مفهوم ریشه یک عدد واقعی. ریشه درجه n: تعاریف، نشانه گذاری، مثال ها. مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خواص فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در زیر علائم ریشه فرموله شده و ثابت می شود.

قضیه 1. ریشه n (n=2، 3، 4،...) حاصل ضرب دو تراشه غیر منفی برابر است با حاصلضرب ریشه nام این اعداد:

اظهار نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس برابری درست است

مختصرفرمول (البته نادرست) که در عمل راحت تر است: ریشه یک کسر برابر با کسری از ریشه است.

قضیه 1 به ما اجازه می دهد که t را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با شاخص مشابه.

قضیه 3.اگر ,k یک عدد طبیعی و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، پس تساوی صحیح است

به عبارت دیگر، برای بالا بردن ریشه در یک قدرت طبیعی، کافی است که بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، به عنوان مثال، برای k = 3 به دست می آوریم: ما می توانیم دقیقاً به همان روش در مورد هر مقدار طبیعی دیگری از توان k استدلال کنیم.

قضیه 4.اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 هستند، پس تساوی درست است

به عبارت دیگر برای استخراج ریشه از ریشه کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنیم.
مثلا،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، به جای نوشتن Really، اما واضح است که

قضیه 5.اگر شاخص های ریشه و بیان رادیکال در همان عدد طبیعی ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.محاسبه

راه حل.با استفاده از اولین ویژگی ریشه ها (قضیه 1)، به دست می آوریم:

مثال 2.محاسبه
راه حل.یک عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 )، ما گرفتیم:

مثال 3.محاسبه:

راه حل.همانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آنها را در شکل نشان داد و برعکس، می توان آنها را با عبارت جایگزین کرد. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این، بیایید محاسبات را انجام دهیم.

تبریک می گویم: امروز ما به ریشه ها نگاه خواهیم کرد - یکی از جالب ترین موضوعات در کلاس هشتم. :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (چه چیزی در آن پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین جنگلی تعریف می شوند که فقط نویسندگان کتاب های درسی خودشان می توانند این نوشته را درک کنند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)

بنابراین، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و سپس توضیح خواهم داد: چرا همه اینها مورد نیاز است و چگونه می توان آن را در عمل اعمال کرد.

اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که بسیاری از گردآورندگان کتاب‌های درسی به دلایلی آن را فراموش می‌کنند:

ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین انواع $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (همه انواع $\sqrt) (a)$، $\ sqrt(a)$، و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد تا حدودی با یک درجه زوج متفاوت است.

احتمالاً 95٪ از تمام خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" پنهان شده است. بنابراین بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفیعدد $b$ طوری است که $((b)^(n))=a$. و ریشه فرد همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:

\(آ)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر «مورد علاقه» خود را می گیریم (به هر حال، این یک ریشه درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعبی (درجه فرد) به دست می آوریم. همچنین اغلب در مسائل و معادلات یافت می شود.

مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است، زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - نیازی به ترس از آنها نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "مثال عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر تفاوت بین درجه زوج و فرد را متوجه نشدید، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!

در این بین یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به همین دلیل نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلاً چرا ریشه نیاز است؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: «ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری می‌کشیدند؟» و واقعاً: اصلاً چرا این همه ریشه لازم است؟

برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور، زمانی که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی شبیه "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین برای نوشتن ضرب ده پنج به این صورت مشکل داشتند:

به همین دلیل به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ چیزی شبیه به این:

خیلی راحته! همه محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، و شما مجبور نیستید یک دسته کاغذ پوستی و دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5183 هدر دهید. این رکورد را قوه عدد می نامیدند، یک دسته از خواص در آن یافت شد، اما معلوم شد که خوشبختی کوتاه مدت است.

پس از یک مهمانی بزرگ نوشیدنی، که فقط برای "کشف" درجه ها برگزار شد، یک ریاضیدان سرسخت ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد ناشناخته باشد، چه؟" اکنون، در واقع، اگر بدانیم که یک عدد معین $b$، مثلاً، به توان 5 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ با چه چیزی برابر است؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر قدرت های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3))=50$ باشد چه؟ معلوم می شود که باید عدد خاصی را پیدا کنیم که وقتی در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما بدهد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است، زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما شما نمی‌دانید که برابر با چه چیزی است.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان به $n$th ریشه رسیدند. دقیقاً به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای تعیین همان عدد $b$، که به میزان مشخص شده مقداری از قبل شناخته شده را به ما می دهد

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی محاسبه می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر کنید و سپس سعی کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، با مشکل وحشتناکی روبرو خواهید شد.

چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را در یک ماشین حساب وارد کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. مثلا:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، کاملاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن باید در نمایه Unified State Examination آزمایش شود).

بنابراین، در ریاضیات جدی شما نمی توانید بدون ریشه انجام دهید - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، درست مانند کسری ها و اعداد صحیح که مدت ها برای ما آشنا بودند.

ناتوانی در نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم ها، توان ها، حدود و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً -1.2599... \\ \پایان (تراز کردن)\]

طبیعتاً از ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که چه اعدادی بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین نوشتن پاسخ ها به شکل $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

دقیقا به همین دلیل اختراع شدند. برای ضبط راحت پاسخ ها.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از ابتدا. اما ریشه های مکعب را می توان با آرامش از هر عددی - مثبت یا منفی - استخراج کرد.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ روی نمودار رسم می شود (با رنگ قرمز مشخص شده است) که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ مثل اینکه چهار به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین پست هایی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)

مشکل این است که اگر هیچ شرط اضافی را اعمال نکنید، آنگاه چهار ریشه دوم خواهد داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی را نمی پذیرد.

یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه حتی $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که در تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح شده است که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ نگاه کنیم:

سهمی مکعبی می تواند هر مقداری داشته باشد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار دو نتیجه می توان گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، بر خلاف یک سهمی معمولی، در هر دو جهت - بالا و پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین، مهم نیست که چه ارتفاعی یک خط افقی بکشیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. در نتیجه، ریشه مکعب را همیشه می توان از هر عددی مطلق استخراج کرد.
2. علاوه بر این، چنین تقاطعی همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین نیازی نیست به این فکر کنید که کدام عدد ریشه "درست" در نظر گرفته می شود و کدام یک را نادیده بگیرید. به همین دلیل است که تعیین ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک درجه زوج است (نیازی برای غیر منفی بودن وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: شما همچنین باید بدانید که ریشه حسابی چیست. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز ما نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن همه افکار در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه دادم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

تنها کاری که باید انجام دهید این است که تفاوت بین نشانگرهای زوج و فرد را درک کنید. بنابراین، بیایید یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری کنیم:

1. ریشه یک درجه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که سرپوش اشاره می کند، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. واضح است؟ بله، کاملا واضح است! پس حالا کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این در یک درس جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت. بنابراین ، اکنون ما فقط مهمترین "ترفند" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با شاخص زوج اعمال می شود. بیایید این ویژگی را به صورت فرمول بنویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان توان را استخراج کنیم، عدد اصلی را بدست نمی آوریم، بلکه مدول آن را بدست می آوریم. این یک قضیه ساده است که به راحتی قابل اثبات است (کافی است $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس منفی را جداگانه در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آورده شده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی یک علامت رادیکال) دانش آموزان به اتفاق آرا این فرمول را فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد را مستقیماً محاسبه کنیم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. اکثر مردم مثال اول را حل می کنند، اما بسیاری از مردم در مورد دوم گیر می کنند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید دریافت خواهید کرد که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه چهارم را استخراج کرد. آن ها هیچ "کاهش" ریشه ها و قدرت ها اتفاق نمی افتد - این اقدامات متوالی هستند.

بیایید به اولین عبارت نگاه کنیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که باید آن را در خود 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی های محصول 4 است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای برای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج می کنیم:

در اصل، این خط نمی‌توانست نوشته شود، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، معایب را «سوزاند»، و از این نظر، نتیجه از یک ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه دارای یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به رویه

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که همیشه یک عدد غیر منفی زیر علامت ریشه وجود دارد، زیرا $((a)^(2))\ge 0$ در هر صورت.
2. اما علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، برعکس، به این معنی است که ابتدا ریشه یک عدد معین $a$ را می گیریم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ به هیچ وجه نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف گنجانده شده است.

بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد، در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر ریشه یک عدد منفی داشته باشد و نمایش زوج باشد، یکسری مشکل به دست می آید.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً با زوج وجود ندارد. برای مثال:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه های درجه فرد حذف کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام معایب را "بیرون بیندازید":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه پنهان بود، اما درجه در ریشه یکنواخت بود، چه؟ فقط کافی است تمام منفی های خارج از ریشه را "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد، و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به سمت آن سوق دهد. یک خطا.

و در اینجا تعریف دیگری به صحنه می آید - همان تعریفی که در بیشتر مدارس مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که در زیر علامت ریشه فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر وجود دارد. بیایید شاخص های زوج/فرد را فراموش کنیم، بیایید تمام تعاریف ارائه شده در بالا را فراموش کنیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟

و سپس یک ریشه حسابی دریافت خواهیم کرد - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما همپوشانی دارد، اما هنوز با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینیم، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعبی که قبلاً با آنها آشنا هستیم نگاهی بیندازید:

منطقه جستجو ریشه حسابی - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این به بعد ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مند هستیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا حق داریم یک عدد منفی را زیر ریشه قرار دهیم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا به چنین تعریف خنثی شده ای نیاز داریم؟" یا: «چرا نمی‌توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شد کنار بیاییم؟»

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا نمونه هایی وجود دارد:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس مشکل اصلی چیه؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. بیایید یک عبارت ساده را در نظر بگیریم: $\sqrt(-2)$ - این عدد در درک کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال حذف کردیم (حق داریم، زیرا توان فرد است)، و در حالت دوم از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به ایجاد بدعت کامل می کند.

برای رهایی از چنین ابهامی بود که ریشه های حسابی اختراع شد. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن تمام خواص آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین ما اکنون روی آنها تمرکز نمی کنیم - درس قبلاً خیلی طولانی شده است.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

مدت ها فکر کردم که آیا این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه قرار دهم یا خیر. در نهایت تصمیم گرفتم آن را اینجا بگذارم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به سطح المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه $n$th یک عدد و تقسیم مربوط به آن به توانای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به هیچ وجه به برابری و سایر ظرافت ها بستگی ندارد. به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$th هر $a$ مجموعه تمام اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ عنوان مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین ما فقط یک خط تیره در بالای صفحه قرار می دهیم:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه تنها در سه نوع موجود است:

1. مجموعه تهی. زمانی اتفاق می‌افتد که باید از یک عدد منفی یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کنید.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. تمام ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در تابع درجه دوم نمودار بر این اساس، چنین ترتیبی فقط هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. عبارات را ارزیابی کنید:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. اولین عبارت ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا توان ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

یک مجموعه خالی دریافت کردیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) افزایش یابد، عدد منفی -16 را به ما بدهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ در آنجا کاملاً امکان پذیر است و بسیاری چیزهای عجیب دیگر.

با این حال، اعداد مختلط تقریباً هرگز در دروس ریاضیات مدارس مدرن ظاهر نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند، زیرا مقامات ما این موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی به تمام ویژگی های کلیدی ریشه ها نگاه می کنیم و در نهایت نحوه ساده سازی عبارات غیر منطقی را یاد می گیریم. :)

یا از فرمول تفاضل مربعات مانند زیر استفاده کنید:

• (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.

حاصل ضرب دو عامل برابر با صفر است اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد.

عبارت x 2 +4 نمی تواند برابر با صفر باشد، بنابراین تمام آنچه باقی می ماند (x 2 -4) = 0 است.

حلش می کنیم و دو جواب می گیریم.

پاسخ: x=-2 و x=2.

ما دریافتیم که معادله x 4 = 16 فقط 2 ریشه واقعی دارد. اینها ریشه های درجه چهارم از عدد 16 هستند. به علاوه، ریشه مثبت را ریشه حسابی درجه 4 از عدد 16 می نامند و آنها را 4√16 می گویند. یعنی 4√16=2.

تعریف

• یک ریشه حسابی یک توان طبیعی n>=2 از یک عدد غیر منفی a مقداری غیر منفی است، وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

می توان ثابت کرد که برای هر غیر منفی a و n طبیعی، معادله x n =a یک ریشه غیر منفی دارد. این ریشه است که ریشه حسابی درجه n عدد a نامیده می شود.

ریشه حسابی درجه n یک عدد به صورت زیر نشان داده می شود: n√a.

عدد a در این حالت عبارت رادیکال نامیده می شود.

در حالتی که n=2، دو نمی نویسند، بلکه فقط √a می نویسند.

ریشه های حسابی درجه دوم و سوم دارند نام های خاص آنها

ریشه حسابی درجه دوم را ریشه مربع و ریشه حسابی درجه سوم را ریشه مکعب می گویند.

فقط با استفاده از تعریف یک ریشه حسابی، می توان ثابت کرد که n√a برابر با b است. برای انجام این کار باید نشان دهیم که:

• 1. b بزرگتر یا مساوی صفر است.
• 2. b n =a.

به عنوان مثال، 3√(64) = 4، زیرا 1. 4>0، 2. 4 3 =64.

نتیجه تعریف ریشه حسابی.

• (n√a) n = a.
• n√(a n) = a.

به عنوان مثال، (5√2) 5 = 2.

استخراج ریشه n

استخراج ریشه n ام عملی است که برای یافتن ریشه n به کار می رود. گرفتن ریشه n ام معکوس افزایش آن به توان n است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

معادله x 3 = -27 را حل کنید.

بیایید این معادله را به شکل (-x) 3 =27 بازنویسی کنیم.

بیایید y=-x و سپس y 3 =27 قرار دهیم. این معادله دارای یک ریشه مثبت y= 3√27 = 3 است.

این معادله هیچ ریشه منفی ندارد، زیرا y 3 است

در می یابیم که معادله 3 = 27 تنها یک ریشه دارد.

با بازگشت به معادله اصلی، متوجه می شویم که آن نیز فقط یک ریشه x=-y=-3 دارد.

درجه ریشه nاز یک عدد واقعی آ، جایی که n- عدد طبیعی، چنین عدد واقعی نامیده می شود ایکس, nکه درجه آن برابر است با آ.

درجه ریشه nاز شماره آبا نماد نشان داده می شود. طبق این تعریف.

یافتن ریشه n- درجه از میان آاستخراج ریشه نامیده می شود. عدد آیک عدد رادیکال (بیان) نامیده می شود، n- نشانگر ریشه برای فرد nیک ریشه وجود دارد nتوان -ام برای هر عدد واقعی آ. وقتی حتی nیک ریشه وجود دارد nتوان -ام فقط برای اعداد غیر منفی آ. برای رفع ابهام از ریشه n- درجه از میان آ، مفهوم ریشه حسابی معرفی می شود n- درجه از میان آ.

مفهوم ریشه حسابی درجه N

اگر n- عدد طبیعی، بزرگتر 1 ، سپس فقط یک عدد غیر منفی وجود دارد ایکس، به طوری که برابری برآورده شود. این شماره ایکسریشه حسابی نامیده می شود nتوان یک عدد غیر منفی آو تعیین شده است. عدد آعدد رادیکال نامیده می شود، n- نشانگر ریشه

بنابراین، طبق تعریف، علامت , Where , اولاً به این معنی است که و ثانیاً به این معنی است که, i.e. .

مفهوم درجه با توان منطقی

درجه با توان طبیعی: اجازه دهید آیک عدد واقعی است و n- عدد طبیعی بزرگتر از یک، n-ام قدرت عدد آبه کار زنگ بزن nعواملی که هر کدام برابرند آ، یعنی . عدد آ- مبنای مدرک، n- توان توانی با توان صفر: طبق تعریف، اگر، آنگاه . توان صفر یک عدد 0 معنی ندارد درجه ای با توان عدد صحیح منفی: با تعریف اگر و فرض می شود nیک عدد طبیعی است، پس . درجه ای با توان کسری: با تعریف اگر و فرض می شود n- عدد طبیعی، متریک عدد صحیح است، پس

عملیات با ریشه

در تمام فرمول های زیر، نماد به معنای یک ریشه حسابی است (عبارت رادیکال مثبت است).

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت ریشه سود و مقسوم:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه n را افزایش دهید و همزمان عدد رادیکال را به توان n برسانید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

5. اگر درجه ریشه را n برابر کاهش دهید و همزمان ریشه n عدد رادیکال را استخراج کنید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

گسترش مفهوم درجه. تا کنون درجاتی را فقط با شارحهای طبیعی در نظر گرفته ایم. اما عملیات با توان و ریشه نیز می تواند به توان منفی، صفر و کسری منجر شود. همه این نماها نیاز به تعریف بیشتری دارند.

درجه ای با ضریب منفی. توان یک عدد معین با یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق توان منفی تعریف می شود:

اکنون فرمول a m: a n = a m - n را می توان نه تنها برای m بزرگتر از n، بلکه برای m کمتر از n نیز استفاده کرد.

مثال a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

اگر بخواهیم فرمول a m: a n = a m - n برای m = n معتبر باشد، به تعریف درجه صفر نیاز داریم.

مدرک با شاخص صفر. توان هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، (– 5) 0 = 1، (– 3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. برای اینکه یک عدد واقعی a را به توان m / n برسانید، باید ریشه n ام توان m این عدد a را استخراج کنید:

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.

مورد 1.

جایی که یک ≠ 0 وجود ندارد.

در واقع، اگر x عدد معینی را فرض کنیم، مطابق با تعریف عملیات تقسیم، داریم: a = 0 x، i.e. a = 0، که با این شرط تناقض دارد: a ≠ 0

مورد 2.

هر عددی

در واقع، اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با یک عدد x است، با توجه به تعریف عملیات تقسیم داریم: 0 = 0 · x. اما این برابری برای هر عدد x صدق می کند که باید ثابت شود.

واقعا،

راه حل بیایید سه مورد اصلی را در نظر بگیریم:

1) x = 0 - این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

2) برای x > 0 دریافت می کنیم: x / x = 1، یعنی. 1 = 1، به این معنی که x هر عددی است. اما با در نظر گرفتن اینکه در مورد ما x > 0، پاسخ x > 0 است.

3) در x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

در این مورد هیچ راه حلی وجود ندارد. بنابراین x > 0.