić korzeń obszaru kwadrat: ?49 = 7 cmNastępnie obliczamy długość boku kwadrat, można obliczyć i obwód: 7+7+7+7 = 28 cmOdpowiedź: obwód kwadrat powierzchnia 49 cm? wynosi 28 cm

Często w zadaniach geometrycznych konieczne jest obliczenie długości boku kwadratu, jeśli znane są jego inne parametry - takie jak pole, przekątna czy obwód.

Będziesz potrzebować

Kalkulator

Instrukcje

1. Jeśli znane jest pole kwadratu, to aby znaleźć bok kwadratu, należy wziąć pierwiastek kwadratowy z wartości liczbowej pola (ponieważ powierzchnia kwadratu jest równa kwadratowi jego boku): a =? S, gdzie a jest długością boku kwadratu, S jest polem kwadratu. Jednostką miary boku kwadratu będzie liniowa jednostka długości odpowiadająca jednostka powierzchni. Powiedzmy, że jeśli pole kwadratu jest podane w centymetrach kwadratowych, to długość jego boku będzie pierwotnie wyrażona w centymetrach.Przykład: Pole kwadratu wynosi 9 metrów kwadratowych. Znajdź długość boku kwadrat Rozwiązanie: a =? 9 = 3 Odpowiedź: Bok kwadratu ma 3 metry.

2. W przypadku, gdy znany jest obwód kwadratu, aby określić długość boku, należy podzielić wartość liczbową obwodu przez cztery (ponieważ kwadrat ma cztery boki o jednakowej długości): a = P/4, gdzie: a to długość boku kwadratu, P to obwód kwadratu. Jednostką miary boku kwadratu będzie ta sama liniowa jednostka długości co obwód. Powiedzmy, że jeśli obwód kwadratu jest podany w centymetrach, to długość jego boku również będzie wyrażona w centymetrach.Przykład: obwód kwadratu wynosi 20 metrów. Oblicz długość boku kwadratu. Rozwiązanie: a = 20/4 = 5 Odpowiedź: Długość boku kwadratu wynosi 5 metrów.

3. Jeżeli znana jest długość przekątnej kwadratu, długość jego boku będzie równa długości jego przekątnej podzielonej przez pierwiastek kwadratowy z 2 (z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ sąsiednie boki kwadratu i przekątna tworzą trójkąt równoramienny): a = d/?2 (od . a^2+a^2=d^2), gdzie: a to długość boku kwadratu, d to długość przekątnej kwadrat Jednostką miary boku kwadratu będzie ta sama jednostka długości co przekątna. Powiedzmy, że jeśli przekątną kwadratu mierzy się w centymetrach, to długość jego boku będzie wyrażona w centymetrach. Przykład: przekątna kwadratu wynosi 10 metrów. Znajdź długość boku kwadratu. Rozwiązanie: a = 10 /?2, czyli w przybliżeniu: 7,071 Odpowiedź: Długość boku kwadratu wynosi 10/?2, czyli około 1,071 metra.

Kwadrat to piękna i prosta płaska figura geometryczna. To jest prostokąt o równych bokach. Jak wykryć obwód kwadrat, jeśli znana jest długość jego boku?

Instrukcje

1. Przed wszystkimi innymi warto o tym pamiętać obwód to nic innego jak suma długości boków figura geometryczna. Rozważany przez nas kwadrat ma cztery boki. Co więcej, z definicji kwadrat, wszystkie te strony są sobie równe. Z tych przesłanek wynika prosty wzór na znalezienie obwód A kwadrat – obwód kwadrat równa długości boku kwadrat, pomnożone przez cztery: P = 4a, gdzie a jest długością boku kwadrat .

Wideo na ten temat

Obwód nazywa się uniwersalnym długość Granice figury są częstsze niż wszystkie na płaszczyźnie. Kwadrat to dodatni czworobok lub romb, w którym wszystkie kąty są proste, lub równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty są równe.

Będziesz potrzebować

Znajomość geometrii.

Instrukcje

1. Obwód kwadrat równa sumie długości jego boków. Ponieważ kwadrat w swej istocie jest czworokątem, ma cztery boki, co oznacza, że obwód jest równy sumie długości czterech boków, czyli P = a+b+c+d.

2. Kwadrat, jak wynika z definicji, jest regularną figurą geometryczną, co oznacza, że wszystkie jej boki są równe. Zatem a=b=c=d. W konsekwencji P = a+a+a+a lub P = 4*a.

3. Niech bok kwadrat jest równe 4, czyli a=3. Następnie obwód lub długość kwadrat zgodnie z otrzymanym wzorem będzie wynosić P = 4*3 lub P=12. Liczba 12 będzie długością lub, co jest tym samym, obwodem kwadrat .

Wideo na ten temat

Notatka!
Obwód kwadratu jest niezmiennie prawidłową wartością, jak każda inna długość.

Pomocna rada
W podobny sposób można wyznaczyć obwód rombu, gdyż kwadrat jest szczególnym przypadkiem rombu o kątach prostych.

Obwód charakteryzuje długość zamkniętej sylwetki. Podobnie jak obszar, można go wykryć za pomocą innych wielkości podanych w opisie problemu. Problemy ze znalezieniem obwodu są niezwykle częste na szkolnych lekcjach matematyki.

Instrukcje

1. Znając obwód i bok figury, możesz odkryć jej drugą stronę, a także jej pole. Z kolei sam obwód może zostać wykryty przez kilka dane imprezy lub wzdłuż narożników i boków, w zależności od warunków problemu. Również w niektórych przypadkach wyraża się to poprzez powierzchnię. Obwód prostokąta jest szczególnie prymitywny. Narysuj prostokąt o jednym boku równym a i przekątnej równej d. Znając te dwie wielkości, skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć jego drugi bok, czyli szerokość prostokąta. Znalezwszy szerokość prostokąta, oblicz jego obwód w następujący sposób: p=2(a+b). Ta formuła jest obiektywna dla wszystkich prostokątów, ponieważ każdy z nich ma cztery boki.

2. Zwróć uwagę, że w większości problemów obwód trójkąta można znaleźć tylko wtedy, gdy istnieje informacja tylko o jednym z jego kątów. Zdarzają się jednak i problemy, w których znane są wszystkie boki trójkąta i wówczas obwód można obliczyć poprzez proste sumowanie, bez stosowania obliczeń trygonometrycznych: p=a+b+c, gdzie a, b i c są strony. Ale takie problemy rzadko można znaleźć w podręcznikach, ponieważ metoda ich rozwiązania jest jasna. Rozwiązuj krok po kroku trudniejsze zadania wyznaczania obwodu trójkąta. Powiedzmy, że narysujemy trójkąt równoramienny, którego podstawa i kąt są znane. Aby obliczyć jego obwód, najpierw znajdź boki a i b w następujący sposób: b=c/2cos?. Z faktu, że a=b (trójkąt równoramienny) wynika dalszy wynik: a=b=c/2cos?.

