Нека има квадратна матрица от n-ти ред
Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.
Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:
обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, в които броят на редовете и колоните съвпада.
Теорема за условието за съществуване на обратна матрица
За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е сингулярна.
Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродени, ако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.
Алгоритъм за намиране на обратната матрица
- Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и й присвоете матрица E отдясно (на мястото на десните части на уравненията).
- Използвайки трансформации на Йордан, редуцирайте матрица A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
- Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получите матрицата на идентичност E.
- Запишете обратната матрица A -1, която се намира в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.
За матрица A намерете обратната матрица A -1
Решение: Записваме матрица A и присвояваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформации на Йордан, редуцираме матрица A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са дадени в таблица 31.1.
Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.
В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са извършени правилно.
Отговор: 
Решаване на матрични уравнения
Матричните уравнения могат да изглеждат така:
AX = B, HA = B, AXB = C,
където A, B, C са посочените матрици, X е желаната матрица.
Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.
Например, за да намерите матрицата от уравнението, трябва да умножите това уравнение по отляво.
Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.
Други уравнения се решават по подобен начин.
Решете уравнението AX = B, ако 
Решение: Тъй като обратната матрица е равна на (вижте пример 1)
Матричен метод в икономическия анализ
Наред с други се използват и те матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо сравнителна оценкафункционирането на организациите и техните структурни подразделения.
В процеса на прилагане на методите на матричния анализ могат да се разграничат няколко етапа.
На първия етапсистемата се формира икономически показателии въз основа на нея се съставя матрица на изходните данни, която представлява таблица, в която системните номера са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а във вертикални колони - номера на показателите (j = 1,2,....,m).
На втория етапЗа всяка вертикална колона се идентифицира най-голямата от наличните стойности на индикатора, която се приема за една.
След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.
На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако имат различно значение, тогава на всеки матричен показател се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експертиза.
На последния, четвърти етапнамерени рейтингови стойности Rjса групирани по ред на нарастване или намаляване.
Очертаните матрични методи трябва да се използват, например, когато сравнителен анализразлични инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организациите.
В тази статия ще говорим за матричния метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, ще намерим неговата дефиниция и ще дадем примери за решения.
Определение 1
Метод на обратната матрица е метод, използван за решаване на SLAE, ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.
Пример 1
Намерете решение на система n линейни уравненияс n неизвестни:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричен тип запис : A × X = B
където A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n е матрицата на системата.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона с неизвестни,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона със свободни коефициенти.
От уравнението, което получихме, е необходимо да изразим X. За да направите това, трябва да умножите двете страни на матричното уравнение отляво по A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B.
Тъй като A - 1 × A = E, тогава E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.
Коментирайте
Обратната матрица на матрица A има право на съществуване само ако е изпълнено условието d e t A не е равно на нула. Следователно, когато се решават SLAE с помощта на метода на обратната матрица, първо се намира d e t A.
В случай, че d e t A не е равно на нула, системата има само една опция за решение: използване на метода на обратната матрица. Ако d e t A = 0, тогава системата не може да бъде решена с този метод.
Пример за решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на обратната матрица
Пример 2Ние решаваме SLAE, използвайки метода на обратната матрица:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Как да решим?
- Записваме системата под формата на матрично уравнение A X = B, където
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- Изразяваме X от това уравнение:
- Намерете детерминантата на матрица A:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A не е равно на 0, следователно методът на обратната матрица е подходящ за тази система.
- Намираме обратната матрица A - 1, използвайки съюзническата матрица. Изчисляваме алгебричните допълнения A i j към съответните елементи на матрицата A:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Записваме съюзната матрица A *, която е съставена от алгебрични допълнения на матрицата A:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Записваме обратната матрица по формулата:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Умножаваме обратната матрица A - 1 по колоната от свободни членове B и получаваме решение на системата:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Отговор : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; х 3 = 1
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Тази тема е една от най-омразните сред студентите. По-лоши вероятно са квалификациите.
