Sia una matrice quadrata di n-esimo ordine
Viene chiamata la matrice A -1 matrice inversa rispetto alla matrice A, se A*A -1 = E, dove E è la matrice identità dell'ordine n.
Matrice identità- una matrice quadrata in cui tutti gli elementi lungo la diagonale principale, passando dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, sono uno e il resto è zero, ad esempio:
matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate quelli. per quelle matrici in cui il numero di righe e colonne coincidono.
Teorema per la condizione di esistenza di una matrice inversa
Affinché una matrice abbia una matrice inversa è necessario e sufficiente che sia non singolare.
Si chiama la matrice A = (A1, A2,...A n). non degenerato, se i vettori colonna sono linearmente indipendenti. Il numero di vettori colonna linearmente indipendenti di una matrice è chiamato rango della matrice. Possiamo quindi dire che affinché esista una matrice inversa è necessario e sufficiente che il rango della matrice sia uguale alla sua dimensione, cioè r = n.
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Scrivi la matrice A nella tabella per la risoluzione dei sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano e assegnale la matrice E a destra (al posto dei lati destri delle equazioni).
- Utilizzando le trasformazioni di Jordan, ridurre la matrice A a una matrice composta da colonne unitarie; in questo caso è necessario trasformare contemporaneamente la matrice E.
- Se necessario, riorganizzare le righe (equazioni) dell'ultima tabella in modo che sotto la matrice A della tabella originale si ottenga la matrice identità E.
- Annota la matrice inversa A -1, che si trova nell'ultima tabella sotto la matrice E della tabella originale.
Per la matrice A, trova la matrice inversa A -1
Soluzione: Scriviamo la matrice A e assegniamo a destra la matrice identità E. Utilizzando le trasformazioni di Jordan, riduciamo la matrice A alla matrice identità E. I calcoli sono riportati nella Tabella 31.1.
Verifichiamo la correttezza dei calcoli moltiplicando la matrice originale A e la matrice inversa A -1.
Come risultato della moltiplicazione della matrice, è stata ottenuta la matrice identità. Pertanto i calcoli sono stati effettuati correttamente.
Risposta: 
Risoluzione di equazioni di matrice
Le equazioni della matrice possono assomigliare a:
AX = B, HA = B, AXB = C,
dove A, B, C sono le matrici specificate, X è la matrice desiderata.
Le equazioni di matrice vengono risolte moltiplicando l'equazione per matrici inverse.
Ad esempio, per trovare la matrice dall'equazione, devi moltiplicare questa equazione per a sinistra.
Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione, è necessario trovare la matrice inversa e moltiplicarla per la matrice sul lato destro dell'equazione.
Altre equazioni vengono risolte in modo simile.
Risolvi l'equazione AX = B se 
Soluzione: Poiché la matrice inversa è uguale a (vedi esempio 1)
Il metodo della matrice nell'analisi economica
Insieme ad altri, vengono utilizzati anche metodi matriciali. Questi metodi si basano sull'algebra lineare e di matrice vettoriale. Tali metodi vengono utilizzati ai fini dell'analisi di fenomeni economici complessi e multidimensionali. Molto spesso questi metodi vengono utilizzati quando necessario valutazione comparativa funzionamento delle organizzazioni e delle loro divisioni strutturali.
Nel processo di applicazione dei metodi di analisi della matrice, si possono distinguere diverse fasi.
Nella prima fase il sistema si sta formando indicatori economici e sulla base di essa viene compilata una matrice di dati di origine, che è una tabella in cui i numeri di sistema sono mostrati nelle sue singole righe (i = 1,2,....,n) e nelle colonne verticali: numeri di indicatori (j = 1,2,....,m).
Nella seconda fase Per ciascuna colonna verticale viene individuato il maggiore tra i valori dell’indicatore disponibile, che viene assunto come uno solo.
Successivamente, tutti gli importi riflessi in questa colonna vengono divisi per il valore più grande e viene formata una matrice di coefficienti standardizzati.
Alla terza fase tutti i componenti della matrice sono quadrati. Se hanno un significato diverso, a ciascun indicatore della matrice viene assegnato un determinato coefficiente di peso K. Il valore di quest'ultimo è determinato dal parere di esperti.
Sull'ultimo, quarta fase trovato valori di valutazione Rj sono raggruppati in ordine di aumento o diminuzione.
I metodi a matrice delineati dovrebbero essere utilizzati, ad esempio, quando analisi comparativa vari progetti di investimento, nonché nella valutazione di altri indicatori economici delle organizzazioni.
In questo articolo parleremo del metodo matriciale per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari, troveremo la sua definizione e forniremo esempi di soluzioni.
Definizione 1
Metodo della matrice inversa è un metodo utilizzato per risolvere gli SLAE se il numero di incognite è uguale al numero di equazioni.
Esempio 1
Trovare una soluzione al sistema n equazioni lineari con n incognite:
un 11 x 1 + un 12 x 2 + . . . + un 1 n x n = b 1 un n 1 x 1 + un n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Tipo di registrazione a matrice : A × X = B
dove A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n è la matrice del sistema.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - colonna delle incognite,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - colonna dei coefficienti liberi.
Dall'equazione che abbiamo ricevuto, è necessario esprimere X. Per fare ciò, devi moltiplicare entrambi i lati dell'equazione della matrice a sinistra per A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B.
Poiché A - 1 × A = E, allora E × X = A - 1 × B oppure X = A - 1 × B.
Commento
La matrice inversa alla matrice A ha diritto di esistere solo se è soddisfatta la condizione d e t A non uguale a zero. Pertanto, quando si risolvono gli SLAE utilizzando il metodo della matrice inversa, prima di tutto si trova d e t A.
Nel caso in cui d e t A non sia uguale a zero, il sistema ha una sola opzione risolutiva: utilizzare il metodo della matrice inversa. Se d e t A = 0, il sistema non può essere risolto con questo metodo.
Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo della matrice inversa
Esempio 2Risolviamo lo SLAE utilizzando il metodo della matrice inversa:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Come risolvere?
- Scriviamo il sistema sotto forma di un'equazione di matrice A X = B, dove
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- Esprimiamo X da questa equazione:
- Trovare il determinante della matrice A:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A non è uguale a 0, quindi il metodo di soluzione della matrice inversa è adatto per questo sistema.
- Troviamo la matrice inversa A - 1 utilizzando la matrice alleata. Calcoliamo i complementi algebrici A i j ai corrispondenti elementi della matrice A:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Scriviamo la matrice alleata A *, che è composta dai complementi algebrici della matrice A:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Scriviamo la matrice inversa secondo la formula:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Moltiplichiamo la matrice inversa A - 1 per la colonna dei termini liberi B e otteniamo una soluzione del sistema:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 01
Risposta :x1=-1; x2 = 0; x3 = 1
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Questo argomento è uno dei più odiati dagli studenti. Peggiori, probabilmente, sono le qualificazioni.
Il trucco è che il concetto stesso di elemento inverso (e non sto parlando solo di matrici) ci rimanda all’operazione di moltiplicazione. Anche nel curriculum scolastico la moltiplicazione è considerata un'operazione complessa, e la moltiplicazione delle matrici è generalmente un argomento a parte, al quale ho dedicato un intero paragrafo e una video lezione.
Oggi non entreremo nei dettagli dei calcoli matriciali. Ricordiamo solo: come vengono designate le matrici, come vengono moltiplicate e cosa ne consegue.
Ripasso: Moltiplicazione di matrici
Prima di tutto, mettiamoci d'accordo sulla notazione. Una matrice $A$ di dimensione $\left[ m\times n \right]$ è semplicemente una tabella di numeri con esattamente $m$ righe e $n$ colonne:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
Per evitare di confondere accidentalmente righe e colonne (credetemi, in un esame si può confondere l'uno con il due, figuriamoci qualche riga), basta guardare l'immagine:
Determinazione degli indici per le celle della matrice Cosa sta succedendo? Se posizioni il sistema di coordinate standard $OXY$ a sinistra angolo superiore e dirigere gli assi in modo che coprano l'intera matrice, quindi ciascuna cella di questa matrice può essere associata in modo univoco alle coordinate $\left(x;y\right)$ - questo sarà il numero di riga e il numero di colonna.
Perché il sistema di coordinate è posizionato nell'angolo in alto a sinistra? Sì, perché è da lì che si comincia a leggere qualsiasi testo. È molto facile da ricordare.
Perché l'asse $x$ è diretto verso il basso e non a destra? Ancora una volta, è semplice: prendi un sistema di coordinate standard (l'asse $x$ va a destra, l'asse $y$ va verso l'alto) e ruotalo in modo che copra la matrice. Questa è una rotazione di 90 gradi in senso orario: vediamo il risultato nell'immagine.
In generale, abbiamo capito come determinare gli indici degli elementi della matrice. Ora consideriamo la moltiplicazione.
Definizione. Le matrici $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, quando il numero di colonne della prima coincide con il numero di righe della seconda, sono chiamato coerente.
Esattamente in quest'ordine. Si può fare confusione e dire che le matrici $A$ e $B$ formano una coppia ordinata $\left(A;B \right)$: se sono coerenti in quest'ordine, allora non è affatto necessario che $B $ e $A$ quelli. anche la coppia $\left(B;A \right)$ è coerente.
È possibile moltiplicare solo le matrici abbinate.
Definizione. Il prodotto delle matrici abbinate $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$ è la nuova matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , i cui elementi $((c)_(ij))$ si calcolano secondo la formula:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
In altre parole: per ottenere l'elemento $((c)_(ij))$ della matrice $C=A\cdot B$, è necessario prendere la riga $i$ della prima matrice, $j$ -esima colonna della seconda matrice, quindi moltiplicare a coppie gli elementi di questa riga e colonna. Somma i risultati.
Sì, è una definizione così dura. Da ciò conseguono immediatamente alcuni fatti:
- La moltiplicazione di matrici, in generale, è non commutativa: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Tuttavia, la moltiplicazione è associativa: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- E anche in modo distributivo: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- E ancora una volta in modo distributivo: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
La distributività della moltiplicazione doveva essere descritta separatamente per il fattore somma sinistro e destro proprio a causa della non commutatività dell'operazione di moltiplicazione.
Se risulta che $A\cdot B=B\cdot A$, tali matrici si dicono commutative.
Tra tutte le matrici che vengono moltiplicate per qualcosa lì, ce ne sono di speciali - quelle che, se moltiplicate per qualsiasi matrice $A$, danno ancora $A$:
Definizione. Una matrice $E$ si dice identità se $A\cdot E=A$ oppure $E\cdot A=A$. Nel caso di matrice quadrata $A$ possiamo scrivere:
La matrice identità è un ospite frequente quando si risolvono le equazioni di matrice. E in generale, un ospite frequente nel mondo delle matrici. :)
E a causa di questo $E$, qualcuno ha inventato tutte le sciocchezze che verranno scritte dopo.
Cos'è una matrice inversa
Poiché la moltiplicazione delle matrici è un'operazione molto laboriosa (devi moltiplicare un mucchio di righe e colonne), anche il concetto di matrice inversa risulta non essere dei più banali. E richiede qualche spiegazione.
Definizione chiave
Bene, è ora di sapere la verità.
Definizione. Una matrice $B$ si dice inversa di una matrice $A$ se
La matrice inversa si indica con $((A)^(-1))$ (da non confondere con il grado!), quindi la definizione può essere riscritta come segue:
Sembrerebbe che tutto sia estremamente semplice e chiaro. Ma analizzando questa definizione sorgono immediatamente diverse domande:
- Esiste sempre una matrice inversa? E se non sempre, come determinare: quando esiste e quando no?
- E chi ha detto che esiste esattamente una di queste matrici? Cosa succederebbe se per una matrice iniziale $A$ ci fosse un'intera folla di inversi?
- Che aspetto hanno tutti questi “rovesci”? E come, esattamente, dovremmo contarli?
Per quanto riguarda gli algoritmi di calcolo, ne parleremo più avanti. Ma risponderemo subito alle restanti domande. Formuliamoli sotto forma di lemmi di affermazioni separate.
Proprietà di base
Cominciamo con come dovrebbe, in linea di principio, apparire la matrice $A$ affinché $((A)^(-1))$ esista per essa. Ora ci assicureremo che entrambe queste matrici debbano essere quadrate e della stessa dimensione: $\left[ n\times n \right]$.
Lemma 1. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Allora entrambe queste matrici sono quadrate e dello stesso ordine $n$.
Prova. È semplice. Sia la matrice $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Poiché il prodotto $A\cdot ((A)^(-1))=E$ esiste per definizione, le matrici $A$ e $((A)^(-1))$ sono coerenti nell'ordine mostrato:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( allineare)\]
Questa è una conseguenza diretta dell'algoritmo di moltiplicazione di matrici: i coefficienti $n$ e $a$ sono di “transito” e devono essere uguali.
Allo stesso tempo si definisce anche la moltiplicazione inversa: $((A)^(-1))\cdot A=E$, quindi le matrici $((A)^(-1))$ e $A$ sono coerente anche nell'ordine specificato:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( allineare)\]
Pertanto, senza perdita di generalità, possiamo assumere che $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tuttavia, secondo la definizione di $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, quindi le dimensioni delle matrici coincidono strettamente:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Risulta quindi che tutte e tre le matrici - $A$, $((A)^(-1))$ e $E$ - sono matrici quadrate di dimensione $\left[ n\times n \right]$. Il lemma è dimostrato.
Beh, va già bene. Vediamo che solo le matrici quadrate sono invertibili. Ora assicuriamoci che la matrice inversa sia sempre la stessa.
Lemma 2. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Allora questa matrice inversa è l'unica.
Prova. Andiamo per contraddizione: lasciamo che la matrice $A$ abbia almeno due inversi: $B$ e $C$. Allora, secondo la definizione, sono vere le seguenti uguaglianze:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(allinea)\]
Dal Lemma 1 concludiamo che tutte e quattro le matrici - $A$, $B$, $C$ e $E$ - sono quadrati dello stesso ordine: $\left[ n\times n \right]$. Pertanto il prodotto è definito:
Poiché la moltiplicazione tra matrici è associativa (ma non commutativa!), possiamo scrivere:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Freccia destra B=C. \\ \end(allinea)\]
Abbiamo l'unica opzione possibile: due copie della matrice inversa sono uguali. Il lemma è dimostrato.
Gli argomenti di cui sopra ripetono quasi alla lettera la prova dell'unicità dell'elemento inverso per tutti numeri reali$b\ne 0$. L'unica aggiunta significativa è tenere conto della dimensione delle matrici.
Tuttavia non sappiamo ancora nulla se ogni matrice quadrata sia invertibile. Qui il determinante viene in nostro aiuto: questa è una caratteristica chiave per tutte le matrici quadrate.
Lemma 3. Data una matrice $A$. Se esiste la sua matrice inversa $((A)^(-1))$, allora il determinante della matrice originale è diverso da zero:
\[\sinistra| A\giusto|\ne 0\]
Prova. Sappiamo già che $A$ e $((A)^(-1))$ sono matrici quadrate di dimensione $\left[ n\times n \right]$. Pertanto per ognuno di essi possiamo calcolare il determinante: $\left| A\destra|$ e $\sinistra| ((A)^(-1)) \right|$. Tuttavia, il determinante di un prodotto è uguale al prodotto dei determinanti:
\[\sinistra| A\cpunto B \destra|=\sinistra| A \right|\cdot \left| B \destra|\Frecciadestra \sinistra| A\cpunto ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \destra|\]
Ma secondo la definizione, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, e il determinante di $E$ è sempre uguale a 1, quindi
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sinistra| A\cpunto ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| E\giusto|; \\ & \sinistra| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \destra|=1. \\ \end(allinea)\]
Il prodotto di due numeri è uguale a uno solo se ciascuno di questi numeri è diverso da zero:
\[\sinistra| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Quindi risulta che $\left| A \right|\ne 0$. Il lemma è dimostrato.
In realtà, questo requisito è abbastanza logico. Ora analizzeremo l'algoritmo per trovare la matrice inversa e diventerà completamente chiaro perché, con un determinante pari a zero, in linea di principio non può esistere alcuna matrice inversa.
Ma prima formuliamo una definizione “ausiliaria”:
Definizione. Una matrice singolare è una matrice quadrata di dimensione $\left[ n\times n \right]$ il cui determinante è zero.
Possiamo quindi affermare che ogni matrice invertibile è non singolare.
Come trovare l'inversa di una matrice
Considereremo ora un algoritmo universale per trovare matrici inverse. In generale, esistono due algoritmi generalmente accettati e oggi considereremo anche il secondo.
Quella di cui parleremo ora è molto efficace per matrici di dimensione $\left[ 2\times 2 \right]$ e - parzialmente - di dimensione $\left[ 3\times 3 \right]$. Ma a partire dalla dimensione $\left[ 4\times 4 \right]$ è meglio non usarlo. Perché - ora capirai tutto da solo.
Addizioni algebriche
Preparati. Ora ci sarà dolore. No, non preoccuparti: una bella infermiera in gonna, calze con pizzo non verrà da te e ti farà un'iniezione nel gluteo. Tutto è molto più prosaico: arrivano le addizioni algebriche e Sua Maestà la “Matrice dell'Unione”.
Cominciamo con la cosa principale. Sia una matrice quadrata di dimensione $A=\left[ n\times n \right]$, i cui elementi si chiamano $((a)_(ij))$. Quindi per ciascuno di questi elementi possiamo definire un complemento algebrico:
Definizione. Complemento algebrico $((A)_(ij))$ all'elemento $((a)_(ij))$ situato nella $i$esima riga e $j$esima colonna della matrice $A=\left[ n \times n \right]$ è una costruzione della forma
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Dove $M_(ij)^(*)$ è il determinante della matrice ottenuta dall'$A$ originale eliminando la stessa $i$esima riga e $j$esima colonna.
Ancora. Il complemento algebrico di un elemento di matrice con coordinate $\left(i;j \right)$ è indicato come $((A)_(ij))$ e si calcola secondo lo schema:
- Innanzitutto, eliminiamo la riga $i$ e la colonna $j$-esima dalla matrice originale. Otteniamo una nuova matrice quadrata e denotiamo il suo determinante come $M_(ij)^(*)$.
- Quindi moltiplichiamo questo determinante per $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - all'inizio questa espressione può sembrare strabiliante, ma in sostanza stiamo semplicemente cercando di capire il segno davanti a $M_(ij)^(*) $.
- Contiamo e otteniamo un numero specifico. Quelli. l'addizione algebrica è precisamente un numero, e non una nuova matrice, ecc.
La matrice stessa $M_(ij)^(*)$ è detta minore aggiuntiva all'elemento $((a)_(ij))$. E in questo senso, la definizione di complemento algebrico di cui sopra è un caso speciale di una definizione più complessa: ciò che abbiamo visto nella lezione sul determinante.
Nota importante. In realtà, nella matematica “adulta”, le addizioni algebriche sono definite come segue:
- Prendiamo $k$ righe e $k$ colonne in una matrice quadrata. Alla loro intersezione otteniamo una matrice di dimensione $\left[ k\times k \right]$ - il suo determinante è chiamato minore di ordine $k$ ed è indicato $((M)_(k))$.
- Quindi cancelliamo queste righe $k$ e colonne $k$ "selezionate". Ancora una volta ottieni una matrice quadrata: il suo determinante è chiamato minore aggiuntivo ed è indicato $M_(k)^(*)$.
- Moltiplica $M_(k)^(*)$ per $((\left(-1 \right))^(t))$, dove $t$ è (attenzione ora!) la somma dei numeri di tutte le righe selezionate e colonne. Questa sarà l'addizione algebrica.
Guarda il terzo passaggio: in realtà c'è una somma di termini di $ 2k$! Un'altra cosa è che per $k=1$ otterremo solo 2 termini - questi saranno gli stessi $i+j$ - le "coordinate" dell'elemento $((a)_(ij))$ per il quale siamo alla ricerca di un complemento algebrico.
Quindi oggi utilizzeremo una definizione leggermente semplificata. Ma come vedremo più avanti sarà più che sufficiente. La cosa seguente è molto più importante:
Definizione. La matrice affine $S$ alla matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ è una nuova matrice di dimensione $\left[ n\times n \right]$, che si ottiene da $A$ sostituendo $(( a)_(ij))$ con addizioni algebriche $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
Il primo pensiero che sorge nel momento in cui si realizza questa definizione è “quanto bisognerà contare!” Rilassati: dovrai contare, ma non così tanto. :)
Bene, tutto questo è molto bello, ma perché è necessario? Ma perché.
Teorema principale
Torniamo un po' indietro. Ricordiamo che nel Lemma 3 si afferma che la matrice invertibile $A$ è sempre non singolare (cioè il suo determinante è diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$).
Quindi è vero anche il contrario: se la matrice $A$ non è singolare allora è sempre invertibile. Ed esiste anche uno schema di ricerca per $((A)^(-1))$. Controlla:
Teorema della matrice inversa. Sia data una matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ e il suo determinante sia diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$. Allora esiste la matrice inversa $((A)^(-1))$ che viene calcolata con la formula:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
E ora: tutto è uguale, ma con una grafia leggibile. Per trovare la matrice inversa, è necessario:
- Calcolare il determinante $\left| A \right|$ e assicurati che sia diverso da zero.
- Costruisci la matrice di unione $S$, ovvero contare 100500 addizioni algebriche $((A)_(ij))$ e metterle al posto $((a)_(ij))$.
- Trasponi questa matrice $S$ e poi moltiplicala per un numero $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
È tutto! È stata trovata la matrice inversa $((A)^(-1))$. Diamo un'occhiata agli esempi:
\[\left[ \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right]\]
Soluzione. Verifichiamo la reversibilità. Calcoliamo il determinante:
\[\sinistra| A\destra|=\sinistra| \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Il determinante è diverso da zero. Ciò significa che la matrice è invertibile. Creiamo una matrice di unione:
Calcoliamo le addizioni algebriche:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \giusto|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \destra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \destra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\destra|=3. \\ \end(allinea)\]
Nota: i determinanti |2|, |5|, |1| e |3| sono determinanti di matrici di dimensione $\left[ 1\times 1 \right]$, e non moduli. Quelli. Se nei determinanti fossero presenti numeri negativi, non è necessario rimuovere il “meno”.
In totale, la nostra matrice di unione è simile alla seguente:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]
OK, è tutto finito adesso. Il problema è risolto.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Soluzione. Calcoliamo nuovamente il determinante:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrice ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrice)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Il determinante è diverso da zero: la matrice è invertibile. Ma ora sarà davvero dura: bisognerà contare ben 9 (nove, figlio di puttana!) addizioni algebriche. E ognuno di essi conterrà il determinante $\left[ 2\times 2 \right]$. Volò:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrice) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrice) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrice) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrice) \right|=2; \\ \end(matrice)\]
In breve, la matrice dell’unione sarà simile a questa:
Pertanto la matrice inversa sarà:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Questo è tutto. Ecco la risposta.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Come puoi vedere, alla fine di ogni esempio abbiamo eseguito un controllo. A questo proposito una nota importante:
Non essere pigro per controllare. Moltiplica la matrice originale per la matrice inversa trovata: dovresti ottenere $E$.
Eseguire questo controllo è molto più semplice e veloce che cercare un errore in ulteriori calcoli quando, ad esempio, si sta risolvendo un'equazione di matrice.
Modo alternativo
Come ho detto, il teorema della matrice inversa funziona benissimo per le dimensioni $\left[ 2\times 2 \right]$ e $\left[ 3\times 3 \right]$ (in quest'ultimo caso, non è così “fantastico”" ), ma per le matrici più grandi comincia la tristezza.
Ma non preoccupatevi: esiste un algoritmo alternativo con cui potete trovare tranquillamente l’inverso anche per la matrice $\left[ 10\times 10 \right]$. Ma, come spesso accade, per considerare questo algoritmo occorre un po’ di preparazione teorica.
Trasformazioni elementari
Tra tutte le possibili trasformazioni di matrice, ce ne sono molte speciali: sono chiamate elementari. Esistono esattamente tre trasformazioni di questo tipo:
- Moltiplicazione. Puoi prendere la $i$esima riga (colonna) e moltiplicarla per qualsiasi numero $k\ne 0$;
- Aggiunta. Aggiungi alla $i$-esima riga (colonna) qualsiasi altra $j$-esima riga (colonna), moltiplicata per qualsiasi numero $k\ne 0$ (puoi, ovviamente, fare $k=0$, ma cosa succede il punto? ? Non cambierà nulla).
- Riorganizzazione. Prendi la $i$esima e la $j$esima riga (colonne) e scambia di posto.
Perché queste trasformazioni sono chiamate elementari (per matrici di grandi dimensioni non sembrano così elementari) e perché ce ne sono solo tre: queste domande vanno oltre lo scopo della lezione di oggi. Pertanto non entreremo nei dettagli.
Un'altra cosa è importante: dobbiamo eseguire tutte queste perversioni sulla matrice aggiunta. Sì, sì: hai sentito bene. Ora ci sarà un'altra definizione, l'ultima della lezione di oggi.
Matrice aggiunta
Sicuramente a scuola hai risolto sistemi di equazioni usando il metodo dell'addizione. Bene, ecco, sottrai un altro da una riga, moltiplica una riga per un numero: tutto qui.
Quindi: adesso tutto sarà uguale, ma in modo “adulto”. Pronto?
Definizione. Siano date una matrice $A=\left[ n\times n \right]$ e una matrice identità $E$ della stessa dimensione $n$. Quindi la matrice aggiunta $\left[ A\left| E\giusto. \right]$ è una nuova matrice di dimensione $\left[ n\times 2n \right]$ che assomiglia a questa:
\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
In breve, prendiamo la matrice $A$, e a destra le assegniamo la matrice identità $E$ la giusta dimensione, li separiamo con una linea verticale per bellezza - ecco quella allegata. :)
Qual è il problema? Ecco cosa:
Teorema. Sia la matrice $A$ invertibile. Consideriamo la matrice aggiunta $\left[ A\left| E\giusto. \right]$. Se si utilizza conversioni di stringhe elementari portalo nella forma $\left[ E\left| Luminoso. \right]$, cioè moltiplicando, sottraendo e riordinando le righe per ottenere da $A$ la matrice $E$ a destra, allora la matrice $B$ ottenuta a sinistra è l'inverso di $A$:
\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \right]\a \left[ E\left| Luminoso. \destra]\Frecciadestra B=((A)^(-1))\]
È così semplice! In breve, l'algoritmo per trovare la matrice inversa è simile al seguente:
- Scrivi la matrice aggiunta $\left[ A\left| E\giusto. \right]$;
- Esegui conversioni di stringhe elementari finché non appare $E$ invece di $A$;
- Naturalmente qualcosa apparirà anche a sinistra: una certa matrice $B$. Questo sarà il contrario;
- PROFITTO!:)
Naturalmente, questo è molto più facile a dirsi che a farsi. Quindi diamo un'occhiata a un paio di esempi: per le dimensioni $\left[ 3\times 3 \right]$ e $\left[ 4\times 4 \right]$.
Compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Soluzione. Creiamo la matrice aggiunta:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Poiché l'ultima colonna della matrice originale è piena di unità, sottrai la prima riga dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Non ci sono più unità, ad eccezione della prima riga. Ma non lo tocchiamo, altrimenti le unità appena rimosse inizieranno a “moltiplicarsi” nella terza colonna.
Ma possiamo sottrarre la seconda riga due volte dall'ultima: ne otteniamo una nell'angolo in basso a sinistra:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Adesso possiamo sottrarre l'ultima riga dalla prima e due volte dalla seconda - in questo modo azzeriamo la prima colonna:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ a \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Moltiplica la seconda riga per −1, quindi sottraila 6 volte dalla prima e aggiungi 1 volta all'ultima:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Non resta che invertire le righe 1 e 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
Pronto! A destra c'è la matrice inversa richiesta.
Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Compito. Trova la matrice inversa:
\[\left[ \begin(matrice) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \right]\]
Soluzione. Componiamo nuovamente l'aggiunto:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Piangiamo un po', siamo tristi per quanto dobbiamo contare adesso... e iniziamo a contare. Innanzitutto, "azzeriamo" la prima colonna sottraendo la riga 1 dalle righe 2 e 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Vediamo troppi "contro" nelle righe 2-4. Moltiplica tutte e tre le righe per −1, quindi elimina la terza colonna sottraendo la riga 3 dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Ora è il momento di “friggere” l’ultima colonna della matrice originale: sottrai la riga 4 dal resto:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Lancio finale: “brucia” la seconda colonna sottraendo la riga 2 dalle righe 1 e 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
E ancora una volta la matrice identità è a sinistra, il che significa che l'inverso è a destra. :)
Risposta. $\left[ \begin(matrice) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$
OK, è tutto finito adesso. Controlla tu stesso, sono fregato. :)
Algebra delle matrici - Matrice inversamatrice inversa
Matrice inversaè una matrice che, moltiplicata sia a destra che a sinistra per una matrice data, dà la matrice identità.
Indichiamo la matrice inversa della matrice UN attraverso , quindi secondo la definizione otteniamo:
Dove E- matrice identità.
Matrice quadrata chiamato Non è speciale (non degenerato) se il suo determinante è diverso da zero. Altrimenti si chiama speciale (degenerare) O singolare.
Il teorema vale: Ogni matrice non singolare ha una matrice inversa.
L'operazione di ricerca della matrice inversa si chiama appello matrici. Consideriamo l'algoritmo di inversione della matrice. Sia data una matrice non singolare N-esimo ordine:
dove Δ = det UN ≠ 0.
Addizione algebrica di un elemento matrici N-esimo ordine UN si chiama determinante di una matrice presa con un certo segno ( N–1)esimo ordine ottenuto mediante cancellazione io-esima riga e J esima colonna della matrice UN:
Creiamo il cosiddetto allegato matrice:
dove sono i complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice UN.
Si noti che le addizioni algebriche degli elementi riga della matrice UN sono posti nelle corrispondenti colonne della matrice Ã
, cioè la matrice viene trasposta contemporaneamente.
Dividendo tutti gli elementi della matrice Ã
per Δ – il valore del determinante della matrice UN, otteniamo come risultato la matrice inversa:
Notiamo alcune proprietà speciali della matrice inversa:
1) per una data matrice UN la sua matrice inversa
è l'unico;
2) se esiste una matrice inversa, allora retromarcia destra E retromarcia sinistra le matrici coincidono con esso;
3) una matrice quadrata singolare (singolare) non ha una matrice inversa.
Proprietà di base di una matrice inversa:
1) il determinante della matrice inversa e il determinante della matrice originaria sono reciproci;
2) la matrice inversa del prodotto di matrici quadrate è uguale al prodotto della matrice inversa dei fattori, presi in ordine inverso:
3) la matrice inversa trasposta è uguale alla matrice inversa della matrice trasposta data:
ESEMPIO Calcolare l'inversa della matrice data.
Continuiamo la conversazione sulle azioni con le matrici. Vale a dire, durante lo studio di questa lezione imparerai come trovare la matrice inversa. Imparare. Anche se la matematica è difficile.
Cos'è una matrice inversa? Qui possiamo tracciare un'analogia con i numeri inversi: consideriamo, ad esempio, il numero ottimista 5 e il suo numero inverso. Il prodotto di questi numeri è uguale a uno: . Tutto è simile con le matrici! Il prodotto di una matrice e della sua matrice inversa è uguale a – matrice identità, che è l'analogo matriciale dell'unità numerica. Tuttavia, per prima cosa, risolviamo prima un importante problema pratico, vale a dire, impariamo come trovare questa matrice molto inversa.
Cosa devi sapere ed essere in grado di fare per trovare la matrice inversa? Devi essere in grado di decidere qualificazioni. Devi capire di cosa si tratta matrice ed essere in grado di eseguire alcune azioni con loro.
Esistono due metodi principali per trovare la matrice inversa:
usando addizioni algebriche E utilizzando trasformazioni elementari.
Oggi studieremo il primo metodo più semplice.
Cominciamo con il più terribile e incomprensibile. Consideriamo piazza matrice. La matrice inversa può essere trovata utilizzando la seguente formula:
Dov'è il determinante della matrice, è la matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice.
Il concetto di matrice inversa esiste solo per matrici quadrate, matrici “due per due”, “tre per tre”, ecc.
Designazioni: Come avrai già notato, la matrice inversa è denotata da un apice
Cominciamo con il caso più semplice: una matrice due per due. Molto spesso, ovviamente, è richiesto "tre per tre", ma, tuttavia, consiglio vivamente di studiare un compito più semplice per padroneggiarlo principio generale soluzioni.
Esempio:
Trova l'inversa di una matrice
Decidiamo. È conveniente scomporre punto per punto la sequenza delle azioni.
1) Per prima cosa troviamo il determinante della matrice.
Se la tua comprensione di questa azione non è buona, leggi il materiale Come calcolare il determinante?
Importante! Se il determinante della matrice è uguale a ZERO– matrice inversa NON ESISTE.
Nell'esempio in esame, come si è scoperto, ciò significa che tutto è in ordine.
2) Trova la matrice dei minori.
Per risolvere il nostro problema non è necessario sapere cosa sia un minore, tuttavia è consigliabile leggere l'articolo Come calcolare il determinante.
La matrice dei minori ha le stesse dimensioni della matrice, cioè in questo caso.
L'unica cosa che resta da fare è trovare quattro numeri e metterli al posto degli asterischi.
Torniamo alla nostra matrice
Diamo prima un'occhiata all'elemento in alto a sinistra:
Come trovarlo minore?
E questo viene fatto in questo modo: cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:
Il numero rimanente è minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice dei minori:
Consideriamo il seguente elemento di matrice:
Cancella mentalmente la riga e la colonna in cui appare questo elemento:
Ciò che rimane è il minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice:
Allo stesso modo, consideriamo gli elementi della seconda riga e troviamo i loro minori:
Pronto.
È semplice. Nella matrice dei minori di cui hai bisogno CAMBIARE SEGNI due numeri:
Questi sono i numeri che ho cerchiato!
– matrice delle addizioni algebriche dei corrispondenti elementi della matrice.
E solo...
4) Trova la matrice trasposta delle addizioni algebriche.
– matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.
5) Rispondi.
Ricordiamo la nostra formula
È stato trovato tutto!
Quindi la matrice inversa è: 
È meglio lasciare la risposta così com'è. NON C'È BISOGNO dividi ogni elemento della matrice per 2, poiché il risultato sono numeri frazionari. Questa sfumatura è discussa più dettagliatamente nello stesso articolo. Azioni con matrici.
Come verificare la soluzione?
È necessario eseguire la moltiplicazione di matrici o
Visita medica: 
Ricevuto già menzionato matrice identitàè una matrice con unità per diagonale principale e zeri in altri posti.
Pertanto, la matrice inversa viene trovata correttamente.
Se esegui l'azione, anche il risultato sarà una matrice identità. Questo è uno dei pochi casi in cui la moltiplicazione di matrici è permutabile, di più informazioni dettagliate può essere trovato nell'articolo Proprietà delle operazioni sulle matrici. Espressioni di matrice. Si noti inoltre che durante il controllo, la costante (frazione) viene anticipata ed elaborata alla fine, dopo la moltiplicazione della matrice. Questa è una tecnica standard.
Passiamo al caso più comune nella pratica: la matrice tre per tre:
Esempio:
Trova l'inversa di una matrice 
L'algoritmo è esattamente lo stesso del caso “due per due”.
Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula: , dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.
1) Trovare il determinante della matrice.
Qui si rivela il determinante sulla prima riga.
Inoltre, non dimenticarlo, il che significa che va tutto bene - esiste la matrice inversa.
2) Trova la matrice dei minori.
La matrice dei minori ha una dimensione “tre per tre” 
, e dobbiamo trovare nove numeri.
Considererò nel dettaglio un paio di minorenni:
Consideriamo il seguente elemento di matrice: 
Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui si trova questo elemento: 
Scriviamo i restanti quattro numeri nel determinante “due per due”. 
Questo determinante due per due e è il minore di questo elemento. È necessario calcolarlo: 
Ecco, il minore è stato ritrovato, lo scriviamo nella nostra matrice dei minori: 
Come probabilmente hai intuito, devi calcolare nove determinanti due per due. Il processo, ovviamente, è noioso, ma il caso non è il più grave, può essere peggio.
Bene, per consolidare, trovando un altro minore nelle immagini: 
Prova a calcolare tu stesso i minori rimanenti.
Risultato finale: 
– matrice dei minori dei corrispondenti elementi della matrice.
Il fatto che tutti i minorenni siano risultati negativi è puramente casuale.
3) Trova la matrice delle addizioni algebriche.
Nella matrice dei minorenni è necessario CAMBIARE SEGNI rigorosamente per i seguenti elementi: 
In questo caso:
Non consideriamo la ricerca della matrice inversa per una matrice “quattro per quattro”, poiché tale compito può essere assegnato solo da un insegnante sadico (perché lo studente calcoli un determinante “quattro per quattro” e 16 determinanti “tre per tre” ). Nella mia pratica, c'era solo un caso del genere e il cliente lavoro di prova pagato a caro prezzo il mio tormento =).
In numerosi libri di testo e manuali puoi trovare un approccio leggermente diverso per trovare la matrice inversa, ma io consiglio di utilizzare l'algoritmo risolutivo descritto sopra. Perché? Perché la probabilità di confondersi nei calcoli e nei segni è molto inferiore.