Institut d'État d'architecture et de construction de Novossibirsk
Université (Sibstrín)
CONFÉRENCES SUR LA MÉCANIQUE THÉORIQUE.
CINÉMATIQUE
CONFÉRENCE 3.
MOUVEMENT PLAT DU SOLIDE
CORPS
Département de mécanique théorique

Plan de la conférence

Introduction.
Loi du mouvement plan.
Vitesses des points du corps.
Accélération des points du corps.
.
Conclusion.

Dans les cours précédents

Nous avons déjà étudié :
-Cinématique du point
-Mouvement de translation d'un corps rigide
-Mouvement de rotation d'un corps rigide
Sujet de la conférence d'aujourd'hui :
Mouvement plan d'un solide
corps
Q
Ô
Définition. Plat
ce mouvement s'appelle
P.
corps rigide pour lequel tout x
ses points M(t) entrent
plans Q parallèles
certains corrigés
l'avion P.
M
COMME
oui

Objectif de la conférence

Apprendre le mouvement du plan
solide

Introduction
Exemples:
-Mouvement de rotation (plan P –
perpendiculaire à l'axe de rotation)
-Déplacement de l'avion en mode croisière
(le plan P est perpendiculaire à l'envergure)
-Mouvement des roues de la voiture sur une route droite
(plan P – le long de la carrosserie de la voiture)
-Mouvement des mécanismes plats :
vB
Virginie
C
UN
B
N
M
D
E

Introduction
Q
Ô
P.
M
COMME
oui
X
Déclaration. Tous les points de la droite AM,
perpendiculairement à P, déplacez-vous de la même manière.
Preuve. Parce que le corps est solide, alors AM=const ;
Parce que P est parallèle à Q, alors le segment AM reste
perpendiculaire à P. Donc son mouvement
progressivement. Donc tous ses points
bougez de la même manière.
Conclusion : la tâche se résume à étudier le mouvement
sections S dans le plan P.

oui
Mouvement d'une figure plate S
par rapport au système Oxy
sera complètement déterminé
UN
oui
mouvement du segment AB
Ô
xA (t), yA (t)
B
φ
xA
- déterminer le mouvement du pôle A.
t - définit la rotation de AB autour du pôle A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- loi du mouvement plan d'un corps rigide
X

Loi du mouvement plan d'un corps rigide
Interprétation. Introduisons l'auxiliaire Y y
système propulsif :
Ax1 y1 ; Ax1 est parallèle à Ox,
B
1
x1
UN
Ay1 est parallèle à Oy ;
Ô
Dans le système Ax1 y1, le corps tourne
X
mouvement corporel. Le système Ax1 y1 se déplace
par rapport à Oxy progressivement
Le mouvement plan est la somme des mouvements de translation
mouvement avec le pôle A et rotation
mouvement par rapport au pôle A
x A (t), y A (t) spécifie le mouvement de translation
(t) spécifie le mouvement de rotation

Interprétation

1
UN)
UN
B
2
B"
1"
1
b)
φ
UN"
1"
2
B
UN
B"
φ
UN"
La section transversale peut être transférée de la position 1 à la position 2
considéré comme une superposition de deux mouvements :
translationnelle de 1 à 1" et rotationnelle de 1" à 2
autour du point A."
Vous pouvez choisir n’importe quel point comme pôle. Sur
riz. b) le point B est choisi comme pôle.
Attention : La longueur de la trajectoire lors du mouvement de translation a changé, mais l'angle de rotation reste le même !
Ceux. la partie translationnelle dépend du choix du pôle, et
la partie rotationnelle ne dépend pas !

Loi du mouvement et trajectoires des points du corps

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
oui
RM
yM (t) y A (t) (t) péché((t))
Exemple (mouvement de l'ellipsographe)
UN B je, UN M b;
oui
Ô
rA
B
x1
X
Déterminer la loi du mouvement
et la trajectoire du point M
M
B
xM (t) (bl) cos (t)
UN
UN
M
ρ
Ô
X
yM (t) b sin (t) loi du mouvement
xM2
yM2
2 1 ellipse
2
(bl)
b

Vitesses des points du corps

y1
rM (t) rA (t) (t)
oui
RM
En différenciant, on obtient :
M
ρ
B
x1
UN
v M v A v MA
X
r
Ô
v Une vitesse de pôle
d
vMA
vitesse de rotation autour du poteau
dt
(v MA vitesse M dans le système Ax1 y1).
UN
vM
vMA AM
vMA
Virginie
UN
M
Virginie

Conséquences de la formule des vitesses ponctuelles

Corollaire 1. Projections des vitesses de deux points d'un solide
vB
les corps sur la ligne droite qui les relie sont égaux.
Preuve.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Corollaire 2. Si points
A, B, C s'allongent sur un
tout droit, puis les extrémités
vecteurs v A , v B , v C
mentir sur la même ligne droite
et ab/bc AB/BC
Virginie
UN
vBA
β
α
α
B
Virginie

MCS est un point dont la vitesse
UN
égal à zéro à un instant donné.
C
Exemple. Rouler sans glisser
Disque Vania. MCS-point C.
Déclaration. Si la vitesse angulaire n'est pas nulle
pour un t donné, alors le MCS existe et est unique.
Virginie
Preuve.
UN
Parce que 0 puis A et B, v A v B .
C
Si v A et v B ne sont pas parallèles : B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Si v C 0 alors v A AC , v B BC
C trouvé.
B
vB

Centre de vitesse instantané (IVC)

Si v A et vB sont parallèles :
UN
B
C
V)
b)
un)
Virginie
UN
Virginie
vB
C
vB
Virginie
UN
B
vB
B
Si 0 alors le cas c) est impossible
(par le théorème de projection)
Si 0 alors pour tout A, B : v A v B
et MCS n'existe pas

Propriétés du MCS.
Soit P le MCS. En choisissant P comme pôle, on obtient :
v UNE ω PA ; vBωPB ;
v Une AP ; vB PB
vB
vA vB vC
Ou:
...
AP BP CP
De plus v Avec PC
vB PB
UN
P.
Virginie
ω
B
Conclusion. Si le MCS (point P) est pris comme pôle, alors
le mouvement plan pour un t donné est
rotation pure autour du point P

MCU (exemple)
Exemple. La roue roule sans glisser
route droite.
UN
B
Virginie
C
vB
CV
D
ω
vD
P.E.
Virginie
UN
B
vB
D
vD

Exemple (calcul des vitesses d'un mécanisme plat)
Donné : OA , r1 r2 r, BD CD l
Déterminer v A, v B, v D, BD ; CD
Solution.
UN
Ô
OA : v A OA OA ;
AB : P1 - MCS AB contre B BP1 ;
Virginie
P1
vB
D
B
45ºP
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD : PBD МЦСBD BD contre B / BPBD contre D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD : v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Accélération des points du corps.

On a l'égalité : v B v A ω ρ
Différencions-le :
d v B dv A dω d ρ
un B
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
oui
B
une interdiction
aBA
vBA
UN
Ô
z1
ω
aA
ɛ
X
n
unBA ; aBAvBA
n
aB a A aBA aBA
L'accélération du point B est égale à la somme de l'accélération du pôle A et
accélération de rotation du point B autour du pôle A

Corollaire de la formule des accélérations ponctuelles

c
un
aA
UN
b
un B
B
CA
Cx
Riz. 13.19
Conséquence. Si les points
sur une ligne droite
ABC
mensonge
alors les extrémités des vecteurs aA , aB , aC
se trouvent sur la même ligne droite, et ab/bc AB/BC

Centre d'accélération instantanée (IAC)

MCU est le point Q, dont l'accélération à un instant donné
le temps t est nul.
Déclaration. Pour le mouvement non translationnel du MCU
DANS
existe et est unique.
un
B
UN
aA
Preuve.
aA aQ a AQ ; Q MCU
2
aA un AQ ; tg/;
CA
C
Q
une A AQ 2 4 AQ une A / 2 4
La répartition des accélérations est la même que lors d'une rotation autour de Q.
aA / AQ aB / BQ acC / CQ
2
Commentaire. MCS et MCU sont des points différents !
4

Calcul cinématique d'un mécanisme plat

Exemple. Donné : OA , OA
Définir:
vA , vB , AB ,
BC, aA, ab, AB, AB
Diagramme de solutions.
1. Calcul des vitesses.
OA : v A OA ; v Un OA ;
AB : v B BC PAB MCS AB ; ωABvA/APABvB/BPAB
BC : ωBC v B /BC

Calcul cinématique d'un mécanisme plat

2. Calcul des accélérations.
OA : un An 2OA ; un AOA ;
nn
2
AB : ab a A aba aba ; AB AB
UN B; un BAABAB ;
n
2
BC : aB aB aB (*); aBn BC
AVANT JC; a B avant JC avant JC
nn
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
En (**) il y a deux inconnues : AB, BC. Projection (**) sur
deux axes, trouvons-les. On retrouve l'accélération aB à partir de (*).

Encore un exemple

OA 0 , OA l1; AB l2 ; BD13 ; DE l4
Déterminer v E
Donné:

Conclusion

Conclusion
1. La loi du mouvement plan est dérivée.
2. On montre que le mouvement plan est représenté par
la somme des mouvements les plus simples - translationnelle
avec le poteau et tournant autour
poteaux.
3. La formule du lien entre les vitesses est dérivée
points et ses conséquences.
4. Le concept de MCS est défini et illustré
svotstva.
5. La formule du lien entre les accélérations est dérivée
points et ses conséquences.
6. Des exemples de calculs cinématiques sont considérés
mécanismes plats.

Questions de test pour le cours

1. Combien de degrés de liberté possède un corps rigide ?
faire un mouvement d'avion ?
2. Écrivez la loi du mouvement plan d'un corps rigide.
3. Quelle est la relation entre les vitesses de deux points d’un corps rigide ?
corps en mouvement plan ?
4. Quelle est la vitesse angulaire de rotation d'un corps rigide ?
5. Formuler un théorème sur les projections des vitesses de deux
points d'un corps rigide en mouvement plan.
6. Qu'appelle-t-on le centre instantané des vitesses ?
7. Que faut-il savoir pour déterminer le MCS ?
8. Quelles composantes composent l’accélération d’un point ?
un corps rigide soumis à un mouvement plan ?
9. Quelle est l’accélération du mouvement de rotation d’un point ?
avec le corps autour du poteau ?

Mouvement plan-parallèle d’un corps rigide.

1. Équations de mouvement plan-parallèle

Plan parallèle (ou plat) est le mouvement d'un corps rigide dans lequel tous ses points se déplacent parallèlement à un plan fixe P.

Considérons la section S du corps par un plan Ôxy, parallèle au plan P.. Dans un mouvement plan-parallèle, tous les points du corps se trouvent sur une ligne droite MM / , perpendiculaire à la section (S) , c'est-à-dire à l'avion P. se déplacent de manière identique et ont à chaque instant les mêmes vitesses et accélérations. Par conséquent, pour étudier le mouvement de l'ensemble du corps, il suffit d'étudier comment la section se déplace S corps en avion Ôxy.

(4.1)

Les équations (4.1) déterminent la loi du mouvement en cours et sont appelées équations du mouvement plan-parallèle d'un corps rigide.

2. Décomposition du mouvement plan parallèle en mouvement de translation

avec le poteau et tournant autour du poteau

Montrons que le mouvement plan consiste en un mouvement de translation et de rotation. Pour ce faire, considérons deux positions successives I et II, qu'occupe la section S corps en mouvement à des moments donnés t1 Et t 2= t 1 + Δt . Il est facile de voir que la section S, et avec lui le corps tout entier peut être amené de la position I à la position II de la manière suivante : d'abord, nous déplaçons le corps en translation, de sorte que le pôle UN, se déplaçant le long de sa trajectoire, est arrivé à une position Un 2. Dans ce cas, le segment Un 1 B 1 prendra position, puis fera pivoter la section autour du poteau Un 2à un angle Δφ 1.

Par conséquent, le mouvement plan-parallèle d’un corps rigide est composé d’un mouvement de translation dans lequel tous les points du corps se déplacent de la même manière que le pôle. Et aussi du mouvement de rotation autour de ce pôle.

Il convient de noter que le mouvement de rotation du corps se produit autour d'un axe perpendiculaire au plan P. et passant par le pôle UN. Cependant, par souci de concision, nous appellerons désormais ce mouvement simplement rotation autour du pôle. UN.

La partie translationnelle du mouvement plan-parallèle est évidemment décrite par les deux premières équations (2.1), et la rotation autour du pôle UN - le troisième des équations (2.1).

Caractéristiques cinématiques de base du mouvement plan

Vous pouvez choisir n'importe quel point du corps comme pôle

Conclusion : la composante rotationnelle du mouvement plan ne dépend pas du choix du pôle, donc de la vitesse angulaireω et accélération angulaireesont communs à tous les pôles et sont appelésvitesse angulaire et accélération angulaire d'une figure plane

Les vecteurs et sont dirigés selon un axe passant par le pôle et perpendiculaire au plan de la figure

Image 3D

3. Détermination des vitesses des points du corps

Théorème: la vitesse de tout point d'une figure plane est égale à la somme géométrique de la vitesse du pôle et de la vitesse de rotation de ce point autour du pôle.

Dans la preuve, nous partirons du fait que le mouvement plan-parallèle d'un corps rigide est composé d'un mouvement de translation, dans lequel tous les points du corps se déplacent avec vitesse. v UN et du mouvement de rotation autour de ce pôle. Pour séparer ces deux types de mouvement, nous introduisons deux systèmes de référence : Oxy – stationnaire, et Ox 1 y 1 – se déplaçant en translation avec le pôle. UN. Par rapport au référentiel mobile, le mouvement d'un point M sera "en rotation autour du pôle UN».

Ainsi, la vitesse de tout point M du corps est géométriquement la somme de la vitesse d'un autre point UN, pris comme pôle, et la vitesse de la pointe M dans son mouvement de rotation avec le corps autour de ce pôle.

Interprétation géométrique du théorème

Corollaire 1. Les projections des vitesses de deux points d'un corps rigide sur une droite reliant ces points sont égales entre elles.

Ce résultat permet de trouver facilement la vitesse d'un point donné d'un corps si la direction de déplacement de ce point et la vitesse d'un autre point du même corps sont connues.

Mécanique théorique est une section de mécanique qui énonce les lois fondamentales du mouvement mécanique et de l'interaction mécanique des corps matériels.

La mécanique théorique est une science qui étudie le mouvement des corps au fil du temps (mouvements mécaniques). Elle sert de base à d'autres branches de la mécanique (théorie de l'élasticité, résistance des matériaux, théorie de la plasticité, théorie des mécanismes et des machines, hydroaérodynamique) et à de nombreuses disciplines techniques.

Mouvement mécanique- il s'agit d'une évolution dans le temps de la position relative dans l'espace des corps matériels.

Interaction mécanique- il s'agit d'une interaction à la suite de laquelle le mouvement mécanique change ou la position relative des parties du corps change.

Statique des corps rigides

Statique est une section de mécanique théorique qui traite des problèmes d'équilibre des corps solides et de la transformation d'un système de forces en un autre qui lui est équivalent.

Concepts de base et lois de la statique
• Corps absolument rigide(corps solide, corps) est un corps matériel, dont la distance entre les points ne change pas.
• Point matériel est un corps dont les dimensions, selon les conditions du problème, peuvent être négligées.
• Corps libre- il s'agit d'un organisme dont les mouvements ne sont soumis à aucune restriction.
• Corps non libre (lié) est un corps dont les mouvements sont soumis à des restrictions.
• Connexions– ce sont des corps qui empêchent le mouvement de l’objet en question (un corps ou un système de corps).
• Réaction de communication est une force qui caractérise l'action d'une liaison sur un corps solide. Si l’on considère la force avec laquelle un corps solide agit sur une liaison comme une action, alors la réaction de la liaison est une réaction. Dans ce cas, la force - action est appliquée à la connexion et la réaction de la connexion est appliquée au corps solide.
• Système mécanique est une collection de corps ou de points matériels interconnectés.
• Solide peut être considéré comme un système mécanique dont les positions et les distances entre les points ne changent pas.
• Forcer est une grandeur vectorielle caractérisant l'action mécanique d'un corps matériel sur un autre.
  La force en tant que vecteur est caractérisée par le point d'application, la direction d'action et la valeur absolue. L'unité de module de force est Newton.
• Ligne d'action de la force est une ligne droite le long de laquelle le vecteur force est dirigé.
• Puissance concentrée– force appliquée en un point.
• Forces réparties (charge répartie)- ce sont des forces agissant sur tous les points du volume, de la surface ou de la longueur d'un corps.
  La charge répartie est spécifiée par la force agissant par unité de volume (surface, longueur).
  La dimension de la charge répartie est N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Force externe est une force agissant sur un corps n'appartenant pas au système mécanique considéré.
• Force intérieure est une force agissant sur un point matériel d'un système mécanique à partir d'un autre point matériel appartenant au système considéré.
• Système de force est un ensemble de forces agissant sur un système mécanique.
• Système de force plate est un système de forces dont les lignes d’action se situent dans le même plan.
• Système spatial de forces est un système de forces dont les lignes d’action ne se situent pas dans le même plan.
• Système de forces convergentes est un système de forces dont les lignes d’action se croisent en un point.
• Système de forces arbitraire est un système de forces dont les lignes d’action ne se coupent pas en un point.
• Systèmes de force équivalente- ce sont des systèmes de forces dont le remplacement l'une par l'autre ne modifie pas l'état mécanique du corps.
  Désignation acceptée : .
• Équilibre- c'est un état dans lequel un corps, sous l'action de forces, reste immobile ou se déplace uniformément en ligne droite.
• Système de forces équilibré- il s'agit d'un système de forces qui, appliquées à un corps solide libre, ne modifient pas son état mécanique (ne le déséquilibre pas).
  .
• Force résultante est une force dont l'action sur un corps équivaut à l'action d'un système de forces.
  .
• Moment de pouvoir est une grandeur caractérisant la capacité de rotation d’une force.
• Couple de forces est un système de deux forces parallèles d’égale ampleur et dirigées de manière opposée.
  Désignation acceptée : .
  Sous l’influence d’une paire de forces, le corps va effectuer un mouvement de rotation.
• Projection de force sur l'axe- il s'agit d'un segment compris entre des perpendiculaires tracées du début et de la fin du vecteur force à cet axe.
  La projection est positive si la direction du segment coïncide avec la direction positive de l'axe.
• Projection d'une force sur un avion est un vecteur sur un plan, compris entre des perpendiculaires tracées depuis le début et la fin du vecteur force jusqu'à ce plan.
• Loi 1 (loi de l'inertie). Un point matériel isolé est au repos ou se déplace de manière uniforme et rectiligne.
  Le mouvement uniforme et rectiligne d’un point matériel est un mouvement par inertie. L'état d'équilibre d'un point matériel et d'un corps rigide s'entend non seulement comme un état de repos, mais aussi comme un mouvement par inertie. Pour un corps rigide, il existe différents types de mouvement par inertie, par exemple la rotation uniforme d'un corps rigide autour d'un axe fixe.
• Loi 2. Un corps rigide n’est en équilibre sous l’action de deux forces que si ces forces sont de même ampleur et dirigées dans des directions opposées le long d’une ligne d’action commune.
  Ces deux forces sont appelées équilibrage.
  En général, les forces sont dites équilibrées si le corps solide auquel ces forces sont appliquées est au repos.
• Loi 3. Sans perturber l'état (le mot « état » désigne ici l'état de mouvement ou de repos) d'un corps rigide, on peut ajouter et rejeter des forces d'équilibrage.
  Conséquence. Sans perturber l’état du corps solide, la force peut être transférée le long de sa ligne d’action vers n’importe quel point du corps.
  Deux systèmes de forces sont dits équivalents si l’un d’eux peut être remplacé par l’autre sans perturber l’état du corps solide.
• Loi 4. La résultante de deux forces appliquées en un point, appliquées au même point, est égale en grandeur à la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces forces, et est dirigée le long de ce
  diagonales.
  La valeur absolue de la résultante est :
  
• Loi 5 (loi d'égalité d'action et de réaction). Les forces avec lesquelles deux corps agissent l’un sur l’autre sont de même ampleur et dirigées dans des directions opposées le long d’une même ligne droite.
  Il faut garder à l'esprit que action- force appliquée au corps B, Et opposition- force appliquée au corps UN, ne sont pas équilibrés, puisqu’ils s’appliquent à des corps différents.
• Loi 6 (loi de solidification). L'équilibre d'un corps non solide n'est pas perturbé lorsqu'il se solidifie.
  Il ne faut pas oublier que les conditions d’équilibre, nécessaires et suffisantes pour un corps solide, sont nécessaires mais insuffisantes pour le corps non solide correspondant.
• Loi 7 (loi d'émancipation des liens). Un corps solide non libre peut être considéré comme libre s'il est mentalement libéré des liens, remplaçant l'action des liens par les réactions correspondantes des liens.

Connexions et leurs réactions
• Surface lisse limite le mouvement normal à la surface d’appui. La réaction est dirigée perpendiculairement à la surface.
• Support mobile articulé limite le mouvement du corps normal au plan de référence. La réaction est dirigée normalement à la surface du support.
• Support fixe articulé neutralise tout mouvement dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
• Canne articulée en apesanteur neutralise le mouvement du corps le long de la ligne de la tige. La réaction sera dirigée le long de la ligne de la tige.
• Joint aveugle neutralise tout mouvement et rotation dans l’avion. Son action peut être remplacée par une force représentée sous la forme de deux composantes et d'un couple de forces avec un moment.

Cinématique

Cinématique- une section de mécanique théorique qui examine les propriétés géométriques générales du mouvement mécanique en tant que processus se produisant dans l'espace et dans le temps. Les objets en mouvement sont considérés comme des points géométriques ou des corps géométriques.

Concepts de base de la cinématique
• Loi du mouvement d'un point (corps)– c'est la dépendance de la position d'un point (corps) dans l'espace au temps.
• Trajectoire des points– c'est la localisation géométrique d'un point dans l'espace lors de son mouvement.
• Vitesse d'un point (corps)– c'est une caractéristique du changement dans le temps de la position d'un point (corps) dans l'espace.
• Accélération d'un point (corps)– c'est une caractéristique du changement dans le temps de la vitesse d'un point (corps).

Détermination des caractéristiques cinématiques d'un point
• Trajectoire des points
  Dans un référentiel vectoriel, la trajectoire est décrite par l'expression : .
  Dans le système de référence de coordonnées, la trajectoire est déterminée par la loi du mouvement du point et est décrite par les expressions z = f(x,y)- dans l'espace, ou y = f(x)- dans un avion.
  Dans un référentiel naturel, la trajectoire est précisée à l'avance.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un système de coordonnées vectorielles
  Lors de la spécification du mouvement d'un point dans un système de coordonnées vectorielles, le rapport du mouvement à un intervalle de temps est appelé valeur moyenne de la vitesse sur cet intervalle de temps : .
  En prenant l'intervalle de temps comme une valeur infinitésimale, on obtient la valeur de la vitesse à un instant donné (valeur de vitesse instantanée) : .
  Le vecteur vitesse moyenne est dirigé le long du vecteur dans la direction du mouvement du point, le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement du point.
  Conclusion: la vitesse d'un point est une quantité vectorielle égale à la dérivée temporelle de la loi du mouvement.
  Propriété dérivée : la dérivée de toute quantité par rapport au temps détermine le taux de variation de cette quantité.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un système de référence de coordonnées
  Taux de changement des coordonnées du point :
  .
  Le module de la vitesse totale d'un point de système de coordonnées rectangulaires sera égal à :
  .
  La direction du vecteur vitesse est déterminée par les cosinus des angles directeurs :
  ,
  où sont les angles entre le vecteur vitesse et les axes de coordonnées.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un référentiel naturel
  La vitesse d'un point dans le repère naturel est définie comme la dérivée de la loi du mouvement du point : .
  Selon les conclusions précédentes, le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement du point et dans les axes est déterminé par une seule projection.

Cinématique du corps rigide
• Dans la cinématique des corps rigides, deux problèmes principaux sont résolus :
  1) définir le mouvement et déterminer les caractéristiques cinématiques du corps dans son ensemble ;
  2) détermination des caractéristiques cinématiques des points du corps.
• Mouvement de translation d'un corps rigide
  Le mouvement de translation est un mouvement dans lequel une ligne droite passant par deux points d'un corps reste parallèle à sa position d'origine.
  Théorème: lors d'un mouvement de translation, tous les points du corps se déplacent le long de trajectoires identiques et ont à chaque instant la même ampleur et la même direction de vitesse et d'accélération.
  Conclusion: le mouvement de translation d'un corps rigide est déterminé par le mouvement de l'un de ses points, et par conséquent, la tâche et l'étude de son mouvement sont réduites à la cinématique du point.
• Mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe
  Le mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe est le mouvement d'un corps rigide dans lequel deux points appartenant au corps restent immobiles pendant toute la durée du mouvement.
  La position du corps est déterminée par l'angle de rotation. L'unité de mesure de l'angle est le radian. (Un radian est l'angle au centre d'un cercle dont la longueur de l'arc est égale au rayon ; l'angle total du cercle contient 2π radian.)
  La loi du mouvement de rotation d'un corps autour d'un axe fixe.
  Nous déterminons la vitesse angulaire et l'accélération angulaire du corps en utilisant la méthode de différenciation :
  — vitesse angulaire, rad/s ;
  — accélération angulaire, rad/s².
  Si vous disséquez le corps avec un plan perpendiculaire à l'axe, sélectionnez un point sur l'axe de rotation AVEC et un point arbitraire M, puis pointez M décrira autour d'un point AVEC rayon du cercle R.. Pendant dt il y a une rotation élémentaire d'un angle , et le point M se déplacera le long de la trajectoire sur une distance .
  Module de vitesse linéaire :
  .
  Accélération ponctuelle M de trajectoire connue, elle est déterminée par ses composantes :
  ,
  Où .
  En conséquence, nous obtenons les formules
  accélération tangentielle : ;
  accélération normale : .

Dynamique

Dynamique est une section de mécanique théorique dans laquelle les mouvements mécaniques des corps matériels sont étudiés en fonction des causes qui les provoquent.

Concepts de base de la dynamique
• Inertie- c'est la propriété des corps matériels de maintenir un état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme jusqu'à ce que des forces extérieures modifient cet état.
• Poids est une mesure quantitative de l'inertie d'un corps. L'unité de masse est le kilogramme (kg).
• Point matériel- il s'agit d'un corps avec une masse dont les dimensions sont négligées lors de la résolution de ce problème.
• Centre de masse d'un système mécanique- un point géométrique dont les coordonnées sont déterminées par les formules :
  
  Où mk , xk , yk , zk— masse et coordonnées k-ce point du système mécanique, m— masse du système.
  Dans un champ de gravité uniforme, la position du centre de masse coïncide avec la position du centre de gravité.
• Moment d'inertie d'un corps matériel par rapport à un axe est une mesure quantitative de l'inertie lors d'un mouvement de rotation.
  Le moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe est égal au produit de la masse du point par le carré de la distance du point à l'axe :
  .
  Le moment d'inertie du système (corps) par rapport à l'axe est égal à la somme arithmétique des moments d'inertie de tous les points :
  
• Force d'inertie d'un point matériel est une grandeur vectorielle égale en module au produit de la masse d'un point et du module d'accélération et dirigée à l'opposé du vecteur accélération :
• La force d'inertie d'un corps matériel est une grandeur vectorielle égale en module au produit de la masse corporelle et du module d'accélération du centre de masse du corps et dirigée à l'opposé du vecteur accélération du centre de masse : ,
  où est l'accélération du centre de masse du corps.
• Impulsion élémentaire de force est une quantité vectorielle égale au produit du vecteur force et d'une période de temps infinitésimale dt:
  .
  L'impulsion de force totale pour Δt est égale à l'intégrale des impulsions élémentaires :
  .
• Travail de force élémentaire est une quantité scalaire dA, égal au scalaire proi

Et Savelyeva.

Lors du mouvement vers l'avant d'un corps (§ 60 du manuel d'E. M. Nikitine), tous ses points se déplacent selon des trajectoires identiques et à chaque instant donné ils ont des vitesses et des accélérations égales.

Par conséquent, le mouvement de translation d’un corps est déterminé par le mouvement d’un point quelconque, généralement le mouvement du centre de gravité.

Lorsque nous considérons le mouvement d'une voiture (problème 147) ou d'une locomotive diesel (problème 141), dans n'importe quel problème, nous considérons en fait le mouvement de leurs centres de gravité.

Le mouvement de rotation d'un corps (E.M. Nikitine, § 61) ne peut être identifié avec le mouvement d'aucun de ses points. L'axe de tout corps en rotation (volant diesel, rotor de moteur électrique, broche de machine, pales de ventilateur, etc.) pendant le mouvement occupe la même place dans l'espace par rapport aux corps fixes environnants.

Mouvement d'un point matériel ou mouvement vers l'avant les corps sont caractérisés en fonction du temps quantités linéaires s (chemin, distance), v (vitesse) et a (accélération) avec ses composantes a t et a n.

Mouvement de rotation corps en fonction du temps t caractériser valeurs angulaires: φ (angle de rotation en radians), ω (vitesse angulaire en rad/sec) et ε (accélération angulaire en rad/sec 2).

La loi du mouvement de rotation d'un corps est exprimée par l'équation
φ = f(t).

Vitesse angulaire- une grandeur caractérisant la vitesse de rotation d'un corps est définie dans le cas général comme la dérivée de l'angle de rotation par rapport au temps
ω = dφ/dt = f" (t).

Accélération angulaire- une grandeur caractérisant le taux de variation de la vitesse angulaire est définie comme la dérivée de la vitesse angulaire
ε = dω/dt = f"" (t).

Lorsqu'on commence à résoudre des problèmes sur le mouvement de rotation d'un corps, il faut garder à l'esprit que dans les calculs et problèmes techniques, en règle générale, le déplacement angulaire n'est pas exprimé en radians φ, mais en tours φ environ.

Il faut donc pouvoir passer du nombre de tours à la mesure en radians du déplacement angulaire et vice versa.

Puisqu’un tour complet correspond à 2π rad, alors
φ = 2πφ environ et φ environ = φ/(2π).

La vitesse angulaire dans les calculs techniques est très souvent mesurée en tours produits par minute (rpm), il est donc nécessaire de bien comprendre que ω rad/sec et n rpm expriment le même concept - la vitesse de rotation d'un corps (vitesse angulaire), mais dans des unités différentes - en rad/sec ou en tr/min.

Le passage d'une unité de vitesse angulaire à une autre se fait selon les formules
ω = πn/30 et n = 30ω/π.

Lors du mouvement de rotation d'un corps, tous ses points se déplacent en cercles dont les centres sont situés sur une ligne droite fixe (l'axe du corps en rotation). Lors de la résolution des problèmes présentés dans ce chapitre, il est très important de comprendre clairement la relation entre les grandeurs angulaires φ, ω et ε, qui caractérisent le mouvement de rotation du corps, et les grandeurs linéaires s, v, a t et an, caractérisant le mouvement de divers points de ce corps (Fig. 205).

Si R est la distance entre l'axe géométrique d'un corps en rotation et n'importe quel point A (sur la Fig. 205 R = OA), alors la relation entre φ - l'angle de rotation du corps et s - la distance parcourue par un point de le corps pendant le même temps s'exprime comme suit :
s = φR.

La relation entre la vitesse angulaire d'un corps et la vitesse d'un point à chaque instant donné s'exprime par l'égalité
v = ωR.

L'accélération tangentielle d'un point dépend de l'accélération angulaire et est déterminée par la formule
une t = εR.

L'accélération normale d'un point dépend de la vitesse angulaire du corps et est déterminée par la relation
une n = ω 2 R.

Lors de la résolution du problème posé dans ce chapitre, il est nécessaire de bien comprendre que la rotation est le mouvement d'un corps rigide et non un point. Un seul point matériel ne tourne pas, mais se déplace en cercle – il effectue un mouvement curviligne.

§ 33. Mouvement de rotation uniforme

Si la vitesse angulaire est ω = const, alors le mouvement de rotation est dit uniforme.

L'équation de rotation uniforme a la forme
φ = φ 0 + ωt.

Dans le cas particulier où l'angle de rotation initial φ 0 =0,
φ = ωt.

Vitesse angulaire d'un corps en rotation uniforme
ω = φ/t
peut s'exprimer ainsi :
ω = 2π/T,
où T est la période de rotation du corps ; φ=2π - angle de rotation pour une période.

§ 34. Mouvement de rotation uniformément alterné

Un mouvement de rotation à vitesse angulaire variable est appelé inégal (voir ci-dessous § 35). Si l'accélération angulaire ε=const, alors le mouvement de rotation est appelé également variable. Ainsi, la rotation uniforme d’un corps est un cas particulier de mouvement de rotation non uniforme.

Équation de rotation uniforme
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
et l'équation exprimant la vitesse angulaire d'un corps à tout moment,
(2) ω = ω 0 + εt
représentent un ensemble de formules de base pour le mouvement de rotation uniforme d’un corps.

Ces formules ne comprennent que six quantités : trois constantes pour un problème donné φ 0, ω 0 et ε et trois variables φ, ω et t. Par conséquent, la condition de chaque problème de rotation uniforme doit contenir au moins quatre quantités spécifiées.

Pour faciliter la résolution de certains problèmes, deux autres formules auxiliaires peuvent être obtenues à partir des équations (1) et (2).

Excluons l'accélération angulaire ε de (1) et (2) :
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Excluons le temps t de (1) et (2) :
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Dans le cas particulier d'une rotation uniformément accélérée à partir d'un état de repos, φ 0 =0 et ω 0 =0. Par conséquent, les formules de base et auxiliaires ci-dessus prennent la forme suivante :
(5) φ = εt 2 /2 ;
(6) ω = εt ;
(7) φ = ωt/2 ;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Mouvement de rotation irrégulier

Considérons un exemple de résolution d'un problème dans lequel un mouvement de rotation non uniforme d'un corps est spécifié.

Cinématique d'un point.

1. Sujet de mécanique théorique. Abstractions de base.

Mécanique théorique- est une science dans laquelle les lois générales du mouvement mécanique et de l'interaction mécanique des corps matériels sont étudiées

Mouvement mécaniqueest le mouvement d'un corps par rapport à un autre corps, se produisant dans l'espace et dans le temps.

Interaction mécanique est l'interaction des corps matériels qui change la nature de leur mouvement mécanique.

Statique est une branche de la mécanique théorique dans laquelle sont étudiées les méthodes de transformation des systèmes de forces en systèmes équivalents et où les conditions d'équilibre des forces appliquées à un corps solide sont établies.

Cinématique - est une branche de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels dans l'espace d'un point de vue géométrique, quelles que soient les forces agissant sur eux.

Dynamique est une branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps matériels dans l'espace en fonction des forces agissant sur eux.

Objets d'étude en mécanique théorique :

point matériel,

système de points matériels,

Corps absolument solide.

L'espace absolu et le temps absolu sont indépendants l'un de l'autre. Espace absolu - espace euclidien tridimensionnel, homogène et immobile. Temps absolu - coule du passé vers le futur de manière continue, il est homogène, le même en tous points de l'espace et ne dépend pas du mouvement de la matière.

2. Sujet de cinématique.

Cinématique - il s'agit d'une branche de la mécanique dans laquelle les propriétés géométriques du mouvement des corps sont étudiées sans prendre en compte leur inertie (c'est-à-dire leur masse) et les forces agissant sur eux.

Pour déterminer la position d'un corps en mouvement (ou d'un point) avec le corps par rapport auquel le mouvement de ce corps est étudié, un système de coordonnées est rigidement associé, qui avec le corps forme système de référence.

La tâche principale de la cinématique consiste, connaissant la loi du mouvement d'un corps (point) donné, à déterminer toutes les grandeurs cinématiques qui caractérisent son mouvement (vitesse et accélération).

3. Méthodes pour spécifier le mouvement d'un point

· La manière naturelle

Il faut savoir :

La trajectoire du point ;

Origine et direction de référence ;

La loi du mouvement d'un point le long d'une trajectoire donnée sous la forme (1.1)

· Méthode de coordonnées

Les équations (1.2) sont les équations du mouvement du point M.

L'équation de la trajectoire du point M peut être obtenue en éliminant le paramètre temps « t » à partir des équations (1.2)

· Méthode vectorielle

(1.3) Relation entre les méthodes coordonnées et vectorielles pour spécifier le mouvement d'un point (1.4)

Relation entre les méthodes coordonnées et naturelles de spécification du mouvement d'un point

Déterminer la trajectoire du point en éliminant le temps des équations (1.2) ;

-- trouver la loi du mouvement d'un point le long d'une trajectoire (utiliser l'expression de la différentielle de l'arc)

Après intégration, on obtient la loi du mouvement d'un point le long d'une trajectoire donnée :

Le lien entre les méthodes coordonnées et vectorielles pour spécifier le mouvement d'un point est déterminé par l'équation (1.4)

4. Détermination de la vitesse d'un point à l'aide de la méthode vectorielle de spécification du mouvement.

Laisse à un moment donnétla position du point est déterminée par le rayon vecteur, et à l'instantt 1 – rayon vecteur, puis sur une période de temps le point va bouger.

(1.5) vitesse moyenne des points, la direction du vecteur est la même que celle du vecteur

Vitesse d'un point à un instant donné

Pour obtenir la vitesse d'un point à un instant donné, il faut faire un passage à la limite

(1.6)

(1.7)

Vecteur vitesse d'un point à un instant donné égal à la dérivée première du rayon vecteur par rapport au temps et dirigé tangentiellement à la trajectoire en un point donné.

(unité¾ m/s, km/h)

Vecteur d'accélération moyen a la même direction que le vecteurΔ v , c'est-à-dire dirigé vers la concavité de la trajectoire.

Vecteur d'accélération d'un point à un instant donné égale à la dérivée première du vecteur vitesse ou à la dérivée seconde du rayon vecteur du point par rapport au temps.

(unité - )

Comment se situe le vecteur par rapport à la trajectoire du point ?

En mouvement rectiligne, le vecteur est dirigé le long de la ligne droite le long de laquelle le point se déplace. Si la trajectoire d'un point est une courbe plate, alors le vecteur accélération , ainsi que le vecteur ср, se situe dans le plan de cette courbe et est dirigé vers sa concavité. Si la trajectoire n'est pas une courbe plane, alors le vecteur ср sera dirigé vers la concavité de la trajectoire et se situera dans le plan passant par la tangente à la trajectoire au pointM et une ligne parallèle à la tangente en un point adjacentM1 . DANS limite quand pointM1 s'efforce de M ce plan occupe la position du plan dit osculateur. Ainsi, dans le cas général, le vecteur accélération se situe dans le plan de contact et est dirigé vers la concavité de la courbe.