Wykres Y cos x n 2. Wykresy funkcji trygonometrycznych wielu kątów. Własności funkcji cos(x)

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja y=cos(x). Definicja i wykres funkcji”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9–11
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:
1. Definicja.
2. Wykres funkcji.
3. Własności funkcji Y=cos(X).
4. Przykłady.

Definicja funkcji cosinus y=cos(x)

Chłopaki, poznaliśmy już funkcję Y=sin(X).

Przypomnijmy sobie jeden ze wzorów duchów: sin(X + π/2) = cos(X).

Dzięki temu wzorowi możemy stwierdzić, że funkcje sin(X + π/2) i cos(X) są identyczne, a wykresy ich funkcji pokrywają się.

Wykres funkcji sin(X + π/2) otrzymujemy z wykresu funkcji sin(X) poprzez równoległe przesunięcie jednostek π/2 w lewo. Będzie to wykres funkcji Y=cos(X).

Wykres funkcji Y=cos(X) nazywany jest także sinusoidą.

Własności funkcji cos(x)

Zapiszmy właściwości naszej funkcji:
• Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
• Funkcja jest parzysta. Przypomnijmy sobie definicję funkcji parzystej. Funkcja jest wywoływana nawet wtedy, gdy zachodzi równość y(-x)=y(x). Jak pamiętamy ze wzorów duchów: cos(-x)=-cos(x), definicja jest spełniona, wtedy cosinus jest funkcją parzystą.
• Funkcja Y=cos(X) maleje na odcinku i rośnie na odcinku [π; 2π]. Możemy to sprawdzić na wykresie naszej funkcji.
• Funkcja Y=cos(X) jest ograniczona od dołu i od góry. Własność ta wynika z faktu, że
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Najmniejsza wartość funkcji to -1 (przy x = π + 2πk). Największą wartością funkcji jest 1 (przy x = 2πk).
• Funkcja Y=cos(X) jest funkcją ciągłą. Spójrzmy na wykres i upewnijmy się, że nasza funkcja nie ma przerw, oznacza to ciągłość.
• Zakres wartości: segment [- 1; 1]. Widać to również wyraźnie na wykresie.
• Funkcja Y=cos(X) jest funkcją okresową. Spójrzmy jeszcze raz na wykres i zobaczmy, że funkcja przyjmuje te same wartości w określonych odstępach czasu.

Przykłady z funkcją cos(x).

1. Rozwiąż równanie cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rozwiązanie: Zbudujmy 2 wykresy funkcji: y=cos(x) i y=(x - 2π) 2 + 1 (patrz rysunek).


y=(x - 2π) 2 + 1 to parabola przesunięta w prawo o 2π i w górę o 1. Nasze wykresy przecinają się w jednym punkcie A(2π;1), oto odpowiedź: x = 2π.

2. Wykreśl funkcję Y=cos(X) dla x ≤ 0 i Y=sin(X) dla x ≥ 0

Rozwiązanie: Aby zbudować wymagany wykres, zbudujmy dwa wykresy funkcji w „częściach”. Pierwsza część: y=cos(x) dla x ≤ 0. Druga część: y=sin(x)
dla x ≥ 0. Przedstawmy oba „kawałki” na jednym wykresie.

3. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji Y=cos(X) na odcinku [π; 7π/4]

Rozwiązanie: Zbudujmy wykres funkcji i rozważmy nasz odcinek [π; 7π/4]. Z wykresu wynika, że ​​najwyższe i najniższe wartości osiągane są na końcach odcinka: odpowiednio w punktach π i 7π/4.
Odpowiedź: cos(π) = -1 – najmniejsza wartość, cos(7π/4) = największa wartość.

4. Wykres funkcji y=cos(π/3 - x) + 1

Rozwiązanie: cos(-x)= cos(x), wówczas żądany wykres otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=cos(x) π/3 jednostki w prawo i o 1 jednostkę w górę.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1)Rozwiąż równanie: cos(x)= x – π/2.
2) Rozwiąż równanie: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Naszkicuj funkcję y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Naszkicuj funkcję y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=cos(x) w segmencie.
6) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=cos(x) na odcinku [- π/6; 5π/4].

„Wykresy funkcji i ich właściwości” - y = ctg x. 4) Ograniczona funkcja. 3) Funkcja nieparzysta. (Wykres funkcji jest symetryczny względem początku.) y = opalenizna x. 7) Funkcja jest ciągła na dowolnym przedziale postaci (?k; ? + ?k). Funkcja y = tan x jest ciągła na dowolnym przedziale postaci. 4) Funkcja maleje w dowolnym przedziale postaci (?k; ? + ?k). Wykres funkcji y = tan x nazywany jest tangentoidą.

„Wykres funkcji Y X” - Szablon paraboli y = x2. Aby zobaczyć wykresy, kliknij myszką. Przykład 2. Zbudujmy wykres funkcji y = x2 + 1 na podstawie wykresu funkcji y=x2 (kliknięcie myszką). Przykład 3. Udowodnijmy, że wykres funkcji y = x2 + 6x + 8 jest parabolą i skonstruujmy wykres. Wykres funkcji y=(x - m)2 jest parabolą, której wierzchołek znajduje się w punkcie (m; 0).

„Matematyka wykresów” – Jak budować wykresy? W najbardziej naturalny sposób zależności funkcjonalne są odzwierciedlane za pomocą wykresów. Ciekawe zastosowanie: rysunki,... Po co studiujemy wykresy? Wykresy funkcji elementarnych. Co można narysować za pomocą wykresów? Rozważamy wykorzystanie wykresów w przedmiotach edukacyjnych: matematyce, fizyce,...

„Wykreślanie wykresów za pomocą pochodnych” – Uogólnienie. Naszkicuj wykres funkcji. Znajdź asymptoty wykresu funkcji. Wykres pochodnej funkcji. Dodatkowe zadanie. Poznaj tę funkcję. Nazwij przedziały funkcji malejącej. Samodzielna praca studentów. Poszerzaj wiedzę. Lekcja utrwalenia zdobytego materiału. Oceń swoje umiejętności. Maksymalne punkty funkcji.

„Wykresy z modułem” - Odwzoruj „dolną” część na górną półpłaszczyznę. Moduł liczby rzeczywistej. Własności funkcji y = |x|. |x|. Liczby. Algorytm konstruowania wykresu funkcji. Algorytm konstrukcji. Funkcja y=lхl. Nieruchomości. Niezależna praca. Zera funkcji. Rady od wielkich. Rozwiązanie „zrób to sam”.

„Równanie styczne” - Równanie styczne. Normalne równanie. Jeżeli, to krzywe przecinają się pod kątem prostym. Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych. Kąt między wykresami funkcji. Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Niech funkcja będzie różniczkowalna w punkcie. Niech linie będą dane przez równania i.

W sumie dostępnych jest 25 prezentacji na ten temat

Teraz przyjrzymy się pytaniu, jak wykreślić funkcje trygonometryczne wielu kątów ωx, Gdzie ω - jakaś liczba dodatnia.

Aby wykreślić funkcję y = grzech ωx Porównajmy tę funkcję z funkcją, którą już badaliśmy y = grzech x. Załóżmy, że kiedy x = x 0 funkcjonować y = grzech x przyjmuje wartość równą 0. Następnie

y 0 = grzech X 0 .

Przekształćmy tę relację w następujący sposób:

Dlatego funkcja y = grzech ωx Na X = X 0 / ω przyjmuje tę samą wartość Na 0 , co jest tym samym co funkcja y = grzech x Na x = X 0 . Oznacza to, że funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω razy częściej niż funkcja y = grzech x. Dlatego wykres funkcji y = grzech ωx uzyskany przez „kompresję” wykresu funkcji y = grzech x V ω razy wzdłuż osi x.

Na przykład wykres funkcji y = grzech 2x uzyskany poprzez „kompresję” sinusoidy y = grzech x dwukrotnie wzdłuż osi x.

Wykres funkcji y = grzech x / 2 uzyskuje się przez dwukrotne „rozciągnięcie” sinusoidy y = sin x (lub „ściśnięcie” jej przez 1 / 2 razy) wzdłuż osi x.

Ponieważ funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω razy częściej niż funkcja
y = grzech x, to jest jego okres ω razy krótszy niż okres funkcji y = grzech x. Na przykład okres funkcji y = grzech 2x równa się 2π/2 = π i okres funkcji y = grzech x / 2 równa się π / X/ 2 = 4π .

Interesujące jest badanie zachowania funkcji y = topór grzechu na przykładzie animacji, którą w bardzo prosty sposób można stworzyć w programie Klon:

Wykresy innych funkcji trygonometrycznych wielu kątów są konstruowane w podobny sposób. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = cos 2x, który uzyskuje się poprzez „kompresję” fali cosinus y = cos x dwukrotnie wzdłuż osi x.

Wykres funkcji y = cos x / 2 uzyskane poprzez „rozciągnięcie” fali cosinus y = cos x podwojona wzdłuż osi x.

Na rysunku widać wykres funkcji y = opalenizna 2x, uzyskany przez „ściskanie” stycznych y = opalenizna x dwukrotnie wzdłuż osi x.

Wykres funkcji y = tg X/ 2 , uzyskany przez „rozciągnięcie” stycznych y = opalenizna x podwojona wzdłuż osi x.

I na koniec animacja wykonywana przez program Klon:

Ćwiczenia

1. Zbuduj wykresy tych funkcji i wskaż współrzędne punktów przecięcia tych wykresów z osiami współrzędnych. Wyznacz okresy tych funkcji.

A). y = grzech 4x/ 3 G). y = opalony 5x/ 6 I). y = sałata 2x/ 3

B). y = sałata 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3

V). y = opalony 4x/ 3 mi). y = grzech 2x/ 3

2. Wyznaczanie okresów funkcji y = grzech (πх) I y = tg (πх/2).

3. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od -1 do +1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z okresem 10.

4 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od 0 do 1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z kropką π/2.

5. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości rzeczywiste i zmieniają się okresowo z okresem 1.

6 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które akceptują wszystkie wartości ujemne i zero, ale nie akceptują wartości dodatnich i zmieniają się okresowo z okresem 5.