هدف از این تحقیق توسعه یک روش منطقی (روش محدودیت‌های بولی) جهت استفاده از ابررایانه‌ها و یک فناوری سرویس‌گرا برای ایجاد و استفاده از یک سیستم کامپیوتری برای مطالعه کیفی دینامیک رفتار مسیرهای حرکتی است. سیستم های دینامیکی باینری مستقل در یک بازه زمانی محدود. ارتباط موضوع با افزایش مداوم دامنه کاربردهای مدل های باینری در تحقیقات علمی و کاربردی و همچنین نیاز به تحلیل کیفی چنین مدل هایی با ابعاد بزرگ بردار حالت تأیید می شود. یک مدل ریاضی از یک سیستم باینری مستقل در یک بازه زمانی محدود و یک معادله بولی معادل این سیستم ارائه شده است. پیشنهاد شده است که مشخصات یک ویژگی پویا را به زبان منطق محمول با استفاده از کمیت‌کننده‌های وجود محدود و کلیت بنویسیم. معادلات بولی برای جستجوی حالت ها و چرخه های تعادلی یک سیستم دوتایی و شرایط جداسازی آنها به دست می آید. ویژگی های اصلی نوع دسترسی مشخص شده است (قابلیت دسترسی، ایمنی، دسترسی همزمان، دسترسی تحت محدودیت های فاز، جاذبه، اتصال، دسترسی کامل). برای هر ویژگی، مدل آن در قالب یک محدودیت بولی (یک معادله بولی یا یک فرمول بولی کمی)، که مشخصات منطقی ویژگی و معادلات دینامیک سیستم را برآورده می‌کند، ساخته می‌شود. بنابراین، بررسی امکان‌پذیری ویژگی‌های مختلف رفتار مسیرهای سیستم‌های دینامیکی باینری مستقل در یک بازه زمانی محدود به مشکل رضایت‌پذیری محدودیت‌های بولی با استفاده از حل‌کننده‌های مدرن SAT و TQBF کاهش می‌یابد. یک مثال نمایشی از استفاده از این فناوری برای آزمایش امکان‌سنجی برخی از ویژگی‌های توصیف شده قبلی ارائه شده است. در نتیجه، مزایای اصلی روش محدودیت‌های بولی فهرست شده است، ویژگی‌های پیاده‌سازی نرم‌افزار آن در چارچوب یک رویکرد سرویس‌گرا و جهت‌ها بیان شده است. پیشرفتهای بعدیروش برای سایر کلاس های سیستم های دینامیکی باینری.
سیستم دینامیکی باینری
ویژگی پویا
تحلیل کیفی
محدودیت های بولی
مشکل رضایتمندی بولی
1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Theory and Practice of SAT Solving. گزارش های داگستول 2015. جلد. 5. خیر 4. ر 98-122.
2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. دوازده سال ارزیابی QBF: QSAT PSPACE-Hard است و نشان می دهد. فاندم آگاه کردن. 2016. جلد. 149. ر 133-58.
3. Bohman D., Posthof H. سیستم های دینامیکی باینری. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 p.
4. ماسلوف اس.یو. نظریه سیستم های قیاسی و کاربرد آن. م.: رادیو و ارتباطات، 1365. 133 ص.
5. Jhala R., Majumdar R. بررسی مدل نرم افزار. بررسی های محاسباتی ACM. 2009. جلد. شماره 41 4. ر. 21:1-21:54.
6. واسیلیف اس.ن. روش کاهش و تحلیل کیفی سیستم های دینامیکی. I–II // اخبار آکادمی علوم روسیه. تئوری و سیستم های کنترل 2006. شماره 1. صص 21-29. شماره 2. صص 5-17.
7. فرمت DIMACS [منبع الکترونیکی]. حالت دسترسی: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (تاریخ دسترسی: 2018/07/24).
8. استاندارد QDIMACS [منبع الکترونیکی]. حالت دسترسی: http://qbflib.org/qdimacs.html (تاریخ دسترسی: 2018/07/24).
9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. سیستم های زمان گسسته با دینامیک مبتنی بر رویداد: پیشرفت های اخیر در روش های تجزیه و تحلیل و سنتز. ماریو آلبرتو جردن (ویرایش). سیستم های زمان گسسته InTech. 2011. R. 447-476.
10. واسیلیف اس.ن. قابلیت دسترسی و اتصال در یک شبکه خودکار با قانون کلیتغییر وضعیت // معادلات دیفرانسیل. 2002. T. 38. شماره 11. ص 1533-1539.
11. بیچکوف I.V.، Oparin G.A.، Bogdanova V.G.، Gorsky S.A.، Pashinin A.A. فناوری چند عاملی برای خودکارسازی حل موازی معادلات بولی در یک محیط محاسباتی توزیع شده // فناوری های محاسباتی. 2016. T. 21. شماره 3. ص 5–17.
12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. یک حل کننده QBF آگاه از وابستگی. مجله رضایت. مدلسازی و محاسبات بولی 2010. جلد. 9. ر 71-76.
13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. حل‌کننده‌های توزیع شده مسائل کاربردی بر اساس میکروسرویس‌ها و شبکه‌های عامل. Proc. از چهل و یکمین کارآموز. کنوانسیون فناوری اطلاعات و ارتباطات، الکترونیک و میکروالکترونیک (MIPRO-2018). R. 1643-1648.
14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. حل‌کننده موازی مقیاس‌پذیر مسائل رضایت‌پذیری بولی. Proc. از چهل و یکمین کارآموز. کنوانسیون فناوری اطلاعات و ارتباطات. الکترونیک و میکروالکترونیک (MIPRO-2018). ر 244-249.
15. بیچکوف I.V.، Oparin G.A.، Bogdanova V.G.، Pashinin A.A. فناوری حل مشکل کاربردی بر اساس مدل دامنه موضوع محاسباتی توزیع شده: رویکردی غیرمتمرکز // کنفرانس بین المللی XII فناوری های محاسباتی موازی، PaVT’2018، روستوف-آن-دون، 2-6 آوریل 2018. مقالات کوتاه و توضیحات پوسترها. چلیابینسک: مرکز انتشارات SUSU، 2018. صفحات 34–48.
گستره کاربردهای مدل‌های دینامیک باینری به طور غیرعادی گسترده است و هر ساله تعداد اشیا و وظایفی که در آنها استفاده از آنها مورد نیاز است، تنها در حال افزایش است. یک مثال کلاسیک یک خودکار سنکرون باینری است که مدلی از بسیاری از دستگاه های گسسته در سیستم های کنترل، فناوری کامپیوتر و تله مکانیک است. کاربردهای مدرن مدل‌های دینامیک باینری شامل مشکلاتی در بیوانفورماتیک، اقتصاد، جامعه‌شناسی و تعدادی از حوزه‌های دیگر می‌شود که به نظر دور از استفاده از متغیرهای باینری است. در این راستا، ارتباط توسعه روش‌های جدید و بهبود روش‌های موجود برای تحلیل کیفی رفتار مسیرهای سیستم‌های دینامیکی باینری (DDS) به طور قابل‌توجهی افزایش می‌یابد.
همانطور که مشخص است، هدف از تجزیه و تحلیل کیفی یک سیستم پویا (نه تنها باینری) به دست آوردن پاسخ مثبت یا منفی به این سوال است: آیا خاصیت دینامیکی مورد نیاز در یک سیستم معین وجود دارد؟ اجازه دهید این سوال را به صورت زیر بیان کنیم: آیا رفتار مسیرهای یک سیستم دینامیکی مجموعه خاصی از محدودیت‌های مشخص‌کننده ویژگی را برآورده می‌کند؟ علاوه بر این، دقیقاً از این تفسیر از هدف تجزیه و تحلیل کیفی خصوصیات دینامیکی سیستم استفاده خواهیم کرد.
برای DDS، که عملکرد آن در یک بازه زمانی محدود در نظر گرفته می‌شود، چنین محدودیت‌هایی بولی هستند و به زبان معادلات بولی یا فرمول‌های بولی با کمی‌ساز نوشته می‌شوند. محدودیت های نوع اول منجر به نیاز به حل مسئله SAT (مسئله رضایتمندی بولی) می شود. نوع دوم محدودیت ها با حل مسئله TQBF (آزمایش صحت فرمول های کمی شده بولی) مرتبط است. مشکل اول یک نماینده معمولی از کلاس پیچیدگی NP است و مشکل دوم یک نماینده معمولی از کلاس پیچیدگی PSPACE است. همانطور که مشخص است، کامل بودن PSPACE یک مسئله گسسته شواهد قوی تری از غیرقابل حل بودن آن نسبت به کامل بودن NP ارائه می دهد. به همین دلیل، کاهش مشکل تجزیه و تحلیل کیفی DDS به یک مسئله SAT نسبت به کاهش آن به یک مشکل TQBF ترجیح داده می شود. به طور کلی، مطالعه هر ویژگی یک DDS را نمی توان به زبان معادلات بولی نشان داد.
امکان نظری استفاده از قیود بولی (یعنی معادلات بولی) در تحلیل کیفی DDS برای اولین بار در کار نشان داده شد. البته لازم به ذکر است که به کارگیری این رویکرد در عمل در آن زمان به دلیل فقدان مشکل بود الگوریتم های کارآمدو برنامه هایی برای حل معادلات بولی (مخصوصاً با تعداد زیادی متغیر ناشناخته) که می تواند فضای جستجو را به میزان قابل توجهی کاهش دهد. در دهه اخیر، در نتیجه تحقیقات فشرده در این زمینه، تعداد کافی حل‌کننده معادلات بولی کارآمد (حل‌کننده‌های SAT) با استفاده از پیشرفتهای مدرن (اکتشافی‌های جدید، ساختارهای داده سریع، محاسبات موازی و غیره) در حل ظاهر شده‌اند. مشکل رضایتمندی بولی فرآیندهای مشابه (اما با کمی تاخیر) در زمینه ایجاد الگوریتم ها و برنامه های کارآمدتر برای حل مشکل TQBF مشاهده می شود. بنابراین، تا به امروز، تمام پیش نیازهای لازم برای توسعه سیستماتیک روش محدودیت های بولی در تحلیل کیفی DDS، پیاده سازی نرم افزار و کاربرد آن در حل مسائل علمی و کاربردی وجود دارد.
علاوه بر روش محدودیت های بولی، سایر روش های تحلیل کیفی برای DDS قابل اجرا است که شامل تحلیل قیاسی، بررسی مدل و روش کاهش می باشد. هر یک از این روش ها (از جمله روش محدودیت بولی) محدودیت ها، مزایا و معایب خاص خود را دارند. یک عیب رایج این است که همه روش ها در طبیعت نیروی brute هستند و مشکل کاهش نیروی brute در این روش ها اساسی است.
اهمیت تحلیل قیاسی، که شامل استفاده از بدیهیات و قواعد استنتاج برای اثبات عملکرد صحیح یک سیستم است، توسط طیف وسیعی از متخصصان تشخیص داده شده است، اما این روشی کار فشرده و در نتیجه به ندرت استفاده می شود. در روش بررسی مدل، از زبان منطق های زمانی که برای متخصصان دینامیک خودکار غیرمعمول است، به عنوان زبانی برای تعیین ویژگی مورد نیاز استفاده می شود. روش کاهش با ساخت یک مدل ساده شده (به معنای خاص) از سیستم اصلی، مطالعه خواص آن و شرایط انتقال این خواص به سیستم پیچیده اصلی همراه است. شرایط انتقال اموال فقط کافی است. سادگی ایده روش کاهش در تحلیل کیفی DDS با مشکل انتخاب یک سیستم ساده شده که تمام شرایط روش را برآورده می کند، مواجه است.
استفاده عملی از روش محدودیت بولی شامل الگوریتم سازی و اتوماسیون فرآیندهای زیر است:
1) توسعه یک زبان منطقی برای مشخص کردن ویژگی های پویا با هدف متخصص در دینامیک سیستم.
2) ساختن مدلی از یک ویژگی پویا به شکل یک محدودیت بولی از یک نوع یا دیگری که مشخصات منطقی ویژگی و معادلات دینامیک یک سیستم دوتایی را برآورده می کند.
3) ارائه مدل حاصل در قالب بین المللی DIMACS یا QDIMACS.
4) انتخاب (توسعه) یک حل کننده موازی (توزیع شده) موثر برای مشکل ارضای محدودیت های بولی (حل کننده SAT یا TQBF).
5) توسعه ابزار برای ایجاد خدمات نرم افزاری؛
6) توسعه خدمات برای تحقیقات کیفی خواص دینامیکی مختلف DDS.
هدفاین مطالعه برای حل تنها دو مشکل اول در رابطه با الگوریتم‌سازی مطالعات کیفی DDS همگام مستقل (بدون ورودی‌های کنترل) است. در نشریات انگلیسی زبان، این گونه سیستم ها را معمولاً شبکه های بولی سنکرون می نامند. سایر جنبه‌های کاربرد روش محدودیت بولی (از جمله برای DDS با ورودی‌های کنترل) موضوع انتشارات زیر است.
مدل ریاضی DDS خودمختار
فرض کنید X = Bn (B = (0، 1) - مجموعه ای از بردارهای دوتایی با بعد n (فضای حالت DDS) بگذارید t∈T = (1,…,k) نشان دهنده زمان گسسته (عدد تاکت) باشد.
برای هر حالت x0∈X که حالت اولیه نامیده می شود، مسیر x(t, x0) را به عنوان دنباله ای محدود از حالات x0، x1،...، xk از مجموعه X تعریف می کنیم. سپس، DDS را در نظر خواهیم گرفت که در آن هر جفت مسیرهای حالت های مجاور xt، x(t - 1) (t∈T) با رابطه مرتبط هستند
xt = F (xt - 1). (1)
در اینجا F:X>X یک تابع برداری از جبر منطق است که تابع انتقال نامیده می شود. بنابراین، برای هر x0∈X، سیستم معادلات بولی (1) مدلی از دینامیک رفتار مسیرهای DDS در فضای حالت X در یک بازه زمانی محدود T = (1, 2,…,k) را نشان می‌دهد. در اینجا و در زیر، مقدار k در تعریف مجموعه T به عنوان یک ثابت از پیش تعیین شده در نظر گرفته شده است. این محدودیت کاملا طبیعی است. واقعیت این است که در یک تحلیل کیفی از رفتار مسیرهای DDS، سوال مورد توجه عملی این است که در مورد امکان‌سنجی هر خاصیت دینامیکی برای یک k ثابت و نه خیلی بزرگ چه می‌توان گفت. انتخاب مقدار k در هر مورد خاص بر اساس اطلاعات پیشینی در مورد مدت زمان فرآیندها در سیستم گسسته شبیه سازی شده انجام می شود.
مشخص است که سیستم معادلات بولی (1) با حالت اولیه x0∈X برای T = (1, 2,…,k) معادل یک معادله بولی شکل است.
برای k = 1 (فقط انتقال های یک مرحله ای در نظر گرفته می شود)، معادله (2) شکل می گیرد
(3)
راه حل های این معادله یک گراف جهت دار متشکل از 2n راس را تعریف می کند که با یکی از 2n حالت مجموعه X مشخص شده است. رئوس x0 و x1 نمودار با یک قوس جهت از حالت x0 به حالت x1 به هم متصل می شوند. چنین نموداری در تئوری اتوماتای باینری، نمودار انتقال نامیده می شود. نمایش رفتار DDS در قالب یک نمودار انتقال هم هنگام ساخت مسیرها و هم در مطالعه خواص آنها بسیار واضح است، اما عملاً فقط برای ابعاد کوچک n از بردار حالت x∈X امکان پذیر است.
ابزارهای زبانی برای تعیین ویژگی های پویا
تعیین یک ویژگی پویا در زبان منطق رسمی راحت تر است. در ادامه کار، اجازه دهید مجموعه حالت های اولیه، مجاز و هدف را با X0∈X، X1∈X، X*∈X نشان دهیم.
عناصر نحوی اصلی فرمول منطقی یک ویژگی پویا عبارتند از: 1) متغیرهای موضوعی (اجزای بردارهای x0، x1،…، xk، زمان t). 2) کمیت کننده های محدود وجود و جهانشمول. 3) اتصالات منطقی v، &; فرمول های نهایی فرمول نهایی عبارتی را در مورد عضویت برخی از حالت های مجموعه مسیرهای x(t, x0) (x0∈X0) به مجموعه های ارزیابی X* و X1 نشان می دهد.
لازم به ذکر است که استفاده از کمیت‌کننده‌های محدود وجود و جهان‌شمولی نوعی ثبت ویژگی پویا را فراهم می‌کند که برای متخصص دینامیک آشناست. در فرآیند ساخت یک مدل بولین از ویژگی‌ها برای سیستم (1)، کمی‌سازهای محدود با تعاریف زیر جایگزین کمی‌سازهای معمولی می‌شوند:
که در آن A(y) یک محمول است که مقدار متغیر y را محدود می کند.
با توجه به محدود بودن دامنه تغییرات متغیر t، کمیت‌کننده‌های محدود وجود و جهان‌شمولی با توجه به این متغیر با فرمول‌های معادلی جایگزین می‌شوند که حاوی کمیت‌کننده نیستند.
در ادامه فرض می کنیم که عناصر مجموعه های X0، X1، X* به ترتیب با صفرهای معادلات بولی زیر تعیین می شوند.
یا توابع مشخصه این مجموعه ها، .
با در نظر گرفتن محدودیت در حالت های اولیه G0(x) = 0، به همراه معادلات (2، 3)، از معادلات بولی زیر برای کوتاه کردن نماد استفاده خواهیم کرد:
(4)
تجزیه و تحلیل کیفی اولیه DDS خودمختار
در مرحله تجزیه و تحلیل اولیه، انشعاب یک حالت (بسیاری از پیشینیان فوری آن)، وجود حالت های تعادل و مسیرهای بسته (چرخه ها) را می توان (در صورت لزوم) شناسایی کرد.
حالت x1 در (3) جانشین حالت x0 و x0 - سلف حالت x1 نامیده می شود. در یک DDS خودمختار، هر حالت فقط یک جانشین دارد و تعداد پیشینیان یک حالت معین می تواند از صفر تا 2n - 1 تغییر کند. همه پیشینیان فوری x0 حالت s∈X صفرهای معادله بولی هستند.
اگر معادله (6) هیچ راه حلی نداشته باشد، هیچ پیشینی از حالت s وجود ندارد.
حالت های تعادلی (در صورت وجود) راه حل های معادله بولی هستند
یک مسیر x0، x1،…، xk چرخه ای به طول k نامیده می شود اگر حالت های x0، x1،…، xk-1 به صورت جفتی با یکدیگر متفاوت باشند و xk = x0. دنباله حلقوی به طول k (در صورت وجود) راه حلی برای معادله بولی است
کجا = 0 ( 
) - شرایط تفاوت زوجی مجموعه حالات C یک چرخه به طول k. اگر هیچ یک از حالات یک چرخه دارای پیشیندی نباشد که به مجموعه C تعلق نداشته باشد، چنین چرخه ای ایزوله نامیده می شود. اجازه دهید عناصر s مجموعه C با حل معادله بولی Gc(s) = 0 تعیین شوند. سپس نشان دادن اینکه شرط چرخه ایزوله شده معادل عدم وجود صفر در بولی زیر است آسان است. معادله:
راه حل های معادله (7) (در صورت وجود) حالت های چرخه ای را تعیین می کنند که دارای پیشینهای هستند که به مجموعه C تعلق ندارند.
از آنجایی که حالت تعادل یک چرخه به طول k = 1 است، شرط جداسازی آن مشابه شرط جداسازی با k ≥ 2 است، با این تفاوت که Gc(s) شکل یک تفکیک کامل دارد که این حالت تعادل را تعریف می کند. .
در ادامه، حالت‌ها و چرخه‌های تعادل غیرایزوله را جذب‌کننده می‌نامیم.
مشخصات خواص دینامیکی نوع دسترسی
ویژگی اصلی DDS، نیاز به آزمایش که اغلب در عمل ایجاد می شود، ویژگی دستیابی است که به طور سنتی در نظریه گراف مورد مطالعه قرار می گیرد (در مورد ما، چنین نموداری یک نمودار انتقال است) و تغییرات مختلف آن. دسترسی B به عنوان یک مشکل کلاسیک در تجزیه و تحلیل رفتار مسیرهای DDS تعریف می شود.
تعریف این ویژگی با مشخص کردن مجموعه های معرفی شده قبلی X0، X*، X1 (مرتبط با این مجموعه معادلات بولی) همراه است. فرض بر این است که مجموعه های X0، X*، X1 محدودیت را برآورده می کنند
با توجه به محدود بودن مجموعه T، ویژگی دسترس پذیری و تغییرات آن بیشتر به عنوان ویژگی دسترس پذیری عملی (قابلیت دسترسی در تعداد محدود چرخه) درک می شود. ویژگی های زیر از نوع دسترسی در نظر گرفته شده است:
1. ویژگی اصلی دستیابی به یک مجموعه X* از مجموعه X0 به صورت زیر فرموله می شود: هر مسیری که از مجموعه حالت های اولیه X0 آزاد شود به مجموعه هدف X* می رسد. با استفاده از کمیت‌کننده‌های وجود محدود و کلیت، فرمول این ویژگی به صورت زیر است:
2. ویژگی ایمنی تضمین می کند که برای هر مسیری که از X0 آزاد می شود، مجموعه X* غیرقابل دسترس است:
3. خاصیت دسترسی همزمان. در برخی موارد، می‌توان یک «نیاز دقیق‌تر» تعیین کرد، که این است که هر مسیر دقیقاً در k سیکل ساعت (k∈T) به هدف تعیین‌شده برسد.
4. قابلیت دسترسی تحت محدودیت های فاز:
این ویژگی تضمین می کند که تمام مسیرهای منتشر شده از مجموعه X0، قبل از ورود به مجموعه هدف X*، در مجموعه X1 قرار دارند.
5. خاصیت جاذبه. بگذارید X* یک جذب کننده باشد. سپس فرمول منطقی خاصیت جاذبه با فرمول خاصیت اصلی دسترسی پذیری مطابقت دارد:
آن ها برای هر مسیری که از مجموعه X0 آزاد می شود، یک لحظه زمانی t∈T وجود دارد که از آن شروع مسیر از مرزهای مجموعه X* فراتر نمی رود. مجموعه X0 در این مورد به بخشی از حوزه جذب مجموعه X* (X0∈Xa) تعلق دارد که در آن Xa دامنه کامل جاذبه (استخر) جذب کننده است.
توجه داشته باشید که همه متغیرها در فرمول های ویژگی فوق در واقع به هم مرتبط هستند، زیرا مسیر x0، x1،…، xk کاملاً با حالت اولیه تعیین می شود. از آنجایی که کمی‌کننده‌های روی متغیر t با عملیات تفکیک چند مکان یا پیوند محمول‌های مربوطه جایگزین می‌شوند، در هر یک از فرمول‌ها یک کمیت جهانی محدود () وجود دارد که نوشتن شرایط رضایت‌پذیری این ویژگی‌ها را ممکن می‌سازد. زبان معادلات بولی (به شکل مسئله SAT).
اجازه دهید دو ویژگی را ارائه کنیم که تأیید آنها منجر به نیاز به حل مشکل TQBF می شود.
6. ویژگی اتصال مجموعه هدف:
آن ها یک حالت اولیه x0∈X0 وجود دارد به طوری که هر حالت هدف x*⊆X* در یک لحظه t∈T قابل دستیابی است، که به معنای وجود یک مسیر مربوط به این حالت است، به طوری که تمام حالت های هدف x*∈X* متعلق به به این مسیر
7. ویژگی دسترسی کل مجموعه X* از X0:
آن ها هر حالت هدف از X0 قابل دستیابی است.
بررسی امکان سنجی خواص دینامیکی
برای خواص (1-5)، بررسی امکان‌سنجی آنها به جستجوی صفرهای یک معادله بولی ختم می‌شود، فناوری شکل‌دهی که استاندارد شده است و فقط برای ویژگی اصلی دسترسی در نظر گرفته می‌شود. خواص (6، 7) منجر به مشکل بررسی صحت فرمول بولی کمی می شود.
1. خاصیت اصلی دسترس پذیری. فرمول منطقی آن به نظر می رسد
با در نظر گرفتن (4) فرمول (8) را در فرم می نویسیم
تابع مشخصه مجموعه حالات مسیر آزاد شده از حالت اولیه x0∈X0 کجاست. بیایید از کمیت وجود در (9) خلاص شویم. سپس خواهیم داشت
تابع مشخصه مجموعه X* کجاست. اجازه دهید کمیت کننده های جهانی محدود را با کمیت سازهای معمولی جایگزین کنیم. در نتیجه بدست می آوریم
فرمول (10) درست است اگر و تنها در صورتی که عبارت زیرکمی به طور یکسان درست باشد، یعنی.
صدق یکسان دلالت بدین معنی است که تابع بولی نتیجه منطقی تابع است، یعنی. هر مسیری با حالت اولیه x0∈X0 به مجموعه هدف X* می رسد.
اعتبار هویت (11) معادل عدم وجود صفر در معادله بولی است.
با استخراج (12)، از دلالت خلاص شدیم و ϕ*(x0, x1,..., xk) را با 
. اگر معادله (12) حداقل یک راه حل داشته باشد، ویژگی دسترسی پذیری برقرار نیست. چنین راه حلی نشان دهنده (به معنای خاص) یک مثال متقابل برای ویژگی مورد آزمایش است و می تواند به محقق کمک کند تا علت خطا را شناسایی کند.
علاوه بر این، برای اختصار ارائه، برای هر ویژگی (2-4) ما فقط یک معادله از نوع (12) را می نویسیم، و از خواننده دعوت می کنیم تا به طور مستقل استدلال لازم را، نزدیک به آنچه برای ویژگی اصلی دسترسی ارائه شده است، بازتولید کند.
2. اموال امنیتی
3. ویژگی دسترسی همزمان
4. قابلیت دسترسی تحت محدودیت های فاز
5. خاصیت جاذبه. امکان سنجی این ملک در دو مرحله بررسی می شود. در مرحله اول مشخص می شود که آیا مجموعه X* جذب کننده است یا خیر. اگر پاسخ مثبت است، در مرحله دوم ویژگی اصلی دسترسی بررسی می شود. اگر X* از X0 قابل دسترسی باشد، تمام شرایط ویژگی جاذبه برآورده می شود.
6. خاصیت اتصال
7. خاصیت دسترسی کل».
برای خواص (6، 7)، شکل اسکالر برابری دو بردار بولی xt = x* شکل دارد.
اجازه دهید هنگام بررسی امکان سنجی برخی از ویژگی های ذکر شده در بالا برای مدل 3.2 از کار، فناوری ذکر شده در بالا را برای تجزیه و تحلیل کیفی DDS مستقل با استفاده از روش محدودیت های بولی نشان دهیم:
اجازه دهید حالت اولیه مدل (13) را با x0∈X = B3 نشان دهیم. اجازه دهید T = (1، 2). اجازه دهید توابع انتقال های یک مرحله ای و دو مرحله ای مدل (13) مورد نیاز برای مشخصات خواص را بنویسیم:
(14)
جایی که علامت "." عملیات ربط نشان داده شده است.
برای بررسی رضایت‌پذیری هر ویژگی، مجموعه‌های اولیه (X0) و هدف (X*) مشخص می‌شوند که با صفرهای معادلات G0(x) = 0، G*(x) = 0 یا توابع مشخصه آنها تعیین می‌شوند. مجموعه ها (به بخش 2 مراجعه کنید). حل کننده کمپلکس ابزاری (IC) REBUS به عنوان حل کننده SAT و DepQBF به عنوان حل کننده TQBF استفاده می شود. رمزگذاری متغیرها در مدل های بولی ویژگی های در نظر گرفته شده در زیر برای این حل کننده ها در جدول آورده شده است. 1، مدل های بولی این ویژگی ها در فرمت های DIMACS و QDIMACS در جدول قرار دارند. 2.
میز 1
رمزگذاری متغیر
|
عدد متغیر در مدل بولی |
||||||||||||
|
ملک 1 |
||||||||||||
|
ملک 2 |
||||||||||||
|
ملک 3 |
||||||||||||
|
ملک 4 |
||||||||||||
|
ملک 5 |
جدول 2
مدل های دارایی بولی
|
ملک 1 |
ملک 2 |
ملک 3 |
ملک 4 (الف) |
ملک 4 (B) |
ملک 5 |
|
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0 |
1. ویژگی اساسی دسترسی (k = 2). فرض کنید X0 = (x∈X: x1 = 0)، X*=(x∈X: x1 = 1). مجموعه های اولیه و هدف به ترتیب با معادلات G0(x) = x1 = 0 و . معادله بولی (12) در این حالت شکل می گیرد
که در آن تابع ϕ(x0, x1, x2) در (14) تعریف شده است. حل‌کننده IR REBUS پاسخ «غیر اشباع» را تولید می‌کند (معادله صفر ندارد)، بنابراین خاصیت دستیابی X* از X0 برآورده می‌شود، که به وضوح از نمودار انتقال زیر نشان داده شده در شکل مشاهده می‌شود.
2. چرخه هایی با طول k = 2. یک دنباله چرخه ای به طول 2 (اگر وجود داشته باشد) راه حلی برای معادله بولی است.
تابع به نظر می رسد
عبارت R(x0، x1) هنگام یافتن چرخه در معادله گنجانده نشد، زیرا هیچ چرخه ای با طول k = 1 (حالت تعادل) در مدل (13) وجود ندارد. با استفاده از حل کننده IR REBUS، دو پاسخ (در قالب خروجی DIMACS) به دست آمد: 1 2 3 4 5 -6 0 و 1 2 -3 4 5 6 0، مربوط به دنباله های چرخه ای (شکل): ((1 1 1) ، (1 1 0)) و ((1 1 0)، (1 1 1)). مجموعه حالت های هر دو چرخه منطبق هستند، به این معنی که در مدل (13) یک چرخه به طول k = 2 وجود دارد.
نمودار انتقال سیستم (13)
3. خاصیت جداسازی چرخه. اگر عناصر s از مجموعه حالات C یک چرخه به طول k = 2 با حل معادله بولی Gc(s) = 0 تعیین شوند، آنگاه شرط جداسازی چرخه معادل عدم وجود صفر در بولی زیر است. معادله:
از آنجایی که C = ((1 1 1)، (1 1 0))، داریم
برای این معادله، حل کننده IR REBUS دو راه حل پیدا می کند: -1 2 3 4 5 -6 0 و -1 2 -3 4 5 -6 0 (در نمایش دودویی مطابق با کدگذاری متغیرها در جدول 1، اینها جفت هستند. حالت های (0 1 1)، (1 1 0) و ((0 1 0)، (1 1 0)). 0) که به مجموعه چرخه حالت ها تعلق ندارند، این بدان معنی است که خاصیت جداسازی چرخه برآورده نمی شود، یعنی این چرخه یک جاذبه است.
4. خاصیت جاذبه. اجازه دهید X* = C یک جاذبه باشد. فرمول منطقی ویژگی جاذبه با فرمول خاصیت اصلی دسترسی پذیری مطابقت دارد
و معادله بولی مربوطه برای مورد ما شکل دارد
اجازه دهید توابع G0(x0)، ϕ(x0، x1، x2) و را بنویسیم. تابع ϕ(x0, x1, x2) در (14) آورده شده است. برای X* = C عبارت است. بیایید دو گزینه برای تعیین مجموعه حالت های اولیه X0، برای موارد تحقق (A) و عدم تحقق (B) ویژگی جاذبه در k = 2 سیکل ساعت در نظر بگیریم.
الف. اجازه دهید. سپس
در این حالت، پاسخ “unsat” برای معادله بولی (15) داده می شود. ویژگی جاذبه برای یک مجموعه معین X0 برآورده می شود.
ب. اجازه دهید. سپس
در این مورد، IR REBUS برای معادله (15) یک راه حل پیدا می کند: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0، که مربوط به مسیر ((1 0 1),(1 0 0),(0 است. 1 1)) . این مسیر با حالت اولیه x0 = (1 0 1) در دو مرحله به مجموعه X* = C نمی رسد، به این معنی که خاصیت جذب برای X0 معین ارضا نمی شود.
5. خاصیت اتصال. فرمول منطقی برای ویژگی اتصال به شکل عبارت زیر است:
برای k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2)، که در آن تابع ϕ(x0, x1, x2) در (14) آورده شده است. بیایید حالت (1 0 1) را به عنوان حالت اولیه انتخاب کنیم. سپس . اجازه دهید هدف X* = ((0 1 1)، (1 0 0)) تنظیم شود. در این حالت تابع G*(x*) شکل دارد
بیایید G*(x*) را با فرمت CNF بنویسیم:
با استفاده از قانون دمورگان، نفی تابع ϕ*(x0, x1, x2) را پیدا می کنیم. با جایگزینی تمام توابع به دست آمده در (16) و با در نظر گرفتن رمزگذاری متغیرهای بولی (جدول 1)، یک مدل بولی در قالب QDIMACS به دست می آوریم (جدول 2). حل کننده DepQBF پاسخ "sat" را برمی گرداند، که به این معنی است که عبارت (16) درست است. ویژگی اتصال برای X0، X*، T = (1، 2) داده شده برآورده می شود.
نتیجه
مزایای اصلی روش محدودیت بولی در تحقیقات کیفی DDS عبارتند از:
1. یک زبان منطقی برای تعیین یک ویژگی پویا، آشنا برای متخصص در دینامیک خودکار، از طریق استفاده از کمیت‌کننده‌های محدود وجود و جهانشمول.
2. با استفاده از فرمول ویژگی و معادلات دینامیکی، معادله بولی مربوطه یا فرمول بولی کمی به طور خودکار ساخته می شود.
3. فرآیند تبدیل عبارات بولی حاصل به شکل عادی ربطی با تولید بیشتر یک فایل در قالب‌های DIMAX و QDIMAX که ورودی حل‌کننده‌های SAT و حل‌کننده‌های QBF هستند، کاملاً خودکار است.
4. مشکل کاهش جستجو تا حدی توسط توسعه دهندگان این حل کننده ها حل شده و در مقابل متخصصان تجزیه و تحلیل کیفی DDS محافظت می شود.
5. حل مشکل تحلیل کیفی DDS برای ابعاد بزرگ بردار حالت n در یک بازه زمانی به اندازه کافی طولانی T امکان پذیر است. از نظر تعداد حالت ها، روش محدودیت های بولی از نظر کمی قابل مقایسه با روش بررسی مدل با توجه به اینکه در سال های اخیر افزایش قابل توجهی در عملکرد الگوریتم های تخصصی برای حل مسائل SAT و TQBF وجود داشته است، تعداد کل متغیرها در یک مدل ویژگی Boolean برای حل کننده های مدرن به هزاران عدد قابل اندازه گیری است.
نرم افزار فرآیند تحلیل کیفی DDS بر اساس روش محدودیت های بولی در چارچوب رویکرد سرویس گرا با استفاده از حل کننده های معادلات بولی تخصصی پیاده سازی شده است. این مقاله نمونه‌ای از اجرای روش محدودیت بولی بر اساس یک رویکرد سرویس‌گرا برای جستجوی چرخه‌ها و حالت‌های تعادل در شبکه‌های تنظیم‌کننده ژن ارائه می‌دهد.
لازم به ذکر است که روش محدودیت های بولی یک روش نسبتاً کلی برای تحلیل کیفی DDS در یک بازه زمانی محدود است. این نه تنها برای سیستم‌های مستقل، بلکه برای سیستم‌هایی با ورودی‌های کنترل، برای سیستم‌هایی با عمق حافظه بیشتر از یک، برای DDS نیز قابل استفاده است. نمای کلیزمانی که تابع انتقال نسبت به حالت xt غیرقابل تصمیم گیری باشد و به شکل F(xt, xt-1) = 0 باشد. برای یک DDS با ورودی، ویژگی کنترل پذیری و تغییرات مختلف آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. علاوه بر مشکلات تجزیه و تحلیل DDS، روش محدودیت‌های بولی برای مشکلات سنتز بازخورد (ایستا یا دینامیک، با حالت یا ورودی) قابل استفاده است و از تحقق ویژگی دینامیکی مورد نیاز در سیستم سنتز شده اطمینان می‌دهد.
این مطالعه توسط بنیاد تحقیقات پایه روسیه، پروژه شماره 18-07-00596/18 پشتیبانی شد.
پیوند کتابشناختی
Oparin G.A.، Bogdanova V.G.، Pashinin A.A. روش محدودیت های بولی در تحلیل کیفی سیستم های دینامیک باینری // مجله بین المللیتحقیقات کاربردی و بنیادی. – 2018. – شماره 9. – ص 19-29;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (تاریخ دسترسی: 03/18/2020). مجلات منتشر شده توسط انتشارات "آکادمی علوم طبیعی" را مورد توجه شما قرار می دهیم.
اتوماسیون و تله مکانیک، L-1، 2007
RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j
© 2007 Yu.S. پوپکوف، دکترای مهندسی. علوم (موسسه تحلیل سیستم RAS، مسکو)
تجزیه و تحلیل کیفی سیستم های دینامیک با اپراتور Vd-ENTROPY
روشی برای مطالعه وجود، منحصر به فرد بودن و محلی سازی نقاط منفرد کلاس در نظر گرفته شده DSEO پیشنهاد شده است. شرایط برای ثبات "در کوچک" و "در بزرگ" به دست آمده است. نمونه هایی از کاربرد شرایط به دست آمده آورده شده است.
1. معرفی
بسیاری از مسائل مدلسازی ریاضی فرآیندهای دینامیکی بر اساس مفهوم سیستم‌های دینامیکی با عملگر آنتروپی (DSEO) قابل حل است. DSEO یک سیستم پویا است که در آن غیرخطی بودن با مسئله پارامتری حداکثر سازی آنتروپی توصیف می شود. Feio-myologically، DSEO مدلی از یک کلان سیستم با بازتولید "آهسته" خود و توزیع "سریع" منابع است. برخی از ویژگی‌های DSEO مورد مطالعه قرار گرفت. این کار چرخه تحقیق در مورد ویژگی های کیفی DSEO را ادامه می دهد.
ما یک سیستم پویا با عملگر آنتروپی Vd در نظر می گیریم:
^ = £(x,y(x))، x e En:
y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x)، y e E^) > 0.
در این عبارات:
C(x,y)، c(x) توابع برداری پیوسته قابل تمایز هستند.
آنتروپی
(1.2) Нв (у) = ز 1п az > 0، ز = Т~т;
T - (r x w) -ماتریس با عناصر ^ 0 دارای رتبه کامل برابر با r است.
تابع برداری q(x) به طور پیوسته قابل تمایز فرض می شود، مجموعه ^^^^^tached q یک متوازی الاضلاع مثبت است.
(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,
که در آن a- و a + بردارهایی از E+ هستند و a- یک بردار با اجزای کوچک است.
استفاده از نمایش معروف عملگر آنتروپی بر حسب ضریب لاگرانژ. اجازه دهید سیستم (1.1) را به شکل زیر تبدیل کنیم:
- = £(x,y(z))، x e Kn، y(z) e K?، g e Er+
Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-
O(x,z) = Ty(z) = d(x)،
که در آن rk = exp(-Ak) > 0 ضرب کننده های لاگرانژ نمایی هستند.
همراه با DSEO از فرم عمومی (1.1)، ما طبق طبقه بندی ارائه شده در زیر در نظر خواهیم گرفت.
DSEO با جریان قابل تفکیک:
(1-5) ^ = I(x) + Ву(r)،
که در آن B(n x m) -ماتریس.
DSEO با جریان ضربی:
(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z))، ab
جایی که Ш یک ماتریس (n x m) با عناصر غیر منفی است، a بردار با مولفه های مثبت، ® علامت ضرب مختصات است.
هدف از این کار بررسی وجود، منحصر به فرد بودن و محلی سازی نقاط منفرد DSEO و پایداری آنها می باشد.
2. نقاط مفرد
2.1. وجود داشتن
اجازه دهید سیستم (1.4) را در نظر بگیریم. نقاط منفرد این سیستم دینامیکی با معادلات زیر تعیین می شود:
(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;
(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:
(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x)، k = 1، r.
اجازه دهید ابتدا سیستم کمکی معادلات را در نظر بگیریم:
(2.4) C(d,r) = g, d e R,
که در آن مجموعه R با برابری (1.3) تعریف می شود و C(d,r) یک تابع برداری با اجزاء است.
(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g)، a-< дк < а+, к =1,г.
معادله (2.4) یک راه حل منحصر به فرد r* برای هر بردار ثابت d دارد که از ویژگی های عملگر آنتروپی Vd (نگاه کنید به) نتیجه می شود.
از تعریف اجزای تابع برداری C(d,r) یک تخمین واضح وجود دارد:
(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:
حل معادله اول را با r+ و دومی را با r- نشان می دهیم. بیایید تعریف کنیم
(2.7) C (a+,z) = z, C(a
(2.8) zmaX = max z+، zmin = mm zk
و بردارهای بعدی r
(2.9) z (zmax، zmax)، z (zmin، zmin).
لم 2.1. برای تمام حل‌های q G Q (1. 3) z*(q) معادله (2.4) متعلق به بردار 1 به بخش
zmin< z*(q) < zmax,
که در آن بردارهای zmin و zmax با عبارات (2.7) - (2.9) تعیین می شوند.
اثبات قضیه در پیوست آورده شده است. Qq
qk(x) (1.3) برای x G Rn، سپس
نتیجه 2.1. اجازه دهید شرایط لم 2.1 برآورده شود و توابع qk(x) شرایط (1.3) را برای همه ex x G Rn برآورده کنند. سپس برای تمام x G Rm جواب های z* معادله (2.3) متعلق به بخش برداری است
zmin< z* < zmax
حال به معادلات (2.2) بازگردیم. که اجزای تابع برداری y(z) را تعیین می کند. عناصر ژاکوبین آن فرم دارد
(2.10) jb aj zk JJ & > 0
برای همه z G R+ به جز 0 و f. در نتیجه، تابع برداری y(z) به شدت یکنواخت در حال افزایش است. طبق Lemma 2.1، از زیر و بالا محدود شده است، یعنی. برای همه z G Rr (از این رو، برای همه x G Rn) مقادیر آن متعلق به مجموعه است
(2.11) Y = (y: y-< y < y+},
که در آن اجزای بردارهای yk، y+ با عبارات زیر تعیین می شوند:
(2.12) yk = aj y+ = aj znlax، j = h™.
(2.13) bj = Y، tsj، 3 = 1،
بیایید اولین رابطه (2.1) را در نظر بگیریم و آن را به شکل زیر بازنویسی کنیم:
(2.14) L(x,y) = 0 برای همه y e Y C E^.
این معادله وابستگی متغیر x به متغیر y متعلق به Y را تعیین می کند
ما (1.4) به وجود یک تابع ضمنی x(y) که با معادله (2.14) تعریف شده است کاهش می دهد.
لم 2.2. بگذارید شرایط زیر برآورده شود:
الف) تابع برداری L(x,y) در مجموعه متغیرها پیوسته است.
ب) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;
ج) det J (x, y) = 0 برای همه ex x e Ep برای هر y e Y ثابت.
سپس یک تابع ضمنی منحصر به فرد x*(y) بر روی Y تعریف شده است. در این لم، J(x, y) یک ژاکوبین با عناصر است.
(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.
اثبات در ضمیمه آورده شده است. از لم های فوق بر می آید
قضیه 2.1. بگذارید شرایط Lemmas 2.1 و 2.2 برآورده شود. سپس یک نقطه منحصر به فرد از DSEO (1.4) و بر این اساس، (1.1) وجود دارد.
2.2. بومی سازی
منظور ما از مطالعه محلی سازی یک نقطه منفرد، امکان تعیین فاصله ای است که در آن قرار دارد. این کار خیلی ساده نیست، اما برای یک کلاس خاص از DSEO می توان چنین فاصله ای را تنظیم کرد.
اجازه دهید به اولین گروه از معادلات در (2.1) بپردازیم و آنها را به شکل نمایش دهیم
(2.16) L(x,y)=0، y-y y y+،
که در آن y- و y+ با برابری های (2.12)، (2.13) تعریف می شوند.
قضیه 2.2. اجازه دهید تابع برداری L(x,y) به طور پیوسته قابل تفکیک و افزایش یکنواخت در هر دو متغیر باشد، یعنی.
--> 0، --> 0; i,l = 1, n; j = 1، m. dxi dyj
سپس جواب سیستم (2.16) نسبت به متغیر x متعلق به بازه (2.17) xmin x x x xmax است.
الف) بردارهای xmin، xmax شکل دارند
حداقل = i x 1 xmax = r x t;
\xmin: . ..، xminlxmax، . . .، xmax) :
xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;
6) x- و x+ - اجزای حل معادلات زیر
(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0
با oo m در واقع.
اثبات قضیه در پیوست آورده شده است.
3. ثبات DSEO "در کوچک"
3.1. DSEO با جریان قابل تفکیک اجازه دهید به معادلات DSEO با جریان قابل تفکیک بپردازیم و آنها را به شکل زیر ارائه کنیم:
- = /(x) + Bu(r(x))، x e Kn ab
U- (g(X)) = azP (X)U33، 3 = 1"~ 8 = 1
0(x، r(x)) = Ty(r(x)) = d(x)، g e جیوه،.
در اینجا مقادیر اجزای تابع برداری d(x) متعلق به مجموعه Q (1.3) است، ماتریس (n x w) B دارای رتبه کامل برابر با n (n) است.< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.
اجازه دهید سیستم مورد بررسی یک نقطه منفرد x داشته باشد. برای مطالعه پایداری این نقطه منفرد "در کوچک" یک سیستم خطی می سازیم
که در آن A یک ماتریس (n x n) است که عناصر آن در نقطه x محاسبه می شوند و بردار £ = x - x است. با توجه به رابطه اول در (3.1)، ماتریس سیستم خطی شده است
A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x)، x = g (x)،
| 3 = 1، w، k = 1،
I k = 1,g, I = 1,p
از (3.1) عناصر ماتریس Vr: DN تعیین می شوند.
"bkz P" 8=1
3، g8 x8، 5 1، g.
برای تعیین عناصر ماتریس Zx به آخرین گروه از معادلات در (3.1) می پردازیم. نشان داده شده است که این معادلات یک تابع بردار ضمنی r(x) را تعریف می کنند، که اگر تابع برداری d(x) به طور پیوسته قابل تمایز باشد، پیوسته قابل تمایز است. Zx ژاکوبین تابع برداری r(x) با معادله تعیین می شود
<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),
vg (X) = T Ug (X)،
ddk، -t-، -" -- k = 1،g، I = 1،p dx\
از این معادله (3.9) Zx(x) = v-1(z)Qx(x) داریم.
جایگزینی این نتیجه به برابری (3.3). ما گرفتیم:
A = 1 (x) + P (x)، P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).
بنابراین، معادله سیستم خطی شکل می گیرد
(z.i) | = (j+p)e
در اینجا عناصر ماتریس های J, P در نقطه منفرد محاسبه می شوند. شرایط کافی برای پایداری در DSEO کوچک (3.1) با موارد زیر تعیین می شود
قضیه 3.1. DSEO (3.1) در صورتی که شرایط زیر برآورده شود دارای یک نقطه واحد x پایدار "در کوچک" است:
الف) ماتریس های J, P (3.10) سیستم خطی شده (3.11) دارای مقادیر ویژه واقعی و متمایز هستند و ماتریس J دارای حداکثر مقدار ویژه است.
Ptah = حداکثر Pg > 0،
Wmax = حداکثر رابط کاربری< 0;
Umax + Ptah<
از این قضیه و برابری (3.10) نتیجه می‌شود که برای نقاط مفرد که برای آنها Qx(x) = 0 و (یا) برای X، = 0 و tkj ^ 1 برای همه k,j شرایط کافی قضیه برقرار نیست.
3.2. DSEO با جریان ضربی معادله (1.6) را در نظر بگیرید. ارائه آنها در قالب:
X ® (a - x ® Wy(z(x)))، x e Rn;
yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;
(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts
Q(x، z(x)) = Ty(z(x)) = q(x)، z e R++.
سیستم های. خواهد داشت:
(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).
در این عبارت، دیاگ C] یک ماتریس مورب با عناصر مثبت a1،...، an، Vr، Zx است - ماتریس هایی که با برابری های (3.4)-(3.7) تعریف می شوند.
اجازه دهید ماتریس A را به شکل نمایش دهیم
(3.14) A = diag+P (x)،
(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).
ما نشان می دهیم: maxi ai = nmax و wmax حداکثر مقدار ویژه ماتریس P(x) است (3.15). سپس قضیه 3.1 برای DSEO (1.6) نیز معتبر است. (3.12).
4. پایداری DSEO "در بزرگ"
اجازه دهید به معادلات DESO (1.4) بپردازیم، که در آن مقادیر اجزای تابع برداری q(x) متعلق به مجموعه Q (1.3) است. در سیستم مورد بررسی یک نقطه منفرد Z وجود دارد که مربوط به بردارهای z(x) = z ^ z- > 0 و
y(x) = y(z) = y > y-> 0.
اجازه دهید بردارهای انحراف £، C، П را از نقطه مفرد معرفی کنیم: (4.1) £ = x - x، (= y - y، n = z - z.
ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009
ارسال کار خوب خود در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید
دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.
ارسال شده در http://www.allbest.ru/
ورزش
فرکانس nyquist خودکار را کنترل کنید
خواص دینامیکی سیستم کنترل خودکار مشخص شده توسط بلوک دیاگرام ارائه شده در شکل 1، شامل مراحل زیر را تجزیه و تحلیل کنید:
انتخاب و توجیه روش های تحقیق، ساخت مدل ریاضی سیستم های کنترل خودکار.
بخش محاسبه، از جمله مدل سازی ریاضی سیستم های کنترل خودکار در کامپیوتر.
تجزیه و تحلیل پایداری مدل ریاضی شی کنترل و سیستم کنترل خودکار؛
بررسی پایداری مدل ریاضی شیء کنترلی و سیستم کنترل اتوماتیک.
بلوک دیاگرام ACS مورد مطالعه، که در آن، توابع انتقال شی کنترل (OU)، محرک (AM)، سنسور (D) و دستگاه تصحیح (CU)
مقادیر ضرایب K1، K2، K3، K4، T1، T2، T3 و T4 در جدول 1 آورده شده است.
گزینه ای برای تکلیف درسی
|
گزینه ها |
|||||||
معرفی
طراحی اتوماسیون یکی از پیچیده‌ترین و مهم‌ترین حوزه‌های مهندسی است، بنابراین آگاهی از مبانی اتوماسیون، آگاهی از سطح اتوماسیون در فرآیندهای مختلف فناوری، ابزارهای اتوماسیون مورد استفاده و مبانی طراحی، شرایط لازم برای کار موفق مهندسان و فناوران. عملکرد عادی هر فرآیند تکنولوژیکی با مقادیر پارامترهای خاصی مشخص می شود و عملکرد اقتصادی و ایمن تجهیزات با حفظ پارامترهای عملیاتی در محدوده های مورد نیاز تضمین می شود. به منظور عملکرد عادی تجهیزات و همچنین اجرای فرآیندهای تکنولوژیکی مورد نیاز در هر تاسیسات حرارتی، لازم است که ابزارهای اتوماسیون در توسعه طراحی گنجانده شود. در حال حاضر سیستم های کنترل خودکار به طور فزاینده ای در تمام بخش های اقتصاد ملی از جمله کشاورزی استفاده می شود. این تعجب آور نیست، زیرا اتوماسیون فرآیندهای فناوری با جایگزینی جزئی یا کامل اپراتور انسانی با ابزارهای فنی ویژه نظارت و کنترل مشخص می شود. مکانیزاسیون، برق‌سازی و اتوماسیون فرآیندهای فن‌آوری، کاهش سهم نیروی فیزیکی سنگین و غیرماهر در کشاورزی را تضمین می‌کند که منجر به افزایش بهره‌وری آن می‌شود.
بنابراین، نیاز به خودکارسازی فرآیندهای تکنولوژیکی بدیهی است و نیاز به یادگیری نحوه محاسبه پارامترهای سیستم های کنترل خودکار (ACS) برای کاربرد بعدی دانش آنها در عمل وجود دارد.
کار دوره شامل تجزیه و تحلیل خواص دینامیکی یک نمودار ساختاری معین از یک سیستم کنترل خودکار با گردآوری و تجزیه و تحلیل مدل های ریاضی اشیاء کنترل است.
1 . تجزیه و تحلیل پایداری ACS با استفاده از معیار Nyquist
برای قضاوت در مورد پایداری یک سیستم کنترل خودکار، نیازی به تعیین مقادیر دقیق ریشه های معادله مشخصه آن نیست. بنابراین، حل کامل معادله مشخصه سیستم به وضوح غیر ضروری است و می توانیم خود را به استفاده از یک یا آن معیار پایداری غیر مستقیم محدود کنیم. به ویژه، دشوار نیست که نشان دهیم برای پایداری یک سیستم، لازم است (اما نه کافی) همه ضرایب معادله مشخصه آن علامت یکسانی داشته باشند یا کافی است که اجزای واقعی همه ریشه های معادله مشخصه منفی هستند. اگر قسمت های واقعی تمام ریشه های معادله مشخصه منفی نباشد، برای تعیین پایداری این ACS لازم است با استفاده از معیارهای دیگر مطالعه شود، زیرا اگر تابع انتقال طبق معیار فوق متعلق به یک بلوک ناپایدار باشد که در آن مخرج دارای ریشه هایی با قسمت حقیقی مثبت است، پس اگر شرایط خاصی وجود داشته باشد، سیستم بسته در این مورد نیز می تواند پایدار باشد.
راحت ترین روش برای مطالعه پایداری بسیاری از سیستم های کنترل فرآیند، معیار پایداری نایکوئیست است که به صورت زیر شکل می گیرد.
اگر هودوگراف CFC در حالت باز W(jш) نقطه ای را با مختصات (-1؛ j0) در صفحه مختلط پوشش ندهد، سیستمی که در حالت باز پایدار است، حتی پس از بسته شدن با بازخورد منفی، پایدار می ماند. .
در فرمول بالا معیار نایکوئیست، در نظر گرفته شده است که هودوگراف CFC W(jш) نقطه (-1; j0) را در صورتی که زاویه کل چرخش بردار از نقطه مشخص شده به هودوگراف رسم شده باشد، «نقطه» را پوشش نمی دهد. W(jш) برابر با صفر است که فرکانس از у=0 به sh > ? تغییر کند.
اگر هودوگراف پاسخ فرکانس W(jш) در یک فرکانس خاص، به نام فرکانس بحرانی schk، از نقطه (-1؛ j0) عبور کند، در این صورت فرآیند گذرا در یک سیستم بسته، نوسانات بدون میرا با یک فرکانس schk را نشان می دهد، یعنی. سیستم خود را در مرز پایداری می یابد که به صورت زیر بیان می شود:
در اینجا W(p) تابع انتقال سیستم کنترل خودکار حلقه باز است. اجازه دهید فرض کنیم که سیستم حلقه باز پایدار است. سپس برای پایداری یک سیستم کنترل خودکار حلقه بسته، لازم و کافی است که هودوگراف مشخصه دامنه فاز W(jw) سیستم حلقه باز (این مشخصه از W(p) با جایگزینی به دست می آید. p=jw) نقطه را با مختصات (-1، j0) پوشش نمی دهد. فرکانسی که در آن |W(jw)| = 1، فرکانس قطع (w cf) نامیده می شود.
برای ارزیابی میزان فاصله سیستم از مرز پایداری، مفهوم حاشیه پایداری معرفی شده است. حاشیه پایداری در دامنه (مدول) نشان می دهد که چند بار باید طول بردار شعاع هودوگراف AFC را تغییر داد تا بدون تغییر تغییر فاز، سیستم را به مرز پایداری برساند. برای سیستم های کاملاً پایدار، مدول حاشیه پایداری DK با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
که در آن فرکانس w 0 از رابطه arg W(jw 0) = - 180 0 تعیین می شود.
حاشیه پایداری دامنه DK نیز با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
DK = 1 - K 180;
که در آن K 180 مقدار ضریب انتقال در یک تغییر فاز 180- درجه است.
به نوبه خود، حاشیه پایداری فاز نشان می‌دهد که برای رساندن سیستم به حد پایداری بدون تغییر مقدار مدول، چقدر لازم است مقدار مطلق آرگومان AFC افزایش یابد.
حاشیه پایداری فاز Dj با فرمول محاسبه می شود:
Dj = 180° - j K=1 ;
که در آن j K=1 مقدار تغییر فاز در ضریب انتقال K = 1 است.
مقدار Dj = 180 0 + arg W (j; w av) حاشیه پایداری فاز را تعیین می کند. از معیار Nyquist چنین بر می آید که ACS که در حالت باز پایدار است در حالت بسته پایدار خواهد بود اگر تغییر فاز در فرکانس قطع به -180 درجه نرسد. تحقق این شرط را می توان با ساخت ویژگی های فرکانس لگاریتمی یک سیستم کنترل خودکار حلقه باز تأیید کرد.
2. بررسی پایداری ACS با استفاده از معیار Nyquist
مطالعه پایداری بر اساس معیار نایکیست با تجزیه و تحلیل AFC با ACS باز. برای انجام این کار، سیستم را همانطور که در بلوک دیاگرام ACS مورد مطالعه نشان داده شده است، می شکنیم:
بلوک دیاگرام تفنگ خودکششی مورد مطالعه
در زیر عملکردهای انتقال شی کنترل (OU)، محرک (AM)، سنسور (D) و دستگاه تصحیح (CU) آمده است:
مقادیر ضرایب برای انتساب به شرح زیر است:
K1 = 1.0; K2 = 0.2; K3 = 2; K4 = 1.0; T1 = 0.4; T2 = 0.2; T3 = 0.07; T4 = 0.4.
بیایید تابع انتقال را پس از شکستن سیستم محاسبه کنیم:
W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);
W(p) = H H H
با جایگزینی ضرایب داده شده به تابع به دست می آوریم:
با تجزیه و تحلیل این تابع در برنامه مدلسازی ریاضی ("MATLAV")، هودوگراف پاسخ دامنه-فاز-فرکانس (APFC) ACS حلقه باز در صفحه مختلط را به دست می آوریم که در شکل نشان داده شده است.
هودوگراف پاسخ فرکانس فاز یک سیستم کنترل خودکار حلقه باز در یک صفحه پیچیده.
بررسی پایداری اسلحه های خودکششی بر اساس AFFC
ما ضریب انتقال را برای تغییر فاز 180- درجه، K 180 = 0.0395 محاسبه می کنیم.
حاشیه پایداری برای دامنه DK طبق فرمول:
DK = 1 - K 180 = 1 - 0.0395 = 0.9605; که در آن K 180 = 0.0395.
بیایید حاشیه فاز Dj را تعیین کنیم:
حاشیه پایداری فاز Dj با فرمول تعیین می شود: Dj = 180° - j K=1 ; که jK=1 مقدار تغییر فاز در ضریب انتقال K = 1 است. اما از آنجایی که jK=1 در مورد ما مشاهده نمی شود (دامنه دامنه همیشه کمتر از واحد است)، پس سیستم مورد مطالعه در حالت پایدار است. هر مقدار تغییر فاز (ACS در کل محدوده فرکانس پایدار است).
بررسی پایداری اسلحه های خودکششی با استفاده از ویژگی های لگاریتمی
پاسخ دامنه فرکانس لگاریتمی یک سیستم کنترل خودکار حلقه باز
مشخصه فاز-فرکانس لگاریتمی یک سیستم کنترل خودکار حلقه باز
با استفاده از برنامه مدلسازی ریاضی ("MATLAB")، ویژگی های لگاریتمی ACS مورد مطالعه را به دست می آوریم که در شکل 4 (مشخصه لگاریتمی دامنه-فرکانس) و شکل 5 (مشخصه فاز-فرکانس لگاریتمی) ارائه شده است.
L(w) = 20lg|W (j; w) |).
معیار لگاریتمی برای پایداری ACS بیانی از معیار Nyquist به شکل لگاریتمی است.
برای یافتن مقدار تغییر فاز 180 درجه (شکل 5)، یک خط افقی به محل تقاطع با LFCH رسم کنید، از این نقطه تقاطع یک خط عمودی به محل تقاطع با LFCH رسم کنید (شکل 4). مقدار ضریب انتقال را برای تغییر فاز 180 درجه بدست می آوریم:
20lgK 180° = - 28.05862;
در این مورد K 180 ° = 0.0395 (DK" = 28.05862).
حاشیه پایداری دامنه با گسترش خط عمودی به مقدار 20lgK 180 درجه = 0 پیدا می شود.
برای یافتن حاشیه پایداری فاز، یک خط افقی در امتداد خط 20lgK 180 = 0 تا تقاطع با LFC و یک خط عمودی از این نقطه به تقاطع با LFC عبور داده می شود. در این حالت، تفاوت بین مقدار یافت شده تغییر فاز و تغییر فاز برابر با 180 درجه، حاشیه پایداری فاز خواهد بود.
Dj = 180 درجه - j K;
Dj = 180 درجه - 0 = 180 درجه.
جایی که: j K - مقدار یافت شده تغییر فاز.
از آنجایی که LFCH اسلحه خودکششی مورد مطالعه زیر خط 20logK 180 درجه = 0 قرار دارد، بنابراین تفنگ خودکششی برای هر مقدار تغییر فاز از صفر تا 180 درجه حاشیه پایداری فاز خواهد داشت.
نتیجه گیری: با تجزیه و تحلیل LFC و LFFC، نتیجه می شود که ACS مورد مطالعه در کل محدوده فرکانس پایدار است.
نتیجه
در این درس، یک سیستم ردیابی ابزار با استفاده از روش‌ها و ابزارهای مدرن تئوری کنترل سنتز و مورد مطالعه قرار گرفت. در این کار محاسباتی و گرافیکی، ما تابع انتقال یک سیستم کنترل خودکار حلقه بسته را با استفاده از یک نمودار ساختاری داده شده و عبارات شناخته شده برای توابع انتقال پیوندهای پویا پیدا کردیم.
کتابشناسی - فهرست کتب
1. آی.ف. بورودین، یو.آ. سودنیک. اتوماسیون فرآیندهای تکنولوژیکی کتاب درسی برای دانشگاه ها. مسکو. "Spike"، 2004.
2. V.S. گوتنیکوف. الکترونیک یکپارچه در دستگاه های اندازه گیری "Energoatomizdat". شعبه لنینگراد، 1988.
3. ن.ن. ایواشچنکو تنظیم خودکار نظریه و عناصر سیستم ها. مسکو. "مهندسی مکانیک"، 1357.
ارسال شده در Allbest.ru
...اسناد مشابه
تعیین توابع انتقال و ویژگی های گذرا لینک های سیستم کنترل خودکار. ساخت ویژگی های دامنه فاز. ارزیابی پایداری سیستم انتخاب دستگاه تصحیح شاخص های کیفیت مقررات
کار دوره، اضافه شده در 2016/02/21
مطالعه سیستم کنترل دور موتور با و بدون مدار اصلاح. ارزیابی پایداری سیستم با استفاده از معیارهای Hurwitz، Mikhailov و Nyquist. ساخت ویژگی های لگاریتمی دامنه-فرکانس و فاز-فرکانس.
کار دوره، اضافه شده در 2015/03/22
توسعه یک نمودار شماتیک از یک مدل ریاضی اصلی الکتریکی یک سیستم کنترل خودکار، اصلاح شده توسط دستگاه های اصلاحی. برآورد پایداری سیستم اصلی به روش روث-هورویتز. سنتز پاسخ فرکانسی مورد نظر.
کار دوره، اضافه شده در 2013/03/24
ویژگی های شی کنترل (درام دیگ بخار)، طراحی و عملکرد سیستم کنترل اتوماتیک، نمودار عملکردی آن. تجزیه و تحلیل پایداری سیستم با استفاده از معیارهای Hurwitz و Nyquist. ارزیابی کیفیت مدیریت بر اساس توابع انتقال.
کار دوره، اضافه شده در 2010/09/13
هدف از سیستم کنترل خودکار برای تغذیه متقابل در هنگام سنگ زنی با برش غوطه ور. ساخت یک نمودار عملکردی. محاسبه توابع انتقال مبدل، موتور الکتریکی، گیربکس. تعیین پایداری با استفاده از معیار نایکیست.
کار دوره، اضافه شده در 2014/08/12
روش‌شناسی تعیین پایداری یک سیستم با استفاده از معیارهای جبری (معیارهای Rouse و Hurwitz) و پایداری فرکانس (معیارهای Mikhailov و Nyquist)، ارزیابی صحت نتایج آنها. ویژگی های کامپایل یک تابع انتقال برای یک سیستم بسته.
کار آزمایشگاهی، اضافه شده در 12/15/2010
ساخت مدار ابتدایی و مطالعه اصل عملکرد سیستم کنترل خودکار، اهمیت آن در اجرای روش تنظیم سیستم ایدز. عناصر اصلی سیستم و رابطه آنها. تجزیه و تحلیل پایداری مدار و فرکانس های بهینه آن.
تست، اضافه شده در 2009/09/12
تعیین تابع انتقال یک سیستم حلقه باز، فرم استاندارد ضبط آن و درجه استاتیسم. بررسی ویژگی های دامنه-فاز، فرکانس واقعی و خیالی. ساخت هودوگراف AFFC. معیارهای جبری روث و هورویتز.
کار دوره، اضافه شده در 05/09/2011
معرفی عملکردهای جدیدی که بر عملکرد ایستگاه گردش پمپ در یک کارخانه فولادسازی تأثیر می گذارد. نصب تجهیزات کنترل و اندازه گیری. معیارهای پایداری میخائیلوف و معیارهای نایکوئیست دامنه فاز. نوسازی سیستم
پایان نامه، اضافه شده در 1396/01/19
نمودار عملکردی سیستم برای کنترل خودکار دمای هوای عرضه در یک مرکز نگهداری سیب زمینی. تعریف قانون تنظیم نظام. تجزیه و تحلیل پایداری با استفاده از معیارهای Hurwitz و Nyquist. کیفیت مدیریت برای عملکردهای انتقالی
سینتیک فرآیندهای بیولوژیکی
چگونه می توانیم پویایی سیستم های بیولوژیکی را توصیف کنیم؟ در هر لحظه از زمان، یک سیستم بیولوژیکی دارای مجموعه ای از ویژگی های خاص است. به عنوان مثال، با مشاهده جمعیت یک گونه، می توانید اندازه آن، مساحت اشغال شده توسط قلمرو، مقدار غذای موجود، دمای محیط و غیره را ثبت کنید. سیر یک واکنش شیمیایی را می توان با غلظت آن مشخص کرد. مواد درگیر، فشار، دما و سطح اسیدی محیط. مجموعه مقادیر تمام ویژگی هایی که محقق برای توصیف سیستم انتخاب کرده است، وضعیت سیستم در هر لحظه از زمان است. هنگام ایجاد یک مدل، متغیرها و پارامترها از جمعیت مشخص شده انتخاب می شوند. متغیرها مقادیری هستند که تغییرات آنها عمدتاً مورد توجه محقق است، پارامترها شرایط "محیط خارجی" هستند. برای متغیرهای انتخاب شده است که معادلاتی ترسیم می شود که الگوهای تغییر در سیستم را در طول زمان منعکس می کند. به عنوان مثال، هنگام ایجاد مدلی برای رشد یک کشت میکروبی، معمولاً از تعداد آن به عنوان یک متغیر و سرعت تولید مثل آن به عنوان پارامتر استفاده می شود. شاید دمایی که در آن رشد رخ می دهد قابل توجه باشد، پس این شاخص نیز به عنوان یک پارامتر در مدل گنجانده شده است. و اگر به عنوان مثال سطح هوادهی همیشه کافی باشد و هیچ تاثیری در فرآیندهای رشد نداشته باشد، اصلاً در مدل گنجانده نشده است. به عنوان یک قاعده، پارامترها در طول آزمایش بدون تغییر باقی می مانند، با این حال شایان ذکر است که همیشه اینطور نیست.
پویایی یک سیستم بیولوژیکی (یعنی تغییرات در حالت آن در طول زمان) را می توان با استفاده از مدل های گسسته و پیوسته توصیف کرد. مدل های گسسته فرض می کنند که زمان یک کمیت گسسته است. این مربوط به ثبت مقادیر متغیرها در فواصل زمانی مشخص (به عنوان مثال، یک بار در ساعت یا یک بار در سال) است. در مدل های پیوسته، متغیر بیولوژیکی تابعی پیوسته از زمان است که به عنوان مثال نشان داده می شود. ایکس(تی).
اغلب اهمیت زیادی دارد شرایط اولیهمدل - وضعیت مشخصه مورد مطالعه در لحظه اولیه زمان، یعنی. در تی = 0.
هنگام مطالعه تغییر مداوم برخی از ویژگی ها ایکس(تی) ممکن است اطلاعاتی در مورد میزان تغییر آن بدانیم. این اطلاعات را می توان به طور کلی به شکل یک معادله دیفرانسیل نوشت:
این نماد رسمی به این معنی است که میزان تغییر برخی از مشخصه های مورد مطالعه تابعی از زمان و بزرگی این مشخصه است.
اگر سمت راست معادله دیفرانسیل شکل به وضوح مستقل از زمان باشد، به عنوان مثال. نمایشگاه:
سپس این معادله نامیده می شود خود مختار(سیستم توصیف شده توسط چنین معادله ای نامیده می شود خود مختار). وضعیت سیستم های خودمختار در هر لحظه از زمان با یک کمیت واحد مشخص می شود - مقدار متغیر. ایکسدر این لحظه از زمان تی.
اجازه دهید این سوال را از خود بپرسیم: اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل برای آن داده شود ایکس(تیآیا می توان همه توابع را پیدا کرد ایکس(تی) ارضای این معادله؟ یا: اگر مقدار اولیه یک متغیر مشخص باشد (مثلاً اندازه جمعیت اولیه، غلظت یک ماده، رسانایی الکتریکی محیط و غیره) و اطلاعاتی در مورد ماهیت تغییر در این متغیر وجود داشته باشد، آیا می توان پیش بینی کرد که ارزش آن در تمام مقاطع زمانی بعدی چقدر خواهد بود؟ پاسخ به سوال مطرح شده به این صورت است: اگر شرایط اولیه داده شود و شرایط قضیه کوشی برای معادله (یک تابع تعریف شده در یک حوزه معین و مشتق جزئی آن در این حوزه پیوسته باشد) برآورده شود، یک راه حل منحصر به فرد معادله ای که شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند. (به یاد بیاورید که هر تابع پیوسته ای که معادله دیفرانسیل را برآورده کند، راه حل آن معادله نامیده می شود.) این بدان معنی است که اگر ویژگی های حالت اولیه آن مشخص باشد و معادله مدل شرایط را برآورده کند، می توانیم رفتار یک سیستم بیولوژیکی را به طور منحصر به فرد پیش بینی کنیم. قضیه کوشی.
حالت ساکن پایداری
ما معادله دیفرانسیل خودمختار را در نظر خواهیم گرفت
در حالت ثابت، مقادیر متغیرهای سیستم در طول زمان تغییر نمی‌کند، یعنی نرخ تغییر مقادیر متغیرها 0: 0 است. اگر سمت چپ معادله (1.2) برابر با صفر باشد، سمت راست نیز برابر با صفر است: . ریشه های این معادله جبری هستند حالت های ساکنمعادله دیفرانسیل (1.2).
مثال 1.1:حالات ثابت معادله را بیابید.
راه حل: اصطلاحی را که مشتق ندارد به سمت راست برابری منتقل می کنیم: . طبق تعریف، در حالت ساکن برابری زیر برقرار است: . این بدان معناست که برابری باید رعایت شود 
. معادله را حل می کنیم:
,
بنابراین، معادله دارای 3 حالت ثابت است: , .
سیستم های بیولوژیکی دائماً تأثیرات خارجی مختلف و نوسانات متعددی را تجربه می کنند. علاوه بر این، آنها (سیستم های بیولوژیکی) هموستاز دارند، یعنی. پایدار. در زبان ریاضی، این بدان معناست که متغیرها با انحرافات کوچک به مقادیر ثابت خود باز می گردند. آیا مدل ریاضی آن منعکس کننده این رفتار یک سیستم بیولوژیکی خواهد بود؟ آیا حالت های ثابت مدل پایدار است؟
حالت پایدار است پایدار، اگر با یک انحراف به اندازه کافی کوچک از موقعیت تعادل، سیستم هرگز از نقطه منفرد دور نشود. حالت پایدار مربوط به حالت پایدار عملکرد سیستم است.
حالت تعادل یک معادله لیاپانوف پایدار است اگر برای هر یک از آن همیشه ممکن است به گونه ای پیدا شود که اگر , پس برای همه .
یک روش تحلیلی برای مطالعه پایداری یک حالت ثابت وجود دارد - روش لیاپانوف. برای توجیه آن، به یاد بیاوریم فرمول تیلور.
به زبان ساده، فرمول تیلور رفتار یک تابع را در همسایگی یک نقطه مشخص نشان می دهد. اجازه دهید تابع مشتقاتی از تمام سفارشات تا داشته باشد n-فراگیر. سپس فرمول تیلور معتبر است:
با کنار گذاشتن عبارت باقیمانده، که خود را به عنوان یک بی نهایت کوچک از مرتبه بالاتر نشان می دهد، فرمول تقریبی تیلور را به دست می آوریم:
سمت راست فرمول تقریبی نامیده می شود چند جمله ای تیلورتوابع، آن را به عنوان نشان داده می شود.
مثال 1.2:تابع را به یک سری تیلور در همسایگی یک نقطه تا مرتبه 4 گسترش دهید.
راه حل:اجازه دهید سری تیلور را تا مرتبه چهارم به صورت کلی بنویسیم:
بیایید مشتقات تابع داده شده را در نقطه پیدا کنیم:
,
بیایید مقادیر به دست آمده را با فرمول اصلی جایگزین کنیم:
روش تحلیلی برای مطالعه پایداری یک حالت ساکن ( روش لیاپانوف) به شرح زیر است. اجازه دهید حالت ساکن معادله باشد. بیایید یک انحراف کوچک از متغیر را تنظیم کنیم ایکساز مقدار ثابت آن: ، که در آن . بیایید عبارت را جایگزین نقطه کنیم ایکسبه معادله اصلی: 
. سمت چپ معادله به شکل زیر خواهد بود: 
، از آنجایی که در حالت ساکن نرخ تغییر مقدار متغیر صفر است: . اجازه دهید سمت راست را به یک سری تیلور در مجاورت حالت ساکن گسترش دهیم، با در نظر گرفتن این که، فقط عبارت خطی را در سمت راست معادله باقی می‌گذاریم:
بدست آورد معادله خطی شدهیا معادله تقریبی اول. کمیت مقداری ثابت است، اجازه دهید آن را نشان دهیم آ: . جواب کلی معادله خطی شده به صورت زیر است: . این عبارت قانونی را توصیف می کند که طبق آن انحراف ما از حالت ساکن در طول زمان تغییر می کند. انحراف به مرور زمان محو خواهد شد، یعنی. در، اگر توان در توان منفی باشد، i.e. . طبق تعریف، حالت پایدار خواهد بود پایدار. اگر، با افزایش زمان انحراف فقط افزایش می یابد، حالت ساکن است ناپایدار. در موردی که معادله تقریب اول نمی تواند پاسخی به سوال در مورد پایداری حالت ساکن بدهد. در بسط سری تیلور باید شرایط سفارش بالاتر را در نظر گرفت.
علاوه بر روش تحلیلی برای مطالعه پایداری یک حالت ساکن، یک روش گرافیکی نیز وجود دارد.
مثال 1.3.اجازه دهید . حالات ثابت معادله را بیابید و با استفاده از نمودار تابع نوع پایداری آنها را تعیین کنید 
.
راه حل:بیایید نکات ویژه ای را پیدا کنیم:
,
,
ما یک نمودار از تابع می سازیم (شکل 1.1).
برنج. 1.1. نمودار یک تابع (مثال 1.3).
اجازه دهید از نمودار مشخص کنیم که آیا هر یک از حالت های ثابت یافت شده پایدار هستند یا خیر. اجازه دهید یک انحراف جزئی از نقطه نشان دهنده از نقطه مفرد به سمت چپ تنظیم کنیم: . در نقطه با مختصات، تابع یک مقدار مثبت می گیرد: یا . آخرین نابرابری به این معنی است که با گذشت زمان باید مختصات افزایش یابد، یعنی نقطه نشان دهنده باید به نقطه برگردد. حالا بیایید یک انحراف جزئی از نقطه نشان دهنده از نقطه مفرد به سمت راست تنظیم کنیم: . در این منطقه، تابع یک مقدار مثبت را حفظ می کند، بنابراین، در طول زمان، مختصات ایکسهمچنین افزایش می یابد، یعنی نقطه نشان دهنده از نقطه دور می شود. بنابراین، یک انحراف کوچک سیستم را از حالت ساکن خارج می کند، بنابراین، طبق تعریف، یک نقطه منفرد ناپایدار است. استدلال مشابه منجر به این واقعیت می شود که هر انحراف از نقطه منفرد در طول زمان محو می شود و حالت ساکن پایدار است. انحراف نقطه نشان دهنده در هر جهت از حالت ساکن منجر به حذف آن از نقطه می شود؛ این یک حالت ساکن ناپایدار است.
حل سیستم معادلات دیفرانسیل خطی
بیایید به مطالعه سیستم های معادلات، اول خطی برویم. به طور کلی، یک سیستم معادلات دیفرانسیل خطی را می توان به صورت زیر نشان داد:
تجزیه و تحلیل یک سیستم معادلات با یافتن حالت های ساکن آغاز می شود. سیستم های نوع (1.3) دارای یک نقطه منحصر به فرد هستند که مختصات آن (0,0) است. استثنا مورد منحط است که معادلات را می توان به صورت زیر نشان داد:
(1.3*)
در این حالت، تمام جفت هایی که رابطه را ارضا می کنند، نقاط ثابت سیستم هستند (1.3*). به طور خاص، نقطه (0,0) نیز برای سیستم (1.3*) ثابت است. در صفحه فاز در این مورد ما یک خط مستقیم با ضریب شیب داریم که از مبدا مختصات می گذرد، که هر نقطه آن یک نقطه منفرد از سیستم (1.3*) است (جدول 1.1، بند 6 را ببینید).
سوال اصلی که نتیجه مطالعه یک سیستم معادلات باید به آن پاسخ دهد این است: آیا حالت ساکن سیستم پایدار است و این جواب چه ویژگی دارد (یکنواخت یا غیر یکنواخت).
تصمیم مشترکیک سیستم از دو معادله خطی به شکل زیر است:
اعداد مشخصهرا می توان از طریق ضرایب معادلات خطی به صورت زیر بیان کرد:
اعداد مشخصه می توانند 1) واقعی نشانه های مختلف، 2) واقعی همان علامت، 3) مزدوج مختلط، و همچنین، در موارد منحط، 4) کاملاً خیالی، 5) واقعی منطبق، 6) واقعی باشند که یکی از آنها (یا) هر دو) برابر صفر است. این موارد نوع رفتار حل یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی را تعیین می کند. پرتره های فاز مربوطه در جدول 1.1 ارائه شده است.
جدول 1.1. انواع حالت های ثابت یک سیستم از دو معادله دیفرانسیل خطی و پرتره های فاز مربوطه. فلش ها جهت حرکت نقطه نشان دهنده را نشان می دهند
ساخت پرتره های فاز و جنبشی یک سیستم دو معادله دیفرانسیل خطی
هواپیمای فازصفحه ای با محورهای مختصات نامیده می شود که مقادیر متغیرها بر روی آن رسم می شوند ایکسو y، هر نقطه از صفحه مربوط به حالت خاصی از سیستم است. مجموعه ای از نقاط در صفحه فاز که موقعیت آنها مطابق با حالات سیستم در فرآیند تغییر متغیرها در طول زمان، با توجه به معادلات داده شده سیستم مورد مطالعه است، نامیده می شود. مسیر فاز. مجموعه مسیرهای فاز برای مقادیر اولیه متفاوت متغیرها یک پرتره از سیستم را ارائه می دهد. ساخت و ساز پرتره فازبه شما امکان می دهد در مورد ماهیت تغییرات در متغیرها نتیجه گیری کنید ایکسو yبدون آگاهی از حل های تحلیلی سیستم معادلات اصلی.
بیایید یک سیستم معادلات دیفرانسیل خطی را در نظر بگیریم:
ما شروع به ساخت یک پرتره فاز با ساخت می کنیم ایزوکلین های اصلی(ایزوکلاین خطی است در تمام طول آن که شیب منحنی فاز (مسیر) تعیین شده توسط معادله ثابت می ماند). برای یک سیستم از دو معادله دیفرانسیل خطی، اینها همیشه خطوط مستقیمی هستند که از مبدا مختصات عبور می کنند. معادله خطوط همسان مماس های افقی: 
. معادله ایزوکلاین مماس های عمودی: 
. برای ساخت بیشتر پرتره فاز، ساخت همزمان از مماس‌هایی که در یک زاویه عبور می‌کنند مفید است. برای یافتن معادله ایزوکلاین مربوطه باید معادله را حل کرد 
. با استفاده از مقادیر تقریبی مماس زوایای دیگر می‌توانید هم‌زمان‌های مماس زوایای دیگر را پیدا کنید. در ساخت پرتره فاز، پاسخ به این سوال که مسیرهای فاز در چه زاویه ای باید محورهای مختصات را قطع کنند نیز می تواند کمک کند. برای انجام این کار، معادله ایزوکلاین 
برابری های مربوطه را (برای تعیین زاویه تقاطع با محور OY) و (برای تعیین زاویه تقاطع با محور OX) جایگزین می کنیم.
مثال 1.4.نوع نقطه منفرد سیستم معادلات خطی را تعیین کنید:
یک پرتره فاز و جنبشی از سیستم بسازید.
راه حل:مختصات نقطه مفرد (0,0) است. ضرایب معادلات خطی عبارتند از: , , , . اجازه دهید نوع حالت ثابت را تعیین کنیم (به بخش اعداد مشخصه مراجعه کنید):
بنابراین، ریشه های مشخصه خیالی هستند: بنابراین، نقطه منفرد سیستم خطی مورد بررسی از نوع مرکزی است (شکل 1.2a).
معادله ایزوکلاین مماس های افقی: , معادله ایزوکلاین مماس های عمودی: . در زاویه 45 درجه، مسیرهای سیستم یک خط مستقیم را قطع می کنند 
.
پس از ساخت پرتره فاز، لازم است جهت حرکت در طول مسیرهای یافت شده تعیین شود. این میتواند بصورت زیر انجام شود. بیایید یک نقطه دلخواه در هر مسیری بگیریم. به عنوان مثال، در ایزوکلاین مماس های افقی (1،1). بیایید مختصات این نقطه را در سیستم معادلات جایگزین کنیم. اجازه دهید عباراتی را برای نرخ تغییر متغیرها بدست آوریم ایکس,yدر این مرحله:
مقادیر به دست آمده میزان تغییر متغیر را نشان می دهد ایکس– منفی، یعنی مقدار آن باید کاهش یابد و متغیر yتغییر نمی کند. جهت حاصل را با فلش مشخص می کنیم. بنابراین، در مثال مورد بررسی، حرکت در طول مسیرهای فاز در خلاف جهت عقربه های ساعت هدایت می شود. با جایگزین کردن مختصات نقاط مختلف در سیستم، می توانید یک "نقشه" از جهت سرعت دریافت کنید، به اصطلاح میدان برداری.
شکل 1.2. پرتره فاز (a) و جنبشی (b) سیستم، مثال 1.4
توجه داشته باشید که در ایزوکلاین مماس های افقی متغیر yبه حداکثر یا حداقل مقدار خود در یک مسیر معین می رسد. برعکس، در ایزوکلاین مماس های عمودی، متغیر به حداکثر مقدار مطلق خود برای مسیر انتخاب شده می رسد. ایکس.
ساختن یک پرتره جنبشی یک سیستم به معنای ساختن نمودارهایی از وابستگی مقادیر متغیرها است. ایکس,yاز زمان. با استفاده از پرتره فاز، می توانید یک سینتیکی بسازید و بالعکس. مسیر یک فاز مربوط به یک جفت منحنی جنبشی است. اجازه دهید یک نقطه دلخواه را در یک مسیر فاز دلخواه در پرتره فاز انتخاب کنیم. این نقطه شروع مربوط به لحظه در زمان است. بسته به جهت حرکت در سیستم مورد نظر، مقادیر متغیرها ایکس,yیا کاهش یا افزایش. مختصات نقطه شروع را بگذارید (1،1). با توجه به پرتره فاز ساخته شده، با شروع از این نقطه، باید در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم، مختصات ایکسو yدر عین حال کاهش خواهد یافت. با گذشت زمان، مختصات ایکساز مقدار 0 عبور می کند yبا این حال مثبت باقی می ماند. مختصات بیشتر ایکسو yبه کاهش ادامه دهید، هماهنگ کنید yاز 0 عبور می کند (مقدار ایکسهر چند منفی). اندازه ایکسبه یک مقدار حداقلی در ایزوکلاین مماس های عمودی می رسد، سپس شروع به افزایش می کند. اندازه yبه حداقل مقدار خود در همزمان مماس‌های افقی می‌رسد (مقدار ایکسمنفی در این مقطع زمانی). علاوه بر این، قدر ایکس، و قدر yافزایش، بازگشت به مقادیر اولیه (شکل 1.2b).
بررسی پایداری حالت های ساکن سیستم های غیرخطی مرتبه دوم
اجازه دهید یک سیستم بیولوژیکی با یک سیستم از دو معادله دیفرانسیل مرتبه دوم مستقل با شکل عمومی توصیف شود:
مقادیر ثابت متغیرهای سیستم از معادلات جبری تعیین می شود:
در همسایگی هر حالت ساکن می توانیم در نظر بگیریم اولین سیستم تقریب(سیستم خطی شده) که مطالعه آن می تواند به سوال در مورد پایداری یک نقطه منفرد و ماهیت مسیرهای فاز در همسایگی کوچک آن پاسخ دهد.
خارج از
ما داریم 
... نکته خاص خشن است. ریشه های مشخصه سیستم تقریب اول برابر است، هر دو واقعی و منفی هستند، بنابراین، در مجاورت نقطه منفرد صفر، رفتار مسیرهای فاز سیستم با نوع گره پایدار مطابقت دارد.