3. W podobny sposób oblicz obwód wielokąta, dodając długości wszystkich jego boków: p=a+b+c+d+e+f i tak dalej. Jeżeli wielokąt jest dodatni i wpisany w okrąg lub opisany wokół niego, oblicz długość jednego z jego boków, a następnie pomnóż przez ich liczbę. Powiedzmy, że aby znaleźć boki sześciokąta wpisanego w okrąg, należy postępować w następujący sposób: a=R, gdzie a jest bokiem sześciokąta równym promieniowi opisanego koła. Odpowiednio, jeśli sześciokąt jest poprawny, to jego obwód jest równy: p=6a=6R. Jeżeli w sześciokąt wpisano okrąg, to bok tego ostatniego jest równy: a=2r?3/3. Odpowiednio oblicz obwód takiej figury w następujący sposób: p=12r?3/3.

Chociaż słowo „obwód” pochodzi od greckiego określenia koła, zwyczajowo odnosi się do całkowitej długości granic dowolnej płaskiej figury geometrycznej, w tym kwadratu. Obliczenie tego parametru jak zwykle nie jest trudne i można je przeprowadzić kilkoma metodami, w zależności od znanych danych początkowych.

Instrukcje

1. Jeśli znasz długość boku kwadratu (t), to aby obliczyć jego obwód (p), wystarczy czterokrotnie zwiększyć tę wartość: p=4*t.

2. Jeżeli długość boku nie jest znana, ale w warunkach zadania podana jest długość przekątnej (c), to wystarczy obliczyć długość boków, a co za tym idzie obwód (p) wielokąta. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że kwadrat długości długiego boku trójkąta prostokątnego (przeciwprostokątnej) jest równy sumie kwadratów długości krótkich boków (przyprostokątnych). W trójkącie prostokątnym złożonym z 2 sąsiednich boków kwadratu i skrajnych punktów łączącego je odcinka, przeciwprostokątna pokrywa się z przekątną czworoboku. Wynika z tego, że długość boku kwadratu jest równa stosunkowi długości przekątnej do pierwiastka kwadratowego z dwóch. Użyj tego wyrażenia we wzorze, aby obliczyć obwód z poprzedniego kroku: p=4*c/?2.

3. Jeśli zostanie podane tylko pole (S) odcinka płaszczyzny ograniczonego obwodem kwadratu, to wystarczy do określenia długości jednego boku. Ponieważ pole dowolnego prostokąta jest równe iloczynowi długości jego sąsiednich boków, to aby znaleźć obwód (p), weź pierwiastek kwadratowy z pola i czterokrotnie pomnóż sumę: p=4*?S.

4. Jeżeli znany jest promień okręgu opisanego przy kwadracie (R), to aby znaleźć obwód wielokąta (p), pomnóż go przez osiem i podziel wynikową sumę przez pierwiastek kwadratowy z dwóch: p=8*R/ ?2.

5. Jeżeli okrąg, którego promień jest wpisany w kwadrat, to oblicz jego obwód (p) mnożąc promień (r) przez osiem: P=8*r.

6. Jeżeli kwadrat, o którym mowa w warunkach problemowych, jest opisany współrzędnymi jego wierzchołków, to do obliczenia obwodu potrzebne będą dane tylko o 2 wierzchołkach należących do jednego z boków figury. Oblicz długość tego boku w oparciu o to samo twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta złożonego z samego siebie i jego rzutów na osie współrzędnych, a otrzymaną sumę zwiększ czterokrotnie. Ponieważ długości rzutów na osie współrzędnych są równe modułowi różnic pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi 2 punktów (X?;Y? i X?;Y?), to wzór można zapisać następująco: p= 4*?((X?-X?)? +(Y?-Y?)?).

Ogólnie rzecz biorąc, obwód to długość linii ograniczającej zamkniętą figurę. W przypadku wielokątów obwód jest sumą długości wszystkich boków. Wartość tę można zmierzyć, a dla wielu figur można ją łatwo obliczyć, jeśli znane są długości odpowiednich elementów.

Będziesz potrzebować

– linijka lub miarka;
– mocna nić;
– dalmierz rolkowy.

Instrukcje

1. Aby zmierzyć obwód dowolnego wielokąta, zmierz go za pomocą linijki lub innego narzędzia przyrząd pomiarowy wszystkie jego boki, a następnie oblicz ich sumę. Jeśli dany jest czworokąt o bokach 5, 3, 7 i 4 cm, które mierzy się linijką, oblicz obwód, dodając je do siebie P=5+3+7+4=19 cm.

2. Jeśli figura jest dowolna i zawiera więcej niż tylko linie proste, zmierz jej obwód tradycyjną liną lub nitką. Aby to zrobić, ustaw go tak, aby prawidłowo podążał za wszystkimi liniami ograniczającymi figurę i wykonaj na nim znak, a jeśli to możliwe, zgrubnie go przytnij, aby uniknąć zamieszania. Następnie za pomocą miarki lub linijki zmierz długość nici, będzie ona równa obwodowi tej figury. Upewnij się, że nić podąża za linią tak dokładnie, jak to możliwe, aby uzyskać większą dokładność wyniku.

3. Zmierz obwód trudnej figury geometrycznej za pomocą dalmierza rolkowego (krzywizomierza). W tym celu na linii, na której zamontowana jest rolka dalmierza, zaznacza się punkt i toczy się po nim, aż powróci do punktu początkowego. Odległość zmierzona przez dalmierz rolkowy będzie równa obwodowi figury.

4. Oblicz obwód niektórych kształtów geometrycznych. Powiedzmy, że aby znaleźć obwód dowolnego wielokąta dodatniego (wielokąta wypukłego, którego boki są równe), pomnóż długość boku przez liczbę kątów lub boków (są równe). Aby obliczyć obwód trójkąta foremnego o boku 4 cm, należy pomnożyć tę liczbę przez 3 (P = 4? 3 = 12 cm).

