Niech będzie macierz kwadratowa n-tego rzędu
Nazywa się macierz A -1 odwrotna macierz w stosunku do macierzy A, jeśli A*A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu.
Macierz jednostkowa- taka macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy wzdłuż głównej przekątnej, przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu, są jedynkami, a reszta jest zerami, na przykład:
odwrotna macierz może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych te. dla tych macierzy, w których liczba wierszy i kolumn pokrywa się.
Twierdzenie o warunku istnienia macierzy odwrotnej
Aby macierz miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby była ona nieosobliwa.
Nazywa się macierz A = (A1, A2,...A n). niezdegenerowany, jeśli wektory kolumnowe są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy nazywana jest rzędem macierzy. Można zatem powiedzieć, że aby istniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy był równy jej wymiarowi, tj. r = n.
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
- Wpisz macierz A do tabeli rozwiązywania układów równań metodą Gaussa i przypisz do niej macierz E po prawej stronie (w miejsce prawych stron równań).
- Korzystając z transformacji Jordana, zredukuj macierz A do macierzy składającej się z kolumn jednostkowych; w tym przypadku konieczne jest jednoczesne przekształcenie macierzy E.
- W razie potrzeby przestaw wiersze (równania) ostatniej tabeli tak, aby pod macierzą A oryginalnej tabeli znalazła się macierz jednostkowa E.
- Zapisz macierz odwrotną A -1, która znajduje się w ostatniej tabeli pod macierzą E oryginalnej tabeli.
Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną A -1
Rozwiązanie: Zapisujemy macierz A, a po prawej stronie przypisujemy macierz jednostkową E. Korzystając z transformacji Jordana, redukujemy macierz A do macierzy jednostkowej E. Obliczenia przedstawiono w tabeli 31.1.
Sprawdźmy poprawność obliczeń mnożąc pierwotną macierz A i odwrotną macierz A -1.
W wyniku mnożenia macierzy otrzymano macierz jednostkową. Zatem obliczenia zostały wykonane prawidłowo.
Odpowiedź: 
Rozwiązywanie równań macierzowych
Równania macierzowe mogą wyglądać następująco:
AX = B, HA = B, AXB = C,
gdzie A, B, C to określone macierze, X to pożądana macierz.
Równania macierzowe rozwiązuje się poprzez pomnożenie równania przez macierze odwrotne.
Na przykład, aby znaleźć macierz z równania, należy pomnożyć to równanie przez lewą stronę.
Dlatego, aby znaleźć rozwiązanie równania, należy znaleźć macierz odwrotną i pomnożyć ją przez macierz po prawej stronie równania.
Inne równania rozwiązuje się w podobny sposób.
Rozwiąż równanie AX = B jeśli 
Rozwiązanie: Ponieważ macierz odwrotna jest równa (patrz przykład 1)
Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej
Wraz z innymi są one również używane metody matrycowe. Metody te opierają się na algebrze liniowej i macierzy wektorowo-macierzowej. Metody takie wykorzystywane są do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk gospodarczych. Najczęściej metody te stosuje się w razie potrzeby ocena porównawcza funkcjonowanie organizacji i ich podziały strukturalne.
W procesie stosowania metod analizy macierzowej można wyróżnić kilka etapów.
Na pierwszym etapie system się tworzy wskaźniki ekonomiczne i na jej podstawie tworzona jest źródłowa macierz danych, czyli tabela, w której w poszczególnych jej wierszach pokazane są numery systemowe (i = 1,2,....,n), a w kolumnach pionowych - numery wskaźników (j = 1,2,....,m).
Na drugim etapie Dla każdej kolumny pionowej identyfikowana jest największa z dostępnych wartości wskaźnika, którą przyjmuje się jako jedną.
Następnie wszystkie kwoty odzwierciedlone w tej kolumnie są dzielone przez największą wartość i tworzona jest macierz standardowych współczynników.
Na trzecim etapie wszystkie składniki macierzy są kwadratowe. Jeżeli mają one różne znaczenie, wówczas każdemu wskaźnikowi matrycowemu przypisany jest określony współczynnik wagowy k. Wartość tego ostatniego określana jest na podstawie opinii biegłego.
Na ostatnim czwarty etap znalezione wartości ocen Rj są pogrupowane według ich wzrostu lub spadku.
Opisane metody macierzowe należy stosować np. kiedy analiza porównawcza różne projekty inwestycyjne, a także przy ocenie innych wskaźników ekonomicznych organizacji.
W tym artykule omówimy macierzową metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych, znajdziemy jej definicję i podamy przykłady rozwiązań.
Definicja 1
Metoda macierzy odwrotnej to metoda stosowana do rozwiązywania SLAE, jeśli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań.
Przykład 1
Znajdź rozwiązanie układu n równania liniowe z n niewiadomymi:
za 11 x 1 + za 12 x 2 + . . . + za 1 n x n = b 1 za n 1 x 1 + za n 2 x 2 + . . . + za n n x n = b n
Typ zapisu matrycowego : A × X = B
gdzie A = a 11 za 12 ⋯ za 1 n za 21 za 22 ⋯ za 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 za n 2 ⋯ za n n jest macierzą układu.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - kolumna niewiadomych,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - kolumna wolnych współczynników.
Z równania, które otrzymaliśmy, konieczne jest wyrażenie X. Aby to zrobić, musisz pomnożyć obie strony równania macierzowego po lewej stronie przez A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B.
Ponieważ A - 1 × A = E, to E × X = A - 1 × B lub X = A - 1 × B.
Komentarz
Macierz odwrotna do macierzy A ma prawo istnieć tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek d e t A nierówny zero. Dlatego przy rozwiązywaniu SLAE metodą odwrotnej macierzy przede wszystkim znajduje się d e t A.
W przypadku, gdy d e t A nie jest równe zero, system ma tylko jedną możliwość rozwiązania: zastosowanie metody macierzy odwrotnych. Jeśli d e t A = 0, to układu nie można rozwiązać tą metodą.
Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą odwrotnych macierzy
Przykład 2Rozwiązujemy SLAE metodą odwrotnej macierzy:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Jak rozwiązać?
- Układ zapisujemy w postaci równania macierzowego A X = B, gdzie
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- Wyrażamy X z tego równania:
- Znajdź wyznacznik macierzy A:
re mi t ZA = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A nie jest równe 0, dlatego dla tego układu odpowiednia jest metoda rozwiązywania macierzy odwrotnych.
- Macierz odwrotną A - 1 znajdujemy za pomocą macierzy pokrewnej. Obliczamy uzupełnienia algebraiczne A i j do odpowiednich elementów macierzy A:
ZA 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
ZA 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
ZA 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
ZA 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
ZA 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
ZA 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
ZA 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
ZA 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
ZA 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Zapisujemy pokrewną macierz A*, która składa się z algebraicznych uzupełnień macierzy A:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Macierz odwrotną zapisujemy według wzoru:
ZA - 1 = 1 re mi t ZA (A *) T: ZA - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Mnożymy macierz odwrotną A - 1 przez kolumnę wolnych wyrazów B i otrzymujemy rozwiązanie układu:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Odpowiedź : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Temat ten jest jednym z najbardziej znienawidzonych wśród studentów. Gorzej prawdopodobnie są kwalifikacje.
Rzecz w tym, że samo pojęcie elementu odwrotnego (i nie mówię tylko o macierzach) odsyła nas do operacji mnożenia. Nawet w programie szkolnym mnożenie uważane jest za operację złożoną, a mnożenie macierzy to generalnie odrębny temat, któremu poświęciłem cały akapit i lekcję wideo.
Dziś nie będziemy wdawać się w szczegóły obliczeń macierzowych. Pamiętajmy tylko: jak wyznacza się macierze, jak się je mnoży i co z tego wynika.
Przegląd: Mnożenie macierzy
Przede wszystkim uzgodnijmy notację. Macierz $A$ o rozmiarze $\left[ m\times n \right]$ jest po prostu tabelą liczb zawierającą dokładnie $m$ wierszy i $n$ kolumn:
\=\underbrace(\left[ \begin(macierz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(macierz) \right])_(n)\]
Aby uniknąć przypadkowego pomieszania wierszy i kolumn (uwierz mi, na egzaminie można pomylić jedynkę z dwójką, nie mówiąc już o niektórych wierszach), spójrz tylko na obrazek:
Wyznaczanie wskaźników dla komórek macierzy Co się dzieje? Jeśli umieścisz standardowy układ współrzędnych $OXY$ po lewej stronie górny róg i tak skieruj osie, aby obejmowały całą macierz, wtedy każdej komórce tej macierzy można jednoznacznie przypisać współrzędne $\left(x;y\right)$ - będzie to numer wiersza i numer kolumny.
Dlaczego układ współrzędnych jest umieszczony w lewym górnym rogu? Tak, bo to od niego zaczynamy czytać dowolne teksty. Bardzo łatwo to zapamiętać.
Dlaczego oś $x$ jest skierowana w dół, a nie w prawo? Znowu to proste: weź standardowy układ współrzędnych (oś $x$ idzie w prawo, oś $y$ idzie w górę) i obróć go tak, aby zakrył macierz. Jest to obrót o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara - efekt widzimy na zdjęciu.
Ogólnie rzecz biorąc, wymyśliliśmy, jak określić indeksy elementów macierzy. Teraz spójrzmy na mnożenie.
Definicja. Macierze $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, gdy liczba kolumn w pierwszej pokrywa się z liczbą wierszy w drugiej, to nazywany konsekwentnym.
Dokładnie w tej kolejności. Można się pomylić i powiedzieć, że macierze $A$ i $B$ tworzą uporządkowaną parę $\left(A;B \right)$: jeśli są spójne w tej kolejności, to wcale nie jest konieczne, aby $B $ i $A$ te. para $\left(B;A \right)$ jest również spójna.
Można mnożyć tylko dopasowane macierze.
Definicja. Iloczyn dopasowanych macierzy $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ to nowa macierz $C=\left[ m\times k \right ]$ , którego elementy $((c)_(ij))$ oblicza się według wzoru:
\[((c)_(ij))=\suma\limity_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Innymi słowy: aby otrzymać element $((c)_(ij))$ macierzy $C=A\cdot B$, musisz wziąć wiersz $i$ pierwszej macierzy, czyli $j$ -tą kolumnę drugiej macierzy, a następnie pomnóż parami elementy z tego wiersza i kolumny. Dodaj wyniki.
Tak, to bardzo ostra definicja. Wynika z niego bezpośrednio kilka faktów:
- Mnożenie macierzy, ogólnie rzecz biorąc, jest nieprzemienne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Jednak mnożenie jest łączne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- A nawet rozdzielnie: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- I jeszcze raz rozdzielnie: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Rozdzielność mnożenia musiała być opisana oddzielnie dla lewego i prawego współczynnika sumy właśnie ze względu na nieprzemienność operacji mnożenia.
Jeżeli okaże się, że $A\cdot B=B\cdot A$, to takie macierze nazywamy przemiennymi.
Wśród wszystkich macierzy, które są tam mnożone przez coś, są specjalne - takie, które pomnożone przez dowolną macierz $A$ ponownie dają $A$:
Definicja. Macierz $E$ nazywa się tożsamością, jeżeli $A\cdot E=A$ lub $E\cdot A=A$. W przypadku macierzy kwadratowej $A$ możemy napisać:
Macierz tożsamości jest częstym gościem przy rozwiązywaniu równań macierzowych. I w ogóle częsty gość w świecie matryc. :)
I przez to $E$ ktoś wymyślił te wszystkie bzdury, które będą pisane dalej.
Co to jest macierz odwrotna
Ponieważ mnożenie macierzy jest operacją bardzo pracochłonną (trzeba pomnożyć kilka wierszy i kolumn), koncepcja macierzy odwrotnej również okazuje się nietrywialna. I wymagające wyjaśnień.
Definicja klucza
Cóż, czas poznać prawdę.
Definicja. Macierz $B$ nazywa się odwrotnością macierzy $A$ if
Macierz odwrotna jest oznaczona przez $((A)^(-1))$ (nie mylić ze stopniem!), zatem definicję można przepisać w następujący sposób:
Wydawać by się mogło, że wszystko jest niezwykle proste i przejrzyste. Ale analizując tę definicję, od razu pojawia się kilka pytań:
- Czy zawsze istnieje macierz odwrotna? A jeśli nie zawsze, to jak ustalić: kiedy istnieje, a kiedy nie?
- A kto powiedział, że istnieje dokładnie jedna taka macierz? A co jeśli dla jakiejś macierzy początkowej $A$ istnieje cała masa odwrotności?
- Jak wyglądają te wszystkie „odwroty”? A jak dokładnie powinniśmy je policzyć?
Jeśli chodzi o algorytmy obliczeniowe, porozmawiamy o tym nieco później. Ale na pozostałe pytania odpowiemy już teraz. Sformułujmy je w formie odrębnych twierdzeń-lematów.
Podstawowe właściwości
Zacznijmy od tego jak w zasadzie powinna wyglądać macierz $A$, aby dla niej istniała $((A)^(-1))$. Teraz upewnimy się, że obie te macierze muszą być kwadratowe i mieć ten sam rozmiar: $\left[ n\times n \right]$.
Lemat 1. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy obie te macierze są kwadratowe i tego samego rzędu $n$.
Dowód. To proste. Niech macierz $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Ponieważ iloczyn $A\cdot ((A)^(-1))=E$ istnieje z definicji, macierze $A$ i $((A)^(-1))$ są spójne w pokazanej kolejności:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( wyrównywać)\]
Jest to bezpośrednia konsekwencja algorytmu mnożenia macierzy: współczynniki $n$ i $a$ są „przejściowe” i muszą być równe.
Jednocześnie definiuje się także odwrotne mnożenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, zatem macierze $((A)^(-1))$ i $A$ są również spójne w określonej kolejności:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( wyrównywać)\]
Zatem bez utraty ogólności możemy założyć, że $A=\lewo[ m\razy n \prawo]$, $((A)^(-1))=\lewo[ n\razy m \prawo]$. Jednak zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zatem rozmiary macierzy są ściśle zgodne:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Okazuje się więc, że wszystkie trzy macierze - $A$, $((A)^(-1))$ i $E$ - są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Lemat został udowodniony.
No to już dobrze. Widzimy, że odwracalne są tylko macierze kwadratowe. Teraz upewnijmy się, że macierz odwrotna jest zawsze taka sama.
Lemat 2. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy ta macierz odwrotna jest jedyna.
Dowód. Przejdźmy przez sprzeczność: niech macierz $A$ ma co najmniej dwie odwrotności - $B$ i $C$. Zatem zgodnie z definicją prawdziwe są następujące równości:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]
Z Lematu 1 wnioskujemy, że wszystkie cztery macierze - $A$, $B$, $C$ i $E$ - są kwadratami tego samego rzędu: $\left[ n\times n \right]$. Dlatego produkt jest zdefiniowany:
Ponieważ mnożenie macierzy jest łączne (ale nie przemienne!), możemy napisać:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Strzałka w prawo B=C. \\ \end(align)\]
Mamy jedyną możliwą opcję: dwie kopie macierzy odwrotnej są równe. Lemat został udowodniony.
Powyższe argumenty powtarzają niemal dosłownie dowód niepowtarzalności elementu odwrotnego dla wszystkich liczby rzeczywiste$b\ne 0$. Jedynym istotnym dodatkiem jest uwzględnienie wymiaru macierzy.
Nadal jednak nie wiemy nic na temat tego, czy każda macierz kwadratowa jest odwracalna. Tutaj z pomocą przychodzi nam wyznacznik - jest to kluczowa cecha wszystkich macierzy kwadratowych.
Lemat 3. Biorąc pod uwagę macierz $A$. Jeżeli istnieje jej macierz odwrotna $((A)^(-1))$, to wyznacznik macierzy pierwotnej jest różny od zera:
\[\lewo| A\prawo|\ne 0\]
Dowód. Wiemy już, że $A$ i $((A)^(-1))$ są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Dlatego dla każdego z nich możemy obliczyć wyznacznik: $\left| A\prawo|$ i $\lewo| ((A)^(-1)) \right|$. Jednakże wyznacznik iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników:
\[\lewo| A\cdot B \prawo|=\lewo| A \right|\cdot \left| B \right|\Strzałka w prawo \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|\]
Ale zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a wyznacznik $E$ jest zawsze równy 1, zatem
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \w lewo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\prawo|; \\ & \w lewo| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|=1. \\ \end(align)\]
Iloczyn dwóch liczb jest równy jeden tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest różna od zera:
\[\lewo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Okazuje się, że $\left| A \right|\ne 0$. Lemat został udowodniony.
W rzeczywistości wymóg ten jest dość logiczny. Teraz przeanalizujemy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej - i stanie się całkowicie jasne, dlaczego przy zerowym wyznaczniku w zasadzie nie może istnieć żadna macierz odwrotna.
Ale najpierw sformułujmy definicję „pomocniczą”:
Definicja. Macierz pojedyncza to macierz kwadratowa o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, której wyznacznikiem jest zero.
Możemy zatem twierdzić, że każda macierz odwracalna jest nieosobliwa.
Jak znaleźć odwrotność macierzy
Teraz rozważymy uniwersalny algorytm znajdowania macierzy odwrotnych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa ogólnie przyjęte algorytmy i dzisiaj rozważymy również drugi.
Ten, który zostanie teraz omówiony, jest bardzo efektywny dla macierzy o rozmiarze $\left[ 2\times 2 \right]$ i - częściowo - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ale zaczynając od rozmiaru $\left[ 4\times 4 \right]$ lepiej go nie używać. Dlaczego - teraz sam wszystko zrozumiesz.
Dodatki algebraiczne
Przygotuj się. Teraz będzie ból. Nie, nie martw się: piękna pielęgniarka w spódniczce, koronkowych pończochach nie przyjdzie do Ciebie i nie zrobi Ci zastrzyku w pośladek. Wszystko jest o wiele bardziej prozaiczne: przychodzą do ciebie dodatki algebraiczne i Jej Wysokość „Macierz Unii”.
Zacznijmy od najważniejszej rzeczy. Niech istnieje macierz kwadratowa o rozmiarze $A=\left[ n\times n \right]$, której elementy nazywane są $((a)_(ij))$. Następnie dla każdego takiego elementu możemy zdefiniować dopełnienie algebraiczne:
Definicja. Dopełnienie algebraiczne $((A)_(ij))$ do elementu $((a)_(ij))$ znajdującego się w $i$tym wierszu i $j$th kolumnie macierzy $A=\left[ n \times n \right]$ jest konstrukcją formy
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Gdzie $M_(ij)^(*)$ jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z pierwotnego $A$ poprzez usunięcie tego samego $i$tego wiersza i $j$tej kolumny.
Ponownie. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy o współrzędnych $\left(i;j \right)$ oznaczamy jako $((A)_(ij))$ i obliczamy według schematu:
- Najpierw usuwamy wiersz $i$ i kolumnę $j$ z oryginalnej macierzy. Otrzymujemy nową macierz kwadratową i oznaczamy jej wyznacznik jako $M_(ij)^(*)$.
- Następnie mnożymy ten wyznacznik przez $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na początku to wyrażenie może wydawać się oszałamiające, ale w istocie po prostu szukamy znaku przed $M_(ij)^(*) $.
- Liczymy i otrzymujemy konkretną liczbę. Te. dodawanie algebraiczne jest dokładnie liczbą, a nie jakąś nową macierzą itp.
Sama macierz $M_(ij)^(*)$ nazywana jest dodatkowym mollem elementu $((a)_(ij))$. I w tym sensie powyższa definicja dopełnienia algebraicznego jest szczególnym przypadkiem bardziej złożonej definicji - o czym pisaliśmy na lekcji o wyznaczniku.
Ważna uwaga. Właściwie w matematyce „dla dorosłych” dodawanie algebraiczne definiuje się w następujący sposób:
- W macierzy kwadratowej bierzemy $k$ wierszy i $k$ kolumn. Na ich przecięciu otrzymujemy macierz o rozmiarze $\left[ k\times k \right]$ - jej wyznacznik nazywamy mollem rzędu $k$ i oznaczamy $((M)_(k))$.
- Następnie skreślamy te „wybrane” wiersze i kolumny $k$. Ponownie otrzymujemy macierz kwadratową, której wyznacznik nazywamy dodatkowym mollem i oznaczamy $M_(k)^(*)$.
- Pomnóż $M_(k)^(*)$ przez $((\left(-1 \right))^(t))$, gdzie $t$ to (uwaga!) suma liczb wszystkich zaznaczonych wierszy i kolumny. To będzie dodawanie algebraiczne.
Spójrz na trzeci krok: w rzeczywistości istnieje suma warunków o wartości 2 tys. $! Inna sprawa, że dla $k=1$ otrzymamy tylko 2 wyrazy - będą to te same $i+j$ - „współrzędne” elementu $((a)_(ij))$ dla którego jesteśmy szukam dopełnienia algebraicznego.
Dlatego dzisiaj używamy nieco uproszczonej definicji. Ale jak zobaczymy później, będzie to więcej niż wystarczające. O wiele ważniejsze jest to, co następuje:
Definicja. Macierz pokrewna $S$ macierzy kwadratowej $A=\left[ n\times n \right]$ jest nową macierzą o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, którą otrzymujemy z $A$ zastępując $((a)_(ij))$ dodatkami algebraicznymi $((A)_(ij))$:
\\Strzałka w prawo S=\left[ \begin(macierz) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(macierz) \right]\]
Pierwsza myśl, która pojawia się w momencie realizacji tej definicji, brzmi: „ile trzeba będzie policzyć!” Spokojnie: będziesz musiał policzyć, ale nie aż tak. :)
Cóż, wszystko to jest bardzo miłe, ale dlaczego jest to konieczne? Ale dlaczego.
Główne twierdzenie
Cofnijmy się trochę. Przypomnijmy, w Lemacie 3 stwierdzono, że macierz odwracalna $A$ jest zawsze nieosobliwa (tzn. jej wyznacznik jest niezerowy: $\left| A \right|\ne 0$).
Zatem jest też odwrotnie: jeśli macierz $A$ nie jest osobliwa, to zawsze jest odwracalna. Istnieje nawet schemat wyszukiwania $((A)^(-1))$. Sprawdź to:
Twierdzenie o macierzy odwrotnej. Niech zostanie podana macierz kwadratowa $A=\left[ n\times n \right]$, której wyznacznik jest różny od zera: $\left| A \right|\ne 0$. Wówczas istnieje macierz odwrotna $((A)^(-1))$, którą oblicza się ze wzoru:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
A teraz - wszystko jest takie samo, ale czytelnym pismem. Aby znaleźć macierz odwrotną, potrzebujesz:
- Oblicz wyznacznik $\left| A \right|$ i upewnij się, że jest różny od zera.
- Skonstruuj macierz sumy $S$, tj. policz 100500 dodatków algebraicznych $((A)_(ij))$ i umieść je w miejscu $((a)_(ij))$.
- Transponuj tę macierz $S$, a następnie pomnóż ją przez pewną liczbę $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
To wszystko! Znaleziono macierz odwrotną $((A)^(-1))$. Spójrzmy na przykłady:
\[\left[ \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right]\]
Rozwiązanie. Sprawdźmy odwracalność. Obliczmy wyznacznik:
\[\lewo| A\prawo|=\lewo| \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że macierz jest odwracalna. Stwórzmy macierz unii:
Obliczmy dodawanie algebraiczne:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \prawo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \prawo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \prawo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\prawo|=3. \\ \end(align)\]
Uwaga: wyznaczniki |2|, |5|, |1| i |3| są wyznacznikami macierzy rozmiaru $\left[ 1\times 1 \right]$, a nie modułami. Te. Jeżeli w wyznacznikach były liczby ujemne, nie ma potrzeby usuwania „minusu”.
W sumie nasza macierz unii wygląda następująco:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -5 \\ -1 i 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]\]
OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.
Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]$
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \]
Rozwiązanie. Ponownie obliczamy wyznacznik:
\[\begin(align) & \left| \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right|=\begin(macierz ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Wyznacznik jest niezerowy – macierz jest odwracalna. Ale teraz będzie naprawdę ciężko: musimy policzyć aż 9 (dziewięć, skurwielu!) dodatków algebraicznych. I każdy z nich będzie zawierał wyznacznik $\left[ 2\times 2 \right]$. Latał:
\[\begin(macierz) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(macierz) 2 i -1 \\ 0 i 1 \\\end(macierz) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i -1 \\ 1 i 1 \\\end(macierz) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i 2 \\ 1 i 0 \\\end(macierz) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(macierz) 1 i -1 \\ 0 i 2 \\\end(macierz) \right|=2; \\ \end(macierz)\]
W skrócie macierz unii będzie wyglądać następująco:
Zatem macierz odwrotna będzie miała postać:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(macierz) 2 i -1 i -2 \\ 1 i -1 i -1 \\ -3 i 1 i 2 \\\end(macierz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 i 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 i 1 i -2 \\\end(tablica) \right]\]
Otóż to. Oto odpowiedź.
Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) -2 i -1 i 3 \\ 1 i 1 i -1 \\ 2 i 1 i -2 \\\end(array) \right ]$
Jak widać, na końcu każdego przykładu przeprowadziliśmy kontrolę. W związku z tym ważna uwaga:
Nie bądź leniwy, aby sprawdzić. Pomnóż pierwotną macierz przez znalezioną macierz odwrotną - powinieneś otrzymać $E$.
Wykonanie tego sprawdzenia jest znacznie łatwiejsze i szybsze niż szukanie błędu w dalszych obliczeniach, gdy na przykład rozwiązuje się równanie macierzowe.
Alternatywny sposób
Jak powiedziałem, twierdzenie o odwrotnej macierzy działa świetnie dla rozmiarów $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (w tym drugim przypadku nie jest już tak „świetnie” " ), ale przy większych matrycach zaczyna się smutek.
Ale nie martwcie się: istnieje alternatywny algorytm, dzięki któremu spokojnie znajdziecie odwrotność nawet dla macierzy $\left[ 10\times 10 \right]$. Ale, jak to często bywa, aby rozważyć ten algorytm, potrzebujemy trochę podstaw teoretycznych.
Transformacje elementarne
Wśród wszystkich możliwych transformacji macierzy jest kilka specjalnych - nazywane są one elementarnymi. Istnieją dokładnie trzy takie transformacje:
- Mnożenie. Możesz wziąć $i$ty wiersz (kolumnę) i pomnożyć go przez dowolną liczbę $k\ne 0$;
- Dodatek. Dodaj do $i$-tego wiersza (kolumny) dowolny inny $j$-ty wiersz (kolumna), pomnożony przez dowolną liczbę $k\ne 0$ (możesz oczywiście zrobić $k=0$, ale co to jest o co chodzi? Nic się nie zmieni).
- Przegrupowanie. Weź $i$th i $j$th wiersze (kolumny) i zamień miejscami.
Dlaczego te przekształcenia nazywane są elementarnymi (dla dużych macierzy nie wyglądają one już tak elementarnie) i dlaczego są tylko trzy - te pytania wykraczają poza zakres dzisiejszej lekcji. Dlatego nie będziemy wdawać się w szczegóły.
Ważna jest jeszcze jedna rzecz: wszystkie te perwersje musimy wykonać na macierzy sprzężonej. Tak, tak: dobrze słyszałeś. Teraz będzie jeszcze jedna definicja - ostatnia w dzisiejszej lekcji.
Macierz sprzężona
Z pewnością w szkole rozwiązywaliście układy równań metodą dodawania. Cóż, odejmij kolejną od jednej linii, pomnóż jakąś linię przez liczbę - to wszystko.
A więc: teraz wszystko będzie po staremu, ale w „dorosłym” wydaniu. Gotowy?
Definicja. Niech zostanie podana macierz $A=\left[ n\times n \right]$ i macierz jednostkowa $E$ o tej samej wielkości $n$. Następnie macierz przylegająca $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$ to nowa macierz o rozmiarze $\left[ n\times 2n \right]$, która wygląda następująco:
\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
W skrócie bierzemy macierz $A$ i po prawej stronie przypisujemy jej macierz jednostkową $E$ Odpowiedni rozmiar, dla urody oddzielamy je pionową linią - tutaj macie w załączniku. :)
Jaki jest haczyk? Oto co:
Twierdzenie. Niech macierz $A$ będzie odwracalna. Rozważmy macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \prawo]$. Jeśli używasz konwersje ciągów elementarnych sprowadź go do postaci $\left[ E\left| Jasny. \right]$, tj. mnożąc, odejmując i przestawiając wiersze, aby otrzymać z $A$ macierz $E$ po prawej stronie, wówczas macierz $B$ uzyskana po lewej stronie jest odwrotnością $A$:
\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]\to \left[ E\left| Jasny. \right]\Strzałka w prawo B=((A)^(-1))\]
To takie proste! W skrócie algorytm znajdowania macierzy odwrotnej wygląda następująco:
- Zapisz macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$;
- Wykonuj podstawowe konwersje ciągów znaków, aż zamiast $A$ pojawi się $E$;
- Oczywiście po lewej stronie też pojawi się coś - pewna macierz $B$. To będzie odwrotnie;
- ZYSK!:)
Oczywiście znacznie łatwiej to powiedzieć, niż zrobić. Spójrzmy więc na kilka przykładów: dla rozmiarów $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i 5 i 1 \\ 3 i 2 i 1 \\ 6 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\ ]
Rozwiązanie. Tworzymy macierz sprzężoną:
\[\left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 3 i 2 i 1 i 0 i 1 i 0 \\ 6 i -2 i 1 i 0 & 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\]
Ponieważ ostatnia kolumna oryginalnej macierzy jest wypełniona jedynkami, odejmij pierwszy wiersz od pozostałych:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 i 1 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 i -7 i 0 i -1 i 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Nie ma już jednostek poza pierwszą linią. Ale nie dotykamy tego, w przeciwnym razie nowo usunięte jednostki zaczną „mnożyć się” w trzeciej kolumnie.
Ale drugą linię możemy odjąć dwukrotnie od ostatniej - otrzymamy jedną w lewym dolnym rogu:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Teraz możemy odjąć ostatni wiersz od pierwszego i dwukrotnie od drugiego - w ten sposób „zerujemy” pierwszą kolumnę:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \ do \left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \\ 1 i -1 i 0 & 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Pomnóż drugą linię przez -1, a następnie odejmij ją 6 razy od pierwszej i dodaj 1 raz do ostatniej:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \ \ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 i -5 i 2 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 i 0 i 0 i 4 i -7 i 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Pozostaje tylko zamienić linie 1 i 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 i 32 i -13 \\\end(tablica) \right]\]
Gotowy! Po prawej stronie znajduje się wymagana macierz odwrotna.
Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 i -7 i 3 \\ 3 i -5 i 2 \\ -18 i 32 i -13 \\\end(array) \right ]$
Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:
\[\left[ \begin(macierz) 1 i 4 i 2 i 3 \\ 1 i -2 i 1 i -2 \\ 1 i -1 i 1 i 1 \\ 0 i -10 i -2 i -5 \\\end(macierz) \right]\]
Rozwiązanie. Ponownie tworzymy dodatek:
\[\left[ \begin(tablica)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\]
Popłaczmy trochę, posmućmy się, ile mamy teraz doliczyć... i zacznijmy liczyć. Najpierw „wyzerujmy” pierwszą kolumnę, odejmując wiersz 1 od wierszy 2 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 & 1 i 0 i 0 \\ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i -1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 & 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Widzimy zbyt wiele „minusów” w wierszach 2-4. Pomnóż wszystkie trzy wiersze przez -1, a następnie wypal trzecią kolumnę, odejmując wiersz 3 od reszty:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i - 1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ \end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 i 1 i -1 i 0 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 i 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 10 i 2 i 5 i 0 i 0 i 0 i -1 \\ \end (tablica) \right]\begin(macierz) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(tablica)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Teraz czas na „usmażenie” ostatniej kolumny oryginalnej macierzy: od reszty odejmij linię 4:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(macierz) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i -6 i 0 i 0 i -3 i 0 i 4 i -1 \\ 0 i 1 i 0 i 0 i 6 i -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 & -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Ostatni rzut: „wypal” drugą kolumnę, odejmując linię 2 od linii 1 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 i -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end( array) \right]\begin(macierz) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
I znowu macierz jednostkowa jest po lewej stronie, czyli odwrotność jest po prawej. :)
Odpowiedź. $\left[ \begin(macierz) 33 i -6 i -26 i 17 \\ 6 i -1 i -5 i 3 \\ -25 i 5 i 20 i -13 \\ -2 i 0 i 2 i - 1 \\\end(macierz) \right]$
OK, wszystko już skończone. Sprawdź sam - mam przerąbane. :)
Algebra macierzy - macierz odwrotnaodwrotna macierz
Odwrotna macierz jest macierzą, która pomnożona zarówno po prawej, jak i po lewej stronie przez daną macierz daje macierz jednostkową.
Oznaczmy macierz odwrotną macierzy A poprzez , to zgodnie z definicją otrzymujemy:
Gdzie mi- macierz jednostkowa.
Macierz kwadratowa zwany nie specjalne (niezdegenerowany), jeśli jego wyznacznik nie jest zerem. Inaczej się to nazywa specjalny (zdegenerowany) Lub pojedynczy.
Twierdzenie głosi: Każda macierz nieosobliwa ma macierz odwrotną.
Nazywa się operację znajdowania macierzy odwrotnej odwołanie matryce. Rozważmy algorytm inwersji macierzy. Niech będzie dana macierz nieosobliwa N-ta kolejność:
gdzie Δ = det A ≠ 0.
Algebraiczne dodawanie elementu matryce N-ta kolejność A nazywa się wyznacznikiem macierzy wziętej z pewnym znakiem ( N–1) zamówienie uzyskane poprzez skreślenie I-ta linia i J kolumna macierzy A:
Stwórzmy tzw przyłączony matryca:
gdzie są uzupełnieniami algebraicznymi odpowiednich elementów macierzy A.
Należy pamiętać, że algebraiczne dodawanie elementów wiersza macierzy A umieszczone są w odpowiednich kolumnach macierzy Ã
, czyli macierz jest transponowana w tym samym czasie.
Dzieląc wszystkie elementy macierzy Ã
przez Δ – wartość wyznacznika macierzy A, w rezultacie otrzymujemy macierz odwrotną:
Zwróćmy uwagę na szereg specjalnych właściwości macierzy odwrotnej:
1) dla danej macierzy A jej macierz odwrotna
jest jedyny;
2) jeśli istnieje macierz odwrotna, to prawy tył I lewy bieg wsteczny macierze pokrywają się z nim;
3) pojedyncza (pojedyncza) macierz kwadratowa nie ma macierzy odwrotnej.
Podstawowe własności macierzy odwrotnej:
1) wyznacznik macierzy odwrotnej i wyznacznik macierzy pierwotnej są odwrotnością;
2) macierz odwrotna iloczynu macierzy kwadratowych jest równa iloczynowi odwrotnej macierzy czynników, w odwrotnej kolejności:
3) transponowana macierz odwrotna jest równa macierzy odwrotnej danej transponowanej macierzy:
PRZYKŁAD Oblicz odwrotność podanej macierzy.
Kontynuujmy rozmowę o działaniach z macierzami. Mianowicie, podczas studiowania tego wykładu dowiesz się, jak znaleźć macierz odwrotną. Uczyć się. Nawet jeśli matematyka jest trudna.
Co to jest macierz odwrotna? Tutaj możemy narysować analogię z liczbami odwrotnymi: rozważmy na przykład optymistyczną liczbę 5 i jej liczbę odwrotną. Iloczyn tych liczb jest równy jeden: . Z macierzami wszystko jest podobne! Iloczyn macierzy i jej macierzy odwrotnej jest równy – macierz jednostkowa, który jest macierzowym odpowiednikiem jednostki liczbowej. Jednak najpierw rozwiążmy ważną kwestię praktyczną, a mianowicie nauczmy się, jak znaleźć tę bardzo odwrotną macierz.
Co trzeba wiedzieć i umieć zrobić, aby znaleźć macierz odwrotną? Musisz być w stanie podjąć decyzję kwalifikacje. Musisz zrozumieć, co to jest matryca i móc z nimi wykonywać pewne czynności.
Istnieją dwie główne metody znajdowania macierzy odwrotnej:
używając dodatki algebraiczne I za pomocą przekształceń elementarnych.
Dzisiaj przestudiujemy pierwszą, prostszą metodę.
Zacznijmy od najstraszniejszego i niezrozumiałego. Rozważmy kwadrat matryca. Macierz odwrotną można znaleźć za pomocą następującego wzoru:
Gdzie jest wyznacznikiem macierzy, jest transponowaną macierzą uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.
Pojęcie macierzy odwrotnej istnieje tylko dla macierzy kwadratowych, macierze „dwa na dwa”, „trzy na trzy” itp.
Oznaczenia: Jak być może już zauważyłeś, macierz odwrotna jest oznaczona indeksem górnym
Zacznijmy od najprostszego przypadku - macierzy dwa na dwa. Najczęściej wymagane jest oczywiście „trzy na trzy”, ale mimo to zdecydowanie zalecam przestudiowanie prostszego zadania, aby opanować ogólna zasada rozwiązania.
Przykład:
Znajdź odwrotność macierzy
Zdecydujmy. Wygodne jest rozbicie sekwencji działań punkt po punkcie.
1) Najpierw znajdujemy wyznacznik macierzy.
Jeśli nie rozumiesz dobrze tego działania, przeczytaj materiał Jak obliczyć wyznacznik?
Ważny! Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy ZERO– macierz odwrotna NIE ISTNIEJE.
Jak się okazało, w rozważanym przykładzie , co oznacza, że wszystko jest w porządku.
2) Znajdź macierz nieletnich.
Aby rozwiązać nasz problem, nie jest konieczna wiedza o tym, kim jest nieletni, jednak wskazane jest przeczytanie artykułu Jak obliczyć wyznacznik.
Matryca nieletnich ma takie same wymiary jak matryca, czyli w tym przypadku.
Pozostaje tylko znaleźć cztery liczby i umieścić je zamiast gwiazdek.
Wróćmy do naszej matrycy
Przyjrzyjmy się najpierw lewemu górnemu elementowi:
Jak to znaleźć drobny?
Robi się to w ten sposób: MENTALNIE przekreśl wiersz i kolumnę, w której znajduje się ten element:
Pozostała liczba to drobne tego elementu, które zapisujemy w naszej macierzy nieletnich:
Rozważmy następujący element macierzy:
Przekreśl w myślach wiersz i kolumnę, w której występuje ten element:
Pozostaje moll tego elementu, który zapisujemy w naszej macierzy:
Podobnie rozważamy elementy drugiego rzędu i znajdujemy ich elementy podrzędne:
Gotowy.
To proste. W matrycy nieletnich potrzebujesz ZMIEŃ ZNAKI dwie liczby:
To są liczby, które zakreśliłem!
– macierz dodawania algebraicznego odpowiednich elementów macierzy.
I tylko...
4) Znajdź transponowaną macierz dodatków algebraicznych.
– transponowana macierz uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.
5) Odpowiedź.
Zapamiętajmy naszą formułę
Wszystko zostało znalezione!
Zatem macierz odwrotna to: 
Lepiej pozostawić odpowiedź bez zmian. NIE MA POTRZEBY podziel każdy element macierzy przez 2, ponieważ wynikiem są liczby ułamkowe. Ten niuans został omówiony bardziej szczegółowo w tym samym artykule. Działania na macierzach.
Jak sprawdzić rozwiązanie?
Musisz wykonać mnożenie macierzy lub
Badanie: 
Otrzymano już wspomniane macierz jednostkowa jest macierzą z jednościami główna przekątna i zera w innych miejscach.
Zatem macierz odwrotna została znaleziona poprawnie.
Jeśli wykonasz akcję, wynikiem będzie również macierz tożsamości. Jest to jeden z niewielu przypadków, w których mnożenie macierzy jest permutowalne, a nawet więcej dokładna informacja można znaleźć w artykule Własności operacji na macierzach. Wyrażenia macierzowe. Należy również pamiętać, że podczas sprawdzania stała (ułamek) jest przesuwana i przetwarzana na samym końcu - po pomnożeniu macierzy. Jest to standardowa technika.
Przejdźmy do bardziej powszechnego przypadku w praktyce - macierzy trzy na trzy:
Przykład:
Znajdź odwrotność macierzy 
Algorytm jest dokładnie taki sam, jak w przypadku „dwa na dwa”.
Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru: , gdzie jest macierzą transponowaną uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.
1) Znajdź wyznacznik macierzy.
Tutaj ujawnia się wyznacznik na pierwszej linii.
Nie zapominaj też o tym, co oznacza, że wszystko jest w porządku - istnieje macierz odwrotna.
2) Znajdź macierz nieletnich.
Matryca nieletnich ma wymiar „trzy na trzy” 
i musimy znaleźć dziewięć liczb.
Przyjrzę się szczegółowo kilku nieletnim:
Rozważmy następujący element macierzy: 
MENTALNIE przekreśl wiersz i kolumnę, w której znajduje się ten element: 
Pozostałe cztery liczby zapisujemy w wyznaczniku „dwa na dwa”. 
Ten wyznacznik dwa na dwa i jest drugorzędną częścią tego elementu. Należy to obliczyć: 
To wszystko, znaleziono nieletniego, zapisujemy to w naszej matrycy nieletnich: 
Jak zapewne się domyślasz, musisz obliczyć dziewięć wyznaczników dwa na dwa. Proces jest oczywiście żmudny, ale sprawa nie jest najcięższa, może być gorzej.
No to dla konsolidacji – odnalezienie kolejnego drobnego na zdjęciach: 
Spróbuj samodzielnie obliczyć pozostałych nieletnich.
Ostateczny wynik: 
– macierz małoletnich odpowiednich elementów macierzy.
To, że u wszystkich nieletnich uzyskano wynik negatywny, jest czystym przypadkiem.
3) Znajdź macierz dodatków algebraicznych.
W matrycy nieletnich jest to konieczne ZMIEŃ ZNAKIściśle dla następujących elementów: 
W tym przypadku:
Nie rozważamy znalezienia macierzy odwrotnej dla macierzy „cztery na cztery”, gdyż takie zadanie może zlecić jedynie nauczyciel-sadysta (aby uczeń obliczył jeden wyznacznik „cztery na cztery” i 16 wyznaczników „trzy na trzy” ). W mojej praktyce był tylko jeden taki przypadek i klient praca testowa dość drogo zapłaciłem za moją mękę =).
W wielu podręcznikach i podręcznikach można znaleźć nieco inne podejście do znajdowania macierzy odwrotnej, ale zalecam użycie algorytmu rozwiązania opisanego powyżej. Dlaczego? Ponieważ prawdopodobieństwo pomyłki w obliczeniach i znakach jest znacznie mniejsze.