Aby z powodzeniem zastosować w praktyce operację ekstrakcji korzeni, należy zapoznać się z właściwościami tej operacji.
Wszystkie właściwości są formułowane i sprawdzane tylko dla nieujemnych wartości zmiennych zawartych pod znakami pierwiastków.
Twierdzenie 1. N-ty pierwiastek (n=2, 3, 4,...) iloczynu dwóch nieujemnych żetonów jest równy iloczynowi n-tych pierwiastków tych liczb:
Komentarz:
1.
Twierdzenie 1 pozostaje ważne w przypadku, gdy wyrażenie radykalne jest iloczynem więcej niż dwóch liczb nieujemnych.
Twierdzenie 2.Jeśli,
oraz n jest liczbą naturalną większą niż 1, wówczas równość jest prawdziwa
Krótki(aczkolwiek niedokładne) sformułowanie, które jest wygodniejsze w praktyce: pierwiastek ułamka jest równy ułamkowi pierwiastków.
Twierdzenie 1 pozwala nam pomnożyć t tylko korzenie tego samego stopnia
, tj. tylko korzenie o tym samym indeksie.
Twierdzenie 3.Jeśli ,k jest liczbą naturalną, a n jest liczbą naturalną większą niż 1, wówczas równość jest prawdziwa
Innymi słowy, aby wznieść korzeń do siły naturalnej, wystarczy wznieść do tej mocy radykalny wyraz.
Jest to konsekwencja Twierdzenia 1. Faktycznie, np. dla k = 3 otrzymujemy: Dokładnie w ten sam sposób możemy rozumować w przypadku dowolnej innej wartości naturalnej wykładnika k.
Twierdzenie 4.Jeśli ,k, n są liczbami naturalnymi większymi od 1, to równość jest prawdziwa
Innymi słowy, aby wyodrębnić korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć wskaźniki korzeni.
Na przykład,
Bądź ostrożny! Dowiedzieliśmy się, że na pierwiastkach można wykonać cztery operacje: mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka (z pierwiastka). Ale co z dodawaniem i odejmowaniem pierwiastków? Nie ma mowy.
Na przykład zamiast pisać „Naprawdę, ale to oczywiste”.
Twierdzenie 5.Jeśli wskaźniki pierwiastka i wyrażenia radykalnego mnoży się lub dzieli przez tę samą liczbę naturalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie, tj.
Przykłady rozwiązywania problemów
Przykład 1. Oblicz
Rozwiązanie. Korzystając z pierwszej własności pierwiastków (Twierdzenie 1) otrzymujemy:
Przykład 2. Oblicz
Rozwiązanie. Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Korzystamy z drugiej właściwości pierwiastków ( Twierdzenie 2
), otrzymujemy:
Przykład 3. Oblicz: 
Rozwiązanie. Jak dobrze wiesz, każda formuła w algebrze jest używana nie tylko „od lewej do prawej”, ale także „od prawej do lewej”. Zatem pierwsza właściwość pierwiastków oznacza, że można je przedstawić w formie i odwrotnie, można je zastąpić wyrażeniem. To samo dotyczy drugiej właściwości pierwiastków. Biorąc to pod uwagę, wykonajmy obliczenia.
Gratulacje: dziś przyjrzymy się korzeniom - jednemu z najbardziej fascynujących tematów w 8 klasie. :)
Wiele osób myli korzenie nie dlatego, że są one skomplikowane (co w tym takiego skomplikowanego - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane poprzez taką dżunglę, że tylko autorzy podręczników sami mogą zrozumieć ten tekst. I nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky. :)
Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. A potem wyjaśnię: po co to wszystko jest potrzebne i jak zastosować to w praktyce.
Ale najpierw pamiętaj o jednej ważnej kwestii, o której wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:
Pierwiastki mogą mieć stopień parzysty (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także wszelkiego rodzaju $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i stopień nieparzysty (wszelkiego rodzaju $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka stopnia nieparzystego różni się nieco od parzystego.
Prawdopodobnie 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami kryje się w tym pieprzonym „nieco innym”. Wyjaśnijmy więc raz na zawsze terminologię:
Definicja. Nawet root N z liczby $a$ jest dowolna nieujemne liczba $b$ jest taka, że $((b)^(n))=a$. Pierwiastkiem nieparzystym tej samej liczby $a$ jest zazwyczaj dowolna liczba $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.
W każdym razie pierwiastek jest oznaczony w ten sposób:
\(A)\]
Liczba $n$ w takim zapisie nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ nazywana jest wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $n=2$ dostajemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (swoją drogą, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ pierwiastek sześcienny (stopień nieparzysty), czyli często spotykane również w problemach i równaniach.
Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastków kwadratowych:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Nawiasem mówiąc, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Korzenie sześcienne są również powszechne - nie trzeba się ich bać:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj jeszcze raz definicję. To jest bardzo ważne!
W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić osobną definicję wykładników parzystych i nieparzystych.
Dlaczego w ogóle potrzebne są korzenie?
Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy wymyślili coś takiego?” I naprawdę: po co w ogóle te wszystkie korzenie?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do szkoły podstawowej. Pamiętajcie: w tych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w rodzaju „pięć na pięć – dwadzieścia pięć” i to wszystko. Ale możesz mnożyć liczby nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Jednak nie o to chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc trudno było im zapisać mnożenie dziesięciu piątek w ten sposób:
Dlatego wymyślili stopnie naukowe. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Coś takiego:
To bardzo wygodne! Wszelkie obliczenia są znacznie skrócone i nie trzeba marnować stosu kartek pergaminu i zeszytów, aby zapisać jakieś 5183. Zapis ten nazwano potęgą liczby, znaleziono w nim szereg właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.
Po hucznej imprezie przy piwie zorganizowanej tylko po to, by „odkryć” stopnie naukowe, jakiś szczególnie uparty matematyk nagle zapytał: „A co, jeśli znamy stopień liczby, ale sama liczba jest nieznana?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że pewna liczba $b$, powiedzmy, do potęgi 5 daje 243, to jak możemy zgadnąć, ile wynosi sama liczba $b$?
Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” mocy nie ma takich „początkowych” liczb. Oceńcie sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strzałka w prawo b=4\cdot 4\cdot 4\Strzałka w prawo b=4. \\ \end(align)\]
A co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że musimy znaleźć pewną liczbę, która pomnożona przez siebie trzykrotnie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa od 3, gdyż 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To znaczy ta liczba leży gdzieś pomiędzy trzema a czterema, ale nie zrozumiecie, ile ona jest równa.
Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n$th pierwiastków. Właśnie dlatego wprowadzono radykalny symbol $\sqrt(*)$. Wyznaczyć samą liczbę $b$, która we wskazanym stopniu da nam znaną wcześniej wartość
\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]
Nie twierdzę: często te pierwiastki można łatwo obliczyć - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, a następnie spróbujesz wyodrębnić z niej pierwiastek z dowolnego stopnia, czeka cię straszny kłopot.
Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej formie - jako liczby całkowitej lub ułamka. A jeśli wpiszesz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie podlegają żadnej logice. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać ją z innymi liczbami. Na przykład:
\[\sqrt(2)=1,4142...\około 1,4 \lt 1,5\]
Lub oto inny przykład:
\[\sqrt(3)=1,73205...\około 1,7 \gt 1,5\]
Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; a po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, w przeciwnym razie można złapać masę nieoczywistych błędów (nawiasem mówiąc, umiejętność porównywania i zaokrąglania wymagana jest do przetestowania na profilu Unified State Examination).
Dlatego w poważnej matematyce nie można obejść się bez pierwiastków - są one tymi samymi równymi przedstawicielami zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, podobnie jak znane nam od dawna ułamki zwykłe i liczby całkowite.
Brak możliwości przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ oznacza, że pierwiastek ten nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są niewymiernymi i nie można ich dokładnie przedstawić inaczej, jak za pomocą pierwiastka lub innych specjalnie do tego zaprojektowanych konstrukcji (logarytmy, potęgi, granice itp.). Ale o tym innym razem.
Rozważmy kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\około -1,2599... \\\end(align)\]
Oczywiście z wyglądu pierwiastka prawie niemożliwe jest odgadnięcie, jakie liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulator, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator daty podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego znacznie bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi w postaci $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Właśnie po to je wymyślono. Aby wygodnie nagrywać odpowiedzi.
Dlaczego potrzebne są dwie definicje?
Uważny czytelnik zapewne już zauważył, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, przynajmniej od zera. Ale pierwiastki sześcienne można spokojnie wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby - dodatniej lub ujemnej.
Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:
Wykres funkcji kwadratowej daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu na wykresie rysuje się poziomą linię $y=4$ (zaznaczoną na czerwono), która przecina się z parabolą w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ
Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, więc jest to pierwiastek:
Ale co w takim razie zrobić z drugim punktem? Jak cztery ma dwa pierwiastki na raz? Przecież jeśli podniesiemy liczbę −2 do kwadratu, otrzymamy także 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie posty jakby chcieli Cię zjeść? :)
Kłopot w tym, że jeśli nie postawisz żadnych dodatkowych warunków, to kwadrat będzie miał dwa pierwiastki kwadratowe – dodatni i ujemny. A każda liczba dodatnia również będzie miała dwie z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi y, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.
Podobny problem występuje w przypadku wszystkich pierwiastków z wykładnikiem parzystym:
- Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z wykładnikiem parzystym $n$;
- Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.
Dlatego w definicji pierwiastka stopnia parzystego $n$ jest wyraźnie określone, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbędziemy się niejasności.
Ale dla nieparzystych $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:
Parabola sześcienna może przyjmować dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:
- Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą do nieskończoności w obu kierunkach - zarówno w górę, jak i w dół. Dlatego niezależnie od tego, na jakiej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. W związku z tym pierwiastek sześcienny można zawsze wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby;
- Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, która liczba jest uważana za „poprawny” pierwiastek, a którą zignorować. Dlatego określenie pierwiastka dla stopnia nieparzystego jest prostsze niż dla stopnia parzystego (nie jest wymagana nieujemność).
Szkoda, że w większości podręczników nie wyjaśniono tych prostych rzeczy. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają szybować, korzystając z różnego rodzaju pierwiastków arytmetycznych i ich właściwości.
Tak, nie kłócę się: musisz także wiedzieć, co to jest pierwiastek arytmetyczny. O tym szczegółowo opowiem w osobnej lekcji. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, bo bez tego wszelkie przemyślenia na temat pierwiastków $n$-tej krotności byłyby niepełne.
Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. Inaczej przez natłok terminów w Twojej głowie zacznie się taki bałagan, że ostatecznie nic nie zrozumiesz.
Wszystko, co musisz zrobić, to zrozumieć różnicę między wskaźnikami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego jeszcze raz zbierzmy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:
- Pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby nieujemnej i sam w sobie jest zawsze liczbą nieujemną. Dla liczb ujemnych taki pierwiastek jest nieokreślony.
- Ale pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje z dowolnej liczby i sama może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ujemna.
Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Jest jasne? Tak, to całkowicie oczywiste! Zatem teraz poćwiczymy trochę obliczenia.
Podstawowe właściwości i ograniczenia
Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - zostanie to omówione w osobnej lekcji. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszą „sztuczkę”, która dotyczy tylko pierwiastków o parzystym indeksie. Zapiszmy tę właściwość w postaci wzoru:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lewo| x\prawo|\]
Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do potęgi parzystej, a następnie wyodrębnimy pierwiastek z tej potęgi, nie otrzymamy pierwotnej liczby, ale jej moduł. Jest to proste twierdzenie, które można łatwo udowodnić (wystarczy osobno rozważyć nieujemne $x$, a następnie osobno ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym szkolnym podręczniku. Ale gdy tylko przychodzi do rozwiązywania równań irracjonalnych (tj. Równań zawierających pierwiastek), uczniowie jednomyślnie zapominają o tym wzorze.
Aby szczegółowo zrozumieć zagadnienie, zapomnijmy na chwilę o wszystkich wzorach i spróbujmy od razu obliczyć dwie liczby:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
To są bardzo proste przykłady. Większość ludzi rozwiąże pierwszy przykład, ale wiele osób utknie na drugim. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:
- Najpierw liczbę podnosi się do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymasz nową liczbę, którą znajdziesz nawet w tabliczce mnożenia;
- A teraz z tej nowej liczby należy wyodrębnić czwarty pierwiastek. Te. nie następuje żadna „redukcja” korzeni i mocy - są to działania sekwencyjne.
Przyjrzyjmy się pierwszemu wyrażeniu: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek liczby 81:
Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do potęgi czwartej, co wymaga pomnożenia jej przez samą siebie 4 razy:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]
Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, ponieważ całkowita liczba minusów w iloczynie wynosi 4 i wszystkie się znoszą (w końcu minus za minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębniamy korzeń:
W zasadzie tego wiersza nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź byłaby taka sama. Te. parzysty pierwiastek tej samej parzystej potęgi „spala” minusy i w tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \prawo|=3; \\ & \sqrt(((\lewo(-3 \prawo))^(4)))=\lewo| -3 \prawo|=3. \\ \end(align)\]
Obliczenia te są zgodne z definicją pierwiastka stopnia parzystego: wynik jest zawsze nieujemny, a znak pierwiastka również zawsze zawiera liczbę nieujemną. W przeciwnym razie korzeń jest niezdefiniowany.
Uwaga dotycząca procedury
- Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że najpierw podnosimy liczbę $a$ do kwadratu, a następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Zatem możemy być pewni, że pod pierwiastkiem zawsze znajduje się liczba nieujemna, ponieważ w każdym przypadku $((a)^(2))\ge 0$;
- Natomiast zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ oznacza, że najpierw obliczamy pierwiastek z pewnej liczby $a$, a dopiero potem podstawiamy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna – jest to obowiązkowy wymóg zawarty w definicji.
Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” pierwotne wyrażenie. Ponieważ jeśli pierwiastek ma liczbę ujemną, a jego wykładnik jest parzysty, mamy mnóstwo problemów.
Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko parzystych wskaźników.
Usunięcie znaku minus spod znaku głównego
Oczywiście pierwiastki z wykładnikami nieparzystymi mają również swoją cechę, która w zasadzie nie istnieje w przypadku parzystych. Mianowicie:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Krótko mówiąc, możesz usunąć minus spod znaku pierwiastków stopnia nieparzystego. Jest to bardzo przydatna właściwość, która pozwala „wyrzucić” wszystkie wady:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby pod rdzeniem ukryte było wyrażenie negatywne, ale stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza pierwiastki, po czym można je mnożyć przez siebie, dzielić i w ogóle robić wiele podejrzanych rzeczy, co w przypadku „klasycznych” korzeni z pewnością doprowadzi nas do błąd.
I tu pojawia się kolejna definicja – ta sama, od której w większości szkół rozpoczyna się naukę wyrażeń irracjonalnych. I bez których nasze rozumowanie byłoby niepełne. Poznać!
Pierwiastek arytmetyczny
Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Zapomnijmy o wskaźnikach parzystych/nieparzystych, zapomnijmy o wszystkich definicjach podanych powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?
A wtedy otrzymamy pierwiastek arytmetyczny - częściowo pokrywa się on z naszymi „standardowymi” definicjami, ale nadal się od nich różni.
Definicja. Pierwiastek arytmetyczny n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.
Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: wyrażenie radykalne jest teraz zawsze nieujemne i sam pierwiastek również jest nieujemny.
Aby lepiej zrozumieć, czym pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na wykresy paraboli kwadratowej i sześciennej, które już znamy:
Obszar wyszukiwania pierwiastka arytmetycznego - liczby nieujemne Jak widać, od tej chwili interesują nas tylko te fragmenty wykresu, które znajdują się w pierwszej ćwiartce współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub co najmniej zerowe). Nie trzeba już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo umieścić liczbę ujemną pod pierwiastkiem, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już w zasadzie brane pod uwagę.
Możesz zapytać: „No cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy obejść się przy standardowej definicji podanej powyżej?”
Cóż, podam tylko jedną właściwość, ze względu na którą nowa definicja staje się właściwa. Na przykład zasada potęgowania:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Uwaga: możemy podnieść wyrażenie pierwiastkowe do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastkowy przez tę samą potęgę - a wynik będzie taki sam! Oto przykłady:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\\end(align)\]
Więc o co chodzi? Dlaczego nie mogliśmy tego zrobić wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ - liczba ta jest w naszym klasycznym rozumieniu całkiem normalna, jednak z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego jest absolutnie nie do przyjęcia. Spróbujmy to przekonwertować:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Jak widać, w pierwszym przypadku usunęliśmy minus spod pierwiastka (mamy pełne prawo, ponieważ wykładnik jest nieparzysty), a w drugim przypadku skorzystaliśmy z powyższego wzoru. Te. Z matematycznego punktu widzenia wszystko odbywa się zgodnie z regułami.
WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Tyle, że wzór na potęgowanie, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zera, w przypadku liczb ujemnych zaczyna dawać zupełną herezję.
Aby pozbyć się takiej dwuznaczności, wymyślono pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc nie będziemy się teraz nad nimi rozwodzić - lekcja okazała się już za długa.
Pierwiastek algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej
Długo zastanawiałem się, czy umieścić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się to tutaj zostawić. Materiał ten przeznaczony jest dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie – już nie na przeciętnym poziomie „szkolnym”, ale na poziomie bliskim olimpiady.
Zatem: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka liczby $n$ i związanego z nią podziału na wykładniki parzyste i nieparzyste, istnieje bardziej „dorosła” definicja, która w ogóle nie zależy od parzystości i innych subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.
Definicja. Pierwiastek algebraiczny $n$-tego dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ustalonego oznaczenia takich korzeni, więc po prostu postawimy myślnik na górze:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Zasadnicza różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw występuje tylko w trzech typach:
- Pusty zestaw. Występuje, gdy trzeba znaleźć pierwiastek algebraiczny stopnia parzystego z liczby ujemnej;
- Zestaw składający się z jednego pojedynczego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki potęg nieparzystych, a także pierwiastki parzystych potęg zera;
- Wreszcie zbiór może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. Odpowiednio taki układ jest możliwy tylko przy wyodrębnianiu pierwiastka stopnia parzystego z liczby dodatniej.
Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.
Przykład. Oceń wyrażenia:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:
\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]
Są to dwie liczby, które są częścią zestawu. Bo każdy z nich podniesiony do kwadratu daje czwórkę.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]
Widzimy tutaj zbiór składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastkowy jest nieparzysty.
Na koniec ostatnie wyrażenie:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic\]
Otrzymaliśmy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (tj. parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną –16.
Uwaga końcowa. Uwaga: to nie przypadek, że wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ istnieją również liczby zespolone - całkiem możliwe jest obliczenie tam $\sqrt(-16)$ i wielu innych dziwnych rzeczy.
Jednak liczby zespolone prawie nigdy nie pojawiają się na kursach matematyki w nowoczesnych szkołach. Usunięto je z większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uznali temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.
To wszystko. Na następnej lekcji przyjrzymy się wszystkim kluczowym właściwościom pierwiastków i wreszcie nauczymy się upraszczać wyrażenia irracjonalne. :)
lub używając wzoru na różnicę kwadratów w następujący sposób:
- (x 2 -4)* (x 2 +4) = 0.
Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z nich jest równy zero.
Wyrażenie x2 +4 nie może być równe zeru, dlatego pozostaje tylko (x2 -4)=0.
Rozwiązujemy to i otrzymujemy dwie odpowiedzi.
Odpowiedź: x=-2 i x=2.
Odkryliśmy, że równanie x 4 = 16 ma tylko 2 pierwiastki rzeczywiste. Są to pierwiastki czwartego stopnia z liczby 16. Ponadto pierwiastek dodatni nazywany jest pierwiastkiem arytmetycznym czwartego stopnia z liczby 16. I są one oznaczone jako 4√16. Oznacza to, że 4√16=2.
Definicja
- Pierwiastek arytmetyczny potęgi naturalnej n>=2 liczby nieujemnej a jest pewną liczbą nieujemną. Podniesiony do potęgi n otrzymujemy liczbę a.
Można udowodnić, że dla dowolnego nieujemnego a i naturalnego n równanie x n = a będzie miało jeden pojedynczy nieujemny pierwiastek. To właśnie ten pierwiastek nazywa się pierwiastkiem arytmetycznym n-tego stopnia liczby a.
Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia liczby oznacza się następująco: n√a.
Liczba a w tym przypadku nazywana jest wyrażeniem radykalnym.
W przypadku, gdy n=2, nie zapisują dwóch, lecz po prostu zapisują √a.
Pierwiastki arytmetyczne drugiego i trzeciego stopnia mają ich specjalne nazwy.
Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, a pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia nazywa się pierwiastkiem sześciennym.
Używając samej definicji pierwiastka arytmetycznego, można udowodnić, że n√a jest równe b. Aby to zrobić musimy pokazać, że:
- 1. b jest większe lub równe zero.
- 2. bn =a.
Na przykład 3√(64) = 4, ponieważ 1,4>0, 2,4 3 =64.
Wniosek z definicji pierwiastka arytmetycznego.
- (n√a) n = za.
- n√(a n) = za.
Na przykład (5√2) 5 = 2.
Wyodrębnianie n-tego pierwiastka
Wyodrębnianie n-tego pierwiastka to czynność używana do znalezienia n-tego pierwiastka. Wzięcie n-tego pierwiastka jest odwrotnością podniesienia go do n-tej potęgi.
Spójrzmy na przykład.
Rozwiąż równanie x 3 = -27.
Zapiszmy to równanie w postaci (-x) 3 =27.
Załóżmy, że y=-x, a następnie y3 =27. Równanie to ma jeden pierwiastek dodatni y= 3√27 = 3.
Równanie to nie ma pierwiastków ujemnych, ponieważ y 3
Odkryliśmy, że równanie 3 = 27 ma tylko jeden pierwiastek.
Wracając do pierwotnego równania, okazuje się, że ono również ma tylko jeden pierwiastek x=-y=-3.
Stopień korzenia N z liczby rzeczywistej A, Gdzie N- liczba naturalna, taką liczbę rzeczywistą nazywa się X, N którego stopień jest równy A.
Stopień korzenia N od numeru A jest oznaczony symbolem. Według tej definicji.
Znalezienie korzenia N-stopień spośród A zwane ekstrakcją korzeni. Numer A nazywa się liczbą radykalną (wyrażeniem), N- wskaźnik korzenia. Za dziwne N jest korzeń N-ta potęga dowolnej liczby rzeczywistej A. Kiedy nawet N jest korzeń N-ta potęga tylko dla liczb nieujemnych A. Aby ujednoznacznić korzeń N-stopień spośród A, wprowadzono pojęcie pierwiastka arytmetycznego N-stopień spośród A.
Pojęcie pierwiastka arytmetycznego stopnia N
Jeśli N- liczba naturalna, większa 1 , to istnieje tylko jedna liczba nieujemna X, tak że równość jest spełniona. Ten numer X zwany pierwiastkiem arytmetycznym N potęga liczby nieujemnej A i jest wyznaczony. Numer A nazywa się liczbą radykalną, N- wskaźnik korzenia.
Zatem zgodnie z definicją zapis , gdzie , oznacza po pierwsze to, a po drugie tamto, tj. .
Pojęcie stopnia z wykładnikiem racjonalnym
Stopień z wykładnikiem naturalnym: niech A jest liczbą rzeczywistą oraz N- liczba naturalna większa niż jeden, N-ta potęga liczby A nazwać pracę N czynników, z których każdy jest równy A, tj. . Numer A- podstawa stopnia, N- wykładnik. Potęga o wykładniku zerowym: z definicji, jeśli , to . Zerowa potęga liczby 0 nie ma sensu. Stopień z wykładnikiem ujemnym w postaci liczby całkowitej: zakładany z definicji, jeśli i N jest liczbą naturalną, wówczas . Stopień z wykładnikiem ułamkowym: z definicji zakłada się, że i N- Liczba naturalna, M jest liczbą całkowitą, wówczas .
Operacje z korzeniami.
We wszystkich poniższych wzorach symbol oznacza pierwiastek arytmetyczny (wyrażenie rodnikowe jest dodatnie).
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:
2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi pierwiastków dywidendy i dzielnika:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi: 
4. Jeśli zwiększysz stopień pierwiastka n razy i jednocześnie podniesiesz liczbę pierwiastkową do n-tej potęgi, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie: 
5. Jeśli zmniejszymy stopień pierwiastka n razy i jednocześnie wyodrębnimy n-ty pierwiastek z liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy stopnie naukowe tylko z wykładnikami naturalnymi; ale operacje na potęgach i pierwiastkach mogą również prowadzić do wykładników ujemnych, zerowych i ułamkowych. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji.
Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku ujemnym (całkowitym) definiuje się jako jednostkę podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika ujemnego: 
Teraz wzór a m: a n = a m - n można zastosować nie tylko dla m większego od n, ale także dla m mniejszego od n.
PRZYKŁAD za 4: za 7 = za 4 - 7 = za -3.
Jeżeli chcemy, aby wzór a m: a n = a m - n obowiązywał dla m = n, potrzebujemy definicji stopnia zerowego.
Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi 1.
PRZYKŁADY. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą a do potęgi m / n, należy wyodrębnić n-ty pierwiastek z m-tej potęgi tej liczby a:
O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia. Jest kilka takich wyrażeń.
Przypadek 1.
Gdzie a ≠ 0 nie istnieje.
Faktycznie, jeśli przyjmiemy, że x jest pewną liczbą, to zgodnie z definicją operacji dzielenia mamy: a = 0 x, tj. a = 0, co jest sprzeczne z warunkiem: a ≠ 0
Przypadek 2.
Jakikolwiek numer.
Tak naprawdę, jeśli przyjmiemy, że to wyrażenie jest równe pewnej liczbie x, to zgodnie z definicją operacji dzielenia mamy: 0 = 0 · x. Ale ta równość zachodzi dla dowolnej liczby x i właśnie to należało udowodnić.
Naprawdę,
Rozwiązanie Rozważmy trzy główne przypadki:
1) x = 0 – ta wartość nie spełnia tego równania
2) dla x > 0 otrzymujemy: x / x = 1, tj. 1 = 1, co oznacza, że x jest dowolną liczbą; ale biorąc pod uwagę, że w naszym przypadku x > 0, odpowiedzią jest x > 0;
3) w x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
w tym przypadku nie ma rozwiązania. Zatem x > 0.