5. Aby obliczyć obwód dowolnego trójkąta, dodaj długości wszystkich jego boków. Jeśli nie podano wszystkich boków, ale istnieją między nimi kąty, znajdź je za pomocą twierdzenia o sinus lub cosinus. Jeśli znane są dwa boki trójkąta prostokątnego, znajdź trzeci, korzystając z twierdzenia Pitagorasa i znajdź ich sumę. Powiedzmy, że jeśli wiadomo, że ramiona trójkąta prostokątnego mają długość 3 i 4 cm, to przeciwprostokątna będzie wynosić?(3?+4?)=5 cm, a obwód P=3+4+ 5=12cm.

6. Aby znaleźć obwód koła, znajdź obwód, który go ogranicza. Aby to zrobić, pomnóż jego promień r przez liczbę 3,14 i liczbę 2 (P=L=2???r). Jeśli średnica jest znana, należy przyjąć, że jest ona równa dwóm promieniom.

Obwód wielokąt nazywana zamkniętą linią łamaną składającą się ze wszystkich jej boków. Znalezienie długości tego parametru sprowadza się do zsumowania długości boków. Jeżeli wszystkie segmenty tworzące obwód takiej dwuwymiarowej figury geometrycznej mają identyczne wymiary, wielokąt nazywa się prawdziwym. W tym przypadku obliczenie obwodu jest znacznie prostsze.

Instrukcje

1. W najprostszym przypadku, gdy długość boku (a) jest prawidłowa wielokąt i liczbę wierzchołków (n), aby obliczyć długość obwodu (P), wystarczy pomnożyć te dwie wielkości: P = a*n. Załóżmy, że długość obwodu sześciokąta foremnego o boku 15 cm powinna wynosić 15 * 6 = 90 cm.

2. Oblicz obwód takiego wielokąt wzdłuż znanego promienia (R) okręgu opisanego wokół niego jest również dopuszczalne. Aby to zrobić, musisz najpierw wyrazić długość boku za pomocą promienia i liczby wierzchołków (n), a następnie pomnożyć otrzymaną wartość przez liczbę boków. Aby obliczyć długość boku, pomnóż promień przez sinus Pi podzielony przez liczbę wierzchołków i podwoj sumę: R*sin(?/n)*2. Jeśli wygodniej jest Ci obliczać funkcję trygonometryczną w stopniach, zamień Pi na 180°: R*sin(180°/n)*2. Oblicz obwód, mnożąc otrzymaną wartość przez liczbę wierzchołków: P = R*sin(?/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Załóżmy, że jeśli sześciokąt wpisano w okrąg o promieniu 50 cm, jego obwód będzie miał długość 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 cm.

3. Podobna metoda pozwala obliczyć obwód bez znajomości długości strony dodatniej wielokąt, jeśli jest on opisany wokół okręgu o znanym promieniu (r). W takim przypadku wzór na obliczenie wielkości boku figury będzie różnił się od poprzedniego jedynie funkcją trygonometryczną. Zastąp sinus tangensem we wzorze, aby otrzymać następujące wyrażenie: r*tg(?/n)*2. Lub do obliczeń w stopniach: r*tg(180°/n)*2. Aby obliczyć obwód, zwiększ uzyskaną wartość kilka razy równa liczbie szczyty wielokąt: P = r*tg(?/n)*2*n = r*tg(180°/n)*2*n. Powiedzmy, że obwód ośmiokąta opisanego w pobliżu okręgu o promieniu 40 cm będzie w przybliżeniu równy 40*tg(180°/8)*2*8? 40*0,414*16 = 264,96 cm.

Kwadrat to figura geometryczna składająca się z czterech boków o jednakowej długości i czterech kątów prostych, z których każdy jest równy 90°. Określenie obszaru lub obwód czworobok i każdy czworobok jest wymagany nie tylko przy rozwiązywaniu problemów z geometrii, ale także w Życie codzienne. Wiedza ta może przydać się np. podczas napraw przy obliczaniu wymaganej liczby materiałów - pokryć podłóg, ścian lub sufitów, a także przy układaniu trawników i grządek itp.

Instrukcje

1. Aby określić pole kwadratu, pomnóż długość przez szerokość. Ponieważ w kwadracie długość i szerokość są identyczne, to wartość jednego boku wystarczy, aby ją podnieść do kwadratu. Zatem pole kwadratu jest równe długości jego boku do kwadratu. Jednostką miary powierzchni mogą być milimetry kwadratowe, centymetry, decymetry, metry, kilometry. Aby określić powierzchnię kwadratu, możesz użyć wzoru S = aa, gdzie S jest powierzchnią kwadratu, a to bok kwadratu.

2. Przykład nr 1. Pokój ma kształt kwadratu. Ile laminatu (w m2) będzie potrzebne do całkowitego pokrycia podłogi, jeśli długość jednego boku pokoju wynosi 5 m. Zapisz wzór: S = aa. Podstaw do niego dane określone w warunku.Ponieważ a = 5 m zatem powierzchnia będzie równa S (pokoje) = 5x5 = 25 m2, co oznacza S (laminat) = 25 m2.

3. Obwód to całkowita długość krawędzi kształtu. W kwadracie obwód to długość wszystkich czterech identycznych boków. Oznacza to, że obwód kwadratu jest sumą wszystkich jego czterech boków. Aby obliczyć obwód kwadratu, wystarczy znać długość jednego z jego boków. Obwód mierzy się w milimetrach, centymetrach, decymetrach, metrach, kilometrach. Aby określić obwód, służy wzór: P = a + a + a + a lub P = 4a, gdzie P to obwód, a to długość strona.

4. Przykład nr 2. Dla prace wykończeniowe Pomieszczenia w kształcie kwadratu wymagają cokołów sufitowych. Oblicz całkowitą długość (obwód) listew przypodłogowych, jeśli rozmiar jednej strony pomieszczenia wynosi 6 metrów. Zapisz wzór P = 4a.Zastąp do niego dane określone w warunku: P (pokoje) = 4 x 6 = 24 m. W związku z tym długość cokołów stropowych również będzie równa 24 metry.

Wideo na ten temat

Notatka!
W przypadku kwadratu obiektywne są następujące definicje: Kwadrat to prostokąt o bokach równych. Kwadrat to specjalny rodzaj rombu, w którym wszystkie kąty są równe 90 stopni. Będąc dodatnim czworokątem, okrąg można opisać lub wpisać na kwadracie. Promień okręgu wpisanego w kwadrat można obliczyć ze wzoru: R = t/2, gdzie t jest bokiem kwadratu. Jeżeli okrąg jest opisany na nim, to jego promień oblicza się ze wzoru: R = ( ?2*t)/2 Na podstawie tych wzorów można wyprowadzić nowe, aby znaleźć obwód kwadratu: P = 8*R, gdzie R jest promieniem okręgu wpisanego, P = 4*?2*R , gdzie R jest promieniem okręgu wpisanego.Kwadrat jest figurą geometryczną wyjątkową ze względu na to, że z pewnością jest symetryczny, niezależnie od tego, jak i gdzie narysować oś symetrii.

