Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica
Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica.
Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:
atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose eilučių ir stulpelių skaičius sutampa.
Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema
Tam, kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji nebūtų vienaskaita.
Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs, jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime teigti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.
Atvirkštinės matricos radimo algoritmas
- Įrašykite į lentelę lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu matricą A ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių pusių) priskirkite jai matricą E.
- Naudodami Jordano transformacijas, sumažinkite matricą A į matricą, susidedančią iš vienetinių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
- Jei reikia, pertvarkykite paskutinės lentelės eilutes (lygtis), kad po pradinės lentelės matrica A gautumėte tapatybės matricą E.
- Užrašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.
Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1
Sprendimas: Rašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E. Naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.
Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.
Matricos daugybos rezultate buvo gauta tapatumo matrica. Todėl skaičiavimai buvo atlikti teisingai.
Atsakymas: 
Matricinių lygčių sprendimas
Matricos lygtys gali atrodyti taip:
AX = B, HA = B, AXB = C,
kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica.
Matricinės lygtys sprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.
Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios.
Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.
Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.
Išspręskite lygtį AX = B, jei 
Sprendimas: Kadangi atvirkštinė matrica yra lygi (žr. 1 pavyzdį)
Matricos metodas ekonominėje analizėje
Kartu su kitais jie taip pat naudojami matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matrica algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonominiams reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai naudojami prireikus lyginamąjį vertinimą organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimas.
Matricinės analizės metodų taikymo procese galima išskirti kelis etapus.
Pirmajame etape sistema formuojasi ekonominiai rodikliai ir jos pagrindu sudaroma šaltinio duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o vertikaliuose stulpeliuose – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m).
Antrame etape Kiekviename vertikaliame stulpelyje nurodoma didžiausia iš galimų indikatoriaus verčių, kuri laikoma viena.
Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir sudaroma standartizuotų koeficientų matrica.
Trečiajame etape visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarųjų vertę nustato ekspertų išvada.
Paskutiniame, ketvirtasis etapas rastos įvertinimo reikšmės Rj yra sugrupuoti pagal jų didėjimo ar mažėjimo tvarką.
Apibūdinti matriciniai metodai turėtų būti naudojami, pavyzdžiui, kai lyginamoji analizėįvairius investicinius projektus, taip pat vertinant kitus organizacijų ekonominius rodiklius.
Šiame straipsnyje kalbėsime apie tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo matricinį metodą, suraskime jo apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.
1 apibrėžimas
Atvirkštinės matricos metodas yra metodas, naudojamas SLAE išspręsti, jei nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui.
1 pavyzdys
Raskite sistemos n sprendimą tiesines lygtis su n nežinomųjų:
11 x 1 + 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Matricos įrašymo tipas : A × X = B
čia A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n yra sistemos matrica.
X = x 1 x 2 ⋮ x n – nežinomųjų stulpelis,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - laisvųjų koeficientų stulpelis.
Iš gautos lygties reikia išreikšti X. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi kairėje esančios matricos lygties puses iš A - 1:
A – 1 × A × X = A – 1 × B.
Kadangi A - 1 × A = E, tada E × X = A - 1 × B arba X = A - 1 × B.
komentuoti
Atvirkštinė matrica į matricą A turi teisę egzistuoti tik tada, kai tenkinama sąlyga d e t A nelygi nuliui. Todėl sprendžiant SLAE atvirkštinės matricos metodu, visų pirma randama d e t A.
Tuo atveju, jei d e t A nėra lygus nuliui, sistema turi tik vieną sprendimo variantą: naudojant atvirkštinės matricos metodą. Jei d e t A = 0, tai sistema negali būti išspręsta šiuo metodu.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimo atvirkštinės matricos metodu pavyzdys
2 pavyzdysSLAE sprendžiame atvirkštinės matricos metodu:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Kaip išspręsti?
- Sistemą užrašome matricos lygties forma A X = B, kur
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- X išreiškiame iš šios lygties:
- Raskite matricos A determinantą:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A nelygu 0, todėl šiai sistemai tinka atvirkštinio matricinio sprendimo metodas.
- Atvirkštinę matricą A - 1 randame naudodami sąjunginę matricą. Apskaičiuojame atitinkamų matricos A elementų algebrinius papildymus A i j:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Užrašome sąjunginę matricą A *, kurią sudaro matricos A algebriniai papildiniai:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Atvirkštinę matricą rašome pagal formulę:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Atvirkštinę matricą A - 1 padauginame iš laisvųjų terminų stulpelio B ir gauname sistemos sprendimą:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Atsakymas : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Ši tema yra viena nekenčiamiausių tarp studentų. Blogiau, ko gero, yra kvalifikacijos.
Apgaulė ta, kad pati atvirkštinio elemento sąvoka (kalbu ne tik apie matricas) nurodo daugybos operaciją. Netgi mokyklinėje programoje daugyba laikoma sudėtinga operacija, o matricų daugyba paprastai yra atskira tema, kuriai skiriu visą pastraipą ir video pamoką.
Šiandien nesigilinsime į matricos skaičiavimo detales. Tiesiog prisiminkime: kaip žymimos matricos, kaip jos dauginamos ir kas iš to išplaukia.
Apžvalga: Matricos daugyba
Pirmiausia susitarkime dėl žymėjimo. $A$ dydžio matrica $\left[ m\times n \right]$ yra tiesiog skaičių lentelė su tiksliai $m$ eilučių ir $n$ stulpelių:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\pabaiga (matrica) \right])_(n)\]
Kad netyčia nesupainiotumėte eilučių ir stulpelių (patikėkite, egzamine galite supainioti vieną su dviem, jau nekalbant apie kai kurias eilutes), tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:
Matricinių ląstelių indeksų nustatymas Kas vyksta? Jei kairėje įdėsite standartinę koordinačių sistemą $OXY$ viršutinis kampas ir nukreipti ašis taip, kad jos apimtų visą matricą, tada kiekvienas šios matricos langelis gali būti unikaliai susietas su koordinatėmis $\left(x;y\right)$ – tai bus eilutės ir stulpelio numeris.
Kodėl koordinačių sistema yra viršutiniame kairiajame kampe? Taip, nes nuo ten mes pradedame skaityti bet kokius tekstus. Tai labai lengva prisiminti.
Kodėl $x$ ašis nukreipta žemyn, o ne į dešinę? Vėlgi, viskas paprasta: paimkite standartinę koordinačių sistemą ($x$ ašis eina į dešinę, $y$ – aukštyn) ir pasukite ją taip, kad ji apimtų matricą. Tai sukimasis 90 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę – rezultatą matome paveikslėlyje.
Apskritai, mes supratome, kaip nustatyti matricos elementų indeksus. Dabar pažiūrėkime į dauginimą.
Apibrėžimas. Matricos $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$, kai pirmojo stulpelių skaičius sutampa su antrosios eilučių skaičiumi vadinamas nuosekliu.
Būtent tokia tvarka. Galima susipainioti ir pasakyti, kad matricos $A$ ir $B$ sudaro tvarkingą porą $\left(A;B \right)$: jei jos yra nuoseklios šia tvarka, tai visai nebūtina, kad $B $ ir $ A$ tuos. pora $\left(B;A \right)$ taip pat yra nuosekli.
Galima padauginti tik suderintas matricas.
Apibrėžimas. Atitiktų matricų $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ sandauga yra nauja matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , kurių $((c)_(ij))$ elementai apskaičiuojami pagal formulę:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Kitaip tariant: norint gauti matricos $C=A\cdot B$ elementą $((c)_(ij))$, reikia paimti pirmosios matricos $i$ eilutę, $j$ - antrosios matricos stulpelį, tada padauginkite poromis elementus iš šios eilutės ir stulpelio. Sudėkite rezultatus.
Taip, tai toks griežtas apibrėžimas. Iš karto išplaukia keli faktai:
- Matricos daugyba, paprastai kalbant, yra nekomutacinė: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Tačiau daugyba yra asociatyvi: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- Ir netgi pagal paskirstymą: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- Ir dar kartą pagal paskirstymą: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Daugybos pasiskirstymas turėjo būti aprašytas atskirai kairiajam ir dešiniajam sumos koeficientui būtent dėl daugybos operacijos nekomutaciškumo.
Jei paaiškėja, kad $A\cdot B=B\cdot A$, tokios matricos vadinamos komutacinėmis.
Tarp visų matricų, kurios yra padaugintos iš kažko, yra specialių - tų, kurias padauginus iš bet kurios matricos $A$, vėl gaunama $A$:
Apibrėžimas. Matrica $E$ vadinama tapatybe, jei $A\cdot E=A$ arba $E\cdot A=A$. Kvadratinės matricos $A$ atveju galime parašyti:
Tapatybės matrica yra dažnas svečias sprendžiant matricos lygtis. Ir apskritai dažnas svečias matricų pasaulyje. :)
Ir dėl šito $E$ kažkas sugalvojo visas nesąmones, kurios bus parašytos toliau.
Kas yra atvirkštinė matrica
Kadangi matricos dauginimas yra labai daug darbo reikalaujanti operacija (tenka padauginti krūvą eilučių ir stulpelių), atvirkštinės matricos sąvoka taip pat pasirodo ne pati trivialiausia. Ir reikalauja tam tikro paaiškinimo.
Rakto apibrėžimas
Na, laikas sužinoti tiesą.
Apibrėžimas. Matrica $B$ vadinama atvirkštine matricos $A$, jei
Atvirkštinė matrica žymima $((A)^(-1))$ (nepainioti su laipsniu!), todėl apibrėžimą galima perrašyti taip:
Atrodytų, viskas labai paprasta ir aišku. Tačiau analizuojant šį apibrėžimą iškart kyla keletas klausimų:
- Ar atvirkštinė matrica visada egzistuoja? Ir jei ne visada, tai kaip nustatyti: kada ji egzistuoja, o kada ne?
- O kas sakė, kad tokia matrica yra būtent viena? O jei kokiai nors pradinei matricai $A$ yra visa minia atvirkštinių?
- Kaip atrodo visi šie „atvirkščiai“? Ir kaip tiksliai turėtume juos suskaičiuoti?
Kalbant apie skaičiavimo algoritmus, apie tai kalbėsime šiek tiek vėliau. Tačiau į likusius klausimus atsakysime dabar. Suformuluokime juos atskirų teiginių-lemų pavidalu.
Pagrindinės savybės
Pradėkime nuo to, kaip iš principo turėtų atrodyti matrica $A$, kad jai egzistuotų $((A)^(-1))$. Dabar įsitikinsime, kad abi šios matricos turi būti kvadratinės ir vienodo dydžio: $\left[ n\times n \right]$.
1 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada abi šios matricos yra kvadratinės ir tos pačios eilės $n$.
Įrodymas. Tai paprasta. Tegul matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kadangi produktas $A\cdot ((A)^(-1))=E$ egzistuoja pagal apibrėžimą, matricos $A$ ir $((A)^(-1))$ yra nuoseklios nurodyta tvarka:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( lygiuoti)\]
Tai tiesioginė matricos daugybos algoritmo pasekmė: koeficientai $n$ ir $a$ yra „tranzitiniai“ ir turi būti lygūs.
Tuo pačiu apibrėžiamas ir atvirkštinis daugyba: $((A)^(-1))\cdot A=E$, todėl matricos $((A)^(-1))$ ir $A$ yra taip pat atitinka nurodyta tvarka:
\[\begin (lygiuoti) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( lygiuoti)\]
Taigi, neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tačiau pagal $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ apibrėžimą, todėl matricų dydžiai griežtai sutampa:
\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end (lygiuoti)\]
Taigi paaiškėja, kad visos trys matricos – $A$, $((A)^(-1))$ ir $E$ – yra $\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinės matricos. Lema įrodyta.
Na, tai jau gerai. Matome, kad tik kvadratinės matricos yra apverčiamos. Dabar įsitikinkime, kad atvirkštinė matrica visada yra ta pati.
2 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada ši atvirkštinė matrica yra vienintelė.
Įrodymas. Eikime prie prieštaravimo: tegul matrica $A$ turi bent dvi atvirkštines vertes – $B$ ir $C$. Tada pagal apibrėžimą yra teisingos šios lygybės:
\[\begin(lygiuoti) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(lygiuoti)\]
Iš 1 lemos darome išvadą, kad visos keturios matricos – $A$, $B$, $C$ ir $E$ – yra tos pačios eilės kvadratai: $\left[ n\times n \right]$. Todėl produktas apibrėžiamas:
Kadangi matricos daugyba yra asociatyvi (bet ne komutacinė!), galime rašyti:
\[\begin(lygiuoti) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rodyklė dešinėn B=C. \\ \end(lygiuoti)\]
Gavome vienintelį įmanomą variantą: dvi atvirkštinės matricos kopijos yra lygios. Lema įrodyta.
Aukščiau pateikti argumentai beveik pažodžiui pakartoja atvirkštinio elemento unikalumo visiems įrodymą realūs skaičiai$b\ne 0$. Vienintelis reikšmingas papildymas yra matricų matmenų įvertinimas.
Tačiau mes vis dar nieko nežinome, ar kiekviena kvadratinė matrica yra apverčiama. Čia mums į pagalbą ateina determinantas – tai pagrindinė visų kvadratinių matricų charakteristika.
3 lema. Duota matrica $A$. Jei jos atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ egzistuoja, tada pradinės matricos determinantas yra nulis:
\[\left| A\right|\ne 0\]
Įrodymas. Jau žinome, kad $A$ ir $((A)^(-1))$ yra $\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinės matricos. Todėl kiekvienam iš jų galime apskaičiuoti determinantą: $\left| A\right|$ ir $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Tačiau produkto determinantas yra lygus determinantų sandaugai:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Bet pagal apibrėžimą $A\cdot ((A)^(-1))=E$, o $E$ determinantas visada yra lygus 1, taigi
\[\begin(lygiuoti) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(lygiuoti)\]
Dviejų skaičių sandauga yra lygi vienetui tik tuo atveju, jei kiekvienas iš šių skaičių yra ne nulis:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Taigi paaiškėja, kad $\left| A \right|\ne 0$. Lema įrodyta.
Tiesą sakant, šis reikalavimas yra gana logiškas. Dabar išanalizuosime atvirkštinės matricos paieškos algoritmą – ir bus visiškai aišku, kodėl su nuliniu determinantu atvirkštinė matrica iš esmės negali egzistuoti.
Tačiau pirmiausia suformuluokime „pagalbinį“ apibrėžimą:
Apibrėžimas. Vienaskaita matrica yra kvadratinė matrica, kurios dydis yra $\left[n\times n \right]$, kurios determinantas yra nulis.
Taigi galime teigti, kad kiekviena apverčiama matrica yra ne vienaskaita.
Kaip rasti atvirkštinę matricos vertę
Dabar apsvarstysime universalų atvirkštinių matricų paieškos algoritmą. Apskritai yra du visuotinai pripažinti algoritmai, šiandien taip pat apsvarstysime antrąjį.
Tas, kuris bus aptartas dabar, yra labai efektyvus matricoms, kurių dydis yra $\left[ 2\time 2 \right]$ ir – iš dalies – dydis $\left[3\time 3 \right]$. Bet pradedant nuo dydžio $\left[ 4\time 4 \right]$, geriau jo nenaudoti. Kodėl – dabar viską suprasite patys.
Algebriniai priedai
Pasiruošk. Dabar bus skausmas. Ne, nesijaudink: graži seselė su sijonu, kojinėmis su nėriniais neateis ir nesušvirkš į sėdmenis. Viskas daug proziškesnė: pas jus ateina algebriniai papildymai ir Jos Didenybė „Sąjungos matrica“.
Pradėkime nuo pagrindinio dalyko. Tegu yra $A=\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinė matrica, kurios elementai vadinami $((a)_(ij))$. Tada kiekvienam tokiam elementui galime apibrėžti algebrinį papildinį:
Apibrėžimas. Algebrinis papildinys $((A)_(ij))$ elementui $((a)_(ij))$, esančiam $i$-oje eilutėje ir $j$-oje matricos $A=\left[ n \times n \right]$ yra formos konstrukcija
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Kur $M_(ij)^(*)$ yra matricos, gautos iš pradinio $A$, išbraukus tą pačią $i$-ąją eilutę ir $j$-ąją stulpelį, determinantas.
Vėlgi. Matricos elemento su koordinatėmis $\left(i;j \right)$ algebrinis papildymas žymimas $((A)_(ij))$ ir apskaičiuojamas pagal schemą:
- Pirmiausia iš pradinės matricos ištriname $i$ eilutę ir $j$-tą stulpelį. Gauname naują kvadratinę matricą ir jos determinantą pažymime kaip $M_(ij)^(*)$.
- Tada šį determinantą padauginame iš $((\left(-1 \right))^(i+j))$ – iš pradžių ši išraiška gali atrodyti pribloškianti, bet iš esmės mes tiesiog išsiaiškiname ženklą priešais $M_(ij)^(*) $.
- Suskaičiuojame ir gauname konkretų skaičių. Tie. algebrinis sudėjimas yra būtent skaičius, o ne kokia nors nauja matrica ir pan.
Pati matrica $M_(ij)^(*)$ vadinama elemento $((a)_(ij))$ papildoma minora. Ir šia prasme aukščiau pateiktas algebrinio papildinio apibrėžimas yra ypatingas sudėtingesnio apibrėžimo atvejis – tai, ką mes apžvelgėme pamokoje apie determinantą.
Svarbi pastaba. Tiesą sakant, „suaugusiųjų“ matematikoje algebriniai priedai apibrėžiami taip:
- Kvadratinėje matricoje paimame $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Jų sankirtoje gauname $\left[ k\times k \right]$ dydžio matricą - jos determinantas vadinamas $k$ eilės minora ir žymimas $((M)_(k))$.
- Tada išbraukiame šias „pasirinktas“ $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Dar kartą gauname kvadratinę matricą – jos determinantas vadinamas papildomu mažuoju ir žymimas $M_(k)^(*)$.
- Padauginkite $M_(k)^(*)$ iš $((\left(-1 \right)))^(t))$, kur $t$ yra (dėmesio dabar!) visų pasirinktų eilučių skaičių suma ir stulpeliai . Tai bus algebrinis papildymas.
Pažvelkite į trečiąjį žingsnį: iš tikrųjų yra 2 000 USD terminų suma! Kitas dalykas yra tai, kad $k=1$ gausime tik 2 terminus - tai bus tie patys $i+j$ - elemento $((a)_(ij)) $, kuriam mes esame "koordinatės". ieško algebrinio papildinio.
Taigi šiandien mes naudojame šiek tiek supaprastintą apibrėžimą. Bet kaip matysime vėliau, to bus daugiau nei pakankamai. Daug svarbesnis yra šis dalykas:
Apibrėžimas. Sąjunginė matrica $S$ su kvadratine matrica $A=\left[ n\times n \right]$ yra nauja $\left[ n\times n \right]$ dydžio matrica, gaunama iš $A$ pakeičiant $(( a)_(ij))$ algebriniais priedais $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\pabaiga (matrica) \right]\]
Pirmoji mintis, kylanti suvokus šį apibrėžimą, yra „kiek reikės suskaičiuoti! Atsipalaiduokite: teks skaičiuoti, bet ne tiek daug. :)
Na, visa tai labai gražu, bet kam to reikia? Bet kodėl.
Pagrindinė teorema
Grįžkime šiek tiek atgal. Atminkite, kad 3 lemoje buvo nurodyta, kad apverčiamoji matrica $A$ visada yra ne vienaskaita (ty jos determinantas yra ne nulis: $\left| A \right|\ne 0$).
Taigi, yra ir priešingai: jei matrica $A$ nėra vienaskaita, ji visada yra apverčiama. Ir netgi yra $((A)^(-1))$ paieškos schema. Pasižiūrėk:
Atvirkštinės matricos teorema. Tegu duota kvadratinė matrica $A=\left[ n\times n \right]$, o jos determinantas nėra nulis: $\left| A \right|\ne 0$. Tada egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ ir apskaičiuojama pagal formulę:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
O dabar – viskas taip pat, tik įskaitoma rašysena. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, jums reikia:
- Apskaičiuokite determinantą $\left| A \right|$ ir įsitikinkite, kad jis nėra nulis.
- Sukonstruoti sąjungos matricą $S$, t.y. suskaičiuokite 100500 algebrinių priedų $((A)_(ij))$ ir įdėkite juos į vietą $((a)_(ij))$.
- Perkelkite šią matricą $S$ ir padauginkite ją iš kažkokio skaičiaus $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
Tai viskas! Rasta atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$. Pažiūrėkime į pavyzdžius:
\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]
Sprendimas. Patikrinkime grįžtamumą. Apskaičiuokime determinantą:
\[\left| A\right|=\left| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Determinantas skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad matrica yra apverčiama. Sukurkime sąjungos matricą:
Apskaičiuokime algebrinius priedus:
\[\begin(lygiuoti) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Atkreipkite dėmesį: determinantai |2|, |5|, |1| ir |3| yra $\left[ 1\times 1 \right]$ dydžio matricų determinantai, o ne moduliai. Tie. Jei determinantuose buvo neigiami skaičiai, „minuso“ pašalinti nereikia.
Iš viso mūsų sąjungos matrica atrodo taip:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(masyvas) \right])^(T))=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]\]
Gerai, dabar viskas baigta. Problema išspręsta.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]$
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \]
Sprendimas. Dar kartą apskaičiuojame determinantą:
\[\begin(lygiuoti) & \left| \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right|=\begin(matrica) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(lygiuoti)\]
Determinantas nėra nulis - matrica yra apverčiama. Bet dabar bus tikrai sunku: turime suskaičiuoti net 9 (devynias, velnias!) algebrinius priedus. Ir kiekviename iš jų bus determinantas $\left[ 2\time 2 \right]$. Skraidė:
\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]
Trumpai tariant, sąjungos matrica atrodys taip:
Taigi atvirkštinė matrica bus tokia:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\pabaiga(matrica) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]
Viskas. Štai atsakymas.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right ]$
Kaip matote, kiekvieno pavyzdžio pabaigoje atlikome patikrinimą. Šiuo atžvilgiu svarbi pastaba:
Nepatingėkite patikrinti. Padauginkite pradinę matricą iš rastos atvirkštinės matricos – turėtumėte gauti $E$.
Atlikti šį patikrinimą yra daug lengviau ir greičiau, nei ieškoti klaidos tolesniuose skaičiavimuose, kai, pavyzdžiui, sprendžiate matricos lygtį.
Alternatyvus būdas
Kaip jau sakiau, atvirkštinės matricos teorema puikiai tinka dydžiams $\left[ 2\x 2 \right]$ ir $\left[ 3\time 3 \right]$ (pastaruoju atveju ji nėra tokia „puiku“). ), bet didesnėms matricoms prasideda liūdesys.
Tačiau nesijaudinkite: yra alternatyvus algoritmas, su kuriuo galite ramiai rasti atvirkštinę vertę net matricai $\left[ 10\time 10 \right]$. Tačiau, kaip dažnai nutinka, norint apsvarstyti šį algoritmą, mums reikia šiek tiek teorinio pagrindo.
Elementarios transformacijos
Tarp visų galimų matricinių transformacijų yra keletas specialių – jos vadinamos elementariomis. Yra tiksliai trys tokios transformacijos:
- Daugyba. Galite paimti $i$-ąją eilutę (stulpelį) ir padauginti ją iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$;
- Papildymas. Prie $i$-os eilutės (stulpelio) pridėkite bet kurią kitą $j$-ąją eilutę (stulpelį), padaugintą iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$ (žinoma, galite padaryti $k=0$, bet kas yra esmė? Niekas nepasikeis).
- Pertvarkymas. Paimkite $i$-ąją ir $j$-ąją eilutes (stulpelius) ir sukeiskite vietomis.
Kodėl šios transformacijos vadinamos elementariomis (didelėse matricose jos neatrodo tokios elementarios) ir kodėl jų yra tik trys – šie klausimai nepatenka į šios dienos pamokos sritį. Todėl į detales nesileisime.
Kitas dalykas yra svarbus: mes turime atlikti visus šiuos iškrypimus ant adjungtinės matricos. Taip, taip: teisingai girdėjote. Dabar bus dar vienas apibrėžimas – paskutinis šios dienos pamokoje.
Adjungtinė matrica
Žinoma, mokykloje jūs sprendėte lygčių sistemas sudavimo metodu. Na, iš vienos eilutės atimkite kitą, padauginkite kurią nors eilutę iš skaičiaus - viskas.
Taigi: dabar viskas bus taip pat, bet „suaugusiųjų“ būdu. Pasiruošę?
Apibrėžimas. Tegu pateikta matrica $A=\left[ n\times n \right]$ ir tapatumo matrica $E$ tokio pat dydžio $n$. Tada adjunktinė matrica $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$ yra nauja $\left[ n\times 2n \right]$ dydžio matrica, kuri atrodo taip:
\[\left[ A\left| E\dešinė. \right]=\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(masyvas) \right]\]
Trumpai tariant, paimame matricą $A$, o dešinėje priskiriame jai tapatybės matricą $E$ tinkamo dydžio, juos atskiriame vertikalia linija dėl grožio - štai ir prisegėte. :)
Koks laimikis? Štai kas:
Teorema. Tegul matrica $A$ yra apverčiama. Apsvarstykite adjungtinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$. Jei naudojate elementarios eilutės konversijos perkelkite jį į formą $\left[ E\left| B\right. \right]$, t.y. padauginus, atimant ir pertvarkant eilutes, kad iš $A$ gautumėte matricą $E$ dešinėje, tada kairėje gauta matrica $B$ yra atvirkštinė $A$:
\[\left[ A\left| E\dešinė. \dešinėn]\į \kairę[ E\kairė| B\right. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Tai taip paprasta! Trumpai tariant, atvirkštinės matricos paieškos algoritmas atrodo taip:
- Parašykite adjungtinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$;
- Atlikite elementarias eilutės konversijas, kol vietoj $A$ pasirodys $E$;
- Žinoma, kažkas atsiras ir kairėje – tam tikra matrica $B$. Tai bus priešingai;
- PELNAS! :)
Žinoma, tai daug lengviau pasakyti nei padaryti. Taigi pažvelkime į kelis pavyzdžius: dydžiams $\left[ 3\time 3 \right]$ ir $\left[ 4\time 4 \right]$.
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\ ]
Sprendimas. Sukuriame adjungtinę matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]
Kadangi paskutinis pradinės matricos stulpelis užpildytas vienetais, pirmąją eilutę atimkite iš likusios:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Daugiau vienetų, išskyrus pirmąją eilutę, nėra. Bet mes jo neliečiame, kitaip naujai pašalinti vienetai pradės „daugintis“ trečiame stulpelyje.
Tačiau antrąją eilutę galime atimti du kartus iš paskutinės - vieną gauname apatiniame kairiajame kampe:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \left [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar galime atimti paskutinę eilutę iš pirmosios ir du kartus iš antrosios - tokiu būdu pirmąjį stulpelį „nuliuojame“:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\į \\ & \ į \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Antrąją eilutę padauginkite iš –1, tada iš pirmosios atimkite 6 kartus ir prie paskutinės pridėkite 1 kartą:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ +1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Belieka sukeisti 1 ir 3 eilutes:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 ir 32 ir -13 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]
Pasiruošę! Dešinėje yra reikiama atvirkštinė matrica.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(masyvas) \right ]$
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\pabaiga (matrica) \right]\]
Sprendimas. Dar kartą sudarome adjunktą:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\]
Truputį verkkime, liūdėkime, kiek dabar turime suskaičiuoti... ir pradėkime skaičiuoti. Pirmiausia „nuliuokime“ pirmąjį stulpelį, iš 2 ir 3 eilučių atimdami 1 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Mes matome per daug "minusų" 2-4 eilutėse. Visas tris eilutes padauginkite iš –1, o trečiąjį stulpelį išdeginkite iš likusios 3 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ ? rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar pats laikas „kepti“ paskutinį pradinės matricos stulpelį: iš likusios atimkite 4 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas ) \right]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Paskutinis metimas: „išdeginkite“ antrąjį stulpelį, iš 1 ir 3 eilučių atimant 2 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( masyvas) \right]\begin(matrica) 6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -5 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Ir vėl tapatybės matrica yra kairėje, o tai reiškia, kad atvirkštinė yra dešinėje. :)
Atsakymas. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\pabaiga (matrica) \right]$
Gerai, dabar viskas baigta. Patikrink pats - aš suklydau. :)
Matricinė algebra – atvirkštinė matricaatvirkštinė matrica
Atvirkštinė matrica yra matrica, kurią dešinėje ir kairėje padauginus iš nurodytos matricos, gaunama tapatumo matrica.
Pažymime atvirkštinę matricos matricą A per , tada pagal apibrėžimą gauname:
Kur E- tapatybės matrica.
Kvadratinė matrica paskambino neypatingas (neišsigimęs), jei jo determinantas nėra nulis. Priešingu atveju jis vadinamas ypatingas (išsigimęs) arba vienaskaita.
Teorema galioja: Kiekviena ne vienaskaita matrica turi atvirkštinę matricą.
Vadinama atvirkštinės matricos radimo operacija apeliacija matricos. Panagrinėkime matricos inversijos algoritmą. Tegu pateikta ne vienaskaita matrica n- užsakymas:
kur Δ = det A ≠ 0.
Algebrinis elemento pridėjimas matricos n– įsakymas A vadinamas determinantu matricos, paimtos su tam tikru ženklu ( n–1) užsakymas gautas išbraukus i-toji eilutė ir j matricos stulpelis A:
Sukurkime vadinamąjį pridedamas matrica:
kur yra atitinkamų matricos elementų algebriniai papildiniai A.
Atkreipkite dėmesį, kad matricos eilutės elementų algebriniai papildymai A dedami į atitinkamus matricos stulpelius Ã
ty matrica perkeliama tuo pačiu metu.
Padalijus visus matricos elementus Ã
pagal Δ – matricos determinanto reikšmė A, gauname atvirkštinę matricą:
Atkreipkime dėmesį į keletą specialių atvirkštinės matricos savybių:
1) duotai matricai A jos atvirkštinė matrica
yra vienintelis;
2) jei yra atvirkštinė matrica, tai dešinė atvirkštinė Ir kairėje pusėje matricos sutampa su juo;
3) vienaskaitos (vienskaitos) kvadrato matrica neturi atvirkštinės matricos.
Pagrindinės atvirkštinės matricos savybės:
1) atvirkštinės matricos determinantas ir pradinės matricos determinantas yra reciprokiniai dydžiai;
2) kvadratinių matricų sandaugos atvirkštinė matrica yra lygi atvirkštinės veiksnių matricos sandaugai, paimtai atvirkštine tvarka:
3) perkelta atvirkštinė matrica yra lygi nurodytos perkeltos matricos atvirkštinei matricai:
PAVYZDYS Apskaičiuokite pateiktos matricos atvirkštinę vertę.
Tęskime pokalbį apie veiksmus su matricomis. Būtent šios paskaitos studijų metu sužinosite, kaip rasti atvirkštinę matricą. Mokytis. Net jei matematika yra sunki.
Kas yra atvirkštinė matrica? Čia galime padaryti analogiją su atvirkštiniais skaičiais: apsvarstykite, pavyzdžiui, optimistinį skaičių 5 ir jo atvirkštinį skaičių. Šių skaičių sandauga lygi vienetui: . Su matricomis viskas panašiai! Matricos ir atvirkštinės matricos sandauga yra lygi – tapatybės matrica, kuris yra skaitinio vieneto matricos analogas. Tačiau pirmiausia išspręskime svarbią praktinę problemą, būtent, išmokime rasti šią labai atvirkštinę matricą.
Ką reikia žinoti ir mokėti, norint rasti atvirkštinę matricą? Turite mokėti apsispręsti kvalifikacijos. Jūs turite suprasti, kas tai yra matrica ir sugebėti su jais atlikti kai kuriuos veiksmus.
Yra du pagrindiniai atvirkštinės matricos nustatymo būdai:
naudojant algebriniai priedai Ir naudojant elementarias transformacijas.
Šiandien mes išnagrinėsime pirmąjį, paprastesnį metodą.
Pradėkime nuo pačių baisiausių ir nesuprantamų dalykų. Pasvarstykime kvadratas matrica. Atvirkštinę matricą galima rasti naudojant šią formulę:
Kur yra matricos determinantas, yra transponuota atitinkamų matricos elementų algebrinių papildinių matrica.
Atvirkštinės matricos sąvoka egzistuoja tik kvadratinėms matricoms, matricos „du po du“, „trys iš trijų“ ir kt.
Pavadinimai: Kaip jau galbūt pastebėjote, atvirkštinė matrica žymima viršutiniu indeksu
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – matricos du po du. Dažniausiai, žinoma, reikalingas „trys iš trijų“, tačiau vis dėlto primygtinai rekomenduoju išstudijuoti paprastesnę užduotį, kad įsisavintum bendras principas sprendimus.
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę
Nuspręskime. Patogu suskaidyti veiksmų seką taškas po taško.
1) Pirmiausia randame matricos determinantą.
Jei nesuprantate šio veiksmo, perskaitykite medžiagą Kaip apskaičiuoti determinantą?
Svarbu! Jei matricos determinantas yra lygus NULIS– atvirkštinė matrica NEEGZISTUOJA.
Nagrinėjamame pavyzdyje, kaip paaiškėjo, , o tai reiškia, kad viskas tvarkoje.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Norint išspręsti mūsų problemą, nebūtina žinoti, kas yra nepilnametis, tačiau patartina perskaityti straipsnį Kaip apskaičiuoti determinantą.
Nepilnamečių matrica turi tokius pat matmenis kaip ir matrica, tai yra šiuo atveju.
Belieka rasti keturis skaičius ir įdėti juos vietoj žvaigždučių.
Grįžkime prie mūsų matricos
Pirmiausia pažiūrėkime į viršutinį kairįjį elementą:
Kaip jį rasti nepilnametis?
Ir tai daroma taip: PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:
Likęs skaičius yra šio elemento nedidelė dalis, kurią rašome savo nepilnamečių matricoje:
Apsvarstykite šį matricos elementą:
Protiškai perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose rodomas šis elementas:
Lieka šio elemento minorinė dalis, kurią įrašome į savo matricą:
Panašiai atsižvelgiame į antrosios eilės elementus ir randame jų nepilnamečius:
Paruošta.
Tai paprasta. Nepilnamečių matricoje jums reikia PAKEISTI ŽENKLUS du skaičiai:
Tai yra skaičiai, kuriuos aš apskriejau!
– atitinkamų matricos elementų algebrinių priedų matrica.
Ir tiesiog...
4) Raskite perkeltą algebrinių priedų matricą.
– transponuota atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų matrica.
5) Atsakymas.
Prisiminkime savo formulę
Viskas rasta!
Taigi atvirkštinė matrica yra tokia: 
Geriau palikti atsakymą tokį, koks yra. NEREIKIA padalinkite kiekvieną matricos elementą iš 2, nes rezultatas yra trupmeniniai skaičiai. Šis niuansas išsamiau aptariamas tame pačiame straipsnyje. Veiksmai su matricomis.
Kaip patikrinti sprendimą?
Jums reikia atlikti matricos daugybą arba
Egzaminas: 
Gauta jau minėta tapatybės matrica yra matrica su vienetais pagal pagrindinė įstrižainė o kitose vietose nuliai.
Taigi atvirkštinė matrica randama teisingai.
Jei atliksite veiksmą, rezultatas taip pat bus tapatybės matrica. Tai vienas iš nedaugelio atvejų, kai matricos daugyba yra keičiama, daugiau Detali informacija galima rasti straipsnyje Operacijų su matricomis savybės. Matricos išraiškos. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tikrinimo metu konstanta (trupmena) pakeliama į priekį ir apdorojama pačioje pabaigoje – po matricos daugybos. Tai standartinė technika.
Pereikime prie praktikoje įprastesnio atvejo – matricos „trys iš trijų“:
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę 
Algoritmas yra lygiai toks pat kaip ir „du po du“ atveju.
Atvirkštinę matricą randame naudodami formulę: , kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.
1) Raskite matricos determinantą.
Čia atskleidžiamas determinantas pirmoje eilutėje.
Be to, nepamirškite to, vadinasi, viskas gerai - atvirkštinė matrica egzistuoja.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Nepilnamečių matricos matmuo yra „trys iš trijų“ 
, ir turime rasti devynis skaičius.
Išsamiai apžvelgsiu porą nepilnamečių:
Apsvarstykite šį matricos elementą: 
PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas: 
Likusius keturis skaičius įrašome į determinantą „du po du“. 
Šis du po dviejų determinantas ir yra šio elemento minoras. Jį reikia apskaičiuoti: 
Tai štai, nepilnametis rastas, rašome savo nepilnamečių matricoje: 
Kaip tikriausiai atspėjote, reikia apskaičiuoti devynis du po du determinantus. Procesas, žinoma, yra varginantis, tačiau atvejis nėra pats sunkiausias, gali būti ir blogesnis.
Na, o konsoliduoti – nuotraukose radus kitą nepilnametį: 
Pabandykite patys suskaičiuoti likusius nepilnamečius.
Galutinis rezultatas: 
– atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica.
Tai, kad visi nepilnamečiai pasirodė neigiami, yra grynai nelaimingas atsitikimas.
3) Raskite algebrinių priedų matricą.
Nepilnamečių matricoje tai būtina PAKEISTI ŽENKLUS griežtai šiems elementams: 
Tokiu atveju:
Negalvojame rasti atvirkštinės matricos „keturi iš keturių“ matricai, nes tokią užduotį gali duoti tik mokytojas sadistas (mokiniui apskaičiuoti vieną „keturi iš keturių“ determinantą ir 16 determinantų „trys iš trijų“ ). Mano praktikoje toks atvejis buvo tik vienas, ir klientas bandomasis darbas sumokėjo gana brangiai už mano kančias =).
Daugelyje vadovėlių ir vadovų galite rasti šiek tiek kitokį atvirkštinės matricos radimo būdą, tačiau rekomenduoju naudoti aukščiau aprašytą sprendimo algoritmą. Kodėl? Nes tikimybė susipainioti skaičiavimuose ir ženkluose yra daug mažesnė.