Pole prostokąta, zobacz Jak obliczyć pole prostokąta: praktyczne wskazówki. Co zrobić, jeśli podane są boki prostokąta

jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są równe 90°, a przeciwległe boki są równoległe i równe parami.

Prostokąt ma kilka niezaprzeczalnych właściwości, które są wykorzystywane przy rozwiązywaniu wielu problemów, we wzorach na pole prostokąta i jego obwód. Tutaj są:

Długość nieznanego boku lub przekątnej prostokąta oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Pole prostokąta można obliczyć na dwa sposoby - przez iloczyn jego boków lub ze wzoru na pole prostokąta przez przekątną. Pierwsza i najprostsza formuła wygląda następująco:

Przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą tego wzoru jest bardzo prosty. Znając dwa boki np. a = 3 cm, b = 5 cm, możemy łatwo obliczyć pole prostokąta:
Odkrywamy, że w takim prostokącie powierzchnia będzie równa 15 metrów kwadratowych. cm.

Pole prostokąta przez przekątne

Czasami trzeba zastosować wzór na pole prostokąta przechodzącego przez przekątne. Wymaga to nie tylko ustalenia długości przekątnych, ale także kąta między nimi:

Spójrzmy na przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą przekątnych. Niech dany będzie prostokąt o przekątnej d = 6 cm i kącie = 30°. Podstawiamy dane do znanego już wzoru:

Zatem przykład obliczenia pola prostokąta przez przekątną pokazał nam, że znalezienie pola w ten sposób, jeśli podany jest kąt, jest dość proste.
Przyjrzyjmy się innemu ciekawemu problemowi, który pomoże nam trochę rozciągnąć mózg.

Zadanie: Biorąc pod uwagę kwadrat. Jego powierzchnia wynosi 36 metrów kwadratowych. cm Znajdź obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość 9 cm i którego pole jest takie samo jak kwadrat podany powyżej.
Mamy więc kilka warunków. Dla przejrzystości zapiszmy je, aby zobaczyć wszystkie znane i nieznane parametry:
Boki figury są równoległe i równe parami. Dlatego obwód figury jest równy dwukrotności sumy długości boków:
Ze wzoru na pole prostokąta, które jest równe iloczynowi dwóch boków figury, znajdujemy długość boku b
Stąd:
Podstawiamy znane dane i znajdujemy długość boku b:
Oblicz obwód figury:
W ten sposób, znając kilka prostych wzorów, możesz obliczyć obwód prostokąta, znając jego pole.

L * H = S, aby znaleźć pole prostokąta, musisz pomnożyć szerokość przez długość. Innymi słowy, można to wyrazić w następujący sposób: Pole prostokąta jest równe iloczynowi boków.

1. Podajmy przykład obliczeń jak znaleźć pole prostokąta, boki są równe znanym wielkościom, na przykład szerokość 4 cm, długość 8 cm.

Jak znaleźć obszar prostokąta z bokami 4 i 8 cm: Rozwiązanie jest proste! 4 x 8 = 32 cm2. Aby rozwiązać tak prosty problem, musisz obliczyć iloczyn boków prostokąta lub po prostu pomnożyć szerokość przez długość, to będzie obszar!

2. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat, ma to miejsce w przypadku, gdy boki prostokąta są równe, w tym przypadku pole kwadratu można znaleźć za pomocą powyższego wzoru.

Jakie jest pole prostokąta?

Umiejętność obliczenia pola prostokąta to podstawowa umiejętność rozwiązywania ogromnej liczby problemów codziennych lub technicznych. Ta wiedza ma zastosowanie w niemal wszystkich obszarach życia! Np. w przypadkach gdy potrzebne są powierzchnie o dowolnych powierzchniach w budownictwie lub nieruchomościach. Przy obliczaniu powierzchni gruntów, działek, ścian domów, pomieszczeń mieszkalnych... nie da się wskazać ani jednego obszaru działalności człowieka, w którym ta wiedza nie mogłaby się przydać!

