ماتریس معکوس ماتریس های زیر را بیابید. روش ماتریسی برای حل لجن: نمونه ای از راه حل با استفاده از ماتریس معکوس. پیدا کردن معکوس یک ماتریس با استفاده از جمع جبری

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسدر رابطه با ماتریس A، اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.

ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین عبور می کنند یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که در آنها تعداد سطرها و ستون ها مطابقت دارند.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که غیر مفرد باشد.

ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحط، اگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی بنویسید و ماتریس E را در سمت راست (به جای سمت راست معادلات) به آن اختصاص دهید.
2. با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون های واحد کاهش دهید. در این حالت لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
3. در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که در زیر ماتریس A جدول اصلی، ماتریس هویت E را به دست آورید.
4. ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را می نویسیم و ماتریس هویت E را به سمت راست اختصاص می دهیم.با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم.محاسبات در جدول 31.1 آورده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست آمد. بنابراین محاسبات به درستی انجام شده است.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می تواند به صورت زیر باشد:

AX = B، HA = B، AXB = C،

در جایی که A، B، C ماتریس های مشخص شده هستند، X ماتریس مورد نظر است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس از معادله، باید این معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که ماتریس معکوس برابر است با (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران از آنها نیز استفاده می شود روش های ماتریسی. این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. چنین روش هایی به منظور تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. اغلب این روش ها در صورت لزوم استفاده می شود ارزیابی مقایسه ایعملکرد سازمان ها و بخش های ساختاری آنها.

در فرآیند به کارگیری روش های تحلیل ماتریسی می توان چندین مرحله را متمایز کرد.

در مرحله اولسیستم در حال شکل گیری است نشانگرهای اقتصادیو بر اساس آن، یک ماتریس داده منبع کامپایل می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در ردیف های جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)، و در ستون های عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، متر).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقادیر شاخص موجود شناسایی می شود که به عنوان یک در نظر گرفته می شود.

پس از این، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر بزرگترین مقدار تقسیم شده و ماتریسی از ضرایب استاندارد تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای ماتریس مربع هستند. اگر اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس ضریب وزنی خاصی اختصاص داده می شود ک. ارزش دومی با نظر کارشناسی تعیین می شود.

در مورد آخر، مرحله چهارممقادیر رتبه بندی را پیدا کرد Rjبه ترتیب افزایش یا کاهش آنها گروه بندی می شوند.

روش های ماتریسی مشخص شده باید استفاده شوند، برای مثال، زمانی که تحلیل مقایسه ایپروژه های مختلف سرمایه گذاری و همچنین هنگام ارزیابی سایر شاخص های اقتصادی سازمان ها.

در این مقاله در مورد روش ماتریسی برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی صحبت می کنیم، تعریف آن را پیدا می کنیم و مثال هایی از راه حل ها را بیان می کنیم.

تعریف 1

روش ماتریس معکوس روشی است که برای حل SLAE ها در صورتی که تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات باشد استفاده می شود.

مثال 1

یک راه حل برای سیستم n پیدا کنید معادلات خطیبا n مجهول:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

نوع ضبط ماتریسی : A × X = B

که در آن A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ماتریس سیستم است.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - ستون مجهولات،

B = b 1 b 2 ⋮ b n - ستون ضرایب آزاد.

از معادله ای که دریافت کردیم باید X را بیان کنیم. برای انجام این کار، باید هر دو طرف معادله ماتریس سمت چپ را در A - 1 ضرب کنید:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

از آنجایی که A - 1 × A = E، پس E × X = A - 1 × B یا X = A - 1 × B.

اظهار نظر

ماتریس معکوس به ماتریس A فقط در صورتی حق وجود دارد که شرط d e t A برابر با صفر نباشد. بنابراین، هنگام حل SLAE با استفاده از روش ماتریس معکوس، اول از همه، d e t A یافت می شود.

در صورتی که d e t A برابر با صفر نباشد، سیستم تنها یک گزینه حل دارد: استفاده از روش ماتریس معکوس. اگر d e t A = 0 باشد، سیستم را نمی توان با این روش حل کرد.

نمونه ای از حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش ماتریس معکوس

مثال 2

ما SLAE را با استفاده از روش ماتریس معکوس حل می کنیم:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

چگونه حل کنیم؟

• ما سیستم را به شکل یک معادله ماتریسی A X = B می نویسیم که در آن

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5، X = x 1 x 2 x 3، B = 1 3 2.

• X را از این معادله بیان می کنیم:

• تعیین کننده ماتریس A را پیدا کنید:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A برابر 0 نیست، بنابراین روش حل ماتریس معکوس برای این سیستم مناسب است.

• ماتریس معکوس A - 1 را با استفاده از ماتریس متحد پیدا می کنیم. ما مکمل های جبری A i j را به عناصر مربوطه ماتریس A محاسبه می کنیم:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6،

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7،

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5،

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17،

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1،

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10،

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10،

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5،

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• ماتریس متحد A * را که از مکمل های جبری ماتریس A تشکیل شده است می نویسیم:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• ماتریس معکوس را طبق فرمول می نویسیم:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• ماتریس معکوس A - 1 را در ستون عبارات آزاد B ضرب می کنیم و جوابی برای سیستم بدست می آوریم:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

پاسخ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

این موضوع یکی از منفورترین موضوعات در بین دانشجویان است. بدتر، احتمالا، مقدماتی هستند.

ترفند این است که مفهوم عنصر معکوس (و من فقط در مورد ماتریس ها صحبت نمی کنم) ما را به عملیات ضرب ارجاع می دهد. حتی در برنامه درسی مدرسه، ضرب به عنوان یک عملیات پیچیده در نظر گرفته می شود و ضرب ماتریس ها به طور کلی یک موضوع جداگانه است که من یک پاراگراف و یک درس ویدیویی کامل به آن اختصاص داده ام.

امروز ما وارد جزئیات محاسبات ماتریسی نمی شویم. بیایید فقط به یاد داشته باشیم: ماتریس ها چگونه تعیین می شوند، چگونه ضرب می شوند و چه چیزی از این نتیجه می شود.

نقد و بررسی: ضرب ماتریس

اول از همه، بیایید در مورد علامت گذاری به توافق برسیم. یک ماتریس $A$ به اندازه $\left[ m\times n \right]$ صرفاً جدولی از اعداد با ردیف‌های $m$ و ستون‌های $n$ است:

\=\underbrace(\left[ \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\پایان(ماتریس) \راست])_(n)\]

برای جلوگیری از اختلاط تصادفی ردیف‌ها و ستون‌ها (باور کنید، در امتحان می‌توانید یک را با دو اشتباه بگیرید، چه رسد به چند ردیف)، فقط به تصویر نگاه کنید:

تعیین شاخص برای سلول های ماتریس

چه اتفاقی می افتد؟ اگر سیستم مختصات استاندارد $OXY$ را در سمت چپ قرار دهید گوشه بالاو محورها را طوری هدایت کنید که کل ماتریس را پوشش دهند، سپس هر سلول از این ماتریس می تواند به طور منحصر به فرد با مختصات $\left(x;y\right)$ مرتبط شود - این شماره ردیف و شماره ستون خواهد بود.

چرا سیستم مختصات در گوشه سمت چپ بالا قرار گرفته است؟ بله، زیرا از آنجاست که ما شروع به خواندن هر متنی می کنیم. به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

چرا محور $x$ به سمت پایین و نه به سمت راست است؟ باز هم، ساده است: یک سیستم مختصات استاندارد را بردارید (محور $x$ به سمت راست می رود، محور $y$ بالا می رود) و آن را بچرخانید تا ماتریس را پوشش دهد. این یک چرخش 90 درجه در جهت عقربه های ساعت است - نتیجه را در تصویر می بینیم.

به طور کلی، نحوه تعیین شاخص های عناصر ماتریس را مشخص کرده ایم. حالا بیایید ضرب را بررسی کنیم.

تعریف. ماتریس‌های $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[n\times k \right]$، زمانی که تعداد ستون‌های ستون اول با تعداد ردیف‌های ستون دوم منطبق باشد، سازگار نامیده می شود.

دقیقا به همین ترتیب می توان گیج شد و گفت که ماتریس های $A$ و $B$ یک جفت مرتب شده $\left(A;B \right)$ را تشکیل می دهند: اگر آنها در این ترتیب سازگار باشند، اصلاً لازم نیست که $B $ و $A$ آن. جفت $\left(B;A \right)$ نیز سازگار است.

فقط ماتریس های همسان را می توان ضرب کرد.

تعریف. حاصلضرب ماتریس‌های مطابق $A=\left[m\times n \right]$ و $B=\left[n\times k \right]$ ماتریس جدید $C=\left[ m\times k \right است. ]$ ، عناصر $((c)_(ij))$ طبق فرمول محاسبه می شوند:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

به عبارت دیگر: برای بدست آوردن عنصر $((c)_(ij))$ از ماتریس $C=A\cdot B$، باید ردیف $i$ اولین ماتریس، $j$ را بگیرید. ستون -مین ماتریس دوم، و سپس عناصر را به صورت جفت از این سطر و ستون ضرب کنید. نتایج را جمع کنید.

بله، این چنین تعریف سختی است. چندین واقعیت بلافاصله از آن نتیجه می شود:

1. ضرب ماتریس، به طور کلی، غیر تعویضی است: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. با این حال، ضرب پیوندی است: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. و حتی به صورت توزیعی: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. و بار دیگر به صورت توزیعی: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

توزیع ضرب باید به طور جداگانه برای عامل مجموع چپ و راست دقیقاً به دلیل غیرقابل تعویض بودن عملیات ضرب توضیح داده شود.

اگر معلوم شود که $A\cdot B=B\cdot A$، چنین ماتریس هایی جابجایی نامیده می شوند.

در میان تمام ماتریس هایی که در چیزی در آنجا ضرب می شوند، موارد خاصی وجود دارد - آنهایی که وقتی در هر ماتریس $A$ ضرب می شوند، دوباره $A$ می دهند:

تعریف. اگر $A\cdot E=A$ یا $E\cdot A=A$، ماتریس $E$ هویت نامیده می شود. در مورد ماتریس مربع $A$ می توانیم بنویسیم:

هنگام حل معادلات ماتریس، ماتریس هویت یک مهمان مکرر است. و به طور کلی، یک مهمان مکرر در دنیای ماتریس ها. :)

و به دلیل این $E$، یک نفر با تمام مزخرفاتی که در ادامه نوشته خواهد شد، آمد.

ماتریس معکوس چیست؟

از آنجایی که ضرب ماتریس یک عملیات بسیار کار فشرده است (شما باید دسته ای از سطرها و ستون ها را ضرب کنید)، مفهوم ماتریس معکوس نیز به نظر می رسد که بی اهمیت ترین نباشد. و نیاز به توضیح دارد.

تعریف کلید

خوب، وقت آن است که حقیقت را بدانیم.

تعریف. ماتریس $B$ معکوس ماتریس $A$ اگر نامیده می شود

ماتریس معکوس با $((A)^(-1))$ نشان داده می شود (با درجه اشتباه نشود!)، بنابراین تعریف را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

به نظر می رسد که همه چیز بسیار ساده و واضح است. اما هنگام تجزیه و تحلیل این تعریف، بلافاصله چندین سؤال مطرح می شود:

1. آیا ماتریس معکوس همیشه وجود دارد؟ و اگر نه همیشه، پس چگونه تعیین کنیم: چه زمانی وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد؟
2. و چه کسی گفته است که دقیقاً یک چنین ماتریسی وجود دارد؟ اگر برای برخی از ماتریس های اولیه $A$ تعداد زیادی معکوس وجود داشته باشد چه؟
3. این همه "معکوس" چه شکلی هستند؟ و دقیقاً چگونه باید آنها را بشماریم؟

در مورد الگوریتم های محاسبه، کمی بعد در مورد آن صحبت خواهیم کرد. اما ما همین الان به سوالات باقی مانده پاسخ خواهیم داد. اجازه دهید آنها را در قالب گزاره ها - لم های جداگانه فرمول بندی کنیم.

خواص اساسی

بیایید با این شروع کنیم که در اصل ماتریس $A$ چگونه باید به نظر برسد تا $((A)^(-1))$ برای آن وجود داشته باشد. اکنون مطمئن خواهیم شد که هر دوی این ماتریس‌ها باید مربع باشند و به یک اندازه باشند: $\left[n\times n \right]$.

لم 1. با توجه به ماتریس $A$ و معکوس آن $((A)^(-1))$. سپس هر دوی این ماتریس‌ها مربع هستند و به ترتیب $n$ هستند.

اثبات ساده است. اجازه دهید ماتریس $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. از آنجایی که محصول $A\cdot ((A)^(-1))=E$ طبق تعریف وجود دارد، ماتریس های $A$ و $((A)^(-1))$ به ترتیب نشان داده شده سازگار هستند:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( تراز کردن)\]

این نتیجه مستقیم الگوریتم ضرب ماتریس است: ضرایب $n$ و $a$ "ترانزیت" هستند و باید برابر باشند.

در همان زمان، ضرب معکوس نیز تعریف می شود: $((A)^(-1))\cdot A=E$، بنابراین ماتریس های $((A)^(-1))$ و $A$ هستند. همچنین به ترتیب مشخص شده سازگار است:

\[\begin(align) & \left[a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[a\times n \راست] \\ & b=m \end( تراز کردن)\]

بنابراین، بدون از دست دادن کلیت، می‌توانیم فرض کنیم که $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[n\times m \right]$. با این حال، با توجه به تعریف $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$، بنابراین اندازه ماتریس ها کاملاً منطبق هستند:

\[\شروع(تراز) و \چپ[ m\times n \راست]=\چپ[n\بار m \راست] \\ & m=n \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که هر سه ماتریس - $A$، $((A)^(-1))$ و $E$ - ماتریس های مربعی با اندازه $\left[n\times n \right]$ هستند. لم ثابت شده است.

خوب، این در حال حاضر خوب است. می بینیم که فقط ماتریس های مربعی معکوس هستند. حالا بیایید مطمئن شویم که ماتریس معکوس همیشه یکسان است.

لم 2. با توجه به ماتریس $A$ و معکوس آن $((A)^(-1))$. سپس این ماتریس معکوس تنها یکی است.

اثبات بیایید با تضاد پیش برویم: اجازه دهید ماتریس $A$ حداقل دو معکوس داشته باشد - $B$ و $C$. سپس، طبق تعریف، برابری های زیر صادق است:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \پایان (تراز کردن)\]

از لم 1 نتیجه می گیریم که هر چهار ماتریس - $A$، $B$، $C$ و $E$ - مربع هایی به یک ترتیب هستند: $\left[n\times n \right]$. بنابراین، محصول تعریف می شود:

از آنجایی که ضرب ماتریس تداعی کننده است (اما نه جابجایی!)، می توانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \پایان (تراز کردن)\]

ما تنها گزینه ممکن را دریافت کردیم: دو نسخه از ماتریس معکوس برابر هستند. لم ثابت شده است.

استدلال های بالا تقریباً به کلمه اثبات منحصر به فرد بودن عنصر معکوس را برای همه تکرار می کنند اعداد واقعی$b\ne 0$. تنها اضافه قابل توجه در نظر گرفتن بعد ماتریس ها است.

با این حال، ما هنوز چیزی در مورد اینکه آیا هر ماتریس مربعی معکوس است یا خیر نمی دانیم. در اینجا تعیین کننده به کمک ما می آید - این یک ویژگی کلیدی برای همه ماتریس های مربع است.

لم 3. با توجه به یک ماتریس $A$. اگر ماتریس معکوس آن $((A)^(-1))$ وجود داشته باشد، تعیین کننده ماتریس اصلی غیر صفر است:

\[\چپ| A\right|\ne 0\]

اثبات ما قبلاً می دانیم که $A$ و $((A)^(-1))$ ماتریس های مربعی با اندازه $\left[n\times n \راست]$ هستند. بنابراین، برای هر یک از آنها می توانیم تعیین کننده را محاسبه کنیم: $\left| A\right|$ و $\ چپ| ((A)^(-1)) \right|$. با این حال، تعیین کننده یک محصول برابر با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده است:

\[\چپ| A\cdot B \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| B \راست|\پیکان راست \چپ| A\cdot ((A)^(-1)) \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| ((A)^(-1)) \راست|\]

اما طبق تعریف، $A\cdot ((A)^(-1))=E$، و تعیین کننده $E$ همیشه برابر با 1 است، بنابراین

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ چپ| A\cdot ((A)^(-1)) \راست|=\چپ| E\right|; \\ & \ چپ| یک \راست|\cdot \چپ| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حاصل ضرب دو عدد تنها در صورتی برابر است که هر یک از این اعداد غیر صفر باشند:

\[\چپ| یک \راست|\ne 0;\چهار \ چپ| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

بنابراین معلوم می شود که $\left| A \right|\ne 0$. لم ثابت شده است.

در واقع این الزام کاملاً منطقی است. اکنون الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - و کاملاً مشخص خواهد شد که چرا با یک تعیین کننده صفر اصولاً هیچ ماتریس معکوس نمی تواند وجود داشته باشد.

اما ابتدا بیایید یک تعریف "کمکی" را فرموله کنیم:

تعریف. یک ماتریس منفرد یک ماتریس مربع به اندازه $\left[n\times n \right]$ است که تعیین کننده آن صفر است.

بنابراین، می توانیم ادعا کنیم که هر ماتریس معکوس غیرمفرد است.

چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا کنیم

اکنون یک الگوریتم جهانی برای یافتن ماتریس های معکوس در نظر خواهیم گرفت. به طور کلی، دو الگوریتم پذیرفته شده وجود دارد، و ما امروز به مورد دوم نیز خواهیم پرداخت.

موردی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت برای ماتریس های اندازه $\left[ 2\times 2 \right]$ و - جزئی - اندازه $\left[ 3\times 3 \right]$ بسیار موثر است. اما با شروع از اندازه $\left[ 4\times 4 \right]$ بهتر است از آن استفاده نکنید. چرا - حالا همه چیز را خودتان خواهید فهمید.

اضافات جبری

آماده شدن. حالا درد وجود خواهد داشت. نه، نگران نباشید: یک پرستار زیبا با دامن، جوراب های توری به شما نمی آید و به شما تزریق نمی کند. همه چیز بسیار ساده تر است: اضافات جبری و اعلیحضرت "ماتریس اتحاد" به شما می آیند.

بیایید با موضوع اصلی شروع کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع به اندازه $A=\left[n\times n \right]$ وجود داشته باشد که عناصر آن $((a)_(ij))$ نامیده می شوند. سپس برای هر یک از این عناصر می توانیم یک مکمل جبری تعریف کنیم:

تعریف. مکمل جبری $((A)_(ij))$ برای عنصر $((a)_(ij))$ واقع در $i$th ردیف و $j$th ستون ماتریس $A=\left[ n \times n \right]$ ساختاری از فرم است

\[((A)_(ij))=((\چپ(-1 \راست))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

جایی که $M_(ij)^(*)$ تعیین کننده ماتریس است که از $A$ اصلی با حذف همان $i$th ردیف و $j$th ستون بدست می آید.

از نو. مکمل جبری یک عنصر ماتریس با مختصات $\left(i;j \right)$ به صورت $((A)_(ij))$ نشان داده می شود و طبق این طرح محاسبه می شود:

1. ابتدا ستون $i$-row و $j$-th را از ماتریس اصلی حذف می کنیم. ما یک ماتریس مربع جدید به دست می آوریم و تعیین کننده آن را به عنوان $M_(ij)^(*)$ نشان می دهیم.
2. سپس این تعیین کننده را در $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ضرب می کنیم - در ابتدا ممکن است این عبارت شگفت انگیز به نظر برسد، اما در اصل ما به سادگی علامت مقابل را پیدا می کنیم $M_(ij)^(*) $.
3. می شمریم و یک عدد مشخص می گیریم. آن ها جمع جبری دقیقاً یک عدد است و نه یک ماتریس جدید و غیره.

ماتریس $M_(ij)^(*)$ خود یک مینور اضافی برای عنصر $((a)_(ij))$ نامیده می شود. و از این نظر، تعریف فوق از متمم جبری یک مورد خاص از یک تعریف پیچیده تر است - آنچه در درس در مورد تعیین کننده به آن نگاه کردیم.

یادداشت مهم. در واقع در ریاضیات «بزرگسالان» اضافات جبری به صورت زیر تعریف می‌شوند:

1. ما ردیف‌های $k$ و ستون‌های $k$ را در یک ماتریس مربع می‌گیریم. در تقاطع آنها، ماتریسی به اندازه $\left[k\times k \right]$ دریافت می کنیم - تعیین کننده آن یک جزئی از مرتبه $k$ نامیده می شود و با $((M)_(k))$ نشان داده می شود.
2. سپس این ردیف های $k$ و ستون های $k$ "انتخاب شده" را خط می زنیم. یک بار دیگر یک ماتریس مربع به دست می آورید - تعیین کننده آن یک جزئی اضافی نامیده می شود و با آن $M_(k)^(*)$ نشان داده می شود.
3. $M_(k)^(*)$ را در $((\left(-1 \راست))^(t))$ ضرب کنید، که $t$ (اکنون توجه کنید!) مجموع اعداد تمام سطرهای انتخاب شده است. و ستون ها . این جمع جبری خواهد بود.

به مرحله سوم نگاه کنید: در واقع مبلغی معادل 2 هزار دلار وجود دارد! چیز دیگر این است که برای $k=1$ ما فقط 2 عبارت دریافت خواهیم کرد - اینها همان $i+j$ خواهند بود - "مختصات" عنصر $((a)_(ij))$ که برای آن هستیم. به دنبال مکمل جبری

بنابراین امروز ما از یک تعریف کمی ساده شده استفاده می کنیم. اما همانطور که بعدا خواهیم دید، بیش از حد کافی خواهد بود. نکته زیر بسیار مهمتر است:

تعریف. ماتریس متحد $S$ به ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ یک ماتریس جدید به اندازه $\left[n\times n \right]$ است که از $A$ به دست می آید. با جایگزینی $((a)_(ij))$ توسط اضافات جبری $((A)_(ij))$:

\\پیکان راست S=\چپ[ \begin(ماتریس) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\پایان(ماتریس) \راست]\]

اولین فکری که در لحظه تحقق این تعریف مطرح می شود این است که "چقدر باید حساب کرد!" آرام باش: باید بشماری، اما نه آنقدر. :)

خوب، همه اینها خیلی خوب است، اما چرا لازم است؟ اما چرا.

قضیه اصلی

کمی به عقب برگردیم. به یاد داشته باشید، در لمای 3 بیان شد که ماتریس وارونه $A$ همیشه غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن غیر صفر است: $\left| A \right|\ne 0$).

بنابراین، برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس $A$ مفرد نباشد، آنگاه همیشه معکوس است. و حتی یک طرح جستجو برای $((A)^(-1))$ وجود دارد. آن را بررسی کنید:

قضیه ماتریس معکوس اجازه دهید یک ماتریس مربع $A=\left[ n\times n \right]$ داده شود و تعیین کننده آن غیر صفر باشد: $\left| A \right|\ne 0$. سپس ماتریس معکوس $((A)^(-1))$ وجود دارد و با فرمول محاسبه می شود:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\چپ| A \راست|)\cdot ((S)^(T))\]

و اکنون - همه چیز یکسان است، اما با خط خوانا. برای پیدا کردن ماتریس معکوس، شما نیاز دارید:

1. تعیین کننده $\left| را محاسبه کنید یک \right|$ و مطمئن شوید که غیر صفر است.
2. ماتریس اتحادیه $S$ را بسازید، یعنی. 100500 اضافه جبری $((A)_(ij))$ را بشمارید و آنها را در جای $((a)_(ij))$ قرار دهید.
3. این ماتریس $S$ را جابجا کنید و سپس آن را در مقداری $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ ضرب کنید.

همین! ماتریس معکوس $((A)^(-1))$ پیدا شده است. بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

\[\چپ[ \شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \راست]\]

راه حل. بیایید برگشت پذیری را بررسی کنیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم:

\[\چپ| A\راست|=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

تعیین کننده با صفر متفاوت است. این بدان معنی است که ماتریس معکوس است. بیایید یک ماتریس اتحادیه ایجاد کنیم:

بیایید جمع های جبری را محاسبه کنیم:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\راست|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

لطفاً توجه داشته باشید: عوامل تعیین کننده |2|، |5|، |1| و |3| تعیین کننده ماتریس های اندازه $\left[ 1\times 1 \right]$ هستند و نه ماژول ها. آن ها اگر اعداد منفی در تعیین کننده ها وجود داشت، نیازی به حذف "منهای" نیست.

در کل، ماتریس اتحاد ما به این صورت است:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\چپ| A \راست|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (آرایه)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(آرایه) \راست]\]

باشه الان تموم شد مشکل حل شده است.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end (array) \راست] \]

راه حل. ما دوباره تعیین کننده را محاسبه می کنیم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\ Begin (ماتریس ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \راست)- \\ -\چپ (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end (ماتریس)= \ \ & =\ چپ (2+1+0 \راست)-\چپ(4+0+0 \راست)=-1\ne 0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تعیین کننده غیر صفر است - ماتریس معکوس است. اما اکنون واقعاً سخت خواهد بود: ما باید 9 (نه، لعنتی!) جبری را بشماریم. و هر کدام از آنها دارای تعیین کننده $\left[ 2\times 2 \right]$ خواهند بود. پرواز کرد:

\[\begin(ماتریس) ((A)_(11))=((\left(-1 \راست))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(ماتریس) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(ماتریس) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(ماتریس) \right|=2; \\ \پایان (ماتریس)\]

به طور خلاصه، ماتریس اتحادیه به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، ماتریس معکوس به صورت زیر خواهد بود:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(ماتریس) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ end (ماتریس) \ right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 و 1 و -2 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

خودشه. در اینجا پاسخ است.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \راست ]$

همانطور که می بینید، در پایان هر مثال یک بررسی انجام دادیم. در این رابطه یک نکته مهم:

برای بررسی تنبلی نکنید. ماتریس اصلی را در ماتریس معکوس یافت شده ضرب کنید - باید E$ را دریافت کنید.

انجام این بررسی بسیار ساده‌تر و سریع‌تر از جستجوی خطا در محاسبات بیشتر در زمانی است که مثلاً در حال حل یک معادله ماتریسی هستید.

راه جایگزین

همانطور که گفتم، قضیه ماتریس معکوس برای اندازه‌های $\left[2\times 2 \right]$ و $\left[3\times 3 \right]$ عالی کار می‌کند (در مورد دوم، آنقدرها "عالی" نیست." ) اما برای ماتریس های بزرگتر غم شروع می شود.

اما نگران نباشید: یک الگوریتم جایگزین وجود دارد که با آن می‌توانید با آرامش معکوس را حتی برای ماتریس $\left[ 10\times 10 \right]$ پیدا کنید. اما، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، برای در نظر گرفتن این الگوریتم به یک پیشینه نظری کمی نیاز داریم.

تحولات ابتدایی

در میان تمام تبدیل های ماتریس ممکن، چندین مورد خاص وجود دارد - آنها ابتدایی نامیده می شوند. دقیقاً سه تغییر از این دست وجود دارد:

1. ضرب. می توانید ردیف $i$th (ستون) را بگیرید و آن را در هر عدد $k\ne 0$ ضرب کنید.
2. اضافه شدن. هر سطر (ستون) $j$-th دیگری را به $i$-th (ستون) اضافه کنید، در هر عدد $k\ne 0$ ضرب کنید (البته می توانید $k=0$ را انجام دهید، اما چیست؟ نکته؟ هیچ چیز تغییر نخواهد کرد).
3. بازآرایی. ردیف های $i$th و $j$th (ستون ها) را بردارید و مکان ها را عوض کنید.

چرا این تبدیل ها ابتدایی نامیده می شوند (برای ماتریس های بزرگ آنها چندان ابتدایی به نظر نمی رسند) و چرا فقط سه مورد از آنها وجود دارد - این سؤالات خارج از محدوده درس امروز هستند. بنابراین وارد جزئیات نمی شویم.

یک چیز دیگر مهم است: ما باید همه این انحرافات را روی ماتریس الحاقی انجام دهیم. بله، بله: درست شنیدید. اکنون یک تعریف دیگر وجود خواهد داشت - آخرین مورد در درس امروز.

ماتریس الحاقی

مطمئناً در مدرسه سیستم معادلات را با استفاده از روش جمع حل کردید. خوب، در آنجا، خط دیگری را از یک خط کم کنید، چند خط را در یک عدد ضرب کنید - این همه است.

بنابراین: اکنون همه چیز یکسان خواهد بود، اما به روشی "بزرگسال". آماده؟

تعریف. اجازه دهید یک ماتریس $A=\left[n\times n \right]$ و یک ماتریس هویتی $E$ با همان اندازه $n$ داده شود. سپس ماتریس الحاقی $\left[ A\left| درست است. \right]$ یک ماتریس جدید به اندازه $\left[ n\times 2n \right]$ است که به شکل زیر است:

\[\چپ[ A\چپ| درست است. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ انتهای (آرایه) \راست]\]

به طور خلاصه، ماتریس $A$ را می گیریم و در سمت راست ماتریس هویت $E$ را به آن اختصاص می دهیم. اندازه مناسب، ما آنها را با یک خط عمودی برای زیبایی از هم جدا می کنیم - در اینجا شما آن را پیوست کرده اید. :)

گرفتاری چیست؟ این چیزی است که:

قضیه. اجازه دهید ماتریس $A$ معکوس باشد. ماتریس الحاقی $\left[ A\left| را در نظر بگیرید درست است. \راست]$. در صورت استفاده از تبدیل رشته های ابتداییآن را به شکل $\left[ E\left| بیاورید ب\راست \right]$، یعنی. با ضرب، تفریق و مرتب کردن مجدد ردیف ها برای به دست آوردن ماتریس $E$ در سمت راست از $A$، سپس ماتریس $B$ بدست آمده در سمت چپ، معکوس $A$ است:

\[\چپ[ A\چپ| درست است. \راست]\به \چپ[ E\چپ| ب\راست \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

ساده است! به طور خلاصه، الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوس به صورت زیر است:

1. ماتریس الحاقی $\left[ A\left| را بنویسید درست است. \right]$;
2. تبدیل‌های رشته ابتدایی را انجام دهید تا $E$ به جای $A$ ظاهر شود.
3. البته، چیزی در سمت چپ نیز ظاهر می شود - یک ماتریس خاص $B$. این برعکس خواهد بود.
4. سود!:)

البته گفتن این کار بسیار ساده تر از انجام آن است. بنابراین اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم: برای اندازه‌های $\left[3\times 3 \right]$ و $\left[4\times 4 \right]$.

وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \راست]\ ]

راه حل. ماتریس الحاقی را ایجاد می کنیم:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 و 1 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

از آنجایی که آخرین ستون ماتریس اصلی با یک ها پر شده است، ردیف اول را از بقیه کم کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 و 1 و 0 و 0 و 1 \\\ پایان (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) \پایین \\ -1 \\ -1 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

هیچ واحد دیگری به جز خط اول وجود ندارد. اما ما آن را لمس نمی کنیم، در غیر این صورت واحدهای تازه حذف شده در ستون سوم شروع به "تکثیر" می کنند.

اما می‌توانیم خط دوم را دو بار از خط آخر کم کنیم - یکی را در گوشه پایین سمت چپ دریافت می‌کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) \ \\ \پایین \\ -2 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \چپ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

حالا می‌توانیم ردیف آخر را از اولین و دو بار از دوم کم کنیم - به این ترتیب ستون اول را صفر می‌کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -1 \\ -2 \\ \بالا \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \ به \ چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط دوم را در -1 ضرب کنید و سپس آن را 6 بار از خط اول کم کنید و 1 بار به آخرین بار اضافه کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(آرایه) \right]\begin(ماتریس) \ \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \ \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به سمت چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -6 \\ \بالا باریک \\ +1 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 و 0 و 0 و 4 و -7 و 3 \\\پایان (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها چیزی که باقی می ماند تعویض خطوط 1 و 3 است:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

آماده! در سمت راست ماتریس معکوس مورد نیاز است.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \راست ]$

وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\ چپ[ \ آغاز (ماتریس) 1 و 4 و 2 و 3 \\ 1 و -2 و 1 و -2 \\ 1 و -1 و 1 و 1 \\ 0 و -10 و -2 و -5 \\\پایان (ماتریس) \راست]\]

راه حل. ما دوباره الحاق را می سازیم:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \\right]\]

کمی گریه کنیم، غصه بخوریم که الان چقدر باید بشماریم... و شروع به شمردن کنیم. ابتدا، بیایید با کم کردن ردیف 1 از ردیف های 2 و 3، ستون اول را صفر کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (آرایه) \right]\begin(ماتریس) \downnarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(ماتریس)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 و 2 و 3 و 1 و 0 و 0 و 0 \\ 0 و -6 و -1 و -5 و -1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\\پایان (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

ما در خطوط 2-4 "معایب" زیادی می بینیم. هر سه ردیف را در -1 ضرب کنید و سپس با کم کردن ردیف 3 از بقیه، ستون سوم را بسوزانید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\ \end(آرایه) \right]\begin(ماتریس) \ \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\\پایان(ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 و 1 و -1 و 0 و 0 \\ 0 و 5 و 1 و 2 و 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 10 و 2 و 5 و 0 و 0 و 0 و -1 \\ \end (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -2 \\ -1 \\ \بالا باریک \\ -2 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(آرایه)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 0 و 0 و 1 و -2 و 0 و 2 و -1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون زمان سرخ کردن آخرین ستون ماتریس اصلی است: خط 4 را از بقیه کم کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه ) \right]\begin(ماتریس) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(ماتریس)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 و -6 و 0 و 0 و -3 و 0 و 4 و -1 \\ 0 و 1 و 0 و 0 و 6 و -1 و -5 و 3 \\ 0 و 5 و 1 و 0 و 5 و 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

پرتاب نهایی: ستون دوم را با کم کردن خط 2 از خطوط 1 و 3 "سوزانید".

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( آرایه) \راست]\شروع(ماتریس) 6 \\ \بالا باریک \\ -5 \\ \ \\\پایان(ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(آرایه)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

و دوباره ماتریس هویت در سمت چپ است، به این معنی که معکوس در سمت راست است. :)

پاسخ. $\left[ \begin(ماتریس) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\پایان (ماتریس) \راست]$

باشه الان تموم شد خودت چک کن - من خراب شدم. :)

جبر ماتریسی - ماتریس معکوس

ماتریس معکوس

ماتریس معکوسماتریسی است که وقتی در سمت راست و چپ در یک ماتریس معین ضرب شود، ماتریس هویت به دست می‌آید.
اجازه دهید ماتریس معکوس ماتریس را نشان دهیم آاز طریق ، سپس طبق تعریف بدست می آوریم:

جایی که E- ماتریس هویت.
ماتریس مربعتماس گرفت خاص نیست (غیر منحط) اگر تعیین کننده آن صفر نباشد. در غیر این صورت نامیده می شود خاص (منحط) یا مفرد.

قضیه بر این اساس است: هر ماتریس غیر مفرد یک ماتریس معکوس دارد.

عملیات یافتن ماتریس معکوس نامیده می شود درخواستماتریس ها بیایید الگوریتم وارونگی ماتریس را در نظر بگیریم. اجازه دهید یک ماتریس غیر مفرد داده شود n- مرتبه:

جایی که Δ = det آ ≠ 0.

جمع جبری یک عنصرماتریس ها n- مرتبه آتعیین کننده ماتریس گرفته شده با علامت معین نامیده می شود ( n-1) مرتبه ای که با حذف به دست می آید من-ام خط و jستون ماتریس ام آ:

بیایید به اصطلاح ایجاد کنیم پیوست شده استماتریس:

مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس کجا هستند آ.
توجه داشته باشید که جمع های جبری عناصر ردیف ماتریس آدر ستون های مربوطه ماتریس قرار می گیرند Ã ، یعنی ماتریس در همان زمان جابجا می شود.
با تقسیم تمام عناصر ماتریس Ã توسط Δ - مقدار تعیین کننده ماتریس آ، ماتریس معکوس را در نتیجه بدست می آوریم:

اجازه دهید به تعدادی از ویژگی های خاص ماتریس معکوس توجه کنیم:
1) برای یک ماتریس معین آماتریس معکوس آن تنها است؛
2) اگر ماتریس معکوس وجود داشته باشد، پس سمت راست معکوسو سمت چپ معکوسماتریس ها با آن منطبق هستند.
3) یک ماتریس مربع منفرد (مفرد) ماتریس معکوس ندارد.

ویژگی های اساسی یک ماتریس معکوس:
1) تعیین کننده ماتریس معکوس و تعیین کننده ماتریس اصلی متقابل هستند.
2) ماتریس معکوس حاصل ضرب ماتریس های مربع برابر است با حاصلضرب ماتریس معکوس عوامل به ترتیب معکوس:

3) ماتریس معکوس انتقالی برابر با ماتریس معکوس ماتریس انتقال داده شده است:

مثال معکوس ماتریس داده شده را محاسبه کنید.

بیایید گفتگو را در مورد اقدامات با ماتریس ادامه دهیم. یعنی در طول مطالعه این سخنرانی شما یاد خواهید گرفت که چگونه ماتریس معکوس را پیدا کنید. فرا گرفتن. حتی اگر ریاضی سخت باشد.

ماتریس معکوس چیست؟ در اینجا می توانیم قیاسی با اعداد معکوس رسم کنیم: برای مثال، عدد خوش بینانه 5 و عدد معکوس آن را در نظر بگیرید. حاصل ضرب این اعداد برابر با یک است: . همه چیز با ماتریس ها مشابه است! حاصل ضرب یک ماتریس و ماتریس معکوس آن برابر است با – ماتریس هویت، که آنالوگ ماتریسی واحد عددی است. با این حال، اول از همه - اجازه دهید ابتدا یک مسئله کاربردی مهم را حل کنیم، یعنی یاد بگیریم که چگونه این ماتریس بسیار معکوس را پیدا کنیم.

برای یافتن ماتریس معکوس چه چیزی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ شما باید بتوانید تصمیم بگیرید مقدماتی. باید بفهمی چیه ماتریسو بتوانید برخی از اعمال را با آنها انجام دهید.

دو روش اصلی برای یافتن ماتریس معکوس وجود دارد:
با استفاده از اضافات جبریو با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

امروز اولین روش ساده تر را مطالعه خواهیم کرد.

بیایید با وحشتناک ترین و غیر قابل درک ترین شروع کنیم. در نظر بگیریم مربعماتریس ماتریس معکوس را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

جایی که تعیین کننده ماتریس است، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس است.

مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد، ماتریس های "دو در دو" ، "سه در سه" و غیره.

تعیین ها: همانطور که قبلاً متوجه شده اید، ماتریس معکوس با یک بالانویس نشان داده می شود

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم - یک ماتریس دو در دو. البته اغلب اوقات "سه در سه" مورد نیاز است، اما، با این وجود، من به شدت توصیه می کنم برای تسلط بر یک کار ساده تر مطالعه کنید. اصل کلیراه حل ها

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

بیا تصمیم بگیریم به راحتی می توان توالی اقدامات را نقطه به نقطه تجزیه کرد.

1) ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم.

اگر درک شما از این عمل خوب نیست، مطالب را بخوانید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مهم!اگر تعیین کننده ماتریس برابر باشد صفر- ماتریس معکوس وجود ندارد.

در مثال مورد بررسی، همانطور که مشخص شد، به این معنی است که همه چیز مرتب است.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

برای حل مشکل ما نیازی به دانستن اینکه مینور چیست، توصیه می شود مقاله را مطالعه کنید نحوه محاسبه تعیین کننده.

ماتریس مینورها همان ابعاد ماتریس را دارد، یعنی در این مورد.
تنها کاری که باید انجام دهید این است که چهار عدد را پیدا کنید و آنها را به جای ستاره قرار دهید.

بیایید به ماتریس خود برگردیم
ابتدا به عنصر سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

چگونه آن را پیدا کنیم جزئی?
و این کار به این صورت انجام می شود: به طور ذهنی ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:

تعداد باقی مانده است جزئی از این عنصر، که در ماتریس مینورها می نویسیم:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

به صورت ذهنی سطر و ستونی را که این عنصر در آن ظاهر می شود خط بکشید:

چیزی که باقی می ماند مینور این عنصر است که در ماتریس خود می نویسیم:

به همین ترتیب، عناصر ردیف دوم را در نظر می گیریم و جزئی های آنها را پیدا می کنیم:


آماده.

ساده است. در ماتریس خردسالان شما نیاز دارید تغییر علائمدو عدد:

این اعدادی هستند که من دور آنها حلقه زدم!

- ماتریس اضافات جبری عناصر مربوطه ماتریس.

و فقط...

4) ماتریس جابجایی اضافات جبری را بیابید.

- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس.

5) پاسخ دهید.

بیایید فرمول خود را به خاطر بسپاریم
همه چیز پیدا شد!

بنابراین ماتریس معکوس به صورت زیر است:

بهتر است جواب را همین طور که هست بگذارید. نیازی نیستهر عنصر ماتریس را بر 2 تقسیم کنید، زیرا نتیجه اعداد کسری است. این تفاوت ظریف در همان مقاله با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گرفته است. اقدامات با ماتریس.

چگونه راه حل را بررسی کنیم؟

شما باید ضرب ماتریس یا

معاینه:

دریافت شده قبلا ذکر شده است ماتریس هویتیک ماتریس با آنهایی است که توسط مورب اصلیو در جاهای دیگر صفر.

بنابراین، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود.

اگر عمل را انجام دهید، نتیجه نیز یک ماتریس هویت خواهد بود. این یکی از معدود مواردی است که در آن ضرب ماتریس قابل تغییر است، بیشتر اطلاعات دقیقرا می توان در مقاله یافت ویژگی های عملیات روی ماتریس ها عبارات ماتریسی. همچنین توجه داشته باشید که در حین بررسی، ثابت (کسر) در انتها - پس از ضرب ماتریس - به جلو آورده و پردازش می شود. این یک تکنیک استاندارد است.

بیایید به یک مورد رایج تر در عمل برویم - ماتریس سه در سه:

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

الگوریتم دقیقاً مشابه حالت "دو در دو" است.

ماتریس معکوس را با استفاده از فرمول می یابیم: ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

1) تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.

در اینجا تعیین کننده آشکار می شود در خط اول.

همچنین، این را فراموش نکنید، به این معنی که همه چیز خوب است - ماتریس معکوس وجود دارد.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

ماتریس مینورها دارای ابعاد "سه در سه" است. ، و ما باید نه عدد را پیدا کنیم.

من به چند خردسال با جزئیات نگاه خواهم کرد:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

به طور ذهنی سطر و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:

چهار عدد باقیمانده را در تعیین کننده "دو در دو" می نویسیم.

این دو در دو تعیین کننده و جزئی این عنصر است. باید محاسبه شود:


همین است، مینور پیدا شده است، ما آن را در ماتریس مینورهای خود می نویسیم:

همانطور که احتمالا حدس زدید، باید 9 عامل تعیین کننده دو در دو را محاسبه کنید. البته این روند خسته کننده است، اما مورد شدیدترین نیست، می تواند بدتر باشد.

خوب، برای ادغام - پیدا کردن یک خرده دیگر در تصاویر:

سعی کنید مابقی خردسالان را خودتان محاسبه کنید.

نتیجه نهایی:
- ماتریس مینورهای عناصر مربوطه ماتریس.

این واقعیت که همه خردسالان منفی بودند کاملاً یک تصادف است.

3) ماتریس جمع های جبری را بیابید.

در ماتریس مینورها لازم است تغییر علائمبه طور دقیق برای عناصر زیر:

در این مورد:

ما یافتن ماتریس معکوس را برای یک ماتریس "چهار در چهار" در نظر نمی گیریم، زیرا چنین وظیفه ای را فقط یک معلم سادیست می تواند انجام دهد (برای دانش آموز که یک تعیین کننده "چهار در چهار" و 16 تعیین کننده "سه در سه" را محاسبه کند. ). در عمل من، فقط یک مورد وجود داشت، آن هم مشتری کار آزمایشیبرای عذاب من بسیار گران پرداخت =).

در تعدادی از کتاب‌های درسی و راهنماها، می‌توانید رویکرد کمی متفاوت برای یافتن ماتریس معکوس پیدا کنید، اما من توصیه می‌کنم از الگوریتم حلی که در بالا توضیح داده شد استفاده کنید. چرا؟ زیرا احتمال گیج شدن در محاسبات و نشانه ها بسیار کمتر است.