Obwód figury dwuwymiarowej to całkowita długość jej krawędzi, równa sumie długości boków figury. Kwadrat to figura, której cztery boki są jednakowej długości i przecinają się pod kątem 90°. Ponieważ wszystkie boki kwadratu mają tę samą długość, bardzo łatwo jest obliczyć jego obwód. W tym artykule dowiesz się, jak obliczyć obwód kwadratu z jednego podanego boku, z zadanego pola i z zadanego promienia okręgu opisanego na kwadracie.

Obwód jest wskaźnikiem liczbowym obliczanym za pomocą wzoru 4x, gdzie x to długość boku figury geometrycznej, a 4 to liczba boków figury. Rozważmy kilka metod tego obliczenia.

Metoda 1: Oblicz obwód po danym boku

Jeśli znane są wymiary pola, to na podstawie podanej wartości można znaleźć obwód kwadratu. Aby to zrobić, musisz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, abyśmy znaleźli długość boku i obliczyli ostateczną wartość, korzystając z podanego wzoru. Jeśli chcesz znaleźć obwód kwadratu wzdłuż przekątnej, będziesz musiał skorzystać z tabeli Pitagorasa.

Figurę geometryczną dzieli się przez przekątną na trójkąty równoramienne o kątach prostych, a jeśli znana jest przekątna, to wartość boków figury geometrycznej należy obliczyć ze wzoru, w którym kwadrat z (przekątna) jest równy dwukrotnie kwadrat boku u. W rezultacie mamy następującą wartość: u jest równe pierwiastkowi kwadratowemu, który został wyodrębniony z połowy kwadratu przeciwprostokątnej. Następnie należy pomnożyć ostateczną wartość przez 4 razy i otrzymać obwód figury geometrycznej, czyli kwadratu.

Metoda 2: Obliczanie obwodu danego obszaru

Wzór na obliczenie pola kwadratu. Pole dowolnego prostokąta (a kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta) jest równe iloczynowi jego długości i szerokości. Ponieważ długość i szerokość kwadratu są równe, jego pole obliczamy ze wzoru: A = s*s = s2, gdzie s jest długością boku kwadratu.

Weź pierwiastek kwadratowy z powierzchni, aby znaleźć bok kwadratu. Aby to zrobić, w większości przypadków użyj kalkulatora (wprowadź wartość powierzchni i naciśnij klawisz „√”). Możesz także obliczyć pierwiastek kwadratowy ręcznie.

Jeśli pole kwadratu wynosi 20, to jego bok wynosi: s = √20 = 4,472.

Jeśli pole kwadratu wynosi 25, to s = √25 = 5.

Pomnóż znaleziony bok przez 4, aby znaleźć obwód. Podstaw obliczoną wartość boku do wzoru, aby znaleźć obwód: P = 4s. Znajdziesz obwód kwadratu.

W naszym pierwszym przykładzie: P = 4 * 4,472 = 17,888.

Obwód kwadratu o powierzchni 25 i boku 5 wynosi P = 4 * 5 = 20.

Metoda trzecia: Obliczanie obwodu na podstawie podanego promienia okręgu opisanego na kwadracie

Kwadrat wpisany to kwadrat, którego wierzchołki leżą na okręgu.

Zależność promienia okręgu od długości boku kwadratu. Odległość środka opisanego koła od wierzchołka wpisanego w nie kwadratu jest równa promieniowi okręgu. Aby znaleźć boki kwadratu, należy podzielić kwadrat po przekątnej na 2 trójkąty prostokątne. Każdy z tych trójkątów będzie miał równe boki a i b oraz wspólną przeciwprostokątną c równą dwukrotności promienia obwodowego (2r).

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć bok kwadratu. Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w dowolnym trójkącie prostokątnym o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c: a2 + b2 = c2. Ponieważ w naszym przypadku a = b (pamiętajmy, że patrzymy na kwadrat!) i wiemy, że c = 2r, możemy przepisać i uprościć to równanie:

a2 + a2 = (2r)2″’; Teraz uprośćmy to równanie:

2a2 = 4(r)2; Teraz podzielmy obie strony równania przez 2:

(a2) = 2(r)2; Weźmy teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:

a = √(2r). Zatem s = √(2r).

Pomnóż znaleziony bok kwadratu przez 4, aby obliczyć jego obwód. W tym przypadku obwód kwadratu: P = 4√(2r). Wzór ten można przepisać w następujący sposób: P = 4√2 * 4√r = 5,657r, gdzie r jest promieniem opisanego okręgu.

Przykład. Rozważmy kwadrat wpisany w okrąg o promieniu 10. Oznacza to, że przekątna kwadratu wynosi 2 * 10 = 20. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy: 2(a2) = 202, czyli 2a2 = 400. Teraz podzielmy obie strony równania przez 2 i otrzymujemy: a2 = 200. Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania i otrzymujemy: a = 14,142. Pomnóżmy tę wartość przez 4 i obliczmy obwód kwadratu: P = 56,57.

Zauważ, że ten sam wynik można uzyskać po prostu mnożąc promień (10) przez 5,657: 10 * 5,567 = 56,57; ale ta metoda jest trudna do zapamiętania, dlatego lepiej zastosować proces obliczeniowy opisany powyżej.

Materiał ten zawiera kształty geometryczne wraz z wymiarami. Podane wymiary są przybliżone i mogą nie odpowiadać rzeczywistym wymiarom. Treść lekcji

Obwód figury geometrycznej

Obwód figury geometrycznej jest sumą wszystkich jej boków. Aby obliczyć obwód, musisz zmierzyć każdy bok i dodać pomiary.

Obliczmy obwód poniższej figury:

To jest prostokąt. O tej liczbie porozmawiamy bardziej szczegółowo później. Teraz obliczmy obwód tego prostokąta. Jego długość wynosi 9 cm, a szerokość 4 cm.

Prostokąt ma przeciwne boki, które są równe. Można to zobaczyć na rysunku. Jeśli długość wynosi 9 cm, a szerokość 4 cm, wówczas przeciwległe boki będą miały odpowiednio 9 cm i 4 cm:

Znajdźmy obwód. Aby to zrobić, dodajmy wszystkie boki. Można je dodawać w dowolnej kolejności, gdyż zmiana miejsca wyrazów nie powoduje zmiany sumy. Obwód jest często oznaczony dużą literą Litera łacińska P(Język angielski) obwody). Następnie otrzymujemy:

P= 9 cm + 4 cm + 9 cm + 4 cm = 26 cm.

Ponieważ przeciwne boki prostokąta są równe, znalezienie obwodu jest zapisywane krócej - dodaj długość i szerokość i pomnóż przez 2, co będzie oznaczać „powtórz dwukrotnie długość i szerokość”

P= 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 cm.

Kwadrat jest tym samym, co prostokąt, ale ma wszystkie boki równe. Na przykład znajdźmy obwód kwadratu o boku 5 cm „z boku 5cm" muszę zrozumieć jak „Długość każdego boku kwadratu jest równa 5cm"

Aby obliczyć obwód, dodaj wszystkie boki:

P= 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Ale ponieważ wszystkie boki są równe, obliczenie obwodu można zapisać jako iloczyn. Bok kwadratu wynosi 5 cm, a takich boków jest 4. Następnie ten bok równy 5 cm należy powtórzyć 4 razy

P= 5 cm × 4 = 20 cm

Pole figury geometrycznej

Pole figury geometrycznej to liczba charakteryzująca wielkość tej figury.

Należy doprecyzować, że w tym przypadku mówimy o powierzchni na płaszczyźnie. W geometrii płaszczyzną jest dowolna płaska powierzchnia, na przykład: kartka papieru, działka, powierzchnia stołu.

Powierzchnię mierzy się w jednostkach kwadratowych. Jednostki kwadratowe oznaczają kwadraty, których boki są równe jeden. Na przykład 1 centymetr kwadratowy, 1 metr kwadratowy lub 1 kilometr kwadratowy.

Zmierzenie pola figury oznacza sprawdzenie, ile jednostek kwadratowych zawiera się na tej figurze.

Na przykład powierzchnia następującego prostokąta wynosi trzy centymetry kwadratowe:

Dzieje się tak, ponieważ ten prostokąt zawiera trzy kwadraty, z których każdy ma bok równy jednemu centymetrowi:

Po prawej stronie znajduje się kwadrat o boku 1 cm (w tym przypadku jest to jednostka kwadratowa). Jeśli sprawdzimy, ile razy ten kwadrat mieści się w prostokącie pokazanym po lewej stronie, okaże się, że pasuje on trzy razy.

Poniższy prostokąt ma pole równe sześciu centymetrom kwadratowym:

Dzieje się tak, ponieważ ten prostokąt zawiera sześć kwadratów, z których każdy ma bok równy jednemu centymetrowi:

Załóżmy, że musisz zmierzyć powierzchnię następującego pokoju:

Zdecydujmy, w jakich kwadratach będziemy mierzyć pole. W takim przypadku wygodnie jest zmierzyć powierzchnię w metrach kwadratowych:

Naszym zadaniem jest więc określenie, ile takich kwadratów o boku 1 m znajduje się w pierwotnym pomieszczeniu. Wypełnijmy cały pokój tym kwadratem:

Widzimy, że metr kwadratowy mieści się w pomieszczeniu 12 razy. Oznacza to, że powierzchnia pokoju wynosi 12 metrów kwadratowych.

Pole prostokąta

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy powierzchnię pokoju, sprawdzając kolejno, ile razy zawiera on kwadrat o boku równym jednemu metrowi. Powierzchnia wynosiła 12 metrów kwadratowych.

Pokój był prostokątem. Pole prostokąta można obliczyć, mnożąc jego długość i szerokość.

Aby obliczyć pole prostokąta, należy pomnożyć jego długość i szerokość.

Wróćmy do poprzedniego przykładu. Załóżmy, że zmierzyliśmy długość pokoju miarką i okazało się, że długość wynosiła 4 metry:

Teraz zmierzymy szerokość. Niech to będzie 3 metry:

Pomnóż długość (4 m) przez szerokość (3 m).

4 × 3 = 12

Podobnie jak ostatnim razem dostajemy dwanaście metrów kwadratowych. Wyjaśnia to fakt, że mierząc długość, dowiadujemy się w ten sposób, ile razy kwadrat o boku równym jednemu metrowi można umieścić w tej długości. Dopasujmy do tej długości cztery kwadraty:

Następnie określamy, ile razy tę długość można powtórzyć w przypadku ułożonych w stos kwadratów. Dowiadujemy się o tym mierząc szerokość prostokąta:

Powierzchnia kwadratowa

Kwadrat jest tym samym, co prostokąt, ale ma wszystkie boki równe. Na przykład poniższy rysunek przedstawia kwadrat o boku 3 cm „kwadrat z bokiem 3cm" oznacza, że wszystkie boki mają 3 cm

Pole kwadratu oblicza się w taki sam sposób, jak pole prostokąta - długość mnoży się przez szerokość.

Oblicz pole kwadratu o boku 3 cm, pomnóż długość 3 cm przez szerokość 3 cm

W tym przypadku należało sprawdzić, ile kwadratów o boku 1 cm zawiera się w pierwotnym kwadracie. Oryginalny kwadrat zawiera dziewięć kwadratów o boku 1 cm, rzeczywiście tak jest. Kwadrat o boku 1 cm wchodzi w kwadrat dziewięć razy:

Mnożąc długość przez szerokość, otrzymujemy wyrażenie 3 × 3, a to jest iloczyn dwóch identycznych czynników, z których każdy jest równy 3. Innymi słowy, wyrażenie 3 × 3 reprezentuje drugą potęgę liczby 3. Oznacza to, że proces obliczania pola kwadratu można zapisać w postaci potęgi 3 2.

Dlatego nazywa się drugą potęgę liczby podnieś liczbę do kwadratu. Przy obliczaniu drugiej potęgi liczby A, osoba w ten sposób znajduje obszar kwadratu z bokiem A. Operacja podnoszenia liczby do drugiej potęgi nazywana jest również operacją kwadratura.

Oznaczenia

Obszar jest oznaczony dużą literą łacińską S(Język angielski) Kwadrat- kwadrat). Następnie pole kwadratu z bokiem A cm będą liczone według poniższej zasady

S = a 2

Gdzie A- długość boku kwadratu. Stopień drugi wskazuje, że mnożone są dwa identyczne czynniki, a mianowicie długość i szerokość. Mówiono wcześniej, że wszystkie boki kwadratu są równe, co oznacza, że długość i szerokość kwadratu są równe, wyrażone literą A .