Jeśli obliczanie pola prostokąta sprawia Ci trudności - skorzystaj po prostu z naszego kalkulatora! O natychmiast wykona wszystkie niezbędne obliczenia i napisze tekst rozwiązania ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Oblicz pole prostokąta ze szczegółowym rozwiązaniem. Kalkulator oblicza pole korzystając ze wzoru wykorzystującego długość i szerokość prostokąta. Podstawowe metody i wyjaśnienie wzorów, dzięki którym możesz samodzielnie rozwiązać swoje problemy.

Kalkulator internetowy

Najpierw zapoznajmy się z definicją. Prostokąt ma 4 boki. Każda strona jest równa i równoległa do strony przeciwnej. Ważne jest, aby zrozumieć, że wszystkie 4 boki nie mogą być równe, w przeciwnym razie otrzymasz kwadrat. Prostokąt będzie miał 2 identyczne boki jednej długości i 2 identyczne boki drugiej.

Wszystkie 4 kąty wewnątrz prostokąta są kątami prostymi. Oznacza to, że każdy kąt ma 90°.

Wzór na pole prostokąta na podstawie jego boków

Aby znaleźć obszar SS S prostokąt, musisz pomnożyć jego dwa boki: bok a a A pomnóż przez bok b b B.

S = za ⋅ b. S = a\cdot b. S=⋅B.

Mamy prostokąt A B C D ABCD A B C D. Jedna strona tego A B AB A B równy 5 5 5 cm, druga BC BC PNE równy 3 3 3 cm Musimy znaleźć jego obszar SS S.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć obszar SS S, musisz pomnożyć bok A B AB A B na bok BC BC PNE i otrzymujemy: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 S=5 ⋅ 3 .

Odpowiedź: S = 15 S = 15 S=1 5 cm2.

Wzór na pole prostokąta za pomocą przekątnych

S = 1 2 re 2 grzech ⁡ α . S = \frac (1)(2)d^2 \sin \alfa.S=2 1 ​ D 2 sina.

Pamiętaj, że długości przekątnych w prostokącie są równe i w momencie ich przecięcia dzielą się na pół.

Biorąc pod uwagę prostokąt A B C D ABCD A B C D. Jego przekątna AC AC C równy 8 8 8 cm i kąt ostry między przekątnymi 30° 30° 3 0°. Znajdź obszar figury.

Korzystając z powyższego wzoru otrzymujemy:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac(1)(2) \cdot 8^2 \cdot \sin 30^(\circ ) = \frac(1)(2) \cdot 64 \cdot \frac(1)(2) = \frac(64)(4) = 16S=2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ grzech 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

Odpowiedź: S = 16 S = 16 S=1 6 cm2.

Aby obliczyć pole i obwód kwadratu, musisz zrozumieć pojęcia tych wielkości. Kwadrat to prostokąt mający tylko cztery równe boki, które tworzą między sobą kąt 90°. Obwód to suma długości wszystkich boków. Pole jest iloczynem długości prostokąta i jego szerokości.

Pole kwadratu i jak je znaleźć

Jak wspomniano powyżej, kwadrat to prostokąt mający 4 równe boki, więc odpowiedzią na pytanie: „jak znaleźć pole kwadratu” jest wzór: S = a*a lub S = a 2 , gdzie a jest bokiem kwadratu. Na podstawie tego wzoru łatwo jest znaleźć bok kwadratu, jeśli znane jest jego pole. Aby to zrobić, musisz wyodrębnić kwadrat ze wskazanej wartości.

Np. S = 121 zatem a = √121 = 11. Jeśli danej wartości nie ma w tabeli kwadratów, to można skorzystać z kalkulatora: S = 94, a = √94 = 9,7.

Jak znaleźć obwód kwadratu

Obwód kwadratu oblicza się za pomocą prostego wzoru: P = 4a, gdzie a jest bokiem kwadratu.

Przykład:

• bok kwadratu = 5, zatem P = 4*5 = 20
• bok kwadratu = 3, zatem P = 4*3 = 12

Ale są problemy, gdy obszar jest wyraźnie wskazany, ale trzeba znaleźć obwód. Do rozwiązywania potrzebne są formuły, które zostały przedstawione wcześniej.

Na przykład: jak znaleźć obwód kwadratu, jeśli wiadomo, że jego powierzchnia wynosi 144?

Kroki rozwiązania:

1. Oblicz długość jednego boku: a = √144 = 12
2. Znajdź obwód: P = 4*12 = 48.

Znalezienie obwodu kwadratu wpisanego

Istnieje kilka innych sposobów znalezienia obwodu kwadratu. Rozważmy jeden z nich: znalezienie obwodu przez promień opisanego koła. Tutaj pojawia się nowy termin „kwadrat wpisany” - jest to kwadrat, którego wierzchołki leżą na okręgu.

Algorytm rozwiązania:

• ponieważ rozważamy kwadrat, wzór można wyrazić w następujący sposób: a 2 + za 2 = (2r) 2 ;
• wówczas równanie należy uprościć: 2a 2 = 4(r) 2;
• podziel równanie przez 2: (a 2) = 2(r) 2;
• wyodrębnij pierwiastek: a = √(2r).

W rezultacie otrzymujemy ostatni wzór: a (bok kwadratu) = √(2r).

1. Znaleziony bok kwadratu mnoży się przez 4, po czym stosuje się standardowy wzór na obliczenie obwodu: P = 4√(2r).

Zadanie:

Mając dany kwadrat wpisany w okrąg, jego promień wynosi 5. Oznacza to, że przekątna kwadratu wynosi 10. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa: 2(a 2 ) = 10 2 , czyli 2a 2 = 100. Wynik podziel przez dwa, a otrzymasz wynik: a 2 = 50. Ponieważ nie jest to wartość tabelaryczna, używamy kalkulatora: a = √50 = 7,07. Pomnóż przez 4: P = 4*7,07 = 28,2. Problem rozwiązany!

Rozważmy jeszcze jedno pytanie

Często w problemach spotykamy się z innym warunkiem: jak znaleźć pole kwadratu, jeśli znany jest obwód?

Rozważyliśmy już wszystkie niezbędne formuły, więc aby rozwiązać tego typu problemy, należy je umiejętnie zastosować i połączyć ze sobą. Przejdźmy od razu do ilustrującego przykładu: Pole kwadratu wynosi 25 cm 2 , znajdź jego obwód.

Kroki rozwiązania:

1. Znajdź bok kwadratu: a = √25 = 5.

1. Znajdujemy sam obwód: P = 4*a = 4*5 = 20.

Podsumowując, warto przypomnieć, że takie proste formuły mają zastosowanie nie tylko w działaniach edukacyjnych, ale także w życiu codziennym. Dzieci uczą się znajdować obwód i pole figury w szkole podstawowej. W klasach średnich pojawia się nowy przedmiot - geometria, gdzie twierdzenie Pitagorasa jest na samym początku nauki. Te podstawy matematyki są również sprawdzane na zakończenie szkoły OGE i USE, dlatego ważne jest, aby znać te wzory i poprawnie je stosować.

Co to jest pole i czym jest prostokąt

Pole jest wielkością geometryczną, za pomocą której można określić wielkość dowolnej powierzchni figury geometrycznej.

Przez wiele stuleci zwyczajowo obliczanie pola nazywano kwadraturą. Oznacza to, że aby poznać obszar prostych figur geometrycznych, wystarczyło policzyć liczbę kwadratów jednostkowych, którymi figury były konwencjonalnie pokryte. A figurę, która miała pole, nazywano kwadratową.

Dlatego możemy podsumować, że pole to wielkość, która pokazuje nam rozmiar części płaszczyzny połączonej segmentami.

Prostokąt to czworokąt, którego kąty są dobre. Oznacza to, że czworoboczna figura, która ma cztery kąty proste, a jej przeciwne boki są równe, nazywa się prostokątem.

Jak znaleźć obszar prostokąta

Pole prostokąta najłatwiej wyznaczyć, biorąc przezroczystą kartkę papieru, np. kalkę lub ceratę, i rozrysowując ją na równe kwadraty o boku 1 cm, a następnie przyklejając je do obrazu prostokąta. Liczba wypełnionych kwadratów będzie polem w centymetrach kwadratowych. Przykładowo na rysunku widać, że prostokąt dzieli się na 12 kwadratów, co oznacza, że ​​jego pole wynosi 12 metrów kwadratowych. cm.

Ale aby znaleźć powierzchnię dużych obiektów, takich jak mieszkanie, potrzebna jest bardziej uniwersalna metoda, dlatego udowodniono wzór na znalezienie pola prostokąta poprzez pomnożenie jego długości przez jego szerokość.

Spróbujmy teraz zapisać regułę znajdowania pola prostokąta w formie wzoru. Oznaczmy obszar naszej figury literą S, litera a będzie oznaczać jej długość, a litera b będzie oznaczać jej szerokość.

W rezultacie otrzymujemy tę formułę:

S = a * b.

Jeśli zastosujemy tę formułę do powyższego rysunku prostokąta, otrzymamy te same 12 cm2, ponieważ a = 4 cm, b = 3 cm i S = 4 * 3 = 12 cm2. cm.

Jeśli weźmiesz dwie identyczne figury i nałożysz je jedna na drugą, będą się pokrywać i będą nazywane równymi. Takie równe figury będą miały również równe pola i obwody.

Dlaczego warto wiedzieć, jak znaleźć obszar

Po pierwsze, jeśli wiesz, jak znaleźć obszar figury, to za pomocą jej wzoru możesz łatwo rozwiązać wszelkie problemy z geometrii i trygonometrii.
Po drugie, nauczywszy się znajdować obszar prostokąta, najpierw będziesz w stanie rozwiązywać proste problemy, a z czasem przejdziesz do rozwiązywania bardziej złożonych i nauczysz się znajdować obszar figur, które są wpisane w prostokąt lub w jego pobliżu.
Po trzecie, znając tak prosty wzór jak S = a * b, zyskasz możliwość łatwego rozwiązania wszelkich prostych problemów życia codziennego (na przykład znalezienia mieszkań lub domów S), a z czasem będziesz mógł je zastosować do rozwiązywania złożonych architektonicznych projektowanie.

Oznacza to, że jeśli całkowicie uprościmy wzór na znalezienie obszaru, będzie on wyglądał następująco:

P = dł. x szer.,

P oznacza wymaganą powierzchnię, D to długość, W to szerokość, a x to znak mnożenia.

Czy wiesz, że obszar dowolnego wielokąta można warunkowo podzielić na określoną liczbę kwadratowych bloków znajdujących się wewnątrz tego wielokąta? Jaka jest różnica między polem a obwodem

Użyjmy przykładu, aby zrozumieć różnicę między obwodem a powierzchnią. Przykładowo nasza szkoła znajduje się na terenie ogrodzonym płotem - całkowita długość tego płotu będzie obwodem, a przestrzeń znajdująca się wewnątrz płotu będzie powierzchnią.

Jednostki powierzchni

Jeśli obwód jest jednowymiarowy i jest mierzony w jednostkach liniowych, czyli calach, stopach i metrach, wówczas S odnosi się do obliczeń dwuwymiarowych i ma swoją własną długość i szerokość.

A S mierzy się w jednostkach kwadratowych, takich jak:

Jeden milimetr kwadratowy, gdzie S kwadratu ma bok równy jednemu milimetrowi;
Centymetr kwadratowy ma S takiego kwadratu, którego bok jest równy jednemu centymetrowi;
Decymetr kwadratowy jest równy S tego kwadratu o boku jednego decymetra;
Metr kwadratowy ma S kwadrat, którego bok ma jeden metr;
I wreszcie kilometr kwadratowy ma S kwadrat, którego bok wynosi jeden kilometr.

Do pomiaru powierzchni dużych obszarów na powierzchni Ziemi stosuje się takie jednostki jak:

Jeden ar lub sto metrów kwadratowych - jeśli kwadrat S ma bok dziesięciu metrów;
Jeden hektar równa się S kwadratowi, którego bok wynosi sto metrów.

Zadania i ćwiczenia

Teraz spójrzmy na kilka przykładów.

Na rysunku 62 przedstawiono figurę składającą się z ośmiu kwadratów, a każdy bok tych kwadratów jest równy jednemu centymetrowi. Dlatego S takiego kwadratu będzie centymetrem kwadratowym.

Jeśli to zapiszesz, będzie to wyglądało tak:

1 cm2. A S tej figury, składającej się z ośmiu kwadratów, będzie równe 8 cm2. cm.

Jeśli weźmiesz dowolną figurę i podzielisz ją na kwadraty „p” o boku równym jednemu centymetrowi, wówczas jej powierzchnia będzie równa:

R cm2.

Spójrzmy na prostokąt pokazany na rysunku 63. Prostokąt ten składa się z trzech pasków, a każdy taki pasek jest podzielony na pięć równych kwadratów o boku 1 cm.

Spróbujmy znaleźć jego obszar. I tak bierzemy pięć kwadratów, mnożymy przez trzy paski i otrzymujemy powierzchnię równą 15 cm2:

Rozważ następujący przykład. Rysunek 64 przedstawia prostokąt ABCD podzielony na dwie części linią przerywaną KLMN. Jej pierwsza część ma powierzchnię 12 cm2, a druga 9 cm2. Teraz znajdźmy obszar całego prostokąta:

Więc weź trzy i pomnóż przez siedem i uzyskaj 21 cm2:

3 7 = 21 cm2. W tym przypadku 21 = 12 + 9.

I dochodzimy do wniosku, że pole całej naszej figury jest równe sumie pól jej poszczególnych części.

Spójrzmy na inny przykład. I tak na rysunku 65 pokazano prostokąt, który za pomocą odcinka AC dzieli się na dwa równe trójkąty ABC i ADC

A skoro już wiemy, że kwadrat to ten sam prostokąt, mający tylko równe boki, to pole każdego trójkąta będzie równe połowie pola całego prostokąta.

Wyobraźmy sobie, że bok kwadratu jest równy a, a następnie:

S = a a = a2.

Dochodzimy do wniosku, że wzór na pole kwadratu będzie wyglądał następująco:

A zapis a2 nazywa się kwadratem liczby a.

I tak, jeśli bok naszego kwadratu ma cztery centymetry, to jego pole będzie wynosić:

4 4, czyli 4 * 2 = 16 cm2.

Pytania i zadania

Znajdź obszar figury podzielony na szesnaście kwadratów, których boki są równe jednemu centymetrowi.
Zapamiętaj wzór na prostokąt i zapisz go.
Jakie pomiary należy wykonać, aby poznać pole prostokąta?
Zdefiniuj liczby równe.
Czy różne obszary mogą mieć równe liczby? A co z obwodami?
Jeśli znasz pola poszczególnych części figury, jak możesz sprawdzić jej całkowite pole?
Sformułuj i zapisz, jakie jest pole kwadratu.

Odniesienie historyczne

Czy wiesz, że starożytni mieszkańcy Babilonu umieli obliczać pole prostokąta? Starożytni Egipcjanie również dokonywali obliczeń różnych liczb, ale ponieważ nie znali dokładnych wzorów, w obliczeniach występowały drobne błędy.

W swojej książce „Elementy” słynny starożytny grecki matematyk Euklides opisuje różne sposoby obliczania pól różnych figur geometrycznych.