La derivata del logaritmo naturale di x è uguale a uno diviso per x:
(1)
(lnx)′ =.
La derivata del logaritmo in base a è uguale a uno diviso per la variabile x moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2)
(log a x)′ =.
Prova
Sia presente un numero positivo diverso da uno. Consideriamo una funzione dipendente da una variabile x, che è un logaritmo in base:
.
Questa funzione è definita in . Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3)
.
Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò dobbiamo conoscere i seguenti fatti:
UN) Proprietà del logaritmo. Avremo bisogno delle seguenti formule:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
B) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(7)
.
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
IN) Il significato del secondo limite notevole:
(8)
.
Applichiamo questi fatti al nostro limite. Per prima cosa trasformiamo l'espressione algebrica
.
Per fare ciò applichiamo le proprietà (4) e (5).
.
Usiamo la proprietà (7) e il secondo limite notevole (8):
.
Infine applichiamo la proprietà (6):
.
Logaritmo in base e chiamato logaritmo naturale. È designato come segue:
.
Poi ;
.
Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (2) per la derivata del logaritmo.
Derivato del logaritmo naturale
Ancora una volta scriviamo la formula per la derivata del logaritmo in base a:
.
Questa formula ha la forma più semplice per il logaritmo naturale, per cui , . Poi
(1)
.
A causa di questa semplicità, il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato nell'analisi matematica e in altri rami della matematica legati al calcolo differenziale. Le funzioni logaritmiche con altre basi possono essere espresse in termini di logaritmo naturale utilizzando la proprietà (6):
.
La derivata del logaritmo rispetto alla base si trova dalla formula (1), togliendo la costante dal segno di differenziazione:
.
Altri modi per dimostrare la derivata di un logaritmo
Qui assumiamo di conoscere la formula per la derivata dell'esponenziale:
(9)
.
Quindi possiamo ricavare la formula per la derivata del logaritmo naturale, dato che il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
Dimostriamo la formula per la derivata del logaritmo naturale, applicando la formula per la derivata della funzione inversa:
.
Nel nostro caso . La funzione inversa al logaritmo naturale è l'esponenziale:
.
La sua derivata è determinata dalla formula (9). Le variabili possono essere designate con qualsiasi lettera. Nella formula (9), sostituisci la variabile x con y:
.
Da allora
.
Poi
.
La formula è provata.
Ora dimostriamo la formula per la derivata del logaritmo naturale utilizzando regole per differenziare funzioni complesse. Poiché le funzioni e sono tra loro inverse, allora
.
Differenziamo questa equazione rispetto alla variabile x:
(10)
.
La derivata di x è uguale a uno:
.
Applichiamo la regola di differenziazione delle funzioni complesse:
.
Qui . Sostituiamo nella (10):
.
Da qui
.
Esempio
Trova i derivati di ln 2x, ln 3x E lnnx.
Soluzione
Le funzioni originali hanno una forma simile. Troveremo quindi la derivata della funzione y = lognx. Quindi sostituiamo n = 2 e n = 3. E, così, otteniamo le formule per le derivate di ln 2x E ln 3x .
Quindi, stiamo cercando la derivata della funzione
y = lognx
.
Immaginiamo questa funzione come una funzione complessa composta da due funzioni:
1)
Funzioni dipendenti da una variabile: ;
2)
Funzioni dipendenti da una variabile: .
Quindi la funzione originale è composta dalle funzioni e :
.
Troviamo la derivata della funzione rispetto alla variabile x:
.
Troviamo la derivata della funzione rispetto alla variabile:
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa.
.
Qui lo impostiamo.
Quindi abbiamo trovato:
(11)
.
Vediamo che la derivata non dipende da n. Questo risultato è del tutto naturale se trasformiamo la funzione originale utilizzando la formula per il logaritmo del prodotto:
.
- questa è una costante. La sua derivata è zero. Allora, secondo la regola di differenziazione della somma, abbiamo:
.
Risposta
; ; .
Derivata del logaritmo di modulo x
Troviamo la derivata di un altro molto funzione importante- logaritmo naturale del modulo x:
(12)
.
Consideriamo il caso. Quindi la funzione è simile a:
.
La sua derivata è determinata dalla formula (1):
.
Consideriamo ora il caso. Quindi la funzione è simile a:
,
Dove .
Ma nell'esempio sopra abbiamo trovato anche la derivata di questa funzione. Non dipende da n ed è uguale a
.
Poi
.
Combiniamo questi due casi in un'unica formula:
.
Pertanto, per il logaritmo in base a, abbiamo:
.
Derivate degli ordini superiori del logaritmo naturale
Considera la funzione
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(13)
.
Troviamo la derivata del secondo ordine:
.
Troviamo la derivata del terzo ordine:
.
Troviamo la derivata del quarto ordine:
.
Puoi notare che la derivata di ordine ennesimo ha la forma:
(14)
.
Proviamolo per induzione matematica.
Prova
Sostituiamo il valore n = 1 nella formula (14):
.
Da , allora quando n = 1
, la formula (14) è valida.
Supponiamo che la formula (14) sia soddisfatta per n = k. Proviamo che questo implica che la formula è valida per n = k + 1 .
Infatti per n = k abbiamo:
.
Differenziare rispetto alla variabile x:
.
Quindi abbiamo:
.
Questa formula coincide con la formula (14) per n = k + 1
. Pertanto, dal presupposto che la formula (14) sia valida per n = k, ne consegue che la formula (14) è valida per n = k + 1
.
Pertanto, la formula (14), per la derivata di ordine n, è valida per qualsiasi n.
Derivate di ordini logaritmici superiori in base a
Per trovare la derivata di ordine ennesimo di un logaritmo in base a, è necessario esprimerla in termini di logaritmo naturale:
.
Applicando la formula (14), troviamo la derivata n-esima:
.
Pensi che ci sia ancora molto tempo prima dell'esame? È un mese? Due? Anno? La pratica dimostra che uno studente affronta meglio un esame se inizia a prepararsi in anticipo. Ci sono molti compiti difficili nell'Esame di Stato Unificato che ostacolano gli scolari e i futuri candidati ai punteggi più alti. Devi imparare a superare questi ostacoli e, inoltre, non è difficile da fare. È necessario comprendere il principio di lavorare con varie attività dai ticket. Quindi non ci saranno problemi con quelli nuovi.
I logaritmi a prima vista sembrano incredibilmente complessi, ma con un'analisi dettagliata la situazione diventa molto più semplice. Se vuoi superare l'Esame di Stato Unificato con il punteggio più alto, dovresti comprendere il concetto in questione, che è ciò che ti proponiamo di fare in questo articolo.
Innanzitutto, separiamo queste definizioni. Cos'è un logaritmo (log)? Questo è un indicatore della potenza alla quale deve essere elevata la base per ottenere il numero specificato. Se non è chiaro, facciamo un esempio elementare.
In questo caso la base in basso deve essere elevata alla seconda potenza per ottenere il numero 4.
Consideriamo ora il secondo concetto. La derivata di una funzione in qualsiasi forma è un concetto che caratterizza il cambiamento di una funzione in un dato punto. Tuttavia, questo è un programma scolastico e se hai problemi con questi concetti individualmente, vale la pena ripetere l'argomento.
Derivato del logaritmo
IN Compiti dell'Esame di Stato Unificato Su questo argomento si possono citare a titolo di esempio diversi problemi. Per cominciare, la derivata logaritmica più semplice. È necessario trovare la derivata della seguente funzione.
Dobbiamo trovare la derivata successiva
C'è una formula speciale.
In questo caso x=u, log3x=v. Sostituiamo i valori della nostra funzione nella formula.
La derivata di x sarà uguale a uno. Il logaritmo è un po’ più difficile. Ma capirai il principio se sostituirai semplicemente i valori. Ricordiamo che la derivata di lg x è la derivata del logaritmo decimale e la derivata di ln x è la derivata del logaritmo naturale (basato su e).
Ora basta inserire i valori risultanti nella formula. Provalo tu stesso, poi controlleremo la risposta.
Quale potrebbe essere il problema qui per alcuni? Abbiamo introdotto il concetto di logaritmo naturale. Parliamone e allo stesso tempo scopriamo come risolvere i problemi con esso. Non vedrai nulla di complicato, soprattutto quando capirai il principio del suo funzionamento. Dovresti abituarti, dato che è spesso usato in matematica (in alto istituzioni educative particolarmente).
Derivato del logaritmo naturale
Fondamentalmente è la derivata del logaritmo in base e (che è un numero irrazionale pari a circa 2,7). In effetti, ln è molto semplice, quindi viene spesso utilizzato in matematica in generale. In realtà, anche risolvere il problema con esso non sarà un problema. Vale la pena ricordare che la derivata del logaritmo naturale in base e sarà uguale a uno diviso per x. La soluzione del seguente esempio sarà la più rivelatrice.
Immaginiamola come una funzione complessa composta da due funzioni semplici.
Basta convertirsi
Cerchiamo la derivata di u rispetto a x
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Permettere
(1)
è una funzione differenziabile della variabile x. Per prima cosa lo considereremo sull'insieme dei valori x per i quali y assume valori positivi: . Nel seguito mostreremo che tutti i risultati ottenuti sono applicabili anche per valori negativi di .
In alcuni casi, per trovare la derivata della funzione (1), è conveniente prelogaritmarla
,
e poi calcolare la derivata. Quindi, secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa,
.
Da qui
(2)
.
La derivata del logaritmo di una funzione è detta derivata logaritmica:
.
Derivata logaritmica della funzione y = f(x) è la derivata del logaritmo naturale di questa funzione: (ln f(x))′.
Il caso di valori y negativi
Consideriamo ora il caso in cui una variabile può assumere sia valori positivi che negativi. In questo caso, prendi il logaritmo del modulo e trova la sua derivata:
.
Da qui
(3)
.
Cioè, nel caso generale, devi trovare la derivata del logaritmo del modulo della funzione.
Confrontando (2) e (3) abbiamo:
.
Cioè, il risultato formale del calcolo della derivata logaritmica non dipende dal fatto che abbiamo preso o meno il modulo. Pertanto, quando calcoliamo la derivata logaritmica, non dobbiamo preoccuparci di quale segno abbia la funzione.
Questa situazione può essere chiarita utilizzando numeri complessi. Sia, per alcuni valori di x, negativo: . Se solo consideriamo numeri reali, allora la funzione non è definita. Tuttavia, se introduciamo i numeri complessi, otteniamo quanto segue:
.
Cioè, le funzioni e differiscono per una costante complessa:
.
Poiché la derivata di una costante è zero, allora
.
Proprietà della derivata logaritmica
Da tale considerazione consegue che la derivata logaritmica non cambierà se moltiplichi la funzione per una costante arbitraria :
.
Infatti, utilizzando proprietà del logaritmo, formule somma derivativa E derivata di una costante, abbiamo:
.
Applicazione della derivata logaritmica
È conveniente utilizzare la derivata logaritmica nei casi in cui la funzione originaria consiste in un prodotto di potenze o di funzioni esponenziali. In questo caso, l'operazione logaritmica trasforma il prodotto delle funzioni nella loro somma. Ciò semplifica il calcolo della derivata.
Esempio 1
Trova la derivata della funzione:
.
Soluzione
Logaritmiamo la funzione originale:
.
Differenziamo rispetto alla variabile x.
Nella tabella dei derivati troviamo:
.
Applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse.
;
;
;
;
(A1.1) .
Moltiplicato per:
.
Quindi, abbiamo trovato la derivata logaritmica:
.
Da qui troviamo la derivata della funzione originale:
.
Nota
Se vogliamo utilizzare solo numeri reali, allora dovremmo prendere il logaritmo del modulo della funzione originale:
.
Poi
;
.
E abbiamo ottenuto la formula (A1.1). Quindi il risultato non è cambiato.
Risposta
Esempio 2
Utilizzando la derivata logaritmica, trova la derivata della funzione
.
Soluzione
Prendiamo i logaritmi:
(A2.1) .
Differenziare rispetto alla variabile x:
;
;
;
;
;
.
Moltiplicato per:
.
Da qui otteniamo la derivata logaritmica:
.
Derivata della funzione originaria:
.
Nota
Qui la funzione originale è non negativa: . È definito a . Se non assumiamo che il logaritmo possa essere definito per valori negativi dell'argomento, la formula (A2.1) dovrebbe essere scritta come segue:
.
Perché il
E
,
questo non influenzerà il risultato finale.
Risposta
Esempio 3
Trova la derivata
.
Soluzione
Eseguiamo la differenziazione utilizzando la derivata logaritmica. Prendiamo un logaritmo, tenendo conto che:
(A3.1) .
Differenziando si ottiene la derivata logaritmica.
;
;
;
(A3.2) .
Da allora
.
Nota
Eseguiamo i calcoli senza presupporre che il logaritmo possa essere definito per valori negativi dell'argomento. Per fare ciò, prendi il logaritmo del modulo della funzione originale:
.
Allora invece di (A3.1) abbiamo:
;
.
Confrontando con (A3.2) vediamo che il risultato non è cambiato.
Quando si differenziano funzioni di potenza esponenziale o espressioni frazionarie complesse, è conveniente utilizzare la derivata logaritmica. In questo articolo esamineremo esempi della sua applicazione con soluzioni dettagliate.
Un'ulteriore presentazione presuppone la capacità di utilizzare la tabella delle derivate, le regole di differenziazione e la conoscenza della formula per la derivata di una funzione complessa.
Derivazione della formula per la derivata logaritmica.
Innanzitutto, prendiamo i logaritmi in base e, semplifichiamo la forma della funzione utilizzando le proprietà del logaritmo e quindi troviamo la derivata della funzione specificata implicitamente: 
Ad esempio, troviamo la derivata di una funzione di potenza esponenziale x rispetto alla potenza x.
Prendendo i logaritmi si ottiene . Secondo le proprietà del logaritmo. Differenziando entrambi i membri dell'uguaglianza si ottiene il risultato: 
Risposta: 
.
Lo stesso esempio può essere risolto senza utilizzare la derivata logaritmica. Puoi effettuare alcune trasformazioni e passare dalla differenziazione di una funzione di potenza esponenziale alla ricerca della derivata di una funzione complessa: 
Esempio.
Trova la derivata di una funzione 
.
Soluzione.
In questo esempio la funzione 
è una frazione e la sua derivata può essere trovata utilizzando le regole di derivazione. Ma a causa della complessità dell'espressione, ciò richiederà molte trasformazioni. In questi casi, è più ragionevole utilizzare la formula della derivata logaritmica 
. Perché? Adesso capirai.
Troviamolo prima. Nelle trasformazioni utilizzeremo le proprietà del logaritmo (logaritmo della frazione uguale alla differenza logaritmi, e il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, e il grado dell'espressione sotto il segno del logaritmo può essere estratto come coefficiente davanti al logaritmo): 
Queste trasformazioni ci hanno portato ad un'espressione abbastanza semplice, la cui derivata è facile da trovare: 
Sostituiamo il risultato ottenuto nella formula della derivata logaritmica e otteniamo la risposta:
Per consolidare il materiale, forniremo un paio di altri esempi senza spiegazioni dettagliate.
Esempio.
Trova la derivata di una funzione di potenza esponenziale 