Jeżeli zadaniem jest określenie, ile kwadratów o boku 1 cm mieści się w kwadracie wyjściowym, to jako jednostki pola należy podać cm 2. To oznaczenie zastępuje wyrażenie "centymetr kwadratowy" .

Na przykład obliczmy pole kwadratu o boku 2 cm.

Oznacza to, że kwadrat o boku 2 cm ma pole równe czterem centymetrom kwadratowym:

Jeżeli zadaniem jest określenie, ile kwadratów o boku 1 m mieści się w kwadracie wyjściowym, to jako jednostki miary należy podać m 2. To oznaczenie zastępuje wyrażenie "metr kwadratowy" .

Oblicz pole kwadratu o boku 3 metrów

Oznacza to, że kwadrat o boku 3 m ma pole równe dziewięciu metrom kwadratowym:

Podobną notację stosuje się przy obliczaniu pola prostokąta. Ale długość i szerokość prostokąta mogą być różne, dlatego są one na przykład oznaczone różnymi literami A I B. Następnie obszar prostokąta, długość A i szerokość B oblicza się według następującej zasady:

S = a × b

Podobnie jak w przypadku kwadratu, jednostkami miary powierzchni prostokąta mogą być cm 2, m 2, km 2. Oznaczenia te zastępują wyrażenia „centymetr kwadratowy”, „metr kwadratowy”, „kilometr kwadratowy” odpowiednio.

Na przykład obliczmy pole prostokąta o długości 6 cm i szerokości 3 cm

Oznacza to, że prostokąt o długości 6 cm i szerokości 3 cm ma pole równe osiemnastu centymetrom kwadratowym:

Dozwolone jest używanie tego wyrażenia jako jednostki miary „jednostki kwadratowe” . Na przykład nagrywaj S = 3 jednostki kwadratowe oznacza, że powierzchnia kwadratu lub prostokąta jest równa trzem kwadratom, z których każdy ma bok jednostkowy (1 cm, 1 m lub 1 km).

Konwersja jednostek powierzchni

Jednostki powierzchni można przeliczać z jednej jednostki miary na inną. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Wyraź 1 metr kwadratowy w centymetrach kwadratowych.

1 metr kwadratowy to kwadrat o boku 1 m. Oznacza to, że wszystkie cztery boki mają długość równą jednemu metrowi.

Ale 1 m = 100 cm. Wtedy wszystkie cztery boki również mają długość równą 100 cm

Obliczmy nową powierzchnię tego kwadratu. Pomnóż długość 100 cm przez szerokość 100 cm lub podnieś liczbę 100 do kwadratu

S = 100 2 = 10 000 cm 2

Okazuje się, że na metr kwadratowy przypada dziesięć tysięcy centymetrów kwadratowych.

1 m2 = 10 000 cm2

Dzięki temu możesz w przyszłości pomnożyć dowolną liczbę metrów kwadratowych przez 10 000 i otrzymać powierzchnię wyrażoną w centymetrach kwadratowych.

Aby przeliczyć metry kwadratowe na centymetry kwadratowe, należy pomnożyć liczbę metrów kwadratowych przez 10 000.

Aby przeliczyć centymetry kwadratowe na metry kwadratowe, należy przeciwnie podzielić liczbę centymetrów kwadratowych przez 10 000.

Na przykład przeliczmy 100 000 cm 2 na metry kwadratowe. W takim przypadku możesz rozumować w ten sposób: „ Jeśli 10 000 cm2 to jest jeden metr kwadratowy, to ile razy 100 000 cm 2 będzie zawierać 10 000 cm 2 "

100 000 cm 2: 10 000 cm 2 = 10 m 2

Inne jednostki miary można przeliczyć w ten sam sposób. Na przykład przeliczmy 2 km 2 na metry kwadratowe.

Jeden kilometr kwadratowy to kwadrat o boku 1 km. Oznacza to, że wszystkie cztery boki mają długość równą jednemu kilometrowi. Ale 1 km = 1000 m. Oznacza to, że wszystkie cztery boki kwadratu są również równe 1000 m. Znajdźmy nową powierzchnię placu wyrażoną w metrach kwadratowych. Aby to zrobić, pomnóż długość 1000 m przez szerokość 1000 m lub podnieś liczbę 1000 do kwadratu

S = 1000 2 = 1 000 000 m2

Okazuje się, że na kilometr kwadratowy przypada milion metrów kwadratowych:

1 km 2 = 1 000 000 m 2

Dzięki temu będzie można w przyszłości pomnożyć dowolną liczbę kilometrów kwadratowych przez 1 000 000 i otrzymać powierzchnię wyrażoną w metrach kwadratowych.

Aby przeliczyć kilometry kwadratowe na metry kwadratowe, należy pomnożyć liczbę kilometrów kwadratowych przez 1 000 000.

Wróćmy więc do naszego zadania. Należało przeliczyć 2 km 2 na metry kwadratowe. Pomnóż 2 km 2 przez 1 000 000

2 km 2 × 1 000 000 = 2 000 000 m2

Aby przeliczyć metry kwadratowe na kilometry kwadratowe, należy przeciwnie podzielić liczbę metrów kwadratowych przez 1 000 000.

Na przykład przeliczmy 3 500 000 m2 na kilometry kwadratowe. W takim przypadku możesz rozumować w ten sposób: „ Jeśli 1 000 000 m2 to jest jeden kilometr kwadratowy, to ile razy 3 500 000 m2 będzie zawierać 1 000 000 m2"

3 500 000 m2: 1 000 000 m2 = 3,5 km2

Przykład 2. Wyraź 7 m2 w centymetrach kwadratowych.

Pomnóż 7 m2 przez 10 000

7 m 2 = 7 m 2 × 10 000 = 70 000 cm 2

Przykład 3. Wyraź 5 m 2 13 cm 2 w centymetrach kwadratowych.

5 m 2 13 cm 2 = 5 m 2 × 10 000 + 13 cm 2 = 50 013 cm 2

Przykład 4. Ekspresowe 550 000 cm 2 w metrach kwadratowych.

Dowiedzmy się, ile razy 550 000 cm 2 zawiera 10 000 cm 2. Aby to zrobić, podziel 550 000 cm 2 przez 10 000 cm 2

550 000 cm 2: 10 000 cm 2 = 55 m 2

Przykład 5. Express 7 km 2 w metrach kwadratowych.

Pomnóż 7 km 2 przez 1 000 000

7 km 2 × 1 000 000 = 7 000 000 m2

Przykład 6. Wyraź 8 500 000 m2 w kilometrach kwadratowych.

Przekonajmy się, ile razy 8 500 000 m2 zawiera 1 000 000 m2. Aby to zrobić, podziel 8 500 000 m2 przez 1 000 000 m2

8 500 000 m2 × 1 000 000 m2 = 8,5 km2

Jednostki miary powierzchni gruntów

Wygodnie jest mierzyć powierzchnię małych działek w metrach kwadratowych.

Powierzchnię większych działek mierzy się w arach i hektarach.

Ar(w skrócie: A) to powierzchnia równa stu metrom kwadratowym (100 m2). Ze względu na częste rozmieszczenie takiej powierzchni (100 m2) zaczęto ją stosować jako odrębną jednostkę miary.

Na przykład, jeśli powiedziano, że powierzchnia pola wynosi 3 a, to musisz zrozumieć, że są to trzy kwadraty o powierzchni 100 m2 każdy, czyli:

3 a = 100 m 2 × 3 = 300 m 2

między ludźmi ar często dzwonię sto, ponieważ ap jest równe kwadratowi o powierzchni 100 m 2. Przykłady:

1 sto metrów kwadratowych = 100 m 2

2 akry = 200 m 2

10 akrów = 1000 m2

Hektar(w skrócie ha) to powierzchnia równa 10 000 m 2 . Na przykład, jeśli mówi się, że powierzchnia lasu wynosi 20 hektarów, to trzeba zrozumieć, że jest to dwadzieścia kwadratów o powierzchni 10 000 m2 każdy, czyli:

20 ha = 10 000 m 2 × 20 = 200 000 m 2

Prostokątny równoległościan i sześcian

Prostokątny równoległościan to figura geometryczna składająca się z ścian, krawędzi i wierzchołków. Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny:

Pokazane w kolorze żółtym krawędzie równoległościan, czarny - żeberka, czerwony - szczyty.

Prostokątny równoległościan ma długość, szerokość i wysokość. Rysunek pokazuje, gdzie jest długość, szerokość i wysokość:

Nazywa się równoległościan, którego długość, szerokość i wysokość są równe. Rysunek przedstawia sześcian:

Objętość figury geometrycznej

Objętość figury geometrycznej to liczba charakteryzująca pojemność danej figury.

Objętość mierzy się w jednostkach sześciennych. Jednostki sześcienne oznaczają sześciany o długości 1, szerokości 1 i wysokości 1. Na przykład 1 centymetr sześcienny lub 1 metr sześcienny.

Zmierzenie objętości figury oznacza sprawdzenie, ile jednostek sześciennych mieści się w tej figurze.

Na przykład objętość następującego prostokątnego równoległościanu wynosi dwanaście centymetrów sześciennych:

Dzieje się tak, ponieważ ten równoległościan pasuje do dwunastu sześcianów o długości 1 cm, szerokości 1 cm i wysokości 1 cm:

Objętość jest oznaczona dużą literą łacińską V. Jedną z jednostek miary objętości jest centymetr sześcienny (cm3). Następnie głośność V rozważany przez nas równoległościan ma 12 cm 3

V= 12 cm 3

Objętość dowolnego równoległościanu oblicza się w następujący sposób: pomnóż jego długość, szerokość i wysokość.

Objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi jego długości, szerokości i wysokości.

V=abc

Gdzie, A- długość, B- szerokość, C- wysokość

Tak więc w poprzednim przykładzie wizualnie ustaliliśmy, że objętość równoległościanu wynosi 12 cm 3. Można jednak zmierzyć długość, szerokość i wysokość danego równoległościanu i pomnożyć wyniki pomiarów. Otrzymamy ten sam wynik

Objętość oblicza się w taki sam sposób jak objętość prostokątny równoległościan- pomnóż długość, szerokość i wysokość.

Na przykład obliczmy objętość sześcianu, którego długość wynosi 3 cm, a długość, szerokość i wysokość sześcianu są sobie równe. Jeśli długość wynosi 3 cm, wówczas szerokość i wysokość sześcianu są równe tym samym trzem centymetrom:

Mnożymy długość, szerokość, wysokość i otrzymujemy objętość równą dwudziestu siedmiu centymetrom sześciennym:

V= 3 × 3 × 3 = 27 cm³

Rzeczywiście, oryginalna kostka zawiera 27 kostek o długości 1 cm

Obliczając objętość danego sześcianu, pomnożyliśmy długość, szerokość i wysokość. Wynikiem jest iloczyn 3 × 3 × 3. Jest to iloczyn trzech czynników, z których każdy jest równy 3. Innymi słowy, iloczyn 3 × 3 × 3 jest trzecią potęgą liczby 3 i można go zapisać jak 3 3.

V= 3 3 = 27 cm 3

Dlatego nazywa się trzecią potęgę liczby liczby sześcienne. Przy obliczaniu trzeciej potęgi liczby A, osoba w ten sposób znajduje objętość sześcianu, długość A. Operacja podnoszenia liczby do potęgi trzeciej nazywana jest również operacją pokrojone w kostkę.

Zatem objętość sześcianu oblicza się według następującej zasady:

V=a 3

Gdzie A- długość sześcianu.

Decymetr sześcienny. Metr sześcienny

Nie wszystkie obiekty w naszym świecie można wygodnie mierzyć w centymetrach sześciennych. Na przykład wygodniej jest zmierzyć objętość pokoju lub domu w metrach sześciennych (m3). Wygodniej jest mierzyć objętość zbiornika, akwarium lub lodówki w decymetrach sześciennych (dm 3).

Inna nazwa jednego decymetra sześciennego to jeden litr.

1 dm 3 = 1 litr

Przeliczanie jednostek objętości

Jednostki objętości można przeliczać z jednej jednostki miary na inną. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Wyraź 1 metr sześcienny w centymetrach sześciennych.

Jeden metr sześcienny to sześcian o boku 1 m. Długość, szerokość i wysokość tego sześcianu są równe jednemu metrowi.

Ale 1 m = 100 cm. Oznacza to, że długość, szerokość i wysokość są również równe 100 cm

Obliczmy nową objętość sześcianu wyrażoną w centymetrach sześciennych. Aby to zrobić, pomnóż jego długość, szerokość i wysokość. Albo pokrójmy liczbę 100 w kostkę:

V = 100 3 = 1 000 000 cm 3

Okazuje się, że na metr sześcienny przypada milion centymetrów sześciennych:

1 m 3 = 1 000 000 cm 3

Dzięki temu możesz w przyszłości pomnożyć dowolną liczbę metrów sześciennych przez 1 000 000 i otrzymać objętość wyrażoną w centymetrach sześciennych.

Aby zamienić metry sześcienne na centymetry sześcienne, należy pomnożyć liczbę metrów sześciennych przez 1 000 000.

Aby przeliczyć centymetry sześcienne na metry sześcienne, należy przeciwnie podzielić liczbę centymetrów sześciennych przez 1 000 000.

Na przykład przeliczmy 300 000 000 cm 3 na metry sześcienne. W takim przypadku możesz rozumować w ten sposób: „ Jeśli 1 000 000 cm 3 to jest jeden metr sześcienny, to ile razy 300 000 000 cm3 będzie zawierać 1 000 000 cm 3 "

300 000 000 cm 3: 1 000 000 cm 3 = 300 m 3

Przykład 2. Wyraź 3 m 3 w centymetrach sześciennych.

Pomnóż 3 m 3 przez 1 000 000

3 m 3 × 1 000 000 = 3 000 000 cm 3

Przykład 3. Wyraź 60 000 000 cm 3 w metrach sześciennych.

Dowiedzmy się, ile razy 60 000 000 cm 3 zawiera 1 000 000 cm 3. Aby to zrobić, podziel 60 000 000 cm 3 przez 1 000 000 cm 3

60 000 000 cm 3: 1 000 000 cm 3 = 60 m 3

Pojemność zbiornika, puszki lub kanistra mierzy się w litrach. Litr to także jednostka objętości. Jeden litr jest równy jednemu decymetrowi sześciennemu.

1 litr = 1 dm 3

Na przykład, jeśli pojemność słoika wynosi 1 litr, oznacza to, że objętość tego słoika wynosi 1 dm 3. Przy rozwiązywaniu niektórych problemów przydatna może być możliwość przeliczenia litrów na decymetry sześcienne i odwrotnie. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1. Zamień 5 litrów na decymetry sześcienne.

Aby przeliczyć 5 litrów na decymetry sześcienne, wystarczy pomnożyć 5 przez 1

5 l × 1 = 5 dm 3

Przykład 2. Zamień 6000 litrów na metry sześcienne.

Sześć tysięcy litrów to sześć tysięcy decymetrów sześciennych:

6000 l × 1 = 6000 dm 3

Teraz przeliczmy te 6000 dm 3 na metry sześcienne.

Długość, szerokość i wysokość jednego metra sześciennego są równe 10 dm

Jeśli obliczymy objętość tego sześcianu w decymetrach, otrzymamy 1000 dm 3

V= 10 3 = 1000 dm 3

Okazuje się, że tysiąc decymetrów sześciennych odpowiada jednemu metrowi sześciennemu. Aby określić, ile metrów sześciennych odpowiada sześciu tysiącom ml decymetrów sześciennych, musisz dowiedzieć się, ile razy 6000 dm 3 zawiera 1000 dm 3

6000 dm 3 : 1000 dm 3 = 6 m 3

Oznacza to 6000 l = 6 m3.

Tabela kwadratów

W życiu często trzeba znaleźć obszar różnych kwadratów. Aby to zrobić, za każdym razem musisz podnieść pierwotną liczbę do drugiej potęgi.

Kwadraty pierwszych 99 liczb naturalnych zostały już obliczone i wpisane do specjalnej tabeli zwanej tabela kwadratów.

Pierwszy wiersz tej tabeli (liczby od 0 do 9) to liczba pierwotna, a pierwsza kolumna (liczby od 1 do 9) to liczba pierwotna.

Na przykład znajdźmy kwadrat liczby 24, korzystając z tej tabeli. Liczba 24 składa się z cyfr 2 i 4. Dokładniej, liczba 24 składa się z dwóch dziesiątek i czterech jedności.

Wybieramy zatem liczbę 2 w pierwszej kolumnie tabeli (kolumna dziesiątek), a w pierwszym wierszu (wiersz jednostek) wybieramy liczbę 4. Następnie, przesuwając się na prawo od liczby 2 i w dół od liczby 4, znajdziemy punkt przecięcia. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się liczba 576. Oznacza to, że kwadratem liczby 24 jest liczba 576

24 2 = 576

Stół z kostką

Podobnie jak w przypadku kwadratów, kostki pierwszych 99 liczb naturalnych zostały już obliczone i wpisane do tabeli zwanej stół z kostkami.

Oblicz objętość równoległościanu prostokątnego o długości 6 cm, szerokości 4 cm i wysokości 3 cm Zadanie 7. Pole działka zasiane pszenicą i lnem są proporcjonalne do liczb 4 i 5. Na jakim obszarze zasiewa się pszenicę, jeśli 15 hektarów obsianych jest lnem

Rozwiązanie

Liczba 4 oznacza obszar zasiany pszenicą. A liczba 5 odzwierciedla obszar obsiany lnem.
Mówi się, że do tych liczb są proporcjonalne obszary obsiane pszenicą i lnem.

Mówiąc najprościej, o ile razy zmienią się liczby 4 lub 5, o ile razy zmieni się obszar zasiany pszenicą lub lnem. 15 hektarów obsiewa się lnem. Oznacza to, że liczba 5, która odzwierciedla obszar obsiany lnem, zmieniła się 3 razy.

Następnie liczbę 4, która odzwierciedla powierzchnię zasianą pszenicą, należy zwiększyć trzykrotnie

4 × 3 = 12 hektarów

Odpowiedź: Pszenicą obsiane jest 12 hektarów.

Zadanie 8. Długość spichlerza wynosi 42 m, szerokość jest równa długości, a wysokość jest 0,1 razy większa. Oblicz, ile ton zboża może pomieścić spichlerz, jeśli 1 m3 waży 740 kg.

Rozwiązanie

Określmy, ile litrów na minutę przepływa przez drugą rurę:

25 l/min × 0,75 = 18,75 l/min

Określmy, ile litrów na minutę wpływa do basenu przez obie rury:

25 l/min + 18,75 l/min = 43,75 l/min

Ustalmy, ile litrów wody wleje się do basenu w ciągu 13 godzin i 32 minut

43,75 × 13 godz. 32 min = 43,75 × 812 min = 35525 l

1 l = 1 dm 3

35 525 l = 35 525 dm 3

Zamieńmy decymetry sześcienne na metry sześcienne. Umożliwi to obliczenie objętości basenu:

35 525 dm 3: 1000 dm 3 = 35,525 m 3

Znając objętość basenu, możesz obliczyć jego wysokość. Podstawmy to do dosłownego równania V=abc wartości, które mamy. Następnie otrzymujemy: