Tyrimo tikslas – sukurti loginį metodą (Bulio apribojimų metodą), orientuotą į superkompiuterių naudojimą ir į paslaugas orientuotą technologiją kuriant ir naudojant kompiuterinę sistemą, skirtą kokybiniam kompiuterinės sistemos trajektorijų elgsenos dinamikos tyrimui. autonominės dvejetainės dinaminės sistemos per ribotą laiko intervalą. Temos aktualumą patvirtina nuolat didėjantis dvejetainių modelių pritaikymo spektras moksliniuose ir taikomuosiuose tyrimuose, taip pat tokių modelių su dideliu būsenos vektoriaus matmeniu kokybinės analizės poreikis. Pateikiamas baigtinio laiko intervalo autonominės dvejetainės sistemos matematinis modelis ir šiai sistemai ekvivalentiška Būlio lygtis. Dinaminės savybės specifikaciją siūloma parašyti predikatinės logikos kalba, naudojant ribotos egzistencijos ir universalumo kvantorius. Gaunamos Būlio lygtys dvejetainės sistemos pusiausvyros būsenų ir ciklų bei jų išskyrimo sąlygų paieškai. Nurodomos pagrindinės pasiekiamumo tipo savybės (pasiekiamumas, saugumas, vienu metu pasiekiamumas, pasiekiamumas pagal fazių apribojimus, patrauklumas, jungiamumas, bendras pasiekiamumas). Kiekvienai ypatybei jos modelis sudaromas Būlio apribojimo (Bulio lygties arba kiekybinės Būlio formulės) forma, atitinkančia loginę savybės specifikaciją ir sistemos dinamikos lygtis. Taigi, įvairių autonominių dvejetainių dinaminių sistemų trajektorijų elgsenos savybių patikrinimas baigtiniu laiko intervalu yra sumažintas iki Būlio apribojimų tenkinamumo problemos naudojant šiuolaikinius SAT ir TQBF sprendiklius. Pateikiamas šios technologijos naudojimo kai kurių anksčiau aprašytų savybių tinkamumui patikrinti pavyzdys. Apibendrinant, išvardijami pagrindiniai Būlio apribojimų metodo privalumai, apibrėžiamos jo programinės įrangos diegimo ypatumai pagal paslaugas orientuoto požiūrio rėmuose ir kryptys. tolimesnis vystymas metodas kitoms dvejetainių dinaminių sistemų klasėms.
dvejetainė dinaminė sistema
dinaminė savybė
kokybinė analizė
loginiai apribojimai
Būlio patenkinimo problema
1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. SAT sprendimo teorija ir praktika. Dagstuhl Reports. 2015. t. 5.ne. 4. R. 98–122.
2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Taccella A. Dvylika metų QBF vertinimų: QSAT yra PSPACE-Hard ir tai rodo. Fundam. Informuoti. 2016. t. 149. R. 133–58.
3. Bohman D., Posthof H. Dvejetainės dinaminės sistemos. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.
4. Maslovas S.Yu. Dedukcinių sistemų teorija ir jos taikymas. M.: Radijas ir ryšys, 1986. 133 p.
5. Jhala R., Majumdar R. Programinės įrangos modelio tikrinimas. ACM Computing Surveys. 2009. t. 41.nr. 4. R. 21:1–21:54.
6. Vasiljevas S.N. Redukcijos metodas ir kokybinė dinaminių sistemų analizė. I–II // Rusijos mokslų akademijos žinios. Teorija ir valdymo sistemos. 2006. Nr.1. 21–29 p. Nr.2. 5–17 p.
7. DIMACS formatas [Elektroninis išteklius]. Prieigos režimas: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (prieigos data: 2018-07-24).
8. QDIMACS standartas [Elektroninis išteklius]. Prieigos režimas: http://qbflib.org/qdimacs.html (prieigos data: 2018-07-24).
9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Diskrečios laiko sistemos su įvykiais pagrįsta dinamika: naujausi analizės ir sintezės metodų pokyčiai. Mario Alberto Jordanas (Red.). Diskretaus laiko sistemos. InTech. 2011. R. 447–476.
10. Vasiljevas S.N. Pasiekiamumas ir jungiamumas automatų tinkle su Pagrindinė taisyklė būsenos perjungimas // Diferencialinės lygtys. 2002. T. 38. Nr 11. P. 1533–1539.
11. Byčkovas I.V., Oparinas G.A., Bogdanova V.G., Gorskis S.A., Pašininas A.A. Kelių agentų technologija, skirta automatizuoti lygiagretų Bulio lygčių sprendimą paskirstytoje skaičiavimo aplinkoje // Skaičiavimo technologijos. 2016. T. 21. Nr. 3. P. 5–17.
12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Priklausomybę suvokiantis QBF sprendėjas. Žurnalas apie pasitenkinimą. Būlio modeliavimas ir skaičiavimas. 2010. t. 9. R. 71–76.
13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pašinin A.A., Gorsky S.A. Paskirstyti taikomųjų problemų sprendimai, pagrįsti mikropaslaugomis ir agentų tinklais. Proc. Iš 41 stažuotojo. Informacinių ir ryšių technologijų, elektronikos ir mikroelektronikos konvencija (MIPRO-2018). R. 1643–1648.
14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Keičiamas lygiagretus Būlio patenkinimo problemų sprendimas. Proc. Iš 41 stažuotojo. Informacinių ir ryšių technologijų konvencija. Elektronika ir mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.
15. Byčkovas I.V., Oparinas G.A., Bogdanova V.G., Pašininas A.A. The Applied Problems Solving Technology Based on Distributed Computational Subject Domain Model: a Decentralized Approach // Parallel Computing Technologies XII International Conference, PaVT’2018, Rostovas prie Dono, 2018 m. balandžio 2–6 d. Trumpi straipsniai ir plakatų aprašymai. Čeliabinskas: SUSU leidybos centras, 2018. P. 34–48.
Dvejetainių dinaminių modelių pritaikymo spektras yra neįprastai platus, o kiekvienais metais objektų ir užduočių, kur reikia juos naudoti, skaičius tik didėja. Klasikinis pavyzdys yra dvejetainis sinchroninis automatas, kuris yra daugelio atskirų valdymo sistemų, kompiuterinių technologijų ir telemechanikos įrenginių modelis. Šiuolaikiniai dvejetainių dinaminių modelių taikymai apima bioinformatikos, ekonomikos, sociologijos ir daugelio kitų sričių problemas, kurios atrodo toli nuo dvejetainių kintamųjų naudojimo. Šiuo atžvilgiu reikšmingai išauga naujų ir esamų dvejetainių dinaminių sistemų (DDS) trajektorijų elgesio analizės metodų kūrimo ir tobulinimo svarba.
Kaip žinoma, kokybinės dinaminės sistemos (ne tik dvejetainės) analizės tikslas yra gauti teigiamą ar neigiamą atsakymą į klausimą: ar tam tikroje sistemoje galioja reikiama dinaminė savybė? Perfrazuokime šį klausimą taip: Ar dinaminės sistemos trajektorijų elgsena tenkina tam tikrą savybę apibūdinančių apribojimų rinkinį? Toliau mes naudosime būtent tokį sistemos dinaminių savybių kokybinės analizės tikslo aiškinimą.
DDS, kurio veikimas laikomas baigtiniu laiko intervalu, tokie apribojimai yra Būlio ir parašyti Būlio lygčių arba Būlio formulių su kvantoriais kalba. Pirmojo tipo apribojimai lemia poreikį išspręsti SAT problemą (Boolean satisfiability problem); antrojo tipo apribojimai yra susiję su TQBF problemos sprendimu (kiekybinių Būlio formulių teisingumo patikrinimu). Pirmoji problema yra tipiškas NP sudėtingumo klasės atstovas, o antroji problema yra tipiškas PSPACE sudėtingumo klasės atstovas. Kaip žinoma, atskiros problemos PSPACE išsamumas yra stipresnis jos neišsprendžiamumo įrodymas nei NP išsamumas. Dėl šios priežasties kokybinės DDS analizės problemą sumažinti į SAT problemą yra geriau, nei ją sumažinti iki TQBF problemos. Apskritai, ne kiekvienos DDS savybės tyrimas gali būti pavaizduotas Būlio lygčių kalba.
Darbe pirmą kartą buvo parodyta teorinė galimybė panaudoti Būlio apribojimus (būtent Būlio lygtis) kokybinėje DDS analizėje. Tačiau reikia pažymėti, kad šio požiūrio taikymas praktikoje tuo metu trukdė nebuvimas efektyvūs algoritmai ir Būlio lygčių sprendimo programos (ypač su daugybe nežinomų kintamųjų), kurios gali žymiai sumažinti paieškos erdvę. Pastarąjį dešimtmetį dėl intensyvių šios srities tyrimų atsirado pakankamai daug įvairių efektyvių Būlio lygčių sprendėjų (SAT sprendėjų), sprendžiant šiuolaikinius pasiekimus (naują euristiką, greitas duomenų struktūras, lygiagretųjį skaičiavimą ir kt.). Būlio patenkinimo problema. Panašūs procesai (bet su tam tikru vėlavimu) stebimi kuriant vis efektyvesnius algoritmus ir programas TQBF problemai spręsti. Taigi iki šiol yra visos būtinos prielaidos sisteminiam Būlio apribojimų metodo kūrimui atliekant kokybinę DDS analizę, jo programinę įrangą ir taikymą sprendžiant mokslines ir taikomąsias problemas.
Be Būlio apribojimų metodo, DDS taikomi ir kiti kokybinės analizės metodai, apimantys dedukcinę analizę, modelio tikrinimą ir redukcinį metodą. Kiekvienas iš šių metodų (įskaitant Būlio apribojimo metodą) turi savo apribojimus, privalumus ir trūkumus. Bendras trūkumas yra tai, kad visi metodai yra žiaurios jėgos pobūdžio, o brutalios jėgos mažinimo problema yra esminė šiems metodams.
Dedukcinės analizės, kuri apima aksiomų ir išvadų taisyklių naudojimą siekiant įrodyti teisingą sistemos funkcionavimą, svarbą pripažįsta daugybė specialistų, tačiau tai yra daug darbo reikalaujantis ir todėl retai naudojamas metodas. Modelio tikrinimo metodu kaip reikalingos savybės nurodymo kalba naudojama automatų dinamikos specialistams neįprasta laiko logikos kalba. Redukcijos metodas siejamas su supaprastinto (tam tikra prasme) pirminės sistemos modelio konstravimu, jos savybių ir šių savybių perkėlimo į pirminę kompleksinę sistemą sąlygų tyrimu. Turto perleidimo sąlygų pakanka. Redukcijos metodo idėjos paprastumas atliekant kokybinę DDS analizę susiduria su problema pasirenkant supaprastintą sistemą, atitinkančią visas metodo sąlygas.
Praktinis Būlio apribojimo metodo naudojimas apima šių procesų algoritmizavimą ir automatizavimą:
1) dinaminių savybių specifikavimo loginės kalbos, skirtos sistemos dinamikos specialistui, sukūrimas;
2) dinaminės savybės modelio sukūrimas vienokio ar kitokio tipo Būlio apribojimo pavidalu, kuris tenkina loginę savybės specifikaciją ir dvejetainės sistemos dinamikos lygtis;
3) gauto modelio pateikimas tarptautiniu formatu DIMACS arba QDIMACS;
4) efektyvaus lygiagretaus (paskirstyto) sprendiklio Bulio apribojimų tenkinamumo problemai parinkimas (kūrimas) (SAT arba TQBF sprendėjas);
5) programinės įrangos paslaugų kūrimo įrankių kūrimas;
6) įvairių DDS dinaminių savybių kokybinio tyrimo paslaugų kūrimas.
TikslasŠis tyrimas skirtas išspręsti tik pirmąsias dvi problemas, susijusias su autonominio (be valdymo įėjimų) sinchroninio DDS kokybinių tyrimų algoritmizavimu. Leidiniuose anglų kalba tokios sistemos dažniausiai vadinamos sinchroniniais Būlio tinklais. Kiti Būlio apribojimo metodo taikymo aspektai (įskaitant DDS su valdymo įvestimis) yra šių publikacijų tema.
Autonominio DDS matematinis modelis
Tegu X = Bn (B = (0, 1) - dvejetainių vektorių, kurių matmenys n (DDS būsenos erdvė), aibė Tegul t∈T = (1,…,k) reiškia diskrečiąjį laiką (takto skaičių).
Kiekvienos būsenos x0∈X, vadinamos pradine būsena, trajektoriją x(t, x0) apibrėžiame kaip baigtinę būsenų seką x0, x1,…, xk iš aibės X. Toliau nagrinėsime DDS, kurioje kiekviena pora gretimų būsenų xt, x(t - 1) (t∈T) trajektorijos yra susietos ryšiu
xt = F(xt – 1). (1)
Čia F:X>X yra logikos algebros vektorinė funkcija, vadinama perėjimo funkcija. Taigi, esant bet kuriam x0∈X, Būlio lygčių sistema (1) parodo DDS trajektorijų elgesio dinamikos būsenos erdvėje X baigtiniu laiko intervalu T = (1, 2,…,k) modelį. Čia ir toliau laikoma, kad reikšmė k aibės T apibrėžime yra iš anksto nustatyta konstanta. Šis apribojimas yra gana natūralus. Faktas yra tas, kad atliekant kokybinę DDS trajektorijų elgesio analizę, praktinis klausimas yra tai, ką galima pasakyti apie bet kokios dinaminės savybės tinkamumą fiksuotam, ne per dideliam k. K reikšmės pasirinkimas kiekvienu konkrečiu atveju atliekamas remiantis a priori informacija apie procesų trukmę imituojamoje diskrečioje sistemoje.
Yra žinoma, kad Būlio lygčių sistema (1), kurios pradinė būsena x0∈X, kai T = (1, 2,…,k) yra lygiavertė vienai formos Būlio lygčiai
Jei k = 1 (atsižvelgiama į tik vieno žingsnio perėjimus), (2) lygtis įgauna formą
(3)
Šios lygties sprendiniai apibrėžia nukreiptą grafiką, susidedantį iš 2n viršūnių, pažymėtų viena iš 2n aibės X būsenų. Grafo viršūnės x0 ir x1 yra sujungtos lanku, nukreiptu iš būsenos x0 į būseną x1. Toks grafikas dvejetainių automatų teorijoje vadinamas perėjimo diagrama. DDS elgsenos atvaizdavimas perėjimo diagramos pavidalu yra labai aiškus tiek konstruojant trajektorijas, tiek tiriant jų savybes, tačiau praktiškai įmanomas tik esant mažiems būsenos vektoriaus x∈X matmenims n.
Kalbos įrankiai dinaminėms savybėms nurodyti
Dinaminę savybę patogiausia nurodyti formaliosios logikos kalba. Atlikę darbą, X0∈X, X1∈X, X*∈X pažymėkime pradinių, leistinų ir tikslinių būsenų rinkinius.
Pagrindiniai dinaminės savybės loginės formulės sintaksiniai elementai yra: 1) dalykiniai kintamieji (vektorių x0, x1,…, xk komponentai, laikas t); 2) riboti egzistencijos ir universalumo kvantoriai; 3) loginiai ryšiai v, &; galutinės formulės. Galutinė formulė parodo teiginį apie kai kurių trajektorijų aibės x(t, x0) (x0∈X0) būsenų priklausomybę vertinimo aibėms X* ir X1.
Reikėtų pažymėti, kad ribotų egzistencijos ir universalumo kvantorių naudojimas suteikia dinamikos specialistui žinomą dinaminės savybės įrašymo tipą. Kuriant Būlio ypatybių modelį sistemai (1), riboti kvantoriai pakeičiami įprastais pagal šiuos apibrėžimus:
kur A(y) yra predikatas, ribojantis kintamojo y reikšmę.
Dėl kintamojo t kitimo diapazono baigtinumo riboti egzistavimo ir universalumo kvantoriai šio kintamojo atžvilgiu pakeičiami lygiavertėmis formulėmis, kuriose nėra kvantorių.
Toliau darysime prielaidą, kad aibių X0, X1, X* elementai yra atitinkamai nustatomi šių Būlio lygčių nuliais
arba būdingos šių rinkinių funkcijos .
Atsižvelgdami į pradinių būsenų G0(x) = 0 apribojimą kartu su (2, 3) lygtimis, žymėjimui sutrumpinti naudosime šias Būlio lygtis:
(4)
Preliminari kokybinė autonominio DDS analizė
Preliminarios analizės etape (jei reikia) galima nustatyti būsenos išsišakojimą (daugelį tiesioginių jos pirmtakų), pusiausvyros būsenų buvimą ir uždaras trajektorijas (ciklus).
Būsena x1 (3) bus vadinama būsenos x0 įpėdine, o x0 – būsenos x1 pirmtake. Autonominėje DDS kiekviena būsena turi tik vieną įpėdinį, o tam tikros būsenos pirmtakų skaičius gali svyruoti nuo nulio iki 2n – 1. Visi tiesioginiai būsenos s∈X pirmtakai x0 yra Būlio lygties nuliai
Jei (6) lygtis neturi sprendinių, tai nėra būsenos s pirmtakų.
Pusiausvyros būsenos (jei jos yra) yra Būlio lygties sprendiniai
Trajektorija x0, x1,…, xk vadinama k ilgio ciklu, jei būsenos x0, x1,…, xk-1 poromis skiriasi viena nuo kitos ir xk = x0. Ciklinė k ilgio seka (jei ji egzistuoja) yra Būlio lygties sprendimas
kur = 0 ( 
) - k ilgio ciklo būsenų aibės C porinio skirtumo sąlygos. Jei nė viena ciklo būsena neturi pirmtakų, nepriklausančių aibei C, tai toks ciklas vadinamas izoliuotu. Tegul aibės C elementus s nustato Būlio lygties Gc(s) = 0 sprendinys. Tada nesunku parodyti, kad sąlyga, kad ciklas būtų izoliuotas, yra lygiavertis nulių nebuvimui šioje Būlio formulėje lygtis:
(7) lygties sprendiniai (jei jie yra) nustato ciklo būsenas, kurios turi pirmtakus, kurie nepriklauso aibei C.
Kadangi pusiausvyros būsena yra ciklas, kurio ilgis k = 1, jos išskyrimo sąlyga yra panaši į izoliacijos sąlygą, kai k ≥ 2, su skirtumu, kad Gc(s) turi visiško disjunkcijos formą, kuri apibrėžia šią pusiausvyros būseną. .
Toliau neizoliuotas pusiausvyros būsenas ir ciklus vadinsime atraktoriais.
Pasiekiamumo tipo dinaminių savybių specifikacija
Pagrindinė DDS savybė, praktikoje dažniausiai iškylantis poreikis tikrinti, yra tradiciškai grafų teorijoje tyrinėjama pasiekiamumo savybė (mūsų atveju toks grafikas yra perėjimo diagrama) ir įvairios jos variacijos. B pasiekiamumas apibrėžiamas kaip klasikinė DDS trajektorijų elgesio analizės problema.
Šios savybės apibrėžimas yra susijęs su anksčiau įvestų aibių X0, X*, X1 (atitinkančių šias Būlio lygčių aibes) nurodymu. Daroma prielaida, kad aibės X0, X*, X1 tenkina apribojimą
Dėl aibės T baigtinumo pasiekiamumo savybė ir jos kitimai toliau bus suprantami kaip praktinio pasiekiamumo (pasiekiamumo per baigtinį ciklų skaičių) savybė. Atsižvelgiama į šias pasiekiamumo tipo savybes:
1. Pagrindinė aibės X* pasiekiamumo savybė iš aibės X0 formuluojama taip: bet kokia trajektorija, išlaisvinta iš pradinių būsenų aibės X0, pasiekia tikslinę aibę X*. Naudojant riboto egzistavimo ir universalumo kvantorius, šios savybės formulė yra tokia:
2. Saugos savybė užtikrina, kad bet kuriai trajektorijai, išleistai iš X0, rinkinys X* būtų nepasiekiamas:
3. Vienu metu pasiekiamumo savybė. Kai kuriais atvejais gali būti nustatytas „griežtesnis reikalavimas“, ty kiekviena trajektorija pasiektų tikslą, nustatytą tiksliai k laikrodžio ciklų (k∈T):
4. Pasiekiamumo savybė pagal fazės apribojimus:
Ši savybė garantuoja, kad visos trajektorijos, skleidžiamos iš rinkinio X0, prieš įeinant į tikslinę rinkinį X*, yra aibėje X1.
5. Pritraukimo savybė. Tegul X* yra atraktorius. Tada loginė traukos savybės formulė sutampa su pagrindinės pasiekiamumo savybės formule:
tie. kiekvienai trajektorijai, išleistai iš aibės X0, yra laiko momentas t∈T, nuo kurio trajektorija neperžengia aibės X* ribų. Aibė X0 šiuo atveju priklauso aibės X* traukos srities daliai (X0∈Xa, kur Xa yra visa atraktoriaus traukos sritis (baseinas).
Atkreipkite dėmesį, kad visi kintamieji aukščiau pateiktose savybių formulėse iš tikrųjų yra susiję, nes trajektorija x0, x1,…, xk yra visiškai nulemta pradinės būsenos. Kadangi kvantoriai virš kintamojo t pakeičiami kelių vietų disjunkcijos arba atitinkamų predikatų konjunkcijos operacijomis, kiekvienoje formulėje lieka vienas ribotas universalus kvantorius (), leidžiantis parašyti šių savybių tenkinimo sąlygas Būlio lygčių kalba (SAT uždavinio forma).
Pateiksime dvi savybes, kurių patikrinimas lemia būtinybę išspręsti TQBF problemą.
6. Tikslinio rinkinio ryšio ypatybė:
tie. yra tokia pradinė būsena x0∈X0, kad kiekviena tikslo būsena x*⊆X* pasiekiama tam tikru momentu t∈T, o tai reiškia šią būseną atitinkančios trajektorijos egzistavimą, kad visos tikslo būsenos x*∈X* priklauso į šią trajektoriją.
7. Aibės X* bendro pasiekiamumo savybė nuo X0:
tie. kiekviena tikslo būsena pasiekiama nuo X0.
Dinaminių savybių pagrįstumo tikrinimas
Savybių (1–5) atveju tikrinant jų tinkamumą reikia ieškoti Būlio lygties nulių, kurios formavimo technologija yra standartizuota ir išsamiai nagrinėjama tik dėl pagrindinės pasiekiamumo savybės. Savybės (6, 7) lemia kiekybinės Būlio formulės teisingumo patikrinimo problemą.
1. Pagrindinė pasiekiamumo savybė. Jo loginė formulė atrodo taip
Atsižvelgdami į (4), formoje rašome formulę (8).
kur trajektorijos būsenų aibės, išlaisvintos iš pradinės būsenos x0∈X0, charakteristika. Atsikratykime egzistavimo kvantoriaus (9). Tada turėsime
kur yra aibės X* charakteristinė funkcija. Pakeiskime ribotus universalius kvantorius įprastais kvantoriais. Kaip rezultatas, mes gauname
(10) formulė yra teisinga tada ir tik tada, kai subkvantivo išraiška yra identiškai teisinga, t.y.
Identiška implikacijos tiesa reiškia, kad Būlio funkcija yra loginė funkcijos pasekmė, t.y. bet kuri trajektorija su pradine būsena x0∈X0 pasiekia tikslinę aibę X*.
Tapatybės (11) galiojimas yra lygus nulių nebuvimui Būlio lygtyje
Išvedę (12), atsikratėme implikacijos ir ϕ*(x0, x1,..., xk) pakeitėme 
. Jei (12) lygtis turi bent vieną sprendimą, pasiekiamumo savybė negalioja. Toks sprendimas yra (tam tikra prasme) priešingas bandomos savybės pavyzdys ir gali padėti tyrėjui nustatyti klaidos priežastį.
Be to, dėl pateikimo trumpumo, kiekvienai savybei (2–4) išrašysime tik (12) tipo lygtį, kviesdami skaitytoją savarankiškai atkurti būtinus samprotavimus, artimus tiems, kurie pateikiami pagrindinei pasiekiamumo savybei.
2. Apsaugos turtas
3. Vienu metu pasiekiamumo savybė
4. Pasiekiamumo savybė pagal fazės apribojimus
5. Pritraukimo savybė. Šio turto tinkamumas tikrinamas dviem etapais. Pirmajame etape nustatoma, ar aibė X* yra atraktorius. Jei atsakymas yra teigiamas, antrajame etape patikrinama pagrindinė pasiekiamumo savybė. Jei X* pasiekiamas iš X0, tada tenkinamos visos traukos savybės sąlygos.
6. Ryšio savybė
7. Visiško pasiekiamumo savybė“.
Savybėms (6, 7) dviejų Būlio vektorių xt = x* lygybės skaliarinė forma turi formą
Parodykime aukščiau aprašytą technologiją, skirtą kokybinei autonominio DDS analizei, naudojant Būlio apribojimų metodą, kai tikriname kai kurių aukščiau išvardytų 3.2 modelio savybių tinkamumą darbe:
X0∈X = B3 pažymėkime pradinę modelio (13) būseną. Tegu T = (1, 2). Užrašykime modelio (13) vienpakopių ir dviejų pakopų perėjimų funkcijas, reikalingas savybėms patikslinti:
(14)
kur ženklas yra "." nurodomas jungtuko veiksmas.
Kiekvienos savybės tenkinamumui patikrinti nurodomos pradinės (X0) ir tikslinės (X*) aibės, nustatytos lygčių G0(x) = 0, G*(x) = 0 nuliais arba šių charakteristikų funkcijomis. rinkinių (žr. 2 skyrių). Instrumentinio komplekso (IC) sprendėjas REBUS naudojamas kaip SAT sprendėjas, o DepQBF – kaip TQBF sprendėjas. Kintamųjų kodavimas Būlio modeliuose toliau aptariamoms šių sprendiklių savybėms yra pateiktas lentelėje. 1, šių savybių Būlio modeliai DIMACS ir QDIMACS formatais yra lentelėje. 2.
1 lentelė
Kintamasis kodavimas
|
Kintamasis skaičius Būlio modelyje |
||||||||||||
|
1 nuosavybė |
||||||||||||
|
2 nuosavybė |
||||||||||||
|
3 nuosavybė |
||||||||||||
|
4 nuosavybė |
||||||||||||
|
5 nuosavybė |
2 lentelė
Būlio nuosavybės modeliai
|
1 nuosavybė |
2 nuosavybė |
3 nuosavybė |
4 nuosavybė (A) |
4 nuosavybė (B) |
5 nuosavybė |
|
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0 |
1. Pagrindinė pasiekiamumo savybė (k = 2). Tegu X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Pradinės ir tikslinės aibės nustatomos atitinkamai lygtimis G0(x) = x1 = 0 ir . Būlio lygtis (12) šiuo atveju įgauna formą
kur funkcija ϕ(x0, x1, x2) yra apibrėžta (14). IR REBUS sprendėjas pateikia atsakymą „nepatenkintas“ (lygtis neturi nulių), todėl X* pasiekiamumo savybė iš X0 yra patenkinama, kaip aiškiai matyti iš toliau pateiktos paveikslėlyje pateiktos perėjimų diagramos.
2. Ciklai, kurių ilgis k = 2. Ciklinė 2 ilgio seka (jei ji egzistuoja) yra Būlio lygties sprendimas
Funkcija atrodo taip
Išraiška R(x0, x1) nebuvo įtraukta į lygtį ieškant ciklą, nes modelyje (13) nėra ciklų, kurių ilgis k = 1 (pusiausvyros būsenos). Naudojant IR REBUS sprendiklį, gauti du atsakymai (DIMACS išvesties formatu): 1 2 3 4 5 -6 0 ir 1 2 -3 4 5 6 0, atitinkantys ciklines sekas (pav.): ((1 1 1) , (1 1 0)) ir ((1 1 0), (1 1 1)). Abiejų ciklų būsenų aibės sutampa, vadinasi, modelyje (13) yra vienas ciklas, kurio ilgis k = 2.
Sistemos perėjimo schema (13)
3. Ciklo izoliacijos savybė. Jei ciklo, kurio ilgis k = 2, būsenų aibės C elementai s nustatyti Būlio lygties Gc(s) = 0 sprendimu, tai ciklo išskyrimo sąlyga yra lygiavertė nulių nebuvimui šioje Būlio dydžiui. lygtis:
Kadangi C = ((1 1 1), (1 1 0)), turime
Šiai lygčiai IR REBUS sprendėjas randa du sprendinius: -1 2 3 4 5 -6 0 ir -1 2 -3 4 5 -6 0 (dvejetainiu pavidalu pagal kintamųjų kodavimą 1 lentelėje, tai yra poros būsenos (0 1 1), (1 1 0) ir ((0 1 0), (1 1 0)). Taigi ciklo būsena (1 1 0) turi du pirmtakus (0 1 1) ir (0 1) 0), kurios nepriklauso būsenų ciklo aibei Tai reiškia, kad ciklo izoliavimo savybė netenkinama, t.y. šis ciklas yra atraktorius.
4. Pritraukimo savybė. Tegu X* = C yra atraktorius. Loginė traukos savybės formulė sutampa su pagrindinės pasiekiamumo savybės formule
ir atitinkama Būlio lygtis mūsų atveju turi formą
Užrašykime funkcijas G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) ir . Funkcija ϕ(x0, x1, x2) pateikta (14). Jei X* = C, išraiška yra . Panagrinėkime du pradinių būsenų aibės X0 nurodymo variantus traukos savybės išsipildymo (A) ir neišsipildymo (B) atvejams k = 2 laikrodžio ciklais.
A. Leisk. Tada
Šiuo atveju Bulio lygčiai (15) pateikiamas atsakymas „nepatenkintas“. Pritraukimo savybė tenkinama duotoje aibėje X0.
B. Tegul . Tada
Šiuo atveju (15) lygties IR REBUS randa sprendimą: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, kuris atitinka trajektoriją ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)). Ši trajektorija su pradine būsena x0 = (1 0 1) nepasiekia aibės X* = C dviem žingsniais, o tai reiškia, kad traukos savybė duotam X0 netenkinama.
5. Ryšio savybė. Loginė ryšio savybės formulė yra tokio teiginio forma:
Jei k = 2, ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), kur funkcija ϕ(x0, x1, x2) pateikta (14). Pradine būsena pasirinkime būseną (1 0 1). Tada . Tegul tikslinė aibė X* = ((0 1 1), (1 0 0)). Šiuo atveju funkcija G*(x*) turi formą
Parašykime G*(x*) CNF formatu:
Naudodamiesi DeMorgano dėsniu, randame funkcijos ϕ*(x0, x1, x2) neigimą. Visas gautas funkcijas pakeitę į (16) ir atsižvelgdami į Būlio kintamųjų kodavimą (1 lentelė), gauname Būlio modelį QDIMACS formatu (2 lentelė). DepQBF sprendėjas pateikia atsakymą „sat“, o tai reiškia, kad teiginys (16) yra teisingas. Sujungimo savybė duotoms X0, X*, T = (1, 2) yra tenkinama.
Išvada
Pagrindiniai Būlio apribojimo metodo pranašumai atliekant kokybinius DDS tyrimus yra šie:
1. Automatų dinamikos specialistui pažįstama loginė kalba dinaminei savybei nurodyti, naudojant ribotus egzistencijos ir universalumo kvantorius.
2. Naudojant savybių formulę ir dinamines lygtis, automatiškai sukuriama atitinkama Būlio lygtis arba kiekybinė Būlio formulė.
3. Gautų Būlio išraiškų konvertavimo į jungiamąją normaliąją formą, toliau generuojant failą DIMAX ir QDIMAX formatais, kurie yra SAT sprendiklių ir QBF sprendėjų įvestis, procesas yra gana paprastai automatizuotas.
4. Paieškos mažinimo problemą vienu ar kitu laipsniu sprendžia šių sprendiklių kūrėjai ir apsaugo nuo DDS kokybinės analizės specialistų.
5. Galima išspręsti DDS kokybinės analizės uždavinį esant dideliems būsenos vektoriaus n matmenims per pakankamai ilgą laiko tarpą T. Būsenų skaičiaus požiūriu Būlio apribojimų metodas yra kiekybiškai palyginamas su modelio tikrinimo metodas. Dėl to, kad pastaraisiais metais labai išaugo specializuotų algoritmų, skirtų SAT ir TQBF problemoms spręsti, našumas, bendras kintamųjų skaičius šiuolaikinių sprendėjų Būlio savybių modelyje gali būti matuojamas tūkstančiais.
DDS kokybinės analizės proceso programinė įranga, pagrįsta Būlio apribojimų metodu, yra įdiegta į paslaugas orientuoto požiūrio rėmuose, naudojant specializuotus Būlio lygčių sprendiklius. Straipsnyje pateikiamas Būlio apribojimo metodo, pagrįsto į paslaugas orientuotu metodu ieškant ciklų ir pusiausvyros būsenų genų reguliavimo tinkluose, įgyvendinimo pavyzdys.
Reikėtų pažymėti, kad Būlio apribojimų metodas yra gana bendras kokybinės DDS analizės per ribotą laiko intervalą metodas. Jis taikomas ne tik autonominėms sistemoms, bet ir sistemoms su valdymo įėjimais, sistemoms, kurių atminties gylis didesnis nei vienas, DDS bendras vaizdas, kai perėjimo funkcija yra neapsprendžiama būsenos xt atžvilgiu ir turi formą F(xt, xt-1) = 0. DDS su įėjimais valdomumo savybė ir įvairios jos variacijos yra ypač svarbios. Be DDS analizės problemų, Būlio apribojimų metodas pritaikomas grįžtamojo ryšio sintezės (statinės ar dinaminės, pagal būseną ar įvestį) problemoms, užtikrinančioms reikiamos dinaminės savybės įvykdymą sintezuojamoje sistemoje.
Tyrimą parėmė Rusijos fundamentinių tyrimų fondas, projektas Nr.18-07-00596/18.
Bibliografinė nuoroda
Oparinas G.A., Bogdanova V.G., Pašininas A.A. BŪLIO APRIBOJIMŲ METODAS DVEJIENŲ DINAMINIŲ SISTEMŲ KOKYBINĖS ANALIZĖS METODAS // Tarptautinis žurnalas taikomieji ir fundamentiniai tyrimai. – 2018. – Nr.9. – P. 19-29;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (prieigos data: 2020-03-18). Atkreipiame jūsų dėmesį į leidyklos „Gamtos mokslų akademija“ leidžiamus žurnalus
Automatika ir telemechanika, L-1, 2007 m
RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j
© 2007 Yu.S. POPKOV, inžinerijos mokslų daktaras. Mokslai (Institutas sistemos analizė RAS, Maskva)
KOKYBINĖ DINAMINIŲ SISTEMŲ ANALIZĖ SU Vd-ENTROPY OPERATORIU
Siūlomas nagrinėjamos DSEO klasės singuliarinių taškų egzistavimo, unikalumo ir lokalizacijos tyrimo metodas. Gaunamos sąlygos stabilumui „mažame“ ir „didelyje“. Pateikiami gautų sąlygų taikymo pavyzdžiai.
1. Įvadas
Daugelį dinaminių procesų matematinio modeliavimo problemų galima išspręsti remiantis dinaminių sistemų su entropijos operatoriumi (DSEO) koncepcija. DSEO yra dinamiška sistema, kurioje netiesiškumas apibūdinamas parametrine entropijos maksimizavimo problema. Feio-miologiškai DSEO yra makrosistemos su „lėtu“ savaiminio dauginimosi ir „greito“ išteklių paskirstymo modelis. Kai kurios DSEO savybės buvo tiriamos. Šis darbas tęsia DSEO kokybinių savybių tyrimų ciklą.
Mes laikome dinaminę sistemą su Vd entropijos operatoriumi:
^ = £(x,y(x)), x e En:
y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.
Šiose išraiškose:
C(x,y), c(x) yra nuolat diferencijuojamos vektorinės funkcijos;
Entropija
(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;
T - (r x w)-matrica su elementais ^ 0 turi pilną rangą, lygų r;
Laikoma, kad vektorinė funkcija q(x) yra nuolat diferencijuojama, o aibė ^ ^^ ^susidėta q yra teigiamas gretasienis
(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,
kur a- ir a + yra vektoriai iš E+, o a- yra vektorius su mažais komponentais.
Naudojant gerai žinomą entropijos operatoriaus atvaizdavimą Lagranžo daugiklių atžvilgiu. Transformuokime sistemą (1.1) į tokią formą:
- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+
Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-
O(x,z) = Ty(z) = d(x),
kur rk = exp(-Ak) > 0 yra eksponentinės Lagranžo daugikliai.
Kartu su bendrosios formos DSEO (1.1), mes svarstysime, kaip laikytis klasifikacijos, nurodytos punkte.
DSEO su atskiriamu srautu:
(1–5) ^ = I(x) + Ву(r),
kur B(n x m)-matrica;
DSEO su dauginamuoju srautu:
(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab
kur Ш – (n x m) matrica su neneigiamais elementais, a – vektorius su teigiamomis dedamomis, ® – koordinačių daugybos ženklas.
Šio darbo tikslas – ištirti DSEO pavienių taškų egzistavimą, unikalumą ir lokalizaciją bei jų stabilumą.
2. Vienaskaitos taškai
2.1. Egzistavimas
Panagrinėkime sistemą (1.4). Šios dinaminės sistemos vienatiniai taškai nustatomi pagal šias lygtis:
(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;
(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:
(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.
Pirmiausia panagrinėkime pagalbinę lygčių sistemą:
(2.4) C(d,r) = g, d e R,
kur aibė R yra apibrėžta lygybe (1.3), o C(d,r) yra vektorinė funkcija su komponentais
(2.5) Sk(d,g) = - Gerai (g), a-< дк < а+, к =1,г.
(2.4) lygtis turi unikalų kiekvieno fiksuoto vektoriaus d sprendimą r*, kuris išplaukia iš Vd-entropijos operatoriaus savybių (žr.).
Iš vektorinės funkcijos C(d,r) komponentų apibrėžimo yra akivaizdus įvertinimas:
(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:
Pirmosios lygties sprendinį pažymėkime r+, o antrosios – r-. Apibrėžkime
(2.7) C (a+,z) = z, C(a
(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk
ir r matmenų vektoriai
(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).
Lemma 2.1. Visiems q G Q (1 . 3) priklauso (2.4) lygties sprendiniai z*(q), 1 vektorius atkarpai
zmin< z*(q) < zmax,
kur vektoriai zmin ir zmax nustatomi išraiškomis (2.7)-(2.9).
Teoremos įrodymas pateiktas priede. Qq
qk(x) (1.3) x G Rn, tada
Išvada 2.1. Tegul tenkinamos 2.1 lemos sąlygos, o funkcijos qk(x) tenkina sąlygas (1.3) visiems ex x G Rn. Tada visiems x G Rm lygties (2.3) sprendiniai z* priklauso vektoriaus segmentui
zmin< z* < zmax
Dabar grįžkime prie (2.2) lygčių. kurios nustato vektorinės funkcijos y(z) komponentus. Jo Jakobijos elementai turi formą
(2.10) jb aj zk JJ & > 0
visiems z G R+, išskyrus 0 ir f. Vadinasi, vektorinė funkcija y(z) griežtai monotoniškai didėja. Pagal 2.1 lemą ji yra apribota žemiau ir aukščiau, t.y. visiems z G Rr (taigi, visiems x G Rn) jo reikšmės priklauso aibei
(2.11) Y = (y: y-< y < y+},
kur vektorių yk, y+ komponentai nustatomi išraiškomis:
(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.
(2.13) bj = Y, tsj, 3 = 1,
Panagrinėkime pirmąją (2.1) lygtį ir perrašykime ją į formą:
(2.14) L(x,y) = 0 visiems y e Y C E^.
Ši lygtis nustato kintamojo x priklausomybę nuo kintamojo y, priklausančio Y
mes (1.4) redukuojame iki numanomos funkcijos x(y), apibrėžtos (2.14) lygtimi.
Lemma 2.2. Tegul tenkinamos šios sąlygos:
a) vektorinė funkcija L(x,y) yra tolydi kintamųjų aibėje;
b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;
c) det J (x, y) = 0 visiems ex x e Ep bet kokiam fiksuotam y e Y.
Tada yra unikali numanoma funkcija x*(y), apibrėžta Y. Šioje lemoje J(x, y) yra Jakobijos su elementais
(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.
Įrodymas pateiktas priede. Iš aukščiau pateiktų lemų išplaukia
2.1 teorema. Tegul tenkinamos 2.1 ir 2.2 lemmų sąlygos. Tada yra unikalus DSEO (1.4) ir atitinkamai (1.1) vienaskaitos taškas.
2.2. Lokalizacija
Tirdami vienaskaitos taško lokalizaciją, turime omenyje galimybę nustatyti intervalą, kuriame jis yra. Ši užduotis nėra labai paprasta, tačiau tam tikrai DSEO klasei tokį intervalą galima nustatyti.
Pereikime prie pirmosios lygčių grupės (2.1) ir pavaizduokime jas formoje
(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,
kur y- ir y+ apibrėžiami lygybėmis (2.12), (2.13).
2.2 teorema. Tegul vektorinė funkcija L(x,y) yra tolydžio diferencijuojama ir monotoniškai didėjanti abiejuose kintamuosiuose, t.y.
-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj
Tada sistemos (2.16) sprendinys kintamojo x atžvilgiu priklauso intervalui (2.17) xmin х x х xmax,
a) vektoriai xmin, xmax turi formą
Min = i x 1 xmax = r x t;
\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :
xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;
6) x- ir x+ - šių lygčių sprendinio komponentai
(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0
su oo m tikrai.
Teoremos įrodymas pateiktas priede.
3. DSEO stabilumas „mažuose“
3.1. DSEO su atskiriamu srautu Pažvelkime į DSEO su atskiriamu srautu lygtis, pateikdami jas tokia forma:
- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab
U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1", ~ 8 = 1
0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.
Čia vektorinės funkcijos d(x) komponentų reikšmės priklauso aibei Q (1.3), (n x w) matrica B turi pilną rangą, lygų n (n).< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.
Tegul nagrinėjama sistema turi vienaskaitos tašką x. Norėdami ištirti šio vienaskaitos taško stabilumą „mažame“ sudarome tiesinę sistemą
čia A yra (n x n) matrica, kurios elementai skaičiuojami taške x, o vektorius £ = x - x. Pagal pirmąją (3.1) lygtį, tiesinės sistemos matrica turi
A = 7 (x) + BUg (g) Ikh (x), x = g (x),
| 3 = 1,w,k = 1,
I k = 1,g, I = 1,p
Iš (3.1) nustatomi matricos Vr: DN elementai.
"bkz P" 8 = 1
3, g8 x 8, 5 1, g.
Norėdami nustatyti matricos Zx elementus, kreipiamės į paskutinę (3.1) lygčių grupę. Parodyta, kad šios lygtys apibrėžia numanomą vektorinę funkciją r(x), kuri yra nuolat diferencijuojama, jei vektoriaus funkcija d(x) yra nuolat diferencijuojama. Vektorinės funkcijos r(x) Jakobinis Zx nustatomas pagal lygtį
<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),
vg (X) = T Ug (X),
ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\
Iš šios lygties gauname (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).
Šį rezultatą pakeičiant lygybe (3.3). mes gauname:
A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).
Taigi tiesinės sistemos lygtis įgauna formą
(z.i) | = (j+p)e
Čia matricų J, P elementai skaičiuojami vienaskaitos taške. Pakankamos stabilumo sąlygos „mažame“ DSEO (3.1) nustatomos taip
3.1 teorema. DSEO (3.1) turi stabilų „mažajame“ vienaskaitos tašką x, jei tenkinamos šios sąlygos:
a) tiesinės sistemos (3.11) matricos J, P (3.10) turi realias ir skirtingas savąsias reikšmes, o matrica J turi didžiausią savąją reikšmę
Ptah = maks. Pg > 0,
Wmax = maks. Ui< 0;
Umax + Ptah<
Iš šios teoremos ir lygybės (3.10) išplaukia, kad vienaskaitos taškams, kurių Qx(x) = 0 ir (arba) X, = 0 ir tkj ^ 1 visiems k,j, netenkinamos pakankamos teoremos sąlygos.
3.2. DSEO su dauginamuoju srautu Apsvarstykite (1.6) lygtį. pateikiant juos tokia forma:
X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;
yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;
(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts
Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.
sistemos. Turėsiu:
(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).
Šioje išraiškoje diag C] yra įstrižainė matrica su teigiamais elementais a1,..., an, Vr, Zx – lygybėmis (3.4)-(3.7) apibrėžtomis matricomis.
Pavaizduokime matricą A formoje
(3.14) A = diag + P (x),
(3,15) P (x) = -2xWYz (z) Zx (x).
Žymime: maxi ai = nmax ir wmax yra didžiausia matricos P(x) savoji reikšmė (3.15). Tada 3.1 teorema galioja ir DSEO (1.6). (3.12).
4. DSEO stabilumas "didelė"
Pereikime prie DESO lygčių (1.4), kuriose vektorinės funkcijos q(x) komponentų reikšmės priklauso aibei Q (1.3). Nagrinėjamoje sistemoje yra vienaskaitos taškas Z, kuris atitinka vektorius z(x) = z ^ z- > 0 ir
y(x) = y(z) = y > y- > 0.
Įveskime nuokrypių £, C, П vektorius nuo vienaskaitos taško: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.
ŽEZHERUNAS A.A., POKROVSKY A.V. – 2009 m
Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą
Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.
Paskelbta http://www.allbest.ru/
Pratimas
valdyti automatinį nyquist dažnį
Išanalizuoti automatinio valdymo sistemos dinamines savybes, nurodytas 1 pav. pateiktoje blokinėje schemoje, įskaitant šiuos etapus:
Tyrimo metodų parinkimas ir pagrindimas, automatinio valdymo sistemų matematinio modelio konstravimas;
Skaičiavimo dalis, įskaitant automatinio valdymo sistemų matematinį modeliavimą kompiuteryje;
Valdymo objekto ir automatinio valdymo sistemos matematinio modelio stabilumo analizė;
Valdymo objekto ir automatinio valdymo sistemos matematinio modelio stabilumo tyrimas.
Tiriamos ACS blokinė schema, kur valdymo objekto (OU), pavaros (AM), jutiklio (D) ir koregavimo įtaiso (CU) perdavimo funkcijos
Koeficientų K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 ir T4 reikšmės pateiktos 1 lentelėje.
Galimybė atlikti kursinį darbą
|
Galimybės |
|||||||
Įvadas
Automatikos projektavimas yra viena sudėtingiausių ir svarbiausių inžinerijos sričių, todėl automatikos pagrindų išmanymas, įvairių technologinių procesų automatizavimo lygio, naudojamų automatizavimo įrankių ir projektavimo pagrindų išmanymas yra būtinos sąlygos sėkmingas inžinierių ir technologų darbas. Normalus bet kurio technologinio proceso veikimas pasižymi tam tikromis parametrų reikšmėmis, o ekonomiškas ir saugus įrangos veikimas užtikrinamas išlaikant eksploatacinius parametrus reikiamose ribose. Norint normaliai eksploatuoti įrangą, taip pat įgyvendinti reikiamą technologinį procesą bet kuriuose šiluminiuose įrenginiuose, projektuojant būtina įtraukti automatizavimo priemones. Šiuo metu automatinės valdymo sistemos vis plačiau naudojamos visuose šalies ūkio sektoriuose, taip pat ir žemės ūkyje. Tai nenuostabu, nes technologinių procesų automatizavimui būdingas dalinis arba visiškas žmogaus operatoriaus pakeitimas specialiomis techninėmis stebėjimo ir valdymo priemonėmis. Technologinių procesų mechanizavimas, elektrifikavimas ir automatizavimas užtikrina sunkaus ir nekvalifikuoto fizinio darbo dalies žemės ūkyje sumažėjimą, o tai lemia jo produktyvumo didėjimą.
Taigi, technologinių procesų automatizavimo poreikis yra akivaizdus ir reikia išmokti skaičiuoti automatinio valdymo sistemų (ACS) parametrus, kad vėliau būtų galima pritaikyti jų žinias praktikoje.
Kursinis darbas apima tam tikros automatinio valdymo sistemos struktūrinės schemos dinaminių savybių analizę su valdymo objektų matematinių modelių sudarymu ir analize.
1 . ACS stabilumo analizė naudojant Nyquist kriterijų
Norint įvertinti automatinės valdymo sistemos stabilumą, nereikia nustatyti tikslių jos būdingos lygties šaknų verčių. Todėl pilnas sistemos charakteristikų lygties sprendimas yra aiškiai nereikalingas ir galime apsiriboti vieno ar kito netiesioginio stabilumo kriterijaus panaudojimu. Visų pirma, nesunku parodyti, kad sistemos stabilumui būtina (bet neužtenka), kad visi jos charakteristikų lygties koeficientai turėtų tą patį ženklą arba pakanka, kad visų charakteristikų lygties šaknų tikrosios dalys yra neigiami. Jei visų charakteristikų lygties šaknų tikrosios dalys nėra neigiamos, tada norint nustatyti šios AKS stabilumą, reikia tirti pagal kitus kriterijus, nes jei perdavimo funkcija pagal aukščiau pateiktą kriterijų priklauso nestabiliam blokui, kuriame vardiklis turi šaknis su teigiama realiąja dalimi, tada Jei tenkinamos tam tikros sąlygos, uždara sistema gali būti stabili ir šiuo atveju.
Patogiausias daugelio procesų valdymo sistemų stabilumui tirti yra Nyquist stabilumo kriterijus, kuris formuojamas taip.
Sistema, kuri yra stabili atviroje būsenoje, išliks stabili net ir uždarius neigiamą grįžtamąjį ryšį, jei CFC hodografas atviroje būsenoje W(jш) neuždengia taško su koordinatėmis (-1; j0) kompleksinėje plokštumoje .
Aukščiau pateiktoje Nyquist kriterijaus formuluotėje laikoma, kad CFC hodografas W(jш) „neuždengia“ taško (-1; j0), jei bendras vektoriaus sukimosi kampas, nubrėžtas nuo nurodyto taško iki hodografo. W(jш) lygus nuliui, kai dažnis pasikeičia iš у=0 į sh > ?.
Jei tam tikru dažniu W(jш) dažninio atsako hodografas, vadinamas kritiniu dažniu schk, eina per tašką (-1; j0), tai pereinamasis procesas uždaroje sistemoje vaizduoja neslopintus virpesius su dažniu schk, t.y. Sistema atsiduria ties stabilumo riba, išreikšta taip:
Čia W(p) yra atvirojo ciklo automatinio valdymo sistemos perdavimo funkcija. Tarkime, kad atvirojo ciklo sistema yra stabili. Tada uždaro ciklo automatinio valdymo sistemos stabilumui užtikrinti būtina ir pakanka, kad atviros grandinės sistemos amplitudinės fazės charakteristikos W(jw) hodografas (ši charakteristika gaunama iš W(p), pakeičiant p=jw) neuždengia taško koordinatėmis (-1, j0). Dažnis, kuriuo |W(jw)| = 1, vadinamas ribiniu dažniu (w cf).
Norint įvertinti, kiek sistema yra toli nuo stabilumo ribos, įvedama stabilumo ribos sąvoka. Stabilumo riba amplitudėje (modulis) rodo, kiek kartų reikia keisti AFC hodografo spindulio vektoriaus ilgį, kad sistema būtų priartinta prie stabilumo ribos nekeičiant fazės poslinkio. Visiškai stabilioms sistemoms stabilumo marža modulo DK apskaičiuojama pagal formulę:
kur dažnis w 0 nustatomas iš santykio arg W(jw 0) = - 180 0.
Amplitudės DK stabilumo riba taip pat apskaičiuojama pagal formulę:
DK = 1 - K 180;
kur K 180 yra perdavimo koeficiento vertė, kai fazės poslinkis yra -180°.
Savo ruožtu fazės stabilumo riba rodo, kiek reikia padidinti absoliučią AFC argumento reikšmę, kad sistema būtų pasiekta stabilumo ribos nekeičiant modulio vertės.
Fazės stabilumo riba Dj apskaičiuojama pagal formulę:
Dj = 180° - j K = 1 ;
čia j K=1 – fazės poslinkio vertė, kai perdavimo koeficientas K = 1;
Reikšmė Dj = 180 0 + arg W (j; w av) nustato fazės stabilumo ribą. Iš Nyquist kriterijaus išplaukia, kad ACS, kuris yra stabilus atviroje būsenoje, bus stabilus uždaroje būsenoje, jei fazės poslinkis ribiniame dažnyje nepasieks -180°. Šios sąlygos įvykdymą galima patikrinti sukonstruojant atvirojo ciklo automatinio valdymo sistemos logaritmines dažnines charakteristikas.
2. ACS stabilumo tyrimas naudojant Nyquist kriterijų
Stabilumo tyrimas pagal Nyquist kriterijų, analizuojant AFC su atvira ACS. Norėdami tai padaryti, sulaužome sistemą, kaip parodyta tiriamos ACS blokinėje diagramoje:
Tiriamo savaeigio pistoleto blokinė schema
Žemiau pateikiamos valdymo objekto (OU), pavaros (AM), jutiklio (D) ir koregavimo įrenginio (CU) perdavimo funkcijos:
Priskyrimo koeficientų vertės yra šios:
K1 = 1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.
Apskaičiuokime perdavimo funkciją, kai sistema nutrūks:
W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);
W(p) = H H H
Pakeitę pateiktus koeficientus į funkciją, gauname:
Analizuodami šią funkciją matematinio modeliavimo programoje („MATLAV“), gauname atvirojo ciklo ACS amplitudės-fazės-dažnio atsako (APFC) hodografą kompleksinėje plokštumoje, parodytą paveikslėlyje.
Atviros kilpos automatinio valdymo sistemos fazinio dažnio atsako hodografas sudėtingoje plokštumoje.
Savaeigių pabūklų stabilumo tyrimas remiantis AFFC
Skaičiuojame perdavimo koeficientą fazės poslinkiui -180°, K 180 = 0,0395.
Amplitudės DK stabilumo riba pagal formulę:
DK = 1 - K 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; kur K 180 = 0,0395.
Nustatykime fazės ribą Dj:
Fazių stabilumo riba Dj nustatoma pagal formulę: Dj = 180° - j K=1 ; čia j K=1 yra fazės poslinkio reikšmė esant perdavimo koeficientui K = 1. Bet kadangi j K=1 mūsų atveju nepastebėta (amplitudė visada mažesnė už vienetą), tai tiriama sistema yra stabili ties bet kokia fazės poslinkio reikšmė (ACS yra stabilus visame dažnių diapazone).
Savaeigių pabūklų stabilumo tyrimas naudojant logaritmines charakteristikas
Atviros kilpos automatinio valdymo sistemos logaritminė amplitudės-dažnio atsakas
Atviros kilpos automatinio valdymo sistemos logaritminė fazinio dažnio charakteristika
Naudodami matematinio modeliavimo programą („MATLAB“) gauname tiriamų AKS logaritmines charakteristikas, kurios pateiktos 4 paveiksle (logaritminė amplitudės-dažnio charakteristika) ir 5 paveiksle (logaritminė fazinė-dažnė charakteristika), kur;
L(w) = 20lg|W (j; w) |).
Logaritminis ACS stabilumo kriterijus yra Nyquist kriterijaus išraiška logaritmine forma.
Norėdami rasti fazės poslinkio reikšmę 180° (5 pav.), nubrėžkite horizontalią liniją iki sankirtos su LFCH, nuo šio susikirtimo taško nubrėžkite vertikalią liniją iki sankirtos su LFCH (4 pav.). Gauname perdavimo koeficiento vertę fazės poslinkiui 180°:
20lgК 180° = - 28,05862;
šiuo atveju K 180 ° = 0,0395 (DK" = 28,05862).
Amplitudės stabilumo riba randama pratęsiant vertikalią liniją iki reikšmės 20lgК 180° = 0.
Norėdami rasti fazės stabilumo ribą, horizontali linija pervedama išilgai linijos 20lgК 180 ° = 0 iki sankirtos su LFC, o vertikali linija - nuo šio taško iki sankirtos su LFC. Šiuo atveju skirtumas tarp rastos fazės poslinkio vertės ir fazės poslinkio, lygaus 180°, bus fazės stabilumo riba.
Dj = 180° - j K;
Dj = 180° – 0 = 180°.
čia: j K - rasta fazės poslinkio reikšmė;
Kadangi tiriamo savaeigio pistoleto LFCH yra žemiau linijos 20logK 180° = 0, todėl savaeigis pistoletas turės fazės stabilumo ribą bet kuriai fazės poslinkio vertei nuo nulio iki 180°.
Išvada: išanalizavus LFC ir LFFC, darytina išvada, kad tiriamas ACS yra stabilus visame dažnių diapazone.
Išvada
Šiame kursiniame darbe buvo susintetinta ir ištirta instrumentų sekimo sistema naudojant šiuolaikinius valdymo teorijos metodus ir priemones. Šiame skaičiavimo ir grafiniame darbe radome uždaro ciklo automatinio valdymo sistemos perdavimo funkciją, naudojant pateiktą struktūrinę schemą ir žinomas dinaminių nuorodų perdavimo funkcijų išraiškas.
Bibliografija
1. I.F. Borodinas, Yu.A. Sudnikas. Technologinių procesų automatizavimas. Vadovėlis universitetams. Maskva. „Smaigalys“, 2004 m.
2. V.S. Gutnikovas. Matavimo prietaisuose integruota elektronika. "Energoatomizdat". Leningrado skyrius, 1988 m.
3. N.N. Ivaščenka. Automatinis reguliavimas. Sistemų teorija ir elementai. Maskva. „Mechanikos inžinerija“, 1978 m.
Paskelbta Allbest.ru
...Panašūs dokumentai
Automatinio valdymo sistemos grandžių perdavimo funkcijų ir pereinamųjų charakteristikų nustatymas. Amplitudinių fazių charakteristikų konstravimas. Sistemos stabilumo įvertinimas. Korekcinio prietaiso pasirinkimas. Reglamento kokybės rodikliai.
kursinis darbas, pridėtas 2016-02-21
Variklio greičio reguliavimo sistemos su korekcijos grandine ir be jos tyrimas. Sistemos stabilumo vertinimas pagal Hurwitz, Michailov ir Nyquist kriterijus. Logaritminių amplitudės-dažnių ir fazių-dažnių charakteristikų konstravimas.
kursinis darbas, pridėtas 2015-03-22
Automatinio valdymo sistemos elektrinio pagrindinio matematinio modelio, pataisyto korekciniais prietaisais, schemos sukūrimas. Pradinės sistemos stabilumo įvertinimas Routh-Hurwitz metodu. Norimo dažnio atsako sintezė.
kursinis darbas, pridėtas 2013-03-24
Valdymo objekto (katilo būgno) charakteristikos, automatinio valdymo sistemos konstrukcija ir veikimas, jos funkcinė schema. Sistemos stabilumo analizė naudojant Hurwitz ir Nyquist kriterijus. Valdymo kokybės vertinimas pagal pereinamojo laikotarpio funkcijas.
kursinis darbas, pridėtas 2010-09-13
Kryžminio tiekimo automatinės valdymo sistemos paskirtis šlifuojant įleidžiamuoju būdu. Funkcinės diagramos sudarymas. Keitiklio, elektros variklio, pavarų dėžės perdavimo funkcijų skaičiavimas. Stabilumo nustatymas pagal Nyquist kriterijų.
kursinis darbas, pridėtas 2014-12-08
Sistemos stabilumo nustatymo metodika naudojant algebrinius (Rouse ir Hurwitz kriterijai) ir dažnio stabilumo kriterijus (Michailovo ir Nyquist kriterijai), įvertinant jų rezultatų tikslumą. Uždarosios sistemos perdavimo funkcijos sudarymo ypatybės.
laboratorinis darbas, pridėtas 2010-12-15
Elementariosios grandinės konstravimas ir automatinio valdymo sistemos veikimo principo tyrimas, jo reikšmė įgyvendinant AIDS sistemos reguliavimo metodą. Pagrindiniai sistemos elementai ir jų ryšys. Grandinės stabilumo ir jos optimalių dažnių analizė.
testas, pridėtas 2009-12-09
Atvirojo ciklo sistemos perdavimo funkcijos, standartinės jos įrašymo formos ir astatizmo laipsnio nustatymas. Amplitudinės fazės, tikrojo ir įsivaizduojamo dažnio charakteristikų tyrimas. AFFC hodografo konstrukcija. Routho ir Hurwitzo algebriniai kriterijai.
kursinis darbas, pridėtas 2011-05-09
Naujų funkcijų, turinčių įtakos siurblinės cirkuliacinės stoties darbui plieno gamybos įmonėje, įdiegimas. Valdymo ir matavimo įrangos montavimas. Michailovo stabilumo kriterijai ir amplitudinės fazės Nyquist kriterijai. Sistemos modernizavimas.
baigiamasis darbas, pridėtas 2017-01-19
Tiekiamo oro temperatūros automatinio valdymo sistemos funkcinė schema bulvių saugykloje. Sistemos reguliavimo įstatymo apibrėžimas. Stabilumo analizė naudojant Hurwitz ir Nyquist kriterijus. Pereinamųjų funkcijų valdymo kokybė.
BIOLOGINIŲ PROCESŲ KINETIKA
Kaip galime apibūdinti biologinių sistemų dinamiką? Kiekvienu laiko momentu biologinė sistema turi tam tikrų savybių rinkinį. Pavyzdžiui, stebėdami rūšies populiaciją, galite fiksuoti jos dydį, teritorijos užimamą plotą, turimo maisto kiekį, aplinkos temperatūrą ir kt. Cheminės reakcijos eigą galima apibūdinti pagal koncentraciją. dalyvaujančių medžiagų, slėgio, temperatūros ir aplinkos rūgštingumo lygio. Visų charakteristikų verčių rinkinys, kurį tyrėjas pasirinko sistemai apibūdinti, yra sistemos būsena kiekvienu laiko momentu. Kuriant modelį iš nurodytos populiacijos parenkami kintamieji ir parametrai. Kintamieji – tai tie dydžiai, kurių pokyčiai pirmiausia domina tyrėją, parametrai – „išorinės aplinkos“ sąlygos. Pasirinktiems kintamiesiems sudaromos lygtys, atspindinčios sistemos pokyčių modelius laikui bėgant. Pavyzdžiui, kuriant mikrobų kultūros augimo modelį, kaip kintamasis dažniausiai naudojamas jos skaičius, o kaip parametras – reprodukcijos greitis. Galbūt temperatūra, kurioje vyksta augimas, yra reikšminga, tada šis rodiklis taip pat įtraukiamas į modelį kaip parametras. O jeigu, pavyzdžiui, aeracijos lygis visada yra pakankamas ir neturi jokios įtakos augimo procesams, tai į modelį jis visai neįtrauktas. Paprastai eksperimento metu parametrai išlieka nepakitę, tačiau verta paminėti, kad tai ne visada.
Biologinės sistemos dinamiką (ty jos būsenos pokyčius laikui bėgant) galima apibūdinti naudojant tiek diskrečius, tiek tęstinius modelius. Diskretieji modeliai daro prielaidą, kad laikas yra diskretus dydis. Tai atitinka kintamųjų verčių įrašymą tam tikrais fiksuotais intervalais (pavyzdžiui, kartą per valandą arba kartą per metus). Nepertraukiamuose modeliuose biologinis kintamasis yra nuolatinė laiko funkcija, žymima pvz. x(t).
Dažnai labai svarbu pradines sąlygas modelis – tiriamos charakteristikos būsena pradiniu laiko momentu, t.y. adresu t = 0.
Tiriant nuolatinį kokios nors charakteristikos kitimą x(t) galime žinoti informacijos apie jo kitimo greitį. Šią informaciją paprastai galima parašyti diferencialinės lygties forma:
Šis formalus žymėjimas reiškia, kad kai kurios tiriamos charakteristikos kitimo greitis priklauso nuo laiko ir šios charakteristikos dydžio.
Jeigu formos diferencialinės lygties dešinioji pusė aiškiai nepriklauso nuo laiko, t.y. šviesus:
tada ši lygtis vadinama autonominis(sistema, aprašyta tokia lygtimi, vadinama autonominis). Autonominių sistemų būsena kiekvienu laiko momentu apibūdinama vienu vieninteliu dydžiu – kintamojo reikšme xšiuo laiko momentu t.
Užduokite sau klausimą: tebūnie pateikta diferencialinė lygtis x(t), ar galima rasti visas funkcijas x(t) atitinka šią lygtį? Arba: jei žinoma pradinė tam tikro kintamojo reikšmė (pavyzdžiui, pradinis populiacijos dydis, medžiagos koncentracija, aplinkos elektrinis laidumas ir kt.) ir yra informacijos apie šio kintamojo pokyčio pobūdį. , ar galima numatyti, kokia bus jo vertė visais vėlesniais laiko momentais? Atsakymas į pateiktą klausimą yra toks: jei pateiktos pradinės sąlygos ir tenkinamos lygties Koši teoremos sąlygos (tam tikroje srityje apibrėžta funkcija ir jos dalinė išvestinė yra tolydžios šioje srityje), tai yra Unikalus lygties sprendimas, tenkinantis nurodytas pradines sąlygas. (Prisiminkite, kad bet kuri nepertraukiama funkcija, tenkinanti diferencialinę lygtį, vadinama tos lygties sprendimu.) Tai reiškia, kad galime vienareikšmiškai numatyti biologinės sistemos elgseną, jei žinomos jos pradinės būsenos charakteristikos ir modelio lygtis atitinka sistemos sąlygas. Koši teorema.
Stacionari būklė. Tvarumas
Mes apsvarstysime autonominę diferencialinę lygtį
Stacionarioje būsenoje sistemos kintamųjų reikšmės laikui bėgant nesikeičia, tai yra, kintamųjų verčių kitimo greitis yra 0: . Jei (1.2) lygties kairioji pusė lygi nuliui, tai dešinioji taip pat lygi nuliui: . Šios algebrinės lygties šaknys yra stacionarios būsenos diferencialinė lygtis (1.2).
1.1 pavyzdys: Raskite lygties stacionarias būsenas.
Sprendimas: Terminą, kuriame nėra išvestinės, perkelkime į dešinę lygybės pusę: . Pagal apibrėžimą stacionarioje būsenoje galioja ši lygybė: . Tai reiškia, kad lygybė turi būti patenkinta 
. Išsprendžiame lygtį:
,
Taigi, lygtis turi 3 stacionarias būsenas: , .
Biologinės sistemos nuolat patiria įvairių išorinių poveikių ir daugybę svyravimų. Be to, jie (biologinės sistemos) turi homeostazę, t.y. stabilus. Matematine kalba tai reiškia, kad kintamieji grįžta į stacionarias vertes su nedideliais nuokrypiais. Ar jo matematinis modelis atspindės tokį biologinės sistemos elgesį? Ar modelio stacionarios būsenos yra stabilios?
Pastovi būsena yra tvarus, jei, esant pakankamai mažam nuokrypiui nuo pusiausvyros padėties, sistema niekada nenutolsta nuo vienaskaitos taško. Pastovi būsena atitinka stabilų sistemos veikimo režimą.
Lygties pusiausvyros būsena yra Lyapunov stabili, jei bet kuriai visada galima rasti tokį, kad jei , tada visiems .
Yra analitinis stacionarios būsenos stabilumo tyrimo metodas - Lyapunov metodas. Norėdami tai pateisinti, prisiminkime Taylor formulė.
Laisvai kalbant, Taylor formulė parodo funkcijos elgesį tam tikro taško kaimynystėje. Tegul funkcija turi visų eilių išvestines iki n- imtinai. Tada galioja Taylor formulė:
Atmetus likutį , kuris reiškia save kaip aukštesnės eilės begalinį mažumą nei , gauname apytikslę Teiloro formulę:
Dešinioji apytikslės formulės pusė vadinama Taylor daugianario funkcijas, jis žymimas kaip .
1.2 pavyzdys: Išplėskite funkciją į Taylor seriją taško kaimynystėje iki 4 eilės.
Sprendimas: Parašykime Taylor seriją iki 4 eilės bendra forma:
Raskime duotosios funkcijos išvestines taške:
,
Pakeiskime gautas reikšmes į pradinę formulę:
Analitinis stacionarios būsenos stabilumo tyrimo metodas ( Lyapunov metodas) yra taip. Leisti būti stacionarioji lygties būsena. Nustatykime nedidelį kintamojo nuokrypį x nuo jo stacionarios vertės: , kur . Tašką pakeiskime išraiška xį pradinę lygtį: 
. Kairioji lygties pusė bus tokia: 
, kadangi stacionarioje būsenoje kintamojo reikšmės kitimo greitis lygus nuliui: . Dešiniąją pusę išplėskime į Teiloro eilutę šalia stacionarios būsenos, atsižvelgdami į tai, kad dešinėje lygties pusėje paliksime tik tiesinį terminą:
Gavau tiesinė lygtis arba pirmoji aproksimacijos lygtis. Kiekis yra tam tikra pastovi reikšmė, pažymėkime ją a: . Bendrasis tiesinės lygties sprendinys turi tokią formą: . Ši išraiška apibūdina dėsnį, pagal kurį mūsų nurodytas nuokrypis nuo stacionarios būsenos laikui bėgant keisis. Laikui bėgant nuokrypis išnyks, t.y. ties , jei rodiklis rodiklyje yra neigiamas, t.y. . Pagal apibrėžimą pastovi būsena bus tvarus. Jei , tai laikui bėgant nuokrypis tik didės, stacionari būsena yra nestabilus. Tuo atveju, kai pirmojo aproksimavimo lygtis negali atsakyti į klausimą apie stacionarios būsenos stabilumą. Būtina atsižvelgti į aukštesnius užsakymo terminus Taylor serijos plėtrai.
Be analitinio stacionarios būsenos stabilumo tyrimo metodo, yra ir grafinis.
1.3 pavyzdys. Leisti . Raskite lygties stacionarias būsenas ir nustatykite jų stabilumo tipą, naudodami funkcijos grafiką 
.
Sprendimas: Raskime specialius taškus:
,
,
Sudarome funkcijos grafiką (1.1 pav.).
Ryžiai. 1.1. Funkcijos grafikas (1.3 pavyzdys).
Iš grafiko nustatykime, ar kiekviena iš rastų stacionariųjų būsenų yra stabili. Nustatykime nedidelį reprezentacinio taško nuokrypį nuo vienaskaitos taško į kairę: . Taške su koordinate funkcija įgyja teigiamą reikšmę: arba . Paskutinė nelygybė reiškia, kad laikui bėgant koordinatė turėtų didėti, tai yra, reprezentuojantis taškas turėtų grįžti į tašką. Dabar nustatykime nedidelį reprezentacinio taško nuokrypį nuo vienaskaitos taško į dešinę: . Šioje srityje funkcija išlaiko teigiamą reikšmę, todėl laikui bėgant koordinatė x taip pat didėja, tai yra, reprezentuojantis taškas nutols nuo taško. Taigi mažas nuokrypis išveda sistemą iš stacionarios būsenos, todėl pagal apibrėžimą vienaskaitos taškas yra nestabilus. Panašūs samprotavimai veda prie to, kad bet koks nukrypimas nuo vienaskaitos taško laikui bėgant išnyksta, o stacionari būsena yra stabili. Atstovaujančio taško nukrypimas bet kuria kryptimi nuo stacionarios būsenos lemia jo pašalinimą iš taško; tai yra nestabili stacionari būsena.
Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendimas
Pereikime prie lygčių sistemų, pirmiausia tiesinių, tyrimo. Apskritai tiesinių diferencialinių lygčių sistema gali būti pavaizduota taip:
Lygčių sistemos analizė prasideda stacionarių būsenų suradimu. (1.3) tipo sistemos turi unikalų vienaskaitos tašką, jo koordinatės yra (0,0). Išimtis yra išsigimęs atvejis, kai lygtis gali būti pavaizduota taip:
(1.3*)
Šiuo atveju visos poros, tenkinančios ryšį, yra stacionarūs sistemos (1.3*) taškai. Visų pirma, taškas (0,0) taip pat yra nejudantis sistemai (1.3*). Fazinėje plokštumoje šiuo atveju turime tiesę su nuolydžio koeficientu, einančią per koordinačių pradžią, kurios kiekvienas taškas yra sistemos vienaskaita (1.3*) (žr. 1.1 lentelę, 6 pastraipą).
Pagrindinis klausimas, į kurį turėtų atsakyti lygčių sistemos tyrimo rezultatas, yra: ar stacionari sistemos būsena yra stabili ir koks šio sprendimo pobūdis (monotoninis ar nemonotoniškas).
Bendras sprendimas dviejų tiesinių lygčių sistema yra tokia:
Būdingi skaičiai gali būti išreikštas tiesinių lygčių koeficientais taip:
Būdingi skaičiai gali būti 1) skirtingų ženklų realieji, 2) realieji to paties ženklo, 3) kompleksiniai konjugatai, o taip pat, išsigimusių atvejų, 4) grynai įsivaizduojami, 5) realūs sutapę, 6) realūs, iš kurių vienas (arba abu) yra lygūs nuliui. Šie atvejai nustato įprastų diferencialinių lygčių sistemos sprendinio elgsenos tipą. Atitinkami fazių portretai pateikti 1.1 lentelėje.
1.1 lentelė. Dviejų tiesinių diferencialinių lygčių sistemos stacionarių būsenų tipai ir atitinkami fazių portretai. Rodyklės rodo reprezentuojančio taško judėjimo kryptį
Dviejų tiesinių diferencialinių lygčių sistemos fazinių ir kinetinių portretų konstravimas
Fazinė plokštuma vadinama plokštuma su koordinačių ašimis, ant kurių brėžiamos kintamųjų reikšmės x Ir y, kiekvienas plokštumos taškas atitinka tam tikrą sistemos būseną. Fazinės plokštumos taškų aibė, kurios padėtis atitinka sistemos būsenas kintamųjų kaitos procese laikui bėgant, pagal pateiktas tiriamos sistemos lygtis, vadinama. fazės trajektorija. Fazių trajektorijų rinkinys skirtingoms pradinėms kintamųjų reikšmėms suteikia sistemos portretą. Statyba fazinis portretas leidžia daryti išvadas apie kintamųjų pokyčių pobūdį x Ir y nežinant pradinės lygčių sistemos analitinių sprendimų.
Panagrinėkime tiesinių diferencialinių lygčių sistemą:
Fazinio portreto kūrimą pradedame konstruodami pagrindinės izoklinos(izoklinija – tiesė, per visą jos ilgį fazinės kreivės (trajektorijos) nuolydis, nustatytas lygtimi, išlieka pastovus). Dviejų tiesinių diferencialinių lygčių sistemoje tai visada yra tiesės, einančios per koordinačių pradžią. Lygtis horizontaliųjų liestinių izoklinijos: 
. Vertikaliųjų liestinių izoklinijos lygtis: 
. Norint toliau sudaryti fazės portretą, naudinga sudaryti liestinių, einančių kampu, izokliniją. Norint rasti atitinkamą izoklininę lygtį, būtina išspręsti lygtį 
. Taip pat galite rasti kitų kampų liestinių izoklines, naudodami apytiksles kampų liestinių vertes. Statant fazinį portretą, gali padėti ir atsakymas į klausimą, kokiu kampu fazių trajektorijos turėtų kirsti koordinačių ašis. Norėdami tai padaryti, izokline lygtis 
pakeičiame atitinkamas lygybes (susikirtimo kampui nustatyti su OY ašimi) ir (susikirtimo kampui su OX ašimi nustatyti).
1.4 pavyzdys. Nustatykite tiesinių lygčių sistemos vienaskaitos taško tipą:
Sukurkite sistemos fazinį ir kinetinį portretą.
Sprendimas: Vienaskaitos taško koordinatės yra (0,0). Tiesinių lygčių koeficientai yra: , , , . Nustatykime stacionarios būsenos tipą (žr. skyrių apie būdingus skaičius):
Taigi būdingos šaknys yra menamos: todėl nagrinėjamos tiesinės sistemos vienaskaitos taškas yra centro tipo (1.2a pav.).
Horizontaliųjų liestinių izoklinijos lygtis: , vertikaliųjų liestinių izoklinijos lygtis: . 45° kampu sistemos trajektorijos susikerta su tiesia linija 
.
Sukonstravus fazinį portretą būtina nustatyti judėjimo kryptį rastomis trajektorijomis. Tai galima padaryti taip. Paimkime savavališką tašką bet kurioje trajektorijoje. Pavyzdžiui, ant horizontalių liestinių (1,1) izoklinijos. Pakeiskime šio taško koordinates į lygčių sistemą. Gaukime kintamųjų kitimo greičių išraiškas x,yŠiuo atveju:
Gautos reikšmės rodo, kad kintamojo kitimo greitis x– neigiamas, tai yra, jo reikšmė turėtų sumažėti, o kintamasis y nesikeičia. Rodykle pažymime gautą kryptį. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje judėjimas fazinėmis trajektorijomis yra nukreiptas prieš laikrodžio rodyklę. Į sistemą pakeitus skirtingų taškų koordinates, galima gauti greičio krypčių „žemėlapį“, vadinamąjį. vektorinis laukas.
1.2 pav. Fazė (a) ir kinetinė (b) sistemos portretas, 1.4 pavyzdys
Atkreipkite dėmesį, kad horizontalių liestinių izoklinijoje kintamasis y tam tikroje trajektorijoje pasiekia didžiausią arba mažiausią vertę. Priešingai, vertikalių liestinių izoklinijoje kintamasis pasiekia didžiausią absoliučią vertę pasirinktai trajektorijai x.
Sukurti kinetinį sistemos portretą reiškia sudaryti kintamųjų reikšmių priklausomybės grafikus x,y nuo laiko. Naudodami fazinį portretą galite sukurti kinetinį portretą ir atvirkščiai. Viena fazės trajektorija atitinka vieną kinetinių kreivių porą. Parinkime savavališką tašką savavališkoje fazės trajektorijoje fazės portrete. Tai yra pradžios taškas, atitinkantis laiko momentą. Priklausomai nuo judėjimo krypties nagrinėjamoje sistemoje, kintamųjų reikšmės x,y arba mažėti, arba padidinti. Tegul pradinio taško koordinatės yra (1,1). Pagal sukonstruotą fazinį portretą, pradedant nuo šio taško, turime judėti prieš laikrodžio rodyklę, koordinates x Ir y tuo pačiu sumažės. Laikui bėgant koordinatė x eina per 0, reikšmę y tačiau jis išlieka teigiamas. Tolimesnės koordinatės x Ir y toliau mažėti, derinti y eina per 0 (reikšmė x nors ir neigiamai). Didumas x pasiekia minimalią vertikaliųjų liestinių izoklinijos vertę, tada pradeda didėti. Didumas y pasiekia mažiausią reikšmę horizontalių liestinių izoklinijoje (vertė x neigiamas šiuo metu). Be to, dydis x, ir dydis y padidinti, grįžtant prie pradinių verčių (1.2b pav.).
Antros eilės netiesinių sistemų stacionarių būsenų stabilumo tyrimas
Tegul biologinė sistema apibūdinama dviejų autonominių bendros formos antros eilės diferencialinių lygčių sistema:
Stacionarios sistemos kintamųjų reikšmės nustatomos iš algebrinių lygčių:
Kiekvienos stacionarios būsenos kaimynystėje galime svarstyti pirmoji aproksimacinė sistema(tiesinė sistema), kurios tyrimas gali atsakyti į klausimą apie vienaskaitos taško stabilumą ir fazių trajektorijų pobūdį jo mažoje kaimynystėje.
Lauke
Mes turime 
... ypatingas taškas yra grubus. Pirmosios aproksimacijos sistemos charakteringos šaknys lygios , abi yra tikrosios ir neigiamos, todėl nulinio vienaskaitos taško apylinkėse sistemos fazių trajektorijų elgsena atitiks stabilaus mazgo tipą.