Nowosybirski Państwowy Instytut Architektury i Budownictwa
Uniwersytet (Sibstrin)
WYKŁADY Z MECHANIKI TEORETYCZNEJ.
KINEMATYKA
WYKŁAD 3.
PŁASKI RUCH CIAŁ STAŁYCH
CIAŁA
Katedra Mechaniki Teoretycznej

Konspekt wykładu

Wstęp.
Prawo ruchu płaszczyzny.
Prędkości punktów ciała.
Przyspieszenie punktów ciała.
.
Wniosek.

Na poprzednich wykładach

Przestudiowaliśmy już:
-Kinematyka punktu
-Ruch postępowy ciała sztywnego
-Ruch obrotowy ciała sztywnego
Temat dzisiejszego wykładu:
Ruch płaski ciała stałego
ciało
Q
O
Definicja. Płaski
nazywa się ten ruch
P
ciało sztywne, dla którego wszystkie x
jego punkty M(t) przesuwają się
płaszczyzny Q równoległe
niektóre naprawione
samolot P.
M
JAK
y

Cel wykładu

Naucz się ruchu płaskiego
solidny

Wstęp
Przykłady:
-Ruch obrotowy (płaszczyzna P –
prostopadle do osi obrotu)
-Ruch statku powietrznego w trybie przelotowym
(płaszczyzna P jest prostopadła do rozpiętości skrzydeł)
-Ruch kół samochodu na prostej drodze
(płaszczyzna P – wzdłuż nadwozia)
-Ruch mechanizmów płaskich:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
mi

Wstęp
Q
O
P
M
JAK
y
X
Oświadczenie. Wszystkie punkty prostej AM,
prostopadle do P, poruszaj się w ten sam sposób.
Dowód. Ponieważ ciało jest stałe, wówczas AM=const;
Ponieważ P jest równoległe do Q, wówczas pozostaje odcinek AM
prostopadle do P. A więc jego ruch
stopniowo. Dlatego wszystkie jego punkty
poruszaj się w ten sam sposób.
Wniosek: Zadanie sprowadza się do studiowania ruchu
przekroje S w płaszczyźnie P.

y
Ruch figury płaskiej S
w stosunku do systemu Oxy
zostanie całkowicie zdeterminowany
A
tak
ruch odcinka AB
O
xA (t), yA (t)
B
φ
xA
- określić ruch bieguna A.
t - określa obrót AB wokół bieguna A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- prawo ruchu płaskiego ciała sztywnego
X

Prawo ruchu płaskiego ciała sztywnego
Interpretacja. Wprowadźmy pomocnicze Y y
układ pędny:
Oś1 y1; Oś1 jest równoległa do Ox,
B
1
x1
A
Ay1 jest równoległy do ​​Oy;
O
W układzie Ax1 y1 korpus się obraca
X
ruch ciała. System Ax1 y1 porusza się
w stosunku do Oxy stopniowo
Ruch płaski jest sumą ruchu translacyjnego
ruch wraz z biegunem A i obrót
ruch względem bieguna A
x A (t), y A (t) określa ruch postępowy
(t) określa ruch obrotowy

Interpretacja

1
A)
A
B
2
B"
1"
1
B)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Przekrój można przenieść z pozycji 1 do pozycji 2
uważany za superpozycję dwóch ruchów:
translacyjne od 1 do 1" i obrotowe od 1" do 2
wokół punktu A.”
Jako biegun możesz wybrać dowolny punkt. NA
Ryż. b) jako biegun wybrano punkt B.
Uwaga: Długość drogi podczas ruchu postępowego uległa zmianie, ale kąt obrotu pozostaje taki sam!
Te. część translacyjna zależy od wyboru bieguna, oraz
część obrotowa nie zależy!

Prawo ruchu i trajektorie punktów ciała

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) grzech((t))
Przykład (ruch elipsograficzny)
AB l, AM b;
y
O
rA
B
x1
X
Określ zasadę ruchu
oraz trajektoria punktu M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
X
yM (t) b sin (t) zasada ruchu
xM2
yM2
2 1 elipsa
2
(b l)
B

Prędkości punktowe ciała

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Różniczkując otrzymujemy:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
X
R
O
v Prędkość biegunowa
D
przeciwko MA
prędkość obrotu wokół bieguna
dt
(v MA prędkość M w systemie Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
przeciwko MA
vA
A
M
vA

Konsekwencje wzoru na prędkości punktowe

Wniosek 1. Rzuty prędkości dwóch punktów bryły
vB
ciała na linii prostej je łączącej są równe.
Dowód.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Wniosek 2. Jeśli punkty
A, B, C leżą na jednym
proste, potem końcówki
wektory v A , v B , v C
leżeć na tej samej linii prostej
i ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

MCS to punkt, którego prędkość
A
równa zeru w danym momencie.
C
Przykład. Toczenie się bez poślizgu
Dysk Vani. MCS-punkt C.
Oświadczenie. Jeśli prędkość kątowa nie jest równa zeru
dla danego t wówczas MCS istnieje i jest unikalny.
vA
Dowód.
A
Ponieważ 0 następnie A i B, v A v B .
C
Jeśli v A i v B nie są równoległe: B A
v A v C v AC; v B v C v BC
Jeśli v C 0, to v A AC , v B BC
Znaleziono C.
B
vB

Środek prędkości chwilowej (IVC)

Jeśli v A i vB są równoległe:
A
B
C
V)
B)
A)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Jeśli 0, to przypadek c) jest niemożliwy
(według twierdzenia o projekcji)
Jeśli 0, to dla wszystkich A, B: v A v B
i MCS nie istnieje

Właściwości MCS.
Niech P będzie MCS. Wybierając P jako biegun, otrzymujemy:
v A ω PA; v B ω PB;
v PA; przeciwko B PB
vB
vA vB vC
Lub:
...
AP BP CP
Ponadto v Z komputerem
przeciwko B PB
A
P
vA
ω
B
Wniosek. Jeśli MCS (punkt P) zostanie potraktowany jako biegun, to
ruch płaski dla danego t
czysty obrót wokół punktu P

MCU (przykład)
Przykład. Koło toczy się bez poślizgu
prosta droga.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
PE
vA
A
B
vB
D
vD

Przykład (obliczanie prędkości płaskiego mechanizmu)
Dane: OA , r1 r2 r, BD CD l
Określ v A, v B, v D, BD; płyta CD
Rozwiązanie.
A
O
OA: v A OA OA;
AB: P1 – MCS AB przeciwko B BP1;
vA
P1
vB
D
B
45°P
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Przyspieszenie punktów ciała.

Mamy równość: v B v A ω ρ
Rozróżnijmy to:
d v B dv A dω re ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
zakaz
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
X
N
aBA ; aBA vBA
N
aB i A ABA ABA
Przyspieszenie punktu B jest równe sumie przyspieszenia bieguna A i
przyspieszenie obrotu punktu B wokół bieguna A

Wniosek ze wzoru na przyspieszenia punktowe

C
A
aA
A
B
aB
B
AC
Cx
Ryż. 13.19
Konsekwencja. Jeśli punkty
na jednej linii prostej
ABC
kłamstwo
następnie końce wektorów aA , aB , aC
leżą na tej samej linii prostej oraz ab/bc AB/BC

Centrum Natychmiastowego Przyspieszenia (IAC)

MCU to punkt Q, którego przyspieszenie jest określone
czas t wynosi zero.
Oświadczenie. Do nietranslacyjnego ruchu MCU
W
istnieje i jest wyjątkowy.
A
B
A
aA
Dowód.
aA aQ i AQ; Q MCU
2
aA i AQ; tg/;
AC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Rozkład przyspieszeń jest taki sam jak przy obrocie wokół Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Komentarz. MCS i MCU to różne punkty!
4

Obliczenia kinematyczne mechanizmu płaskiego

Przykład. Biorąc pod uwagę: OA, OA
Definiować:
v A , v B , AB ,
BC, aA, aB, AB, AB
Schemat rozwiązania.
1. Obliczanie prędkości.
OA: v OA; v OA;
AB: v B BC PAB MCS AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Obliczenia kinematyczne mechanizmu płaskiego

2. Obliczanie przyspieszeń.
OA: An 2OA; OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; BA AB AB;
N
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
PNE; a B BC BC
n n
N
aB aB a A a A aBA aBA (**)
W (**) są dwie niewiadome: AB, BC. Wystaje (**) na
dwie osie, znajdźmy je. Obliczamy przyspieszenie aB z (*).

Jeszcze jeden przykład

OA0, OA11; AB12; BD l3; DE l4
Określ v E
Dany:

Wniosek

Wniosek
1. Wyprowadzono prawo ruchu płaskiego.
2. Pokazano, że ruch płaski jest reprezentowany przez
suma najprostszych ruchów - translacyjna
razem z biegunem i obracając się
słupy.
3. Wyprowadza się wzór na związek prędkości
punkty i ich konsekwencje.
4. Zdefiniowano i pokazano koncepcję MCS
svotstva.
5. Wyprowadza się wzór na związek przyspieszeń
punkty i ich konsekwencje.
6. Rozważono przykłady obliczeń kinematycznych
mechanizmy płaskie.

Pytania testowe do wykładu

1. Ile stopni swobody ma ciało sztywne?
wykonując ruch płaski?
2. Zapisz prawo ruchu płaskiego ciała sztywnego.
3. Jak prędkości dwóch punktów ciała sztywnego są powiązane ze sobą?
ciało w ruchu płaskim?
4. Jaka jest prędkość kątowa obrotu ciała sztywnego?
5. Sformułuj twierdzenie o rzutach prędkości dwójki
punkty ciała sztywnego w ruchu płaskim.
6. Co nazywa się chwilowym środkiem prędkości?
7. Co musisz wiedzieć, aby określić MCS?
8. Jakie składniki składają się na przyspieszenie punktu?
ciało sztywne podlegające ruchowi płaskiemu?
9. Jakie jest przyspieszenie ruchu obrotowego punktu?
razem z ciałem wokół bieguna?

Ruch płasko-równoległy ciała sztywnego.

1. Równania ruchu płaszczyznowo-równoległego

Płasko-równoległy (lub płaski) jest ruchem ciała sztywnego, w którym wszystkie jego punkty poruszają się równolegle do pewnej ustalonej płaszczyzny P.

Rozważmy przekrój S ciała przez jakąś płaszczyznę Oxy, równolegle do płaszczyzny P. W ruchu płasko-równoległym wszystkie punkty ciała leżą na linii prostej MM / , prostopadle do przekroju (S) , czyli do samolotu P poruszają się identycznie i w każdym momencie mają te same prędkości i przyspieszenia. Dlatego, aby zbadać ruch całego ciała, wystarczy zbadać, jak porusza się sekcja S ciała w samolocie Oxy.

(4.1)

Równania (4.1) określają prawo trwającego ruchu i są nazywane równania ruchu płasko-równoległego ciała sztywnego.

2. Rozkład ruchu płasko-równoległego na ruch translacyjny

razem z biegunem i obracając się wokół bieguna

Pokażmy, że ruch płaski składa się z ruchu translacyjnego i obrotowego. Aby to zrobić, rozważ dwie kolejne pozycje I i II, które zajmuje sekcja S poruszające się ciało w określonych momentach t 1 I t 2= t1 + Δt . Łatwo zauważyć, że sekcja S, a wraz z nim całe ciało można przenieść z pozycji I do pozycji II w następujący sposób: najpierw przesuwamy ciało translalnie, tak aby rura A, poruszając się wzdłuż swojej trajektorii, zajął pozycję 2. W tym przypadku segment A 1 B 1 zajmie pozycję, a następnie obróci sekcję wokół słupa 2 pod kątem Δφ 1.

W konsekwencji ruch płasko-równoległy ciała sztywnego składa się z ruchu translacyjnego, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w taki sam sposób, jak biegun A także z ruchu obrotowego wokół tego bieguna.

Należy zauważyć, że ruch obrotowy ciała odbywa się wokół osi prostopadłej do płaszczyzny P i przechodząc przez słup A. Jednak dla zwięzłości będziemy odtąd nazywać ten ruch po prostu obrotem wokół bieguna A.

Część translacyjną ruchu płasko-równoległego opisują oczywiście pierwsze dwa równania (2.1), a obrót wokół bieguna A - trzecie z równań (2.1).

Podstawowe charakterystyki kinematyczne ruchu płaskiego

Jako biegun możesz wybrać dowolny punkt na ciele

Wniosek : składowa obrotowa ruchu płaskiego nie zależy od wyboru bieguna, a zatem od prędkości kątowejω i przyspieszenie kątowemisą wspólne dla wszystkich biegunów i nazywane sąprędkość kątowa i przyspieszenie kątowe figury płaskiej

Wektory i są skierowane wzdłuż osi przechodzącej przez biegun i prostopadłej do płaszczyzny figury

obraz 3D

3. Wyznaczanie prędkości punktów ciała

Twierdzenie: prędkość dowolnego punktu na płaszczyźnie jest równa sumie geometrycznej prędkości bieguna i prędkości obrotowej tego punktu wokół bieguna.

W dowodzie wyjdziemy z faktu, że ruch płasko-równoległy ciała sztywnego składa się z ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się z prędkością w A oraz z ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Aby rozdzielić te dwa rodzaje ruchu, wprowadzamy dwa układy odniesienia: Oxy – stacjonarny oraz Ox 1 y 1 – poruszający się translalnie wraz z biegunem A. Względem ruchomego układu odniesienia, ruch punktu M będzie „obrotowy wokół bieguna A».

Zatem prędkość dowolnego punktu M ciała jest geometrycznie sumą prędkości innego punktu A, traktowany jako biegun, i prędkość punktu M w ruchu obrotowym wraz z ciałem wokół tego bieguna.

Interpretacja geometryczna twierdzenia

Wniosek 1. Rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na linię prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Wynik ten ułatwia wyznaczenie prędkości danego punktu ciała, jeśli znany jest kierunek ruchu tego punktu i prędkość innego punktu tego samego ciała.

Mechanika teoretyczna to dział mechaniki określający podstawowe prawa ruchu mechanicznego i mechanicznego oddziaływania ciał materialnych.

Mechanika teoretyczna to nauka badająca ruch ciał w czasie (ruchy mechaniczne). Stanowi podstawę dla innych działów mechaniki (teorii sprężystości, wytrzymałości materiałów, teorii plastyczności, teorii mechanizmów i maszyn, hydroaerodynamiki) oraz wielu dyscyplin technicznych.

Ruch mechaniczny- jest to zmiana w czasie względnego położenia w przestrzeni ciał materialnych.

Interakcja mechaniczna- jest to interakcja, w wyniku której zmienia się ruch mechaniczny lub zmienia się względne położenie części ciała.

Sztywna statyka ciała

Statyka jest działem mechaniki teoretycznej zajmującym się problemami równowagi ciał stałych i przemianą jednego układu sił w inny, mu równoważny.

Podstawowe pojęcia i prawa statyki
• Absolutnie sztywny korpus(ciało stałe, ciało) to ciało materialne, którego odległość między dowolnymi punktami nie ulega zmianie.
• Punkt materialny jest ciałem, którego wymiary, w zależności od warunków problemu, można pominąć.
• Wolne ciało- jest to organ, na którego poruszanie się nie nakłada się żadnych ograniczeń.
• Niewolne (związane) ciało jest ciałem, którego poruszanie się podlega ograniczeniom.
• Znajomości– są to ciała uniemożliwiające ruch danego obiektu (ciała lub układu ciał).
• Reakcja komunikacyjna jest siłą charakteryzującą działanie wiązania na ciało stałe. Jeśli uznamy siłę, z jaką ciało stałe oddziałuje na wiązanie, za akcję, wówczas reakcja wiązania jest reakcją. W tym przypadku siła działa na połączenie, a reakcja połączenia na bryłę.
• Układ mechaniczny to zbiór wzajemnie połączonych ciał lub punktów materialnych.
• Solidny można uznać za układ mechaniczny, którego położenie i odległości między punktami nie ulegają zmianie.
• Siła jest wielkością wektorową charakteryzującą mechaniczne działanie jednego ciała materialnego na drugie.
  Siłę jako wektor charakteryzuje punkt przyłożenia, kierunek działania i wartość bezwzględna. Jednostką modułu siły jest Newton.
• Linia działania siły jest linią prostą, wzdłuż której skierowany jest wektor siły.
• Skoncentrowana moc– siła przyłożona w jednym punkcie.
• Siły rozłożone (obciążenie rozproszone)- są to siły działające na wszystkie punkty objętości, powierzchni lub długości ciała.
  Rozłożone obciążenie jest określone przez siłę działającą na jednostkę objętości (powierzchnia, długość).
  Wymiar rozłożonego obciążenia wynosi N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Siła zewnętrzna jest siłą działającą od ciała nienależącego do rozważanego układu mechanicznego.
• Wewnętrzna siła jest siłą działającą na punkt materialny układu mechanicznego z innego punktu materialnego należącego do rozważanego układu.
• Układ siłowy to zbiór sił działających na układ mechaniczny.
• Płaski układ sił jest układem sił, których linie działania leżą w tej samej płaszczyźnie.
• Przestrzenny układ sił jest układem sił, których linie działania nie leżą w tej samej płaszczyźnie.
• Układ zbiegających się sił to układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie.
• Dowolny układ sił to układ sił, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie.
• Równoważne układy sił- są to układy sił, których wymiana jedna na drugą nie powoduje zmiany stanu mechanicznego ciała.
  Przyjęte oznaczenie: .
• równowaga- jest to stan, w którym ciało pod działaniem sił pozostaje w bezruchu lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
• Zrównoważony układ sił- jest to układ sił, który przyłożony do swobodnego ciała stałego nie zmienia jego stanu mechanicznego (nie wytrąca go z równowagi).
  .
• Siła wypadkowa to siła, której działanie na ciało jest równoważne działaniu układu sił.
  .
• Chwila mocy jest wielkością charakteryzującą zdolność rotacyjną siły.
• Parę sił jest układem dwóch równoległych sił o jednakowej wielkości i przeciwnie skierowanych.
  Przyjęte oznaczenie: .
  Pod wpływem pary sił ciało wykona ruch obrotowy.
• Rzut siły na oś- jest to odcinek zawarty pomiędzy prostopadłymi poprowadzonymi od początku i końca wektora siły do ​​tej osi.
  Rzut jest dodatni, jeśli kierunek odcinka pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi.
• Rzut siły na płaszczyznę jest wektorem na płaszczyźnie zawartym pomiędzy prostopadłymi poprowadzonymi od początku i końca wektora siły do ​​tej płaszczyzny.
• Prawo 1 (prawo bezwładności). Wyizolowany punkt materialny pozostaje w spoczynku lub porusza się równomiernie i prostoliniowo.
  Ruch jednostajny i prostoliniowy punktu materialnego jest ruchem bezwładności. Stan równowagi punktu materialnego i ciała sztywnego rozumiany jest nie tylko jako stan spoczynku, ale także jako ruch bezwładności. W przypadku ciała sztywnego istnieją różne rodzaje ruchu poprzez bezwładność, na przykład równomierny obrót ciała sztywnego wokół stałej osi.
• Prawo 2. Ciało sztywne znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił tylko wtedy, gdy siły te są równe co do wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż wspólnej linii działania.
  Te dwie siły nazywane są równoważeniem.
  Ogólnie siły nazywa się zrównoważonymi, jeśli ciało stałe, na które te siły są przyłożone, znajduje się w spoczynku.
• Prawo 3. Nie zakłócając stanu (słowo „stan” oznacza tutaj stan ruchu lub spoczynku) ciała sztywnego, można dodawać lub odrzucać siły równoważące.
  Konsekwencja. Bez zakłócania stanu ciała stałego, siła może zostać przeniesiona wzdłuż jej linii działania do dowolnego punktu ciała.
  Dwa układy sił nazywamy równoważnymi, jeśli jeden z nich można zastąpić drugim, nie naruszając stanu ciała stałego.
• Prawo 4. Wypadkowa dwóch sił przyłożonych w jednym punkcie, przyłożonych w tym samym punkcie, jest równa przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych siłach i jest skierowana wzdłuż tego
  przekątne.
  Wartość bezwzględna wynikowej wynosi:
  
• Prawo 5 (prawo równości akcji i reakcji). Siły, z którymi dwa ciała działają na siebie, są równej wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż tej samej linii prostej.
  Należy o tym pamiętać działanie- siła przyłożona do ciała B, I sprzeciw- siła przyłożona do ciała A, nie są zrównoważone, ponieważ są stosowane do różnych ciał.
• Prawo 6 (prawo krzepnięcia). Równowaga ciała niestałego nie zostaje zakłócona podczas jego krzepnięcia.
  Nie należy zapominać, że warunki równowagi, które są konieczne i wystarczające dla ciała stałego, są konieczne, ale niewystarczające dla odpowiedniego ciała niestałego.
• Prawo 7 (prawo emancypacji z więzów). Niewolne ciało stałe można uznać za wolne, jeśli zostanie mentalnie uwolnione od wiązań, zastępując działanie wiązań odpowiednimi reakcjami wiązań.

Połączenia i ich reakcje
• Gładka powierzchnia ogranicza ruch normalny do powierzchni nośnej. Reakcja jest skierowana prostopadle do powierzchni.
• Przegubowa, ruchoma podpora ogranicza ruch ciała prostopadle do płaszczyzny odniesienia. Reakcja jest skierowana prostopadle do powierzchni nośnej.
• Przegubowe, stałe wsparcie przeciwdziała wszelkim ruchom w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.
• Przegubowy, nieważki pręt przeciwdziała ruchowi ciała wzdłuż linii pręta. Reakcja będzie skierowana wzdłuż linii pręta.
• Ślepa uszczelka przeciwdziała wszelkim ruchom i obrotom w płaszczyźnie. Jego działanie można zastąpić siłą reprezentowaną w postaci dwóch składowych i pary sił z momentem.

Kinematyka

Kinematyka- dział mechaniki teoretycznej badający ogólne właściwości geometryczne ruchu mechanicznego jako procesu zachodzącego w przestrzeni i czasie. Poruszające się obiekty są uważane za punkty geometryczne lub ciała geometryczne.

Podstawowe pojęcia kinematyki
• Prawo ruchu punktu (ciała)– jest to zależność położenia punktu (ciała) w przestrzeni od czasu.
• Trajektoria punktu– jest to geometryczne położenie punktu w przestrzeni podczas jego ruchu.
• Prędkość punktu (ciała)– jest to cecha zmiany w czasie położenia punktu (ciała) w przestrzeni.
• Przyspieszenie punktu (ciała)– jest to charakterystyka zmiany w czasie prędkości punktu (ciała).

Wyznaczanie charakterystyk kinematycznych punktu
• Trajektoria punktu
  W wektorowym układzie odniesienia trajektoria jest opisana wyrażeniem: .
  W układzie współrzędnych trajektoria jest wyznaczana przez prawo ruchu punktu i opisywana za pomocą wyrażeń z = f(x,y)- w kosmosie lub y = f(x)- w samolocie.
  W naturalnym układzie odniesienia trajektoria jest określona z góry.
• Wyznaczanie prędkości punktu w wektorowym układzie współrzędnych
  Przy określaniu ruchu punktu w wektorowym układzie współrzędnych stosunek ruchu do przedziału czasu nazywany jest średnią wartością prędkości w tym przedziale czasu: .
  Przyjmując przedział czasu jako wartość nieskończenie małą, otrzymujemy wartość prędkości w danym czasie (chwilowa wartość prędkości): .
  Wektor prędkości średniej skierowany jest wzdłuż wektora w kierunku ruchu punktu, wektor prędkości chwilowej jest skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu.
  Wniosek: prędkość punktu jest wielkością wektorową równą pochodnej po czasie zasady ruchu.
  Własność pochodna: pochodna dowolnej wielkości po czasie określa szybkość zmian tej wielkości.
• Wyznaczanie prędkości punktu w układzie współrzędnych
  Szybkość zmiany współrzędnych punktu:
  .
  Moduł prędkości całkowitej punktu o prostokątnym układzie współrzędnych będzie równy:
  .
  Kierunek wektora prędkości wyznaczają cosinusy kątów kierunkowych:
  ,
  gdzie są kątami między wektorem prędkości a osiami współrzędnych.
• Wyznaczanie prędkości punktu w naturalnym układzie odniesienia
  Prędkość punktu w naturalnym układzie odniesienia definiuje się jako pochodną prawa ruchu punktu: .
  Jak wynika z wcześniejszych wniosków, wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu i w osiach wyznaczany jest tylko przez jeden rzut.

Kinematyka nadwozia sztywnego
• W kinematyce ciał sztywnych rozwiązano dwa główne problemy:
  1) ustawienie ruchu i określenie właściwości kinematycznych ciała jako całości;
  2) wyznaczanie charakterystyk kinematycznych punktów ciała.
• Ruch postępowy ciała sztywnego
  Ruch postępowy to ruch, w którym linia prosta poprowadzona przez dwa punkty ciała pozostaje równoległa do swojego pierwotnego położenia.
  Twierdzenie: podczas ruchu postępowego wszystkie punkty ciała poruszają się po identycznych trajektoriach i w każdym momencie mają tę samą wielkość i kierunek prędkości i przyspieszenia.
  Wniosek: ruch postępowy ciała sztywnego jest określony przez ruch dowolnego z jego punktów, dlatego zadanie i badanie jego ruchu sprowadza się do kinematyki punktu.
• Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi
  Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi to ruch ciała sztywnego, w którym dwa punkty należące do ciała pozostają nieruchome przez cały czas ruchu.
  Położenie ciała zależy od kąta obrotu. Jednostką miary kąta jest radian. (Radian to kąt środkowy okręgu, którego długość łuku jest równa promieniowi; całkowity kąt okręgu zawiera 2π radian.)
  Prawo ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi.
  Prędkość kątową i przyspieszenie kątowe ciała wyznaczamy metodą różniczkową:
  — prędkość kątowa, rad/s;
  — przyspieszenie kątowe, rad/s².
  Jeśli rozcinasz ciało płaszczyzną prostopadłą do osi, wybierz punkt na osi obrotu Z i dowolny punkt M, a następnie wskaż M opisze wokół punktu Z promień okręgu R. Podczas dt następuje elementarny obrót o kąt i punkt M przesunie się po trajektorii na pewną odległość .
  Liniowy moduł prędkości:
  .
  Przyspieszenie punktowe M przy znanej trajektorii określają ją jej składowe:
  ,
  Gdzie .
  W rezultacie otrzymujemy formuły
  przyspieszenie styczne: ;
  normalne przyspieszenie: .

Dynamika

Dynamika to dział mechaniki teoretycznej, w którym bada się ruchy mechaniczne ciał materialnych w zależności od przyczyn, które je powodują.

Podstawowe pojęcia dynamiki
• Bezwładność- jest to właściwość ciał materialnych polegająca na utrzymywaniu stanu spoczynku lub jednostajnego ruchu prostoliniowego, dopóki siły zewnętrzne nie zmienią tego stanu.
• Waga jest ilościową miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (kg).
• Punkt materialny- jest to ciało o masie, którego wymiary są pomijane przy rozwiązywaniu tego problemu.
• Środek masy układu mechanicznego- punkt geometryczny, którego współrzędne wyznaczają wzory:
  
  Gdzie m k , x k , y k , z k— masa i współrzędne k-ten punkt układu mechanicznego, M— masa układu.
  W jednolitym polu ciężkości położenie środka masy pokrywa się z położeniem środka ciężkości.
• Moment bezwładności ciała materialnego względem osi jest ilościową miarą bezwładności podczas ruchu obrotowego.
  Moment bezwładności punktu materialnego względem osi jest równy iloczynowi masy punktu przez kwadrat odległości punktu od osi:
  .
  Moment bezwładności układu (ciała) względem osi jest równy sumie arytmetycznej momentów bezwładności wszystkich punktów:
  
• Siła bezwładności punktu materialnego jest wielkością wektorową równą modułowi iloczynu masy punktu i modułu przyspieszenia i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia:
• Siła bezwładności ciała materialnego jest wielkością wektorową równą modułowi iloczynu masy ciała i modułu przyspieszenia środka masy ciała i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia środka masy: ,
  gdzie jest przyspieszenie środka masy ciała.
• Elementarny impuls siły jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektora siły i nieskończenie małego okresu czasu dt:
  .
  Całkowity impuls siły dla Δt jest równy całce impulsów elementarnych:
  .
• Elementarna praca siły jest wielkością skalarną dA równy skalarnemu proi

I Savelyeva.

Podczas ruchu ciała do przodu (§ 60 w podręczniku E. M. Nikitina) wszystkie jego punkty poruszają się po identycznych trajektoriach i w każdym momencie mają jednakowe prędkości i równe przyspieszenia.

Dlatego ruch translacyjny ciała jest określony przez ruch dowolnego punktu, zwykle ruch środka ciężkości.

Rozważając ruch samochodu osobowego (zadanie 147) lub lokomotywy spalinowej (zadanie 141) w dowolnym zadaniu, tak naprawdę bierzemy pod uwagę ruch ich środków ciężkości.

Ruchu obrotowego ciała (E.M. Nikitin, § 61) nie można utożsamiać z ruchem żadnego z jego punktów. Oś dowolnego korpusu obrotowego (koło zamachowe diesla, wirnik silnika elektrycznego, wrzeciono maszyny, łopatki wentylatora itp.) podczas ruchu zajmuje to samo miejsce w przestrzeni w stosunku do otaczających ciał stacjonarnych.

Ruch punktu materialnego lub ruch do przodu ciała charakteryzują się w zależności od czasu wielkości liniowe s (droga, odległość), v (prędkość) i a (przyspieszenie) z jego składowymi a t i an.

Ruch obrotowy ciała w zależności od czasu t charakteryzują wartości kątowe: φ (kąt obrotu w radianach), ω (prędkość kątowa w rad/s) i ε (przyspieszenie kątowe w rad/s 2).

Prawo ruchu obrotowego ciała wyraża równanie
φ = f(t).

Prędkość kątowa- wielkość charakteryzująca prędkość obrotu ciała, definiowana w ogólnym przypadku jako pochodna kąta obrotu po czasie
ω = dφ/dt = f” (t).

Przyspieszenie kątowe- wielkość charakteryzującą szybkość zmian prędkości kątowej definiuje się jako pochodną prędkości kątowej
ε = dω/dt = f"" (t).

Rozpoczynając rozwiązywanie problemów dotyczących ruchu obrotowego ciała, należy pamiętać, że w obliczeniach i problemach technicznych z reguły przemieszczenie kątowe wyraża się nie w radianach φ, ale w obrotach φ około.

Dlatego konieczna jest możliwość przejścia od liczby obrotów do radianowego pomiaru przemieszczenia kątowego i odwrotnie.

Ponieważ jeden pełny obrót odpowiada 2π rad, zatem
φ = 2πφ około i φ około = φ/(2π).

Prędkość kątową w obliczeniach technicznych bardzo często mierzy się w obrotach wytwarzanych na minutę (rpm), dlatego konieczne jest jasne zrozumienie, że ω rad/s i n obr/min wyrażają to samo pojęcie – prędkość obrotową ciała (prędkość kątowa), ale w różnych jednostkach - w rad/s lub w obr./min.

Przejście z jednej jednostki prędkości kątowej na drugą dokonuje się zgodnie ze wzorami
ω = πn/30 i n = 30ω/π.

Podczas ruchu obrotowego ciała wszystkie jego punkty poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej ustalonej linii prostej (oś obracającego się ciała). Przy rozwiązywaniu problemów podanych w tym rozdziale bardzo ważne jest jasne zrozumienie zależności pomiędzy wielkościami kątowymi φ, ω i ε, które charakteryzują ruch obrotowy ciała, a wielkościami liniowymi s, v, a t i an, charakteryzującymi ruch różnych punktów tego ciała (ryc. 205).

Jeżeli R jest odległością od osi geometrycznej obracającego się ciała do dowolnego punktu A (na rys. 205 R = OA), to związek pomiędzy φ – kątem obrotu ciała i s – drogą przebytą przez punkt ciała w tym samym czasie wyraża się w następujący sposób:
s = φR.

Zależność prędkości kątowej ciała od prędkości punktu w danym momencie wyraża się równością
v = ωR.

Przyspieszenie styczne punktu zależy od przyspieszenia kątowego i jest określone wzorem
za t = εR.

Przyspieszenie normalne punktu zależy od prędkości kątowej ciała i jest określone przez zależność
za n = ω 2 R.

Rozwiązując problem podany w tym rozdziale, należy jasno zrozumieć, że obrót jest ruchem ciała sztywnego, a nie punktem. Pojedynczy punkt materialny nie obraca się, ale porusza się po okręgu - wykonuje ruch krzywoliniowy.

§ 33. Jednostajny ruch obrotowy

Jeżeli prędkość kątowa wynosi ω=const, wówczas ruch obrotowy nazywa się ruchem jednostajnym.

Równanie rotacji jednolitej ma postać
φ = φ 0 + ωt.

W szczególnym przypadku, gdy początkowy kąt obrotu φ 0 = 0,
φ = ωt.

Prędkość kątowa ciała obracającego się równomiernie
ω = φ/t
można wyrazić w ten sposób:
ω = 2π/T,
gdzie T jest okresem obrotu ciała; φ=2π - kąt obrotu w jednym okresie.

§ 34. Ruch obrotowy jednostajnie naprzemienny

Ruch obrotowy ze zmienną prędkością kątową nazywany jest nierównomiernym (patrz poniżej § 35). Jeżeli przyspieszenie kątowe ε=const, to nazywamy ruch obrotowy równie zmienne. Zatem równomierny obrót ciała jest szczególnym przypadkiem nierównomiernego ruchu obrotowego.

Równanie rotacji jednostajnej
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
oraz równanie wyrażające prędkość kątową ciała w dowolnym momencie,
(2) ω = ω 0 + εt
reprezentują zbiór podstawowych wzorów na jednostajny ruch obrotowy ciała.

Wzory te obejmują tylko sześć wielkości: trzy stałe dla danego problemu φ 0, ω 0 i ε oraz trzy zmienne φ, ω i t. W związku z tym warunek każdego problemu dotyczący równomiernego obrotu musi zawierać co najmniej cztery określone wielkości.

Dla wygody rozwiązywania niektórych problemów z równań (1) i (2) można uzyskać jeszcze dwa wzory pomocnicze.

Wykluczmy przyspieszenie kątowe ε z (1) i (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Wykluczmy czas t z (1) i (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

W szczególnym przypadku równomiernie przyspieszonego obrotu rozpoczynającego się od stanu spoczynku φ 0 =0 i ω 0 =0. Dlatego powyższe wzory podstawowe i pomocnicze przyjmują następującą postać:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Nierówny ruch obrotowy

Rozważmy przykład rozwiązania problemu, w którym określony jest niejednostajny ruch obrotowy ciała.

Kinematyka punktu.

1. Przedmiot mechaniki teoretycznej. Podstawowe abstrakcje.

Mechanika teoretyczna- jest nauką, w której badane są ogólne prawa ruchu mechanicznego i mechanicznego oddziaływania ciał materialnych

Ruch mechanicznyto ruch ciała względem innego ciała, zachodzący w przestrzeni i czasie.

Interakcja mechaniczna to interakcja ciał materialnych, która zmienia naturę ich ruchu mechanicznego.

Statyka to dział mechaniki teoretycznej, w którym bada się metody przekształcania układów sił w układy równoważne i ustala warunki równowagi sił przyłożonych do ciała stałego.

Kinematyka - jest dziedziną mechaniki teoretycznej zajmującą się badaniem ruch ciał materialnych w przestrzeni z geometrycznego punktu widzenia, niezależnie od działających na nie sił.

Dynamika to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu ciał materialnych w przestrzeni w zależności od działających na nie sił.

Przedmioty badań z mechaniki teoretycznej:

punkt materialny,

układ punktów materialnych,

Absolutnie solidne ciało.

Absolutna przestrzeń i absolutny czas są od siebie niezależne. Absolutna przestrzeń - trójwymiarowa, jednorodna, nieruchoma przestrzeń euklidesowa. Absolutny czas - płynie z przeszłości do przyszłości w sposób ciągły, jest jednorodny, taki sam we wszystkich punktach przestrzeni i nie zależy od ruchu materii.

2. Przedmiot kinematyki.

Kinematyka - jest to dział mechaniki, w którym bada się geometryczne właściwości ruchu ciał bez uwzględnienia ich bezwładności (czyli masy) i działających na nie sił

Aby określić położenie poruszającego się ciała (lub punktu) z ciałem, względem którego badany jest ruch tego ciała, skojarzony jest na sztywno pewien układ współrzędnych, który wraz z ciałem tworzy układu odniesienia.

Główne zadanie kinematyki polega na tym, aby znając prawo ruchu danego ciała (punktu) wyznaczyć wszystkie wielkości kinematyczne charakteryzujące jego ruch (prędkość i przyspieszenie).

3. Metody określania ruchu punktu

· Naturalny sposób

Warto wiedzieć:

Trajektoria punktu;

Pochodzenie i kierunek odniesienia;

Prawo ruchu punktu po zadanej trajektorii w postaci (1.1)

· Metoda współrzędnych

Równania (1.2) są równaniami ruchu punktu M.

Równanie trajektorii punktu M można otrzymać eliminując parametr czasu « T » z równań (1.2)

· Metoda wektorowa

(1.3) Związek pomiędzy współrzędnymi i wektorowymi metodami określania ruchu punktu (1.4)

Związek współrzędnych z naturalnymi metodami wyznaczania ruchu punktu

Wyznacz trajektorię punktu, eliminując czas z równań (1.2);

-- znajdź zasadę ruchu punktu po trajektorii (użyj wyrażenia na różnicę łuku)

Po całkowaniu otrzymujemy prawo ruchu punktu po zadanej trajektorii:

Związek współrzędnych i wektorowych metod określania ruchu punktu określa równanie (1.4)

4. Wyznaczanie prędkości punktu metodą wektorową wyznaczania ruchu.

Niech za chwilęTpołożenie punktu określa wektor promienia oraz moment czasuT 1 – wektor promienia, a następnie przez pewien okres czasu punkt się przesunie.

(1.5) średnia prędkość punktowa, kierunek wektora jest taki sam jak wektor

Prędkość punktu w danym czasie

Aby uzyskać prędkość punktu w danym momencie, należy wykonać przejazd do granicy

(1.6)

(1.7)

Wektor prędkości punktu w zadanym czasie równy pierwszej pochodnej wektora promienia po czasie i skierowany stycznie do trajektorii w danym punkcie.

(jednostka¾ m/s, km/h)

Wektor średniego przyspieszenia ma ten sam kierunek co wektorΔ w , czyli skierowany w stronę wklęsłości trajektorii.

Wektor przyspieszenia punktu w zadanym czasie równa pierwszej pochodnej wektora prędkości lub drugiej pochodnej wektora promienia punktu względem czasu.

(jednostka - )

Jak wektor jest położony w stosunku do trajektorii punktu?

W ruchu prostoliniowym wektor jest kierowany wzdłuż linii prostej, po której porusza się punkt. Jeżeli trajektoria punktu jest krzywą płaską, to wektor przyspieszenia , a także wektor ср leżą w płaszczyźnie tej krzywej i są skierowane w stronę jej wklęsłości. Jeżeli trajektoria nie jest krzywą płaską, to wektor ср będzie skierowany w stronę wklęsłości trajektorii i będzie leżał w płaszczyźnie przechodzącej przez styczną do trajektorii w punkcieM oraz linię równoległą do stycznej w sąsiednim punkcieM 1 . W ogranicz, kiedy punktM 1 dąży do M płaszczyzna ta zajmuje położenie tzw. płaszczyzny oscylacyjnej. Dlatego w ogólnym przypadku wektor przyspieszenia leży w płaszczyźnie styku i jest skierowany w stronę wklęsłości krzywej.