مساحت مستطیل، به نحوه محاسبه مساحت مستطیل مراجعه کنید: نکات عملی. اگر اضلاع یک مستطیل داده شد چه باید کرد؟

متوازی الاضلاع است که در آن همه زوایا برابر 90 درجه و اضلاع مقابل آن دو به دو موازی و مساوی هستند.

یک مستطیل دارای چندین ویژگی غیرقابل انکار است که در حل بسیاری از مسائل، در فرمول های مساحت مستطیل و محیط آن استفاده می شود. آن ها اینجا هستند:

طول یک ضلع یا قطر مجهول مستطیل با استفاده از قضیه فیثاغورث یا با استفاده از آن محاسبه می شود. مساحت یک مستطیل را می توان به دو صورت یافت - با حاصل ضرب اضلاع آن یا با فرمول مساحت مستطیل از طریق مورب. اولین و ساده ترین فرمول به صورت زیر است:

یک مثال از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از این فرمول بسیار ساده است. با دانستن دو ضلع، به عنوان مثال a = 3 cm، b = 5 cm، می توانیم به راحتی مساحت مستطیل را محاسبه کنیم:
در می یابیم که در چنین مستطیلی مساحت برابر با 15 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت یک مستطیل از طریق قطرها

گاهی اوقات لازم است فرمول مساحت یک مستطیل را از طریق قطرها اعمال کنید. این نه تنها مستلزم یافتن طول قطرها، بلکه همچنین زاویه بین آنها است:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از مورب نگاه کنیم. اجازه دهید مستطیلی با قطر d = 6 سانتی متر و زاویه = 30 درجه داده شود. ما داده ها را با فرمول از قبل شناخته شده جایگزین می کنیم:

بنابراین، مثال محاسبه مساحت یک مستطیل از طریق مورب به ما نشان داد که یافتن مساحت از این طریق، اگر یک زاویه داده شود، بسیار ساده است.
بیایید یک مشکل جالب دیگر را بررسی کنیم که به ما کمک می کند کمی مغزمان را بکشیم.

وظیفه:مربع داده شده است. مساحت آن 36 متر مربع است. سانتی متر محیط مستطیلی را بیابید که طول یک ضلع آن 9 سانتی متر و مساحت آن با مربع بالا برابر است.
پس چند شرط داریم. برای وضوح، بیایید آنها را بنویسیم تا تمام پارامترهای شناخته شده و ناشناخته را ببینیم:
اضلاع شکل به صورت جفت موازی و مساوی هستند. بنابراین، محیط شکل برابر است با دو برابر مجموع طول اضلاع:
از فرمول مساحت یک مستطیل که برابر با حاصل ضرب دو ضلع شکل است، طول ضلع b را پیدا می کنیم.
از اینجا:
داده های شناخته شده را جایگزین می کنیم و طول ضلع b را پیدا می کنیم:
محیط شکل را محاسبه کنید:
به این ترتیب با دانستن چند فرمول ساده می توانید محیط یک مستطیل را با دانستن مساحت آن محاسبه کنید.

L * H = S برای پیدا کردن مساحت یک مستطیل، باید عرض را در طول ضرب کنید. به عبارت دیگر می توان آن را اینگونه بیان کرد: مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب اضلاع.

1. مثالی از محاسبه می زنیم چگونه مساحت یک مستطیل را پیدا کنیم، اضلاع برابر با مقادیر شناخته شده است، به عنوان مثال عرض 4 سانتی متر، طول 8 سانتی متر.

نحوه پیدا کردن مساحت مستطیل با اضلاع 4 و 8 سانتی متر: راه حل ساده است! 4 × 8 = 32 سانتی متر مربع. برای حل چنین مشکل ساده ای، باید حاصل ضرب اضلاع مستطیل را محاسبه کنید یا به سادگی عرض را در طول ضرب کنید، این مساحت خواهد بود!

2. حالت خاص یک مستطیل مربع است، این حالت زمانی است که اضلاع مستطیل برابر باشد، در این حالت می توانید مساحت مربع را با استفاده از فرمول بالا پیدا کنید.

مساحت مستطیل چقدر است؟

توانایی محاسبه مساحت یک مستطیل یک مهارت اساسی برای حل تعداد زیادی از مشکلات روزمره یا فنی است. این دانش تقریباً در تمام زمینه های زندگی کاربرد دارد! به عنوان مثال، در مواردی که مناطقی از هر سطحی در ساخت و ساز یا املاک مورد نیاز است. هنگام محاسبه مساحت زمین، قطعه، دیوار خانه ها، محله های زندگی ... نمی توان یک منطقه واحد از فعالیت های انسانی را نام برد که این دانش نمی تواند مفید باشد!

اگر محاسبه مساحت یک مستطیلبرای شما مشکلات ایجاد می کند - فقط از ماشین حساب ما استفاده کنید! O فوراً تمام محاسبات لازم را ارائه می دهد و متن راه حل را با توضیحات مفصل می نویسد.

مساحت یک مستطیل را با حل دقیق محاسبه کنید. ماشین حساب با استفاده از فرمول با استفاده از طول و عرض مستطیل، مساحت را پیدا می کند. روش های اولیه و توضیح فرمول هایی که با آن می توانید خودتان مشکلات خود را حل کنید.

ماشین حساب آنلاین

ابتدا بیایید تعریف را درک کنیم. یک مستطیل دارای 4 ضلع است. هر ضلع برابر و موازی با طرف مقابل است. درک این نکته مهم است که در اینجا هر 4 ضلع نمی توانند برابر باشند، در غیر این صورت با یک مربع روبرو خواهید شد. یک مستطیل دارای 2 ضلع یکسان از یک طول و 2 ضلع یکسان از دیگری خواهد بود.

هر 4 زاويه داخل مستطيل قائم الزاويه هستند. یعنی هر زاویه 90 درجه است.

فرمول مساحت مستطیل با استفاده از اضلاع آن

برای یافتن منطقه اس اس اسمستطیل، باید دو ضلع آن را ضرب کنید: ضلع a آدر کنار هم ضرب کنید ب ب ب.

S = a ⋅ b. S = a\cdot b. S=یک ⋅ب

ما یک مستطیل داریم A B C D ABCD آ ب پ ت. یک طرف آن A B AB A Bمساوی با 5 5 5 سانتی متر، دوم B C قبل از میلاد قبل از میلاد مسیحمساوی با 3 3 3 سانتی متر باید مساحت آن را پیدا کنیم اس اس اس.

راه حل:

برای یافتن منطقه اس اس اس، باید ضلع را ضرب کنید A B AB A Bبه کنار B C قبل از میلاد قبل از میلاد مسیحو دریافت می کنیم: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 S=5 ⋅ 3 .

پاسخ: S = 15 S = 15 S=1 5 سانتی متر 2.

فرمول مساحت یک مستطیل با استفاده از مورب

S = 1 2 d 2 sin⁡ α . S = \frac (1)(2)d^2 \sin \alpha.S=2 1 ​ د 2 sina.

به یاد داشته باشید که طول مورب ها در یک مستطیل مساوی است و در صورت قطع به نصف تقسیم می شود.

یک مستطیل داده شده است A B C D ABCD آ ب پ ت. مورب آن است A C AC A Cمساوی با 8 8 8 سانتی متر و زاویه حاد بین قطرها 30 درجه 30 درجه 3 0 درجه. مساحت شکل را پیدا کنید.

با استفاده از فرمول بالا دریافت می کنیم:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac(1)(2) \cdot 8^2 \cdot \sin 30^(\circ ) = \frac(1)(2) \cdot 64 \cdot \frac(1)(2) = \frac(64)(4) = 16S=2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ گناه 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

پاسخ: S = 16 S = 16 S=1 6 سانتی متر 2.

برای محاسبه مساحت و محیط مربع، باید مفاهیم این مقادیر را درک کنید. مربع مستطیلی است که فقط چهار ضلع مساوی دارد که زاویه 90 درجه نسبت به یکدیگر دارند. محیط مجموع طول همه اضلاع است. مساحت حاصل ضرب طول یک شکل مستطیلی و عرض آن است.

مساحت یک مربع و نحوه پیدا کردن آن

همانطور که در بالا ذکر شد، مربع مستطیلی است با 4 ضلع مساوی، بنابراین پاسخ به این سوال: "چگونه مساحت مربع را پیدا کنیم" این فرمول است: S = a*a یا S = a. 2 ، جایی که a ضلع مربع است. بر اساس این فرمول، اگر مساحت آن مشخص باشد، به راحتی می توان ضلع مربع را پیدا کرد. برای انجام این کار، باید مربع را از مقدار مشخص شده استخراج کنید.

به عنوان مثال، S = 121، بنابراین، a = √121 = 11. اگر مقدار داده شده در جدول مربع ها نیست، می توانید از ماشین حساب استفاده کنید: S = 94، a = √94 = 9.7.

چگونه محیط مربع را پیدا کنیم

محیط یک مربع با استفاده از فرمول آسان پیدا می شود: P = 4a، که در آن a ضلع مربع است.

مثال:

• ضلع مربع = 5، بنابراین P = 4*5 = 20
• ضلع مربع = 3، بنابراین P = 4 * 3 = 12

اما مشکلاتی وجود دارد که در آن منطقه به وضوح نشان داده شده است، اما شما باید محیط را پیدا کنید. هنگام حل، به فرمول هایی نیاز دارید که قبلا ارائه شده است.

به عنوان مثال: اگر مساحت آن 144 باشد چگونه محیط مربع را پیدا کنیم؟

مراحل حل:

1. طول یک ضلع را پیدا کنید: a = √144 = 12
2. محیط را پیدا کنید: P = 4 * 12 = 48.

پیدا کردن محیط مربع محاط

چندین راه دیگر برای یافتن محیط مربع وجود دارد. بیایید یکی از آنها را در نظر بگیریم: پیدا کردن محیط از طریق شعاع دایره محدود. در اینجا یک اصطلاح جدید "مربع محاطی" ظاهر می شود - این مربعی است که رئوس آن روی یک دایره قرار دارد.

الگوریتم حل:

• از آنجایی که ما یک مربع را در نظر می گیریم، فرمول را می توان به صورت زیر بیان کرد: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
• سپس معادله باید ساده تر شود: 2a 2 = 4(r) 2 ;
• معادله را بر 2 تقسیم کنید: (الف 2 ) = 2(r) 2 ;
• ریشه را استخراج کنید: a = √(2r).

در نتیجه، آخرین فرمول را دریافت می کنیم: a (ضلع مربع) = √(2r).

1. ضلع پیدا شده مربع در 4 ضرب می شود، سپس فرمول استاندارد برای یافتن محیط اعمال می شود: P = 4√(2r).

وظیفه:

با توجه به مربعی که در یک دایره محاط شده است، شعاع آن 5 است. این بدان معنی است که قطر مربع 10 است. ما قضیه فیثاغورث را اعمال می کنیم: 2(a 2) = 10 2، یعنی 2a 2 = 100. حاصل را بر دو تقسیم می کنیم و حاصل می شود: الف 2 = 50. از آنجایی که این یک مقدار جدولی نیست، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم: a = √50 = 7.07. ضرب در 4: P = 4 * 7.07 = 28.2. مشکل حل شد!

بیایید یک سوال دیگر را در نظر بگیریم

اغلب در مشکلات با شرایط دیگری روبرو می شویم: اگر محیط مشخص باشد چگونه مساحت مربع را پیدا کنیم؟

ما قبلاً تمام فرمول های لازم را در نظر گرفته ایم، بنابراین برای حل مسائل از این نوع، لازم است آنها را به طرز ماهرانه ای اعمال کرده و آنها را به یکدیگر متصل کنید. بیایید مستقیماً به یک مثال گویا برویم: مساحت مربع 25 سانتی متر است 2 ، محیط آن را پیدا کنید.

مراحل حل:

1. ضلع مربع را پیدا کنید: a = √25 = 5.

1. ما خود محیط را پیدا می کنیم: P = 4 * a = 4 * 5 = 20.

به طور خلاصه، یادآوری این نکته مهم است که چنین فرمول های ساده ای نه تنها در فعالیت های آموزشی، بلکه در زندگی روزمره نیز قابل استفاده هستند. کودکان در مدرسه ابتدایی یاد می گیرند که محیط و مساحت یک شکل را پیدا کنند. در پایه های متوسط ​​​​، یک موضوع جدید ظاهر می شود - هندسه، جایی که قضیه فیثاغورث در همان ابتدای مطالعه است. این مبانی ریاضیات نیز در پایان مدرسه OGE و USE مورد آزمایش قرار می گیرند، بنابراین دانستن این فرمول ها و به کار بردن آنها به درستی مهم است.

چه مساحت و چه مستطیل

مساحت یک کمیت هندسی است که می توان از آن برای تعیین اندازه هر سطح یک شکل هندسی استفاده کرد.

برای قرن های متمادی، مرسوم بود که محاسبه مساحت را تربیع می نامیدند. یعنی برای پی بردن به مساحت اشکال هندسی ساده، کافی بود تعداد مربع های واحدی را که به طور متعارف شکل ها با آن ها پوشانده شده بودند، بشماریم. و به شکلی که مساحت داشت، مربع نامیده می شد.

بنابراین، می‌توانیم خلاصه کنیم که مساحت کمیتی است که اندازه قسمتی از صفحه را به ما نشان می‌دهد که توسط قطعات متصل شده است.

مستطیل چهار ضلعی است که تمام زوایای آن قائمه است. یعنی به شکل چهار ضلعی که دارای چهار زاویه قائمه و اضلاع مقابل آن مساوی است مستطیل می گویند.

چگونه مساحت یک مستطیل را پیدا کنیم

ساده ترین راه برای یافتن مساحت مستطیل این است که کاغذ شفافی مانند کاغذ ردیابی یا پارچه روغنی بردارید و آن را به مربع های مساوی 1 سانتی متر بکشید و سپس آن را به تصویر مستطیل وصل کنید. تعداد مربع های پر شده مساحت بر حسب سانتی متر مربع خواهد بود. به عنوان مثال، در شکل می بینید که مستطیل به 12 مربع می افتد، یعنی مساحت آن 12 متر مربع است. سانتی متر.

اما برای یافتن مساحت اجسام بزرگ مانند آپارتمان، به روش جهانی تری نیاز است، بنابراین فرمولی برای یافتن مساحت یک مستطیل با ضرب طول آن در عرض آن ثابت شد.

حالا بیایید سعی کنیم قانون پیدا کردن مساحت یک مستطیل را به شکل یک فرمول بنویسیم. بیایید مساحت شکل خود را با حرف S نشان دهیم، حرف a نشان دهنده طول آن و حرف b نشان دهنده عرض آن است.

در نتیجه این فرمول را بدست می آوریم:

S = a * b.

اگر این فرمول را روی رسم مستطیل بالا اعمال کنیم، همان 12 سانتی متر مربع را به دست خواهیم آورد، زیرا a = 4 سانتی متر، b = 3 سانتی متر و S = 4 * 3 = 12 سانتی متر مربع.

اگر دو شکل یکسان را بردارید و آنها را بر روی دیگری قرار دهید، آنها بر هم منطبق می شوند و برابر نامیده می شوند. چنین ارقام مساوی نیز مساحت و محیط مساوی خواهند داشت.

چرا می دانید چگونه منطقه را پیدا کنید

اولاً، اگر می دانید که چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنید، با استفاده از فرمول آن می توانید به راحتی هر گونه مشکل در هندسه و مثلثات را حل کنید.
ثانیاً، با آموختن مساحت یک مستطیل، ابتدا می‌توانید مسائل ساده را حل کنید و به مرور زمان به حل مسائل پیچیده‌تر می‌روید و مساحت ارقامی را که در یک مستطیل یا نزدیک آن حک شده اند.
ثالثاً، با دانستن یک فرمول ساده مانند S = a * b، شما این فرصت را خواهید داشت که به راحتی هر مشکل ساده روزمره را حل کنید (به عنوان مثال، آپارتمان یا خانه S را پیدا کنید)، و به مرور زمان می توانید آنها را در حل مسائل پیچیده معماری به کار ببرید. پروژه ها.

یعنی اگر فرمول یافتن مساحت را کاملاً ساده کنیم به این صورت می شود:

P = L x W،

آنچه P مخفف مساحت مورد نیاز، D طول آن، W عرض آن و x علامت ضرب است.

آیا می دانید مساحت هر چند ضلعی را می توان به صورت مشروط به تعداد مشخصی بلوک مربعی که در داخل این چند ضلعی قرار دارند تقسیم کرد؟ فرق مساحت و محیط چیست؟

بیایید از یک مثال برای درک تفاوت بین محیط و مساحت استفاده کنیم. به عنوان مثال، مدرسه ما در منطقه ای قرار دارد که با حصار حصار شده است - طول کل این حصار محیط آن خواهد بود و فضایی که در داخل حصار است، منطقه خواهد بود.

واحدهای منطقه

اگر محیط یک بعدی باشد و با واحدهای خطی که اینچ، فوت و متر است اندازه گیری شود، S به محاسبات دو بعدی اشاره دارد و طول و عرض خاص خود را دارد.

و S در واحدهای مربع اندازه گیری می شود، مانند:

یک میلی متر مربع، جایی که S مربع ضلعی برابر با یک میلی متر دارد.
یک سانتی‌متر مربع S دارای مربعی است که ضلع آن برابر با یک سانتی‌متر است.
یک دسی متر مربع برابر با S این مربع با ضلع یک دسی متر است.
یک متر مربع دارای مربع S است که ضلع آن یک متر است.
و بالاخره یک کیلومتر مربع دارای مربع S است که ضلع آن یک کیلومتر است.

برای اندازه گیری مساحت مناطق بزرگ روی سطح زمین، واحدهایی مانند:

یک یا صد متر مربع - اگر مربع S دارای ضلع ده متر باشد.
یک هکتار برابر است با مربع S که ضلع آن صد متر است.

وظایف و تمرینات

حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

در شکل 62 شکلی ترسیم شده است که دارای هشت مربع است و هر ضلع این مربع ها برابر با یک سانتی متر است. بنابراین S چنین مربعی یک سانتی متر مربع خواهد بود.

اگر آن را بنویسید به این صورت می شود:

1 سانتی متر مربع و S این شکل متشکل از هشت مربع برابر با 8 سانتی متر مربع خواهد بود.

اگر هر شکلی را بردارید و آن را به مربع های "p" با ضلع برابر یک سانتی متر تقسیم کنید، مساحت آن برابر با:

R cm2.

بیایید به مستطیل نشان داده شده در شکل 63 نگاه کنیم. این مستطیل از سه نوار تشکیل شده است و هر نوار به پنج مربع مساوی با ضلع 1 سانتی متر تقسیم می شود.

بیایید سعی کنیم منطقه آن را پیدا کنیم. و به این ترتیب پنج مربع می گیریم و در سه نوار ضرب می کنیم و مساحتی برابر با 15 سانتی متر مربع بدست می آوریم:

مثال زیر را در نظر بگیرید. شکل 64 یک مستطیل ABCD را نشان می دهد که توسط خط شکسته KLMN به دو قسمت تقسیم شده است. قسمت اول آن 12 سانتی متر مربع مساحت دارد و قسمت دوم 9 سانتی متر مربع مساحت دارد. حالا بیایید مساحت کل مستطیل را پیدا کنیم:

بنابراین، سه را بگیرید و در هفت ضرب کنید و 21 سانتی متر مربع بدست آورید:

3 7 = 21 سانتی متر مربع. در این مورد، 21 = 12 + 9.

و به این نتیجه می رسیم که مساحت کل شکل ما برابر است با مجموع مساحت قسمت های جداگانه آن.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. و بنابراین در شکل 65 یک مستطیل نشان داده شده است که با استفاده از قطعه AC به دو مثلث مساوی ABC و ADC تقسیم می شود.

و از آنجایی که قبلاً می دانیم که یک مربع همان مستطیل است و فقط اضلاع مساوی دارد ، پس مساحت هر مثلث برابر با نصف مساحت کل مستطیل خواهد بود.

بیایید تصور کنیم که ضلع مربع برابر با a باشد، سپس:

S = a a = a2.

نتیجه می گیریم که فرمول مساحت مربع به صورت زیر خواهد بود:

و مدخل a2 را مربع عدد a می نامند.

و بنابراین، اگر ضلع مربع ما چهار سانتی متر باشد، مساحت آن خواهد بود:

4 4، یعنی 4 * 2 = 16 سانتی متر مربع.

سوالات و وظایف

مساحت شکل را پیدا کنید که به شانزده مربع تقسیم شده است که اضلاع آن برابر با یک سانتی متر است.
فرمول مستطیل را به خاطر بسپارید و آن را یادداشت کنید.
برای پی بردن به مساحت یک مستطیل چه اندازه گیری هایی باید انجام شود؟
اعداد مساوی را تعریف کنید
آیا مناطق مختلف می توانند ارقام مساوی داشته باشند؟ در مورد محیط ها چطور؟
اگر مساحت تک تک اجزای یک شکل را بدانید، چگونه می توانید مساحت کل آن را دریابید؟
فرمول بندی کنید و بنویسید که مساحت مربع چقدر است.

مرجع تاریخی

آیا می دانستید که مردم باستان در بابل می دانستند که چگونه مساحت یک مستطیل را محاسبه کنند؟ مصریان باستان نیز محاسبات ارقام مختلفی را انجام می دادند، اما از آنجایی که فرمول های دقیق را نمی دانستند، محاسبات دارای خطاهای کوچکی بود.

اقلیدس، ریاضی‌دان معروف یونان باستان، در کتاب «عناصر»، روش‌های مختلفی را برای محاسبه مساحت اشکال هندسی مختلف توضیح می‌دهد.