Grafico Y cos x n 2. Grafici di funzioni trigonometriche di più angoli. Proprietà della funzione cos(x)

Lezione e presentazione sul tema: "Funzione y=cos(x). Definizione e grafico della funzione"

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Cosa studieremo:
1. Definizione.
2. Grafico di una funzione.
3. Proprietà della funzione Y=cos(X).
4. Esempi.

Definizione della funzione coseno y=cos(x)

Ragazzi, abbiamo già incontrato la funzione Y=sin(X).

Ricordiamo una delle formule fantasma: sin(X + π/2) = cos(X).

Grazie a questa formula possiamo affermare che le funzioni sin(X + π/2) e cos(X) sono identiche e i loro grafici delle funzioni coincidono.

Il grafico della funzione sin(X + π/2) si ottiene dal grafico della funzione sin(X) per traslazione parallela π/2 unità verso sinistra. Questo sarà il grafico della funzione Y=cos(X).

Il grafico della funzione Y=cos(X) è anche chiamato onda sinusoidale.

Proprietà della funzione cos(x)

Scriviamo le proprietà della nostra funzione:
• Il dominio di definizione è l’insieme dei numeri reali.
• La funzione è pari. Ricordiamo la definizione di funzione pari. Una funzione viene chiamata anche se vale l'uguaglianza y(-x)=y(x). Come ricordiamo dalle formule fantasma: cos(-x)=-cos(x), la definizione è soddisfatta, quindi il coseno è una funzione pari.
• La funzione Y=cos(X) diminuisce sul segmento e aumenta sul segmento [π; 2π]. Possiamo verificarlo nel grafico della nostra funzione.
• La funzione Y=cos(X) è limitata dal basso e dall'alto. Questa proprietà deriva dal fatto che
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Il valore più piccolo della funzione è -1 (in x = π + 2πk). Il valore più grande della funzione è 1 (in x = 2πk).
• La funzione Y=cos(X) è una funzione continua. Osserviamo il grafico e assicuriamoci che la nostra funzione non abbia interruzioni, questo significa continuità.
• Intervallo di valori: segmento [- 1; 1]. Ciò è chiaramente visibile anche dal grafico.
• La funzione Y=cos(X) è una funzione periodica. Diamo nuovamente un'occhiata al grafico e vediamo che la funzione assume gli stessi valori a determinati intervalli.

Esempi con la funzione cos(x).

1. Risolvi l'equazione cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Soluzione: Costruiamo 2 grafici della funzione: y=cos(x) e y=(x - 2π) 2 + 1 (vedi figura).


y=(x - 2π) 2 + 1 è una parabola spostata verso destra di 2π e verso l'alto di 1. I nostri grafici si intersecano in un punto A(2π;1), questa è la risposta: x = 2π.

2. Traccia la funzione Y=cos(X) per x ≤ 0 e Y=sin(X) per x ≥ 0

Soluzione: Per costruire il grafico richiesto, costruiamo due grafici della funzione in “pezzi”. Primo pezzo: y=cos(x) per x ≤ 0. Secondo pezzo: y=sin(x)
per x ≥ 0. Rappresentiamo entrambi i “pezzi” su un grafico.

3. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione Y=cos(X) sul segmento [π; 7π/4]

Soluzione: Costruiamo un grafico della funzione e consideriamo il nostro segmento [π; 7π/4]. Il grafico mostra che i valori più alti e più bassi si ottengono alle estremità del segmento: rispettivamente nei punti π e 7π/4.
Risposta: cos(π) = -1 – il valore più piccolo, cos(7π/4) = il valore più grande.

4. Rappresenta graficamente la funzione y=cos(π/3 - x) + 1

Soluzione: cos(-x)= cos(x), allora il grafico desiderato si otterrà spostando il grafico della funzione y=cos(x) π/3 unità verso destra e 1 unità verso l'alto.

Problemi da risolvere in autonomia

1)Risolvi l'equazione: cos(x)= x – π/2.
2) Risolvi l'equazione: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Rappresentare graficamente la funzione y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Rappresentare graficamente la funzione y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Trova il valore più grande e più piccolo della funzione y=cos(x) sul segmento.
6) Trovare il valore massimo e minimo della funzione y=cos(x) sul segmento [- π/6; 5π/4].

"Grafici di funzioni e loro proprietà" - y = ctg x. 4) Funzione limitata. 3) Funzione strana. (Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.) y = marrone chiaro x. 7) La funzione è continua su qualsiasi intervallo della forma (?k; ? + ?k). La funzione y = tan x è continua su qualsiasi intervallo della forma. 4) La funzione decresce su qualsiasi intervallo della forma (?k; ? + ?k). Il grafico della funzione y = tan x è chiamato tangenteoide.

“Grafico della funzione Y X” - Modello parabola y = x2. Per vedere i grafici, fare clic con il mouse. Esempio 2. Costruiamo un grafico della funzione y = x2 + 1, basato sul grafico della funzione y=x2 (clic del mouse). Esempio 3. Dimostriamo che il grafico della funzione y = x2 + 6x + 8 è una parabola e costruiamo un grafico. Il grafico della funzione y=(x - m)2 è una parabola con vertice nel punto (m; 0).

“Matematica dei grafici” - Come si costruiscono i grafici? Più naturalmente, le dipendenze funzionali si riflettono utilizzando i grafici. Applicazione interessante: disegni,... Perché studiamo i grafici? Grafici di funzioni elementari. Cosa puoi disegnare con i grafici? Consideriamo l'uso dei grafici nelle materie didattiche: matematica, fisica,...

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Ora esamineremo la questione su come tracciare le funzioni trigonometriche di più angoli ωx, Dove ω - qualche numero positivo.

Rappresentare graficamente una funzione y = peccato ωx Confrontiamo questa funzione con la funzione che abbiamo già studiato y = peccato x. Supponiamo che quando x = x 0 funzione y = peccato x assume il valore pari a 0. Poi

y 0 = peccato X 0 .

Trasformiamo questa relazione nel modo seguente:

Pertanto, la funzione y = peccato ωx A X = X 0 / ω assume lo stesso valore A 0 , che è uguale alla funzione y = peccato x A x = X 0 . Ciò significa che la funzione y = peccato ωx ripete i suoi significati in ω volte più spesso della funzione y = peccato x. Pertanto, il grafico della funzione y = peccato ωx ottenuto “comprimendo” il grafico della funzione y = peccato x V ω volte lungo l'asse x.

Ad esempio, il grafico di una funzione y = peccato 2x ottenuto “comprimendo” una sinusoide y = peccato x due volte lungo l'asse x.

Grafico di una funzione y = peccato x / 2 si ottiene “allungando” due volte la sinusoide y = sin x (o “comprimendola” di 1 / 2 volte) lungo l'asse x.

Poiché la funzione y = peccato ωx ripete i suoi significati in ω volte più spesso della funzione
y = peccato x, allora il suo periodo è ω volte inferiore al periodo della funzione y = peccato x. Ad esempio, il periodo della funzione y = peccato 2x equivale 2π/2 = π e il periodo della funzione y = peccato x / 2 equivale π / X/ 2 = 4π .

È interessante studiare il comportamento della funzione y = peccato ax utilizzando l'esempio dell'animazione, che può essere creata molto facilmente nel programma acero:

I grafici di altre funzioni trigonometriche di più angoli sono costruiti in modo simile. La figura mostra il grafico della funzione y = cos2x, che si ottiene “comprimendo” l'onda coseno y = cosx due volte lungo l'asse x.

Grafico di una funzione y = cos x / 2 ottenuto “allungando” l’onda coseno y = cosx raddoppiato lungo l'asse x.

Nella figura vedi il grafico della funzione y = marrone chiaro 2x, ottenuta “comprimendo” i tangenti y = marrone chiaro x due volte lungo l'asse x.

Grafico di una funzione y = tg X/ 2 , ottenuto “allungando” i tangenti y = marrone chiaro x raddoppiato lungo l'asse x.

E infine l'animazione eseguita dal programma Acero:

Esercizi

1. Costruisci i grafici di queste funzioni e indica le coordinate dei punti di intersezione di questi grafici con gli assi coordinati. Determinare i periodi di queste funzioni.

UN). y = peccato 4x/ 3 G). y = abbronzatura 5x/ 6 E). y = cos 2x/ 3

B). y= cos 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3

V). y = abbronzatura 4x/ 3 e). y = peccato 2x/ 3

2. Determinare i periodi delle funzioni y = peccato (πх) E y = tg (πх/2).

3. Fornisci due esempi di funzioni che assumono tutti i valori da -1 a +1 (compresi questi due numeri) e cambiano periodicamente con il punto 10.

4 *. Fornisci due esempi di funzioni che assumono tutti i valori da 0 a 1 (compresi questi due numeri) e cambiano periodicamente con un punto π/2.

5. Fornisci due esempi di funzioni che assumono tutti valori reali e variano periodicamente con il periodo 1.

6 *. Fornisci due esempi di funzioni che accettano tutti i valori negativi e zero, ma non accettano valori positivi e cambiano periodicamente con un periodo di 5.