Sekcje: Matematyka
Jeśli problem ma mniej niż trzy zmienne, nie jest problemem; jeśli jest więcej niż osiem, jest nierozwiązywalne. Enon.
Problemy z parametrami występują we wszystkich Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego, gdyż ich rozwiązanie najwyraźniej ujawnia, jak głęboka i nieformalna jest wiedza absolwenta. Trudności, jakie napotykają uczniowie przy realizacji takich zadań, wynikają nie tylko z ich względnej złożoności, ale także z faktu, że w podręcznikach nie poświęca się im wystarczającej uwagi. W wersjach KIM-ów w matematyce istnieją dwa rodzaje zadań z parametrami. Pierwszy: „dla każdej wartości parametru rozwiąż równanie, nierówność lub układ”. Drugi: „znajdź wszystkie wartości parametru, dla każdej z nich rozwiązania nierówności, równania lub układu spełniają podane warunki”. W związku z tym odpowiedzi na problemy tych dwóch typów różnią się zasadniczo. W pierwszym przypadku odpowiedź wyszczególnia wszystkie możliwe wartości parametru i dla każdej z tych wartości zapisywane są rozwiązania równania. Drugi zawiera listę wszystkich wartości parametrów, przy których spełnione są warunki problemu. Zapisanie odpowiedzi jest niezbędnym etapem rozwiązania, bardzo ważne jest, aby nie zapomnieć o uwzględnieniu w odpowiedzi wszystkich etapów rozwiązania. Studenci muszą na to zwracać uwagę.
Załącznik do lekcji zawiera dodatkowy materiał na temat „Rozwiązywanie układów równań liniowych z parametrami”, który pomoże w przygotowaniu studentów do końcowej certyfikacji.
Cele Lekcji:
- systematyzacja wiedzy uczniów;
- rozwijanie umiejętności wykorzystania reprezentacji graficznych przy rozwiązywaniu układów równań;
- rozwijanie umiejętności rozwiązywania układów równań liniowych zawierających parametry;
- wdrożenie kontroli operacyjnej i samokontroli uczniów;
- rozwój aktywności badawczej i poznawczej uczniów, umiejętność oceny uzyskanych wyników.
Lekcja trwa dwie godziny.
Podczas zajęć
- Organizowanie czasu
Przekaż temat, cele i zadania lekcji.
- Aktualizowanie podstawowej wiedzy uczniów
Sprawdzanie pracy domowej. Jak Praca domowa uczniowie zostali poproszeni o rozwiązanie każdego z trzech układów równań liniowych
a) b) 
V)
graficznie i analitycznie; wyciągnąć wniosek na temat liczby rozwiązań uzyskanych dla każdego przypadku
Wnioski wyciągane przez uczniów są słuchane i analizowane. Wyniki pracy pod kierunkiem nauczyciela podsumowywane są w zeszytach.
Ogólnie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi można przedstawić jako: .
Decydować ten system równania graficznie oznacza znalezienie współrzędnych punktów przecięcia wykresów tych równań lub udowodnienie, że ich nie ma. Wykres każdego równania tego układu na płaszczyźnie jest pewną linią prostą.
Istnieją trzy możliwe przypadki wzajemnego ułożenia dwóch prostych na płaszczyźnie:
<Рисунок1>;
<Рисунок2>;
<Рисунок3>.
W każdym przypadku przydatne jest wykonanie rysunku.
- Nauka nowego materiału
Dziś na lekcji nauczymy się rozwiązywać układy równań liniowych zawierających parametry. Parametr nazwiemy zmienną niezależną, której wartość w zadaniu przyjmuje się jako zadaną stałą lub dowolną liczbę rzeczywistą, albo liczbę należącą do z góry określonego zbioru. Rozwiązanie układu równań za pomocą parametru oznacza ustalenie zgodności, która pozwala dowolnej wartości parametru znaleźć odpowiedni zbiór rozwiązań układu.
Rozwiązanie problemu z parametrem zależy od postawionego w nim pytania. Jeśli po prostu chcesz rozwiązać układ równań dla różnych wartości parametru lub go przestudiować, musisz podać uzasadnioną odpowiedź dla dowolnej wartości parametru lub wartości parametru należącego do zbioru wcześniej określonego w problem. Jeśli konieczne jest znalezienie wartości parametrów spełniających określone warunki, wówczas nie jest wymagane pełne badanie, a rozwiązanie systemu ogranicza się do znalezienia tych konkretnych wartości parametrów.
Przykład 1. Dla każdej wartości parametru rozwiązujemy układ równań
Rozwiązanie.
- System posiada unikalne rozwiązanie jeśli
W tym przypadku mamy
- Jeśli a = 0, to system przyjmuje postać
System jest niespójny, tj. nie ma rozwiązań.
- Jeśli to system jest zapisany w postaci
Oczywiście w tym przypadku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci x = t; gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Odpowiedź:
Przykład 2.
- ma unikalne rozwiązanie;
- ma wiele rozwiązań;
- nie ma rozwiązań?
Rozwiązanie.
Odpowiedź:
Przykład 3. Znajdźmy sumę parametrów a i b, dla których system
ma niezliczoną ilość rozwiązań.
Rozwiązanie. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
Oznacza to, że jeśli a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
Odpowiedź: 48.
- Konsolidowanie zdobytej wiedzy podczas rozwiązywania problemów
- Nr 15.24(a). Dla każdej wartości parametru rozwiąż układ równań
- Nr 15.25(a) Dla każdej wartości parametru należy rozwiązać układ równań
- Przy jakich wartościach parametru a działa układ równań
a) nie ma rozwiązań; b) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź: dla a = 2 nie ma rozwiązań, dla a = -2 istnieje nieskończona liczba rozwiązań
- Praktyczna praca w grupach
Klasa podzielona jest na grupy 4-5 osobowe. W każdej grupie znajdują się uczniowie o różnym poziomie przygotowania matematycznego. Każda grupa otrzymuje kartę zadania. Możesz zaprosić wszystkie grupy do rozwiązania jednego układu równań i sformalizować rozwiązanie. Grupa, która jako pierwsza poprawnie wykonała zadanie, przedstawia swoje rozwiązanie; reszta przekazuje rozwiązanie nauczycielowi.
Karta. Rozwiązywać układ równań liniowych
dla wszystkich wartości parametru a.
Odpowiedź: kiedy 
system posiada unikalne rozwiązanie 
; gdy nie ma rozwiązań; dla a = -1 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań postaci, (t; 1- t) gdzie t R
Jeśli klasa jest silna, grupom można zaproponować różne układy równań, których lista znajduje się w Załączniku 1. Następnie każda grupa prezentuje klasie swoje rozwiązanie.
Sprawozdanie grupy, która jako pierwsza poprawnie wykonała zadanie
Uczestnicy wyrażają i wyjaśniają swoje rozwiązanie oraz odpowiadają na pytania zadane przez przedstawicieli innych grup.
- Niezależna praca
opcja 1
Opcja 2
- Podsumowanie lekcji
Rozwiązywanie układów równań liniowych z parametrami można porównać do badania obejmującego trzy podstawowe warunki. Nauczyciel zaprasza uczniów do ich formułowania.
Podejmując decyzję, pamiętaj:
- Aby układ miał rozwiązanie jednoznaczne, konieczne jest, aby proste odpowiadające równaniu układu przecinały się, tj. warunek musi być spełniony;
- aby nie mieć rozwiązań, linie muszą być równoległe, tj. warunek został spełniony
- i wreszcie, aby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, linie muszą się pokrywać, tj. warunek został spełniony.
Nauczyciel ocenia pracę całej klasy i przydziela oceny poszczególnym uczniom. Po sprawdzeniu samodzielnej pracy każdy uczeń otrzyma ocenę za lekcję.
- Praca domowa
Przy jakich wartościach parametru b działa układ równań 
- ma nieskończenie wiele rozwiązań;
- nie ma rozwiązań?
Wykresy funkcji y = 4x + b i y = kx + 6 są symetryczne względem rzędnej.
- Znajdź b i k,
- znajdź współrzędne punktu przecięcia tych wykresów.
Rozwiąż układ równań dla wszystkich wartości m i n.
Rozwiąż układ równań liniowych dla wszystkich wartości parametru a (dowolna, wybrana przez Ciebie wartość).
Literatura
- Algebra i początki analizy matematycznej: podręcznik. dla 11 klasy ogólne wykształcenie instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / S. M. Nikolsky, M. K. Potapow, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M .: Edukacja, 2008.
- Matematyka: klasa 9: Przygotowanie do państwowego egzaminu końcowego / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
- Przygotowujemy się do studiów. Matematyka. Część 2. Instruktaż w celu przygotowania się do egzaminu Unified State Exam, udziału w testach scentralizowanych i zdania testów wstępnych na Państwowy Uniwersytet Techniczny Kuban / Kuban. państwo technologia Uniwersytet; Instytut Nowoczesności technologia i ekonomiczny.; Opracowali: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palszczykowa. – Krasnodar, 2006.
- Zbiór problemów z matematyki dla kursów przygotowawczych TUSUR: Podręcznik / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Państwo Wyższa Szkoła Systemów Sterowania i Radioelektroniki, 1998.
- Matematyka: intensywny kurs przygotowujący do egzaminu / O. Yu. Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszy temat kurs algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Czynniki te wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i skonstruowany, abyś przy jego pomocy mógł to zrobić
- wybrać optymalną metodę rozwiązania swojego układu liniowych równań algebraicznych,
- przestudiować teorię wybranej metody,
- rozwiązuj swój układ równań liniowych, rozważając szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.
Krótki opis materiału artykułu.
Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy oznaczenia.
Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Po pierwsze skupimy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby utrwalić teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.
Następnie przejdziemy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych ogólna perspektywa, w którym liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest pojedyncza. Sformułujmy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (o ile są kompatybilne) wykorzystując pojęcie molowej podstawy macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.
Na pewno zatrzymamy się na strukturze ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak rozwiązanie ogólne SLAE jest zapisywane przy użyciu wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.
Podsumowując, rozważymy układy równań, które można sprowadzić do równań liniowych, a także różne problemy, przy rozwiązywaniu których powstają SLAE.
Nawigacja strony.
Definicje, pojęcia, oznaczenia.
Rozważymy układy p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n) postaci
Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wyrazy swobodne (również liczby rzeczywiste lub zespolone).
Ta forma nagrywania SLAE nazywa się koordynować.
W postać matrycowa zapisanie tego układu równań ma postać,
Gdzie 
- macierz główna systemu, - macierz kolumnowa nieznanych zmiennych, - macierz kolumnowa wolnych terminów.
Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli 
Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych nazywany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również staje się tożsamością.
Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.
Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go nie wspólne.
Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to – niepewny.
Jeśli wolne wyrazy wszystkich równań układu są równe zeru 
, wówczas system zostaje wywołany jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.
Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.
Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego głównej macierzy nie jest równy zeru, wówczas nazwiemy takie SLAE podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.
Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, braliśmy jedno równanie, wyrażaliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i podstawialiśmy ją do pozostałych równań, następnie braliśmy następne równanie, wyrażaliśmy kolejną nieznaną zmienną i podstawialiśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.
Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.
Załóżmy, że musimy rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych 
w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .
Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu i 
- wyznaczniki macierzy otrzymanych z A przez podstawienie 1., 2.,…, n-te kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków: 
Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane przy użyciu wzorów metody Cramera jako 
. W ten sposób znajduje się rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.
Przykład.
Metoda Cramera 
.
Rozwiązanie.
Główna macierz układu ma postać 
. Obliczmy jego wyznacznik (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.
Skomponujmy i obliczmy niezbędne wyznaczniki 
(wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych, wyznacznik zastępując drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych, a trzecią kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych) : 
Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów 
:
Odpowiedź:
Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań w układzie jest większa niż trzy.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).
Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie dany w postaci macierzowej, gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest różny od zera.
Ponieważ , macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna. Jeśli pomnożymy obie strony równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy-kolumny nieznanych zmiennych. W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metoda matrycowa.
Przykład.
Rozwiązywać układ równań liniowych metoda matrycowa.
Rozwiązanie.
Zapiszmy układ równań w postaci macierzowej: 
Ponieważ
wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego układu można znaleźć jako 
.
Skonstruujmy macierz odwrotną, korzystając z macierzy z algebraicznych dodatków elementów macierzy A (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Pozostaje obliczyć macierz nieznanych zmiennych poprzez pomnożenie macierzy odwrotnej 
do kolumny macierzy wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
Odpowiedź:
lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Głównym problemem przy znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzeci.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.
Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi 
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.
Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż zostanie tylko nieznana zmienna x n pozostaje w ostatnim równaniu. Ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po wykonaniu skoku do przodu metodą Gaussa, z ostatniego równania oblicza się x n, wykorzystując tę wartość z przedostatniego równania, oblicza się x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania oblicza się x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.
Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.
Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie i 
.
Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.
Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku 
W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać 
gdzie i 
. Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.
Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu 
Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę 
Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , wykorzystując otrzymaną wartość x n z przedostatniego równania znajdujemy x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .
Przykład.
Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.
Rozwiązanie.
Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu stron drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez i przez: 
Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej strony lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone przez: 
Na tym kończy się ruch do przodu w metodzie Gaussa; rozpoczynamy ruch w tył.
Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3: 
Z drugiego równania otrzymujemy .
Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i w ten sposób uzupełniamy odwrotność metody Gaussa.
Odpowiedź:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.
Generalnie liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:
Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy także układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i osobliwa.
Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.
Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych należy ustalić jego zgodność. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilne, a kiedy niespójne, daje Twierdzenie Kroneckera–Capelliego:
Aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równe n) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli , Pozycja (A) = Pozycja (T).
Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera – Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.
Przykład.
Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma 
rozwiązania.
Rozwiązanie.
. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu 
różny od zera. Spójrzmy na graniczące z nim nieletnie trzeciego rzędu: 
Ponieważ wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, ranga macierzy głównej jest równa dwa.
Z kolei ranga rozszerzonej macierzy 
jest równe trzy, ponieważ moll jest trzeciego rzędu 
różny od zera.
Zatem, Rang(A), korzystając zatem z twierdzenia Kroneckera–Capelliego, możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.
Odpowiedź:
System nie ma rozwiązań.
Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera–Capelliego.
Ale jak znaleźć rozwiązanie dla SLAE, jeśli zostanie ustalona jego kompatybilność?
Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia podstawy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.
Nazywa się moll najwyższego rzędu macierzy A, różny od zera podstawowy.
Z definicji bazy minor wynika, że jej rząd jest równy rządowi macierzy. W przypadku niezerowej macierzy A może być kilka drugorzędnych baz; zawsze jest jeden moll bazowy.
Rozważmy na przykład macierz 
.
Wszystkie nieletnie trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.
Poniższe nieletni drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe 
Nieletni 
nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.
Twierdzenie o rangach macierzy.
Jeżeli rząd macierzy rzędu p na n jest równy r, to wszystkie elementy wierszowe (i kolumnowe) macierzy nie tworzące wybranej podstawy mniejszej są wyrażone liniowo w postaci odpowiadających im elementów wierszowych (i kolumnowych) tworzących podstawa niewielka.
Co mówi nam twierdzenie o rankingu macierzy?
Jeżeli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną bazę mniejszą macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które spełniają nie tworzą wybranej podstawy drobnej. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny pierwotnemu, gdyż odrzucone równania są w dalszym ciągu zbędne (zgodnie z twierdzeniem o randze macierzy są one liniową kombinacją pozostałych równań).
W efekcie po odrzuceniu zbędnych równań układu możliwe są dwa przypadki.
Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie będzie równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie to określone i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Przykład.
.
Rozwiązanie.
Ranga głównej macierzy systemu 
jest równe dwa, ponieważ moll jest drugiego rzędu 
różny od zera. Rozszerzony ranking matrycy 
jest również równe dwa, ponieważ jedynym drugorzędnym trzecim rzędem jest zero 
a drugorzędna drugorzędna rozważana powyżej jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera–Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, gdyż Ranga(A)=Rank(T)=2.
Jako podstawę bierzemy mniej . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania: 
Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawy moll, dlatego wykluczamy je z układu w oparciu o twierdzenie o rzędzie macierzy: 
W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera: 
Odpowiedź:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jeśli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to po lewej stronie równań pozostawiamy wyrazy tworzące podstawę minor, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania równania układu o przeciwnym znaku.
Wywoływane są nieznane zmienne (z nich r) pozostałe po lewej stronie równań główny.
Wywoływane są nieznane zmienne (jest n - r elementów), które znajdują się po prawej stronie bezpłatny.
Teraz wierzymy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne zostaną wyrażone poprzez wolne nieznane zmienne w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.
Spójrzmy na to na przykładzie.
Przykład.
Rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych 
.
Rozwiązanie.
Znajdźmy rangę głównej macierzy układu 
metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego molla drugiego rzędu graniczącego z tym mollem: 
W ten sposób znaleźliśmy niezerową mollę drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy moll trzeciego rzędu: 
Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.
Jako podstawę przyjmujemy znalezioną niezerową mollę trzeciego rzędu.
Dla przejrzystości pokazujemy elementy tworzące podstawę moll: 
Wyrazy związane z mollą bazową pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę z przeciwnymi znakami przenosimy na prawą stronę: 
Dajmy wolnym nieznanym zmiennym x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli akceptujemy 
, gdzie są dowolnymi liczbami. W tym przypadku SLAE przybierze formę 
Rozwiążmy powstały elementarny układ liniowych równań algebraicznych metodą Cramera: 
Stąd, .
W swojej odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.
Odpowiedź:
Gdzie są liczby dowolne.
Podsumować.
Aby rozwiązać układ ogólnych równań algebraicznych liniowych, najpierw określamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera – Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas stwierdzamy, że system jest niekompatybilny.
Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy moll bazowy i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranego molla bazowego.
Jeżeli kolejność podstawy drobne równa liczbie nieznanych zmiennych, wówczas SLAE ma unikalne rozwiązanie, które znajdujemy dowolną znaną nam metodą.
Jeśli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę i podajemy dowolne wartości wolne nieznane zmienne. Z powstałego układu równań liniowych wyznaczamy główne nieznane zmienne, stosując metodę Cramera, metodę macierzową lub metodę Gaussa.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Metodę Gaussa można zastosować do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez uprzedniego sprawdzania ich spójności. Proces sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.
Z obliczeniowego punktu widzenia preferowana jest metoda Gaussa.
Obejrzyj to szczegółowy opis oraz przeanalizował przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.
Zapisywanie rozwiązań ogólnych jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.
W tej sekcji omówimy jednoczesne jednorodne i niejednorodne układy liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.
Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.
Podstawowy system rozwiązań jednorodny układ p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rządem mniejszej podstawy macierzy głównej układu.
Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) są kolumnowe macierze wymiaru n przez 1) , wówczas ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań o dowolnych stałych współczynnikach C 1, C 2, ..., C (n-r), to Jest, .
Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?
Znaczenie jest proste: wzór określa wszystkie możliwe rozwiązania pierwotnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zbiór wartości dowolnych stałych C 1, C 2, ..., C (n-r), korzystając ze wzoru, który zrobimy otrzymać jedno z rozwiązań pierwotnego jednorodnego SLAE.
Zatem jeśli znajdziemy podstawowy system rozwiązań, wówczas możemy zdefiniować wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .
Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań do jednorodnego SLAE.
Wybieramy bazę mniejszą pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie pozostałe równania i przenosimy wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne na prawe strony równań układu o przeciwnych znakach. Niewiadomym swobodnym nadajmy wartości 1,0,0,...,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W rezultacie otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli podamy wolnym niewiadomym wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli niewiadomym wolnym przypiszemy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy niewiadome główne, otrzymamy X (n-r). W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy system rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne będzie można zapisać w postaci .
W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne jest reprezentowane w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego niejednorodnego SLAE, które otrzymujemy podając wartości niewiadomym wolnym 0,0,...,0 i obliczenie wartości głównych niewiadomych.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład.
Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych 
.
Rozwiązanie.
Ranga macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równa rangi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rząd macierzy głównej, stosując metodę graniczących nieletnich. Jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdźmy graniczący niezerowy moll drugiego rzędu: 
Znaleziono moll drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez nieletnie trzeciego rzędu graniczące z nim w poszukiwaniu niezerowej jedynki: 
Wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej jest równa dwa. Weźmy . Dla jasności zwróćmy uwagę na elementy systemu, które go tworzą: 
Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawy moll, dlatego można je wykluczyć: 
Wyrazy zawierające główne niewiadome pozostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony:
Skonstruujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ pierwotny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a rząd jego molowej podstawy jest równy dwa. Aby znaleźć X (1), wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 1, x 4 = 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań 
.
Rozwiążmy to metodą Cramera: 
Zatem, .
Teraz skonstruujmy X (2) . W tym celu wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 0, x 4 = 1, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań liniowych 
.
Zastosujmy jeszcze raz metodę Cramera: 
Dostajemy.
Mamy więc dwa wektory podstawowego układu rozwiązań i teraz możemy zapisać ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych: 
, gdzie C 1 i C 2 są liczbami dowolnymi., są równe zero. Przyjmiemy również moll jako podstawowy, wyeliminujemy z układu trzecie równanie i przeniesiemy wyrazy z wolnymi niewiadomymi na prawą stronę równań układu: 
Aby znaleźć, nadajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 = 0 i x 4 = 0, wtedy układ równań przyjmie postać 
, skąd znajdujemy główne nieznane zmienne metodą Cramera: 
Mamy 
, stąd, 
gdzie C 1 i C 2 są liczbami dowolnymi.
Należy zauważyć, że powstają rozwiązania nieokreślonego jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych przestrzeń liniowa Rozwiązanie.
Równanie kanoniczne elipsoidy w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych ma postać 
. Naszym zadaniem jest wyznaczenie parametrów a, b i c. Ponieważ elipsoida przechodzi przez punkty A, B i C, to podstawiając ich współrzędne do równania kanonicznego elipsoidy, powinna przekształcić się w tożsamość. Otrzymujemy więc układ trzech równań: 
Oznaczmy 
, wówczas układ stanie się układem liniowych równań algebraicznych 
.
Obliczmy wyznacznik macierzy głównej układu: 
Ponieważ jest ona niezerowa, rozwiązanie możemy znaleźć metodą Cramera:
). Oczywiście x = 0 i x = 1 są pierwiastkami tego wielomianu. Iloraz z dzielenia 
NA 
Jest . Zatem mamy rozwinięcie i oryginalne wyrażenie przyjmuje formę 
.
Zastosujmy metodę współczynników nieokreślonych. 
Przyrównując odpowiednie współczynniki liczników, otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych 
. Jego rozwiązanie da nam pożądane nieokreślone współczynniki A, B, C i D.
Rozwiążmy układ metodą Gaussa: 
Stosując odwrotność metody Gaussa, znajdujemy D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
Dostajemy 
Odpowiedź:
.
Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych jest jednym z głównych problemów algebry liniowej. Zagadnienie to ma istotne znaczenie aplikacyjne w rozwiązywaniu problemów naukowo-technicznych, a ponadto jest pomocnicze przy implementacji wielu algorytmów w matematyce obliczeniowej, fizyce matematycznej i przetwarzaniu wyników badań eksperymentalnych.
Układ liniowych równań algebraicznych nazywa się układem równań postaci: (1)
Gdzie – nieznany; - wolni członkowie.
Rozwiązywanie układu równań(1) wywołać dowolny zbiór liczb, który po umieszczeniu w systemie (1) zamiast niewiadomych przekształca wszystkie równania układu na prawidłowe równości liczbowe.
Układ równań nazywa się wspólny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, oraz nie wspólne, jeśli nie ma rozwiązań.
Nazywa się równoczesny układ równań niektórzy, jeśli ma jedno unikalne rozwiązanie, oraz niepewny, jeśli ma co najmniej dwa różne rozwiązania.
Nazywa się te dwa układy równań równowartość Lub równowartość, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Nazywa się system (1). jednorodny, jeśli wolne warunki wynoszą zero: 
System jednorodny jest zawsze spójny – ma rozwiązanie 
(może nie jedyny).
Jeśli w systemie (1), to mamy system N równania liniowe z N nieznany: 
Gdzie –
nieznany;
– współczynniki niewiadomych,
- wolni członkowie.
Układ liniowy może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć żadnego rozwiązania.
Rozważmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 
Jeśli wtedy system ma unikalne rozwiązanie;
Jeśli 
wówczas układ nie ma rozwiązań;
Jeśli 
wówczas układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Przykład. System ma unikalne rozwiązanie pary liczb
Układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Na przykład rozwiązaniami danego układu są pary liczb itp.
Układ nie ma rozwiązań, ponieważ różnica dwóch liczb nie może przyjmować dwóch różnych wartości.
Definicja. Wyznacznik drugiego rzędu zwane wyrażeniem postaci:
.
Wyznacznik jest oznaczony symbolem D.
Liczby A 11, …, A 22 nazywane są elementami wyznacznika.
Przekątna utworzona przez elementy A 11 ; A 22 są wezwani główny przekątna utworzona przez elementy A 12 ; A 21 − strona
Zatem wyznacznik drugiego rzędu jest równy różnicy między iloczynami elementów przekątnych głównej i wtórnej.
Pamiętaj, że odpowiedzią jest liczba.
Przykład. Obliczmy wyznaczniki:
Rozważmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi: 
Gdzie X 1,
X 2 –
nieznany; A 11 , …, A 22 – współczynniki niewiadomych, B 1 , B 2 – bezpłatne członkostwo.
Jeśli układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi ma jednoznaczne rozwiązanie, to można je znaleźć za pomocą wyznaczników drugiego rzędu.
Definicja. Wyznacznik złożony ze współczynników niewiadomych nazywa się wyznacznik systemu: D= .
Kolumny wyznacznika D zawierają odpowiednio współczynniki dla X 1 i o godz , X 2. Przedstawmy dwa dodatkowy kwalifikator, które otrzymuje się z wyznacznika układu poprzez zastąpienie jednej z kolumn kolumną wolnych terminów: D 1 = D 2 = .
Twierdzenie 14(Kramer, dla przypadku n=2). Jeżeli wyznacznik D układu jest różna od zera (D¹0), to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, które znajduje się za pomocą wzorów: 
Formuły te nazywane są Wzory Cramera.
Przykład. Rozwiążmy układ korzystając z reguły Cramera: 
Rozwiązanie. Znajdźmy liczby
Odpowiedź. 
Definicja. Wyznacznik trzeciego rzędu zwane wyrażeniem postaci:
Elementy A 11; A 22 ; A 33 – tworzą główną przekątną.
Liczby A 13; A 22 ; A 31 – tworzą boczną przekątną.
Zapis z plusem obejmuje: iloczyn elementów na głównej przekątnej, pozostałe dwa wyrazy to iloczyn elementów znajdujących się na wierzchołkach trójkątów o podstawach równoległych do głównej przekątnej. Warunki ujemne są tworzone według tego samego schematu w odniesieniu do przekątnej wtórnej.
Przykład. Obliczmy wyznaczniki:
Gdzie –
nieznany;
– współczynniki niewiadomych,
- wolni członkowie.
W przypadku rozwiązania unikalnego układ 3 równań liniowych z trzema niewiadomymi można rozwiązać za pomocą wyznaczników trzeciego rzędu.
Wyznacznik układu D ma postać: 
Wprowadźmy trzy dodatkowe determinanty:
Twierdzenie 15(Kramer, dla przypadku n=3). Jeżeli wyznacznik D układu jest różna od zera, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, które znajduje się za pomocą wzorów Cramera:
Przykład. Rozwiążmy system 
zgodnie z regułą Cramera.
Rozwiązanie. Znajdźmy liczby 
Skorzystajmy ze wzorów Cramera i znajdźmy rozwiązanie pierwotnego układu:
Odpowiedź.
Należy zauważyć, że twierdzenie Cramera ma zastosowanie, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych i gdy wyznacznik układu D jest różny od zera.
Jeśli wyznacznik układu jest równy zero, to w tym przypadku układ może albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Przypadki te są badane oddzielnie.
Zwróćmy uwagę tylko na jeden przypadek. Jeżeli wyznacznik układu jest równy zeru (D=0) i choć jedna z wyznaczników dodatkowych jest różna od zera, to układ nie ma rozwiązań, czyli jest niespójny.
Twierdzenie Cramera można uogólnić na system N równania liniowe z N nieznany: 
Gdzie –
nieznany;
– współczynniki niewiadomych,
- wolni członkowie.
Jeżeli wyznacznik układu równań liniowych z niewiadomymi 
wówczas jedyne rozwiązanie układu znajduje się przy użyciu wzorów Cramera: 
Dodatkowy kwalifikator 
oblicza się z wyznacznika D, jeżeli zawiera on kolumnę współczynników dla niewiadomych x ja zastąp kolumną wolnych członków.
Należy zauważyć, że wyznaczniki D, D 1 , … , D N mieć porządek N.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych
Jedną z najczęstszych metod rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych −Metoda Gaussa. Metoda ta jest uogólnieniem metody podstawieniowej i polega na sekwencyjnym eliminowaniu niewiadomych, aż pozostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.
Metoda polega na przekształceniach układu równań liniowych, w wyniku czego otrzymujemy układ równoważny układowi pierwotnemu. Algorytm metody składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap nazywa się prosto Metoda Gaussa. Polega na sekwencyjnym eliminowaniu niewiadomych z równań. Aby to zrobić, w pierwszym kroku podziel pierwsze równanie układu przez (w przeciwnym razie przestaw równania układu). Oznaczają współczynniki powstałego zredukowanego równania, mnożą je przez współczynnik i odejmując od drugiego równania układu, eliminując w ten sposób z drugiego równania (zerowanie współczynnika).
Zrób to samo z pozostałymi równaniami i uzyskaj nowy układ, w którym we wszystkich równaniach, począwszy od drugiego, współczynniki dla , zawierają tylko zera. Oczywiście wynik nowy system, będzie odpowiednikiem oryginalnego systemu.
Jeżeli nie wszystkie nowe współczynniki dla , są równe zeru, można je w ten sam sposób wykluczyć z trzeciego i kolejnych równań. Kontynuując tę operację dla następujących niewiadomych, układ zostaje doprowadzony do tzw. postaci trójkątnej: 
Tutaj symbole wskazują współczynniki liczbowe i wolne terminy, które zmieniły się w wyniku przekształceń.
Z ostatniego równania układu pozostałe niewiadome wyznacza się w sposób jednoznaczny, a następnie metodą sekwencyjnego podstawienia.
Komentarz. Czasami w wyniku przekształceń w którymkolwiek z równań wszystkie współczynniki i prawa część skręcić do zera, to znaczy równanie zamienia się w tożsamość 0=0. Eliminując takie równanie z układu, zmniejsza się liczba równań w stosunku do liczby niewiadomych. Taki system nie może mieć jednego rozwiązania.
Jeśli w procesie stosowania metody Gaussa dowolne równanie zmieni się w równość w postaci 0 = 1 (współczynniki dla niewiadomych zwrócą się do 0, a prawa strona przyjmie wartość niezerową), to oryginalny system nie ma rozwiązania, ponieważ taka równość jest fałszywa dla dowolnych nieznanych wartości.
Rozważmy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:
(2)
Gdzie – nieznany; – współczynniki niewiadomych, - wolni członkowie.