Номерът е, че самата концепция за обратен елемент (и не говоря само за матрици) ни препраща към операцията умножение. Дори в училищната програма умножението се смята за сложна операция, а умножението на матрици като цяло е отделна тема, на която имам посветен цял параграф и видео урок.
Днес няма да навлизаме в детайлите на матричните изчисления. Нека само да си припомним: как се обозначават матриците, как се умножават и какво следва от това.
Преглед: Матрично умножение
Първо, нека се споразумеем за нотацията. Матрица $A$ с размер $\left[ m\times n \right]$ е просто таблица с числа с точно $m$ реда и $n$ колони:
\=\под скоба(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
За да избегнете случайно смесване на редове и колони (повярвайте ми, на изпит можете да объркате единица с двойка, да не говорим за няколко реда), просто погледнете снимката:
Определяне на индекси за матрични клетки Какво се случва? Ако поставите стандартната координатна система $OXY$ вляво горен ъгъли насочете осите така, че да покриват цялата матрица, тогава всяка клетка от тази матрица може да бъде уникално свързана с координати $\left(x;y\right)$ - това ще бъде номера на реда и номера на колоната.
Защо координатната система е поставена в горния ляв ъгъл? Да, защото именно оттам започваме да четем всякакви текстове. Много лесно се запомня.
Защо оста $x$ е насочена надолу, а не надясно? Отново е просто: вземете стандартна координатна система (оста $x$ върви надясно, оста $y$ върви нагоре) и я завъртете така, че да покрие матрицата. Това е завъртане на 90 градуса по часовниковата стрелка - виждаме резултата на снимката.
Като цяло разбрахме как да определим индексите на матричните елементи. Сега нека да разгледаме умножението.
Определение. Матриците $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когато броят на колоните в първата съвпада с броя на редовете във втората, са наречена последователна.
Точно в този ред. Човек може да се обърка и да каже, че матриците $A$ и $B$ образуват подредена двойка $\left(A;B \right)$: ако те са последователни в този ред, тогава изобщо не е необходимо $B $ и $A$ тези. двойката $\left(B;A \right)$ също е последователна.
Могат да се умножават само съответстващи матрици.
Определение. Произведението на съвпадащите матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ е новата матрица $C=\left[ m\times k \right ]$, чиито елементи $((c)_(ij))$ се изчисляват по формулата:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
С други думи: за да получите елемента $((c)_(ij))$ на матрицата $C=A\cdot B$, трябва да вземете $i$-реда на първата матрица, $j$ -та колона на втората матрица и след това умножете по двойки елементи от този ред и колона. Съберете резултатите.
Да, това е толкова сурово определение. От него веднага следват няколко факта:
- Матричното умножение, най-общо казано, е некомутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Умножението обаче е асоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- И дори дистрибутивно: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- И още веднъж дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Дистрибутивността на умножението трябваше да се опише отделно за левия и десния сумиращ фактор именно поради некомутативността на операцията за умножение.
Ако се окаже, че $A\cdot B=B\cdot A$, такива матрици се наричат комутативни.
Сред всички матрици, които се умножават по нещо там, има специални - тези, които, когато се умножат по произволна матрица $A$, отново дават $A$:
Определение. Матрица $E$ се нарича идентичност, ако $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случай на квадратна матрица $A$ можем да запишем:
Идентификационната матрица е чест гост при решаване на матрични уравнения. И като цяло, чест гост в света на матриците. :)
И заради това $E$ някой измисли всички глупости, които ще бъдат написани по-нататък.
Какво е обратна матрица
Тъй като умножението на матрици е много трудоемка операция (трябва да умножите куп редове и колони), концепцията за обратна матрица също не се оказва най-тривиалната. И изисква известно обяснение.
Ключова дефиниция
Е, време е да разберем истината.
Определение. Матрица $B$ се нарича обратна на матрица $A$, ако
Обратната матрица се обозначава с $((A)^(-1))$ (да не се бърка със степента!), така че определението може да бъде пренаписано, както следва:
Изглежда, че всичко е изключително просто и ясно. Но когато се анализира това определение, веднага възникват няколко въпроса:
- Винаги ли съществува обратна матрица? И ако не винаги, тогава как да се определи: кога съществува и кога не?
- И кой каза, че има точно една такава матрица? Ами ако за някаква начална матрица $A$ има цяла тълпа обратни?
- Как изглеждат всички тези "обратни"? И как точно да ги броим?
Що се отнася до алгоритмите за изчисление, ще говорим за това малко по-късно. Но ние ще отговорим на останалите въпроси точно сега. Нека ги формулираме под формата на отделни твърдения-леми.
Основни свойства
Нека започнем с това как по принцип трябва да изглежда матрицата $A$, за да съществува $((A)^(-1))$ за нея. Сега ще се уверим, че и двете от тези матрици трябва да са квадратни и с еднакъв размер: $\left[ n\times n \right]$.
Лема 1. Дадена е матрица $A$ и нейната обратна $((A)^(-1))$. Тогава и двете от тези матрици са квадратни и от един и същи ред $n$.
Доказателство. Просто е. Нека матрицата $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Тъй като продуктът $A\cdot ((A)^(-1))=E$ съществува по дефиниция, матриците $A$ и $((A)^(-1))$ са последователни в показания ред:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( подравняване)\]
Това е пряко следствие от алгоритъма за умножение на матрици: коефициентите $n$ и $a$ са „транзитни“ и трябва да са равни.
В същото време е дефинирано и обратното умножение: $((A)^(-1))\cdot A=E$, следователно матриците $((A)^(-1))$ и $A$ са също в съответствие в посочения ред:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( подравняване)\]
Така, без загуба на общост, можем да приемем, че $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Въпреки това, според дефиницията на $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, следователно размерите на матриците стриктно съвпадат:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Така се оказва, че и трите матрици - $A$, $((A)^(-1))$ и $E$ - са квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Лемата е доказана.
Е, това вече е добре. Виждаме, че само квадратните матрици са обратими. Сега нека се уверим, че обратната матрица е винаги една и съща.
Лема 2. Дадена е матрица $A$ и нейната обратна $((A)^(-1))$. Тогава тази обратна матрица е единствената.
Доказателство. Нека приемем противното: нека матрицата $A$ има поне две обратни - $B$ и $C$. Тогава според дефиницията са верни следните равенства:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \край (подравняване)\]
От лема 1 заключаваме, че и четирите матрици - $A$, $B$, $C$ и $E$ - са квадрати от един и същи ред: $\left[ n\times n \right]$. Следователно продуктът се определя:
Тъй като матричното умножение е асоциативно (но не комутативно!), можем да напишем:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Стрелка надясно B=C. \\ \край (подравняване)\]
Получихме единствената възможна опция: две копия на обратната матрица са равни. Лемата е доказана.
Горните аргументи повтарят почти дословно доказателството за уникалността на обратния елемент за всички реални числа$b\n 0$. Единственото съществено допълнение е вземането под внимание на размерността на матриците.
Все още обаче не знаем нищо за това дали всяка квадратна матрица е обратима. Тук на помощ ни идва детерминантата – това е ключова характеристика за всички квадратни матрици.
Лема 3. Дадена е матрица $A$. Ако неговата обратна матрица $((A)^(-1))$ съществува, тогава детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула:
\[\ляво| A\надясно|\ne 0\]
Доказателство. Вече знаем, че $A$ и $((A)^(-1))$ са квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Следователно за всеки от тях можем да изчислим детерминантата: $\left| A\right|$ и $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Детерминантата на продукт обаче е равна на произведението на детерминантите:
\[\ляво| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Но според дефиницията $A\cdot ((A)^(-1))=E$ и детерминантата на $E$ винаги е равна на 1, така че
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\надясно|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \край (подравняване)\]
Произведението на две числа е равно на единица само ако всяко от тези числа е различно от нула:
\[\ляво| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Така се оказва, че $\left| A \right|\ne 0$. Лемата е доказана.
Всъщност това изискване е съвсем логично. Сега ще анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица - и ще стане напълно ясно защо при нулев детерминант обратна матрица по принцип не може да съществува.
Но първо, нека формулираме „спомагателна“ дефиниция:
Определение. Сингулярна матрица е квадратна матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, чиято детерминанта е нула.
По този начин можем да твърдим, че всяка обратима матрица е неособена.
Как да намерим обратното на матрица
Сега ще разгледаме универсален алгоритъм за намиране на обратни матрици. Като цяло има два общоприети алгоритъма и днес ще разгледаме втория.
Този, който ще бъде обсъден сега, е много ефективен за матрици с размер $\left[ 2\times 2 \right]$ и - частично - размер $\left[ 3\times 3 \right]$. Но като се започне от размера $\left[ 4\times 4 \right]$ е по-добре да не го използвате. Защо - сега ще разберете всичко сами.
Алгебрични допълнения
Приготви се. Сега ще има болка. Не, не се притеснявайте: красива медицинска сестра в пола, чорапи с дантела няма да дойде при вас и да ви инжектира в дупето. Всичко е много по-прозаично: алгебричните допълнения и нейно величество „Матрицата на съюза“ идват при вас.
Да започнем с основното. Нека има квадратна матрица с размер $A=\left[ n\times n \right]$, чиито елементи се наричат $((a)_(ij))$. Тогава за всеки такъв елемент можем да дефинираме алгебрично допълнение:
Определение. Алгебрично допълнение $((A)_(ij))$ към елемента $((a)_(ij))$, разположен в $i$-тия ред и $j$-тата колона на матрицата $A=\left[ n \times n \right]$ е конструкция на формата
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Където $M_(ij)^(*)$ е детерминантата на матрицата, получена от оригиналния $A$ чрез изтриване на същия $i$-ти ред и $j$-та колона.
Отново. Алгебричното допълнение към матричен елемент с координати $\left(i;j \right)$ се означава като $((A)_(ij))$ и се изчислява по схемата:
- Първо изтриваме $i$-ред и $j$-та колона от оригиналната матрица. Получаваме нова квадратна матрица и означаваме нейния детерминант като $M_(ij)^(*)$.
- След това умножаваме този детерминант по $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - първоначално този израз може да изглежда умопомрачителен, но по същество ние просто намираме знака пред $M_(ij)^(*) $.
- Преброяваме и получаваме точно число. Тези. алгебричното събиране е именно число, а не някаква нова матрица и т.н.
Самата матрица $M_(ij)^(*)$ се нарича допълнителен минор към елемента $((a)_(ij))$. И в този смисъл горната дефиниция на алгебрично допълнение е частен случай на по-сложна дефиниция - това, което разгледахме в урока за детерминантата.
Важна забележка. Всъщност в математиката за „възрастни“ алгебричните добавки се дефинират по следния начин:
- Вземаме $k$ реда и $k$ колони в квадратна матрица. При тяхното пресичане получаваме матрица с размер $\left[ k\times k \right]$ - нейният детерминант се нарича минор от порядък $k$ и се обозначава с $((M)_(k))$.
- След това задраскваме тези „избрани“ $k$ реда и $k$ колони. Отново получавате квадратна матрица - нейният детерминант се нарича допълнителен минор и се обозначава $M_(k)^(*)$.
- Умножете $M_(k)^(*)$ по $((\left(-1 \right))^(t))$, където $t$ е (внимание!) сумата от числата на всички избрани редове и колони. Това ще бъде алгебричното добавяне.
Вижте третата стъпка: всъщност има сума от $2k$ условия! Друго нещо е, че за $k=1$ ще получим само 2 члена - това ще бъдат същите $i+j$ - “координатите” на елемента $((a)_(ij))$, за който сме търси алгебрично допълнение.
Така че днес използваме леко опростена дефиниция. Но както ще видим по-късно, това ще бъде повече от достатъчно. Много по-важно е следното:
Определение. Свързаната матрица $S$ с квадратната матрица $A=\left[ n\times n \right]$ е нова матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, която се получава от $A$ чрез заместване на $(( a)_(ij))$ с алгебрични добавки $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
Първата мисъл, която възниква в момента на осъзнаване на това определение, е "колко ще трябва да се брои!" Спокойно: ще трябва да разчитате, но не толкова. :)
Е, всичко това е много хубаво, но защо е необходимо? Но защо.
Основна теорема
Да се върнем малко назад. Спомнете си, в лема 3 беше заявено, че обратимата матрица $A$ винаги е неособена (т.е. нейният детерминант е различен от нула: $\left| A \right|\ne 0$).
Така че обратното също е вярно: ако матрицата $A$ не е сингулярна, тогава тя винаги е обратима. И дори има схема за търсене на $((A)^(-1))$. Виж това:
Теорема за обратната матрица. Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и нейният детерминант е различен от нула: $\left| A \right|\ne 0$. Тогава обратната матрица $((A)^(-1))$ съществува и се изчислява по формулата:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
И сега - всичко е същото, но с четлив почерк. За да намерите обратната матрица, трябва:
- Изчислете детерминантата $\left| A \right|$ и се уверете, че е различно от нула.
- Постройте обединителната матрица $S$, т.е. пребройте 100500 алгебрични добавки $((A)_(ij))$ и ги поставете на място $((a)_(ij))$.
- Транспонирайте тази матрица $S$ и след това я умножете по някакво число $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
Това е всичко! Намерена е обратната матрица $((A)^(-1))$. Нека да разгледаме примери:
\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]
Решение. Да проверим обратимостта. Нека изчислим детерминантата:
\[\ляво| A\дясно|=\ляво| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Детерминантата е различна от нула. Това означава, че матрицата е обратима. Нека създадем обединителна матрица:
Нека изчислим алгебричните добавки:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\надясно|=3. \\ \край (подравняване)\]
Моля, обърнете внимание: детерминантите |2|, |5|, |1| и |3| са детерминанти на матрици с размер $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Тези. Ако в детерминантите имаше отрицателни числа, няма нужда да премахвате „минуса“.
Общо нашата матрица на съюза изглежда така:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (масив)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\край (масив) \right]\]
Добре, всичко свърши. Проблемът е решен.
Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Задача. Намерете обратната матрица:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Решение. Отново изчисляваме детерминантата:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Детерминантата е различна от нула - матрицата е обратима. Но сега ще бъде наистина трудно: трябва да преброим цели 9 (девет, копеле!) алгебрични събирания. И всяка от тях ще съдържа детерминанта $\left[ 2\times 2 \right]$. Летя:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \край (матрица)\]
Накратко, матрицата на обединението ще изглежда така:
Следователно обратната матрица ще бъде:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(масив) \right]\]
Това е. Ето и отговора.
Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Както можете да видите, в края на всеки пример извършихме проверка. В тази връзка важна забележка:
Не бъдете мързеливи, за да проверите. Умножете оригиналната матрица по намерената обратна матрица - трябва да получите $E$.
Извършването на тази проверка е много по-лесно и по-бързо, отколкото да търсите грешка в по-нататъшни изчисления, когато например решавате матрично уравнение.
Алтернативен начин
Както казах, теоремата за обратната матрица работи чудесно за размери $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (във последния случай не е толкова „страхотно“ " ), но за по-големите матрици започва тъгата.
Но не се притеснявайте: има алтернативен алгоритъм, с който можете спокойно да намерите обратното дори за матрицата $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, както често се случва, за да разгледаме този алгоритъм, се нуждаем от малко теоретично въведение.
Елементарни трансформации
Сред всички възможни матрични трансформации има няколко специални - те се наричат елементарни. Има точно три такива трансформации:
- Умножение. Можете да вземете $i$-тия ред (колона) и да го умножите по произволно число $k\ne 0$;
- Допълнение. Добавете към $i$-тия ред (колона) всеки друг $j$-ти ред (колона), умножен по произволно число $k\ne 0$ (можете, разбира се, да направите $k=0$, но какво е смисълът? ? Нищо няма да се промени).
- Пренареждане. Вземете $i$-тия и $j$-тия ред (колони) и разменете местата.
Защо тези трансформации се наричат елементарни (за големи матрици те не изглеждат толкова елементарни) и защо има само три от тях - тези въпроси са извън обхвата на днешния урок. Затова няма да навлизаме в подробности.
Друго нещо е важно: ние трябва да извършим всички тези извращения върху присъединената матрица. Да, да: чухте правилно. Сега ще има още едно определение - последното в днешния урок.
Присъединена матрица
Със сигурност в училище сте решавали системи от уравнения, използвайки метода на добавяне. Е, ето, извадете друг от един ред, умножете някой ред по число - това е всичко.
И така: сега всичко ще бъде същото, но по „възрастен“ начин. Готов?
Определение. Нека са дадени матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единична матрица $E$ със същия размер $n$. След това присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$ е нова матрица с размер $\left[ n\times 2n \right]$, която изглежда така:
\[\left[ A\left| E \ дясно. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
Накратко, вземаме матрицата $A$ и отдясно ѝ присвояваме единичната матрица $E$ правилния размер, разделяме ги с вертикална линия за красота - ето я и прикачената. :)
Каква е уловката? Ето какво:
Теорема. Нека матрицата $A$ е обратима. Разгледайте присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$. Ако използвате елементарни преобразувания на низовепренесете го във формата $\left[ E\left| Ярък. \right]$, т.е. чрез умножаване, изваждане и пренареждане на редове, за да се получи от $A$ матрицата $E$ отдясно, тогава матрицата $B$, получена отляво, е обратната на $A$:
\[\left[ A\left| E \ дясно. \right]\to \left[ E\left| Ярък. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Толкова е просто! Накратко, алгоритъмът за намиране на обратната матрица изглежда така:
- Напишете присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$;
- Извършвайте елементарни преобразувания на низове, докато се появи $E$ вместо $A$;
- Разбира се, нещо ще се появи и отляво - определена матрица $B$. Това ще бъде обратното;
- ПЕЧАЛБА! :)
Разбира се, това е много по-лесно да се каже, отколкото да се направи. Така че нека да разгледаме няколко примера: за размери $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.
Задача. Намерете обратната матрица:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Решение. Създаваме свързаната матрица:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\]
Тъй като последната колона на оригиналната матрица е пълна с единици, извадете първия ред от останалите:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 \\ & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Няма повече единици, с изключение на първия ред. Но ние не го докосваме, в противен случай новоотстранените единици ще започнат да се „умножават“ в третата колона.
Но можем да извадим втория ред два пъти от последния - получаваме един в долния ляв ъгъл:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Сега можем да извадим последния ред от първия и два пъти от втория - по този начин "нулираме" първата колона:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \стрелка нагоре \\\end(matrix)\to \\ & \ към \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Умножете втория ред по −1 и след това го извадете 6 пъти от първия и добавете 1 път към последния:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (матрица)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(масив) \right] \\ \end(align)\]
Всичко, което остава, е да размените редове 1 и 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(масив) \right]\]
Готов! Вдясно е необходимата обратна матрица.
Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Задача. Намерете обратната матрица:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]
Решение. Отново съставяме съединителя:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Да поплачем малко, да се натъжим колко трябва да броим сега... и да започнем да броим. Първо, нека „нулираме“ първата колона, като извадим ред 1 от редове 2 и 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\край (масив) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Виждаме твърде много „минуси“ в редове 2-4. Умножете всичките три реда по −1 и след това изгорете третата колона, като извадите ред 3 от останалите:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (масив) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Сега е моментът да „изпържите“ последната колона от оригиналната матрица: извадете ред 4 от останалите:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(масив ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Последно хвърляне: „изгорете“ втората колона чрез изваждане на ред 2 от редове 1 и 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
И отново идентичната матрица е отляво, което означава, че обратната е отдясно. :)
Отговор. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$
Добре, всичко свърши. Направете проверката сами - прецакан съм. :)
Матрична алгебра - Обратна матрицаобратна матрица
Обратна матрицае матрица, която, когато се умножи отдясно и отляво по дадена матрица, дава матрицата за идентичност.
Нека означим обратната матрица на матрицата Апрез , тогава според дефиницията получаваме:
Където д– матрица на идентичност.
Квадратна матрицаНаречен не особено (неизродени), ако неговата детерминанта не е нула. Иначе се казва специален (изродени) или единствено число.
Теоремата важи: Всяка неособена матрица има обратна матрица.
Операцията за намиране на обратната матрица се нарича обжалванематрици. Нека разгледаме алгоритъма за инверсия на матрицата. Нека е дадена неособена матрица н-та поръчка:
където Δ = det А ≠ 0.
Алгебрично събиране на елементматрици н-та поръчка Асе нарича детерминанта на матрица, взета с определен знак ( н–1)-ти ред, получен чрез изтриване аз-ти ред и йта колона на матрицата А:
Да създадем т.нар приложенматрица:
където са алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата А.
Обърнете внимание, че алгебричните добавяния на елементи от матрични редове Асе поставят в съответните колони на матрицата Ã
, тоест матрицата се транспонира едновременно.
Чрез разделяне на всички елементи на матрицата Ã
по Δ – стойността на матричната детерминанта А, получаваме обратната матрица като резултат:
Нека отбележим редица специални свойства на обратната матрица:
1) за дадена матрица Анейната обратна матрица
е единственият;
2) ако има обратна матрица, тогава десен реверсИ ляв реверсматриците съвпадат с него;
3) сингулярна (единична) квадратна матрица няма обратна матрица.
Основни свойства на обратната матрица:
1) детерминантата на обратната матрица и детерминантата на оригиналната матрица са реципрочни;
2) обратната матрица на произведението на квадратните матрици е равна на произведението на обратната матрица на факторите, взети в обратен ред:
3) транспонираната обратна матрица е равна на обратната матрица на дадената транспонирана матрица:
ПРИМЕР Изчислете обратното на дадената матрица.
Нека продължим разговора за действията с матрици. А именно, по време на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е трудна.
Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с обратните числа: разгледайте, например, оптимистичното число 5 и неговото обратно число. Произведението на тези числа е равно на едно: . С матриците всичко е подобно! Произведението на матрица и нейната обратна матрица е равно на – матрица на идентичността, което е матричният аналог на числовата единица. Въпреки това, първо - нека първо решим важен практически проблем, а именно да научим как да намерим тази много обратна матрица.
Какво трябва да знаете и да можете, за да намерите обратната матрица? Трябва да можеш да решаваш квалификации. Трябва да разберете какво е това матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.
Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
като се използва алгебрични добавкиИ с помощта на елементарни трансформации.
Днес ще проучим първия, по-прост метод.
Да започнем с най-ужасното и неразбираемо. Нека помислим квадратматрица. Обратната матрица може да се намери с помощта на следната формула:
Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици “две по две”, “три по три” и др.
Наименования: Както може би вече сте забелязали, обратната матрица се обозначава с горен индекс
Да започнем с най-простия случай - матрица две на две. Най-често, разбира се, се изисква „три по три“, но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да овладеете общ принципрешения.
Пример:
Намерете обратното на матрица
Нека решим. Удобно е да разбиете последователността от действия точка по точка.
1) Първо намираме детерминантата на матрицата.
Ако не разбирате добре това действие, прочетете материала Как да изчислим детерминантата?
важно!Ако детерминантата на матрицата е равна на НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.
В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.
2) Намерете матрицата на минорите.
За да разрешим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетно лице, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминантата.
Матрицата на минорите има същите размери като матрицата, т.е. в този случай.
Остава само да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.
Да се върнем към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:
Как да го намерите незначителен?
И това се прави по следния начин: УМСТВЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:
Останалият брой е второстепенен от този елемент, което записваме в нашата матрица от второстепенни:
Разгледайте следния матричен елемент:
Мислено задраскайте реда и колоната, в които се появява този елемент:
Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:
По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:
Готов.
Просто е. В матрицата на непълнолетните, от които се нуждаете ПРОМЯНА НА ЗНАЦИдве числа:
Това са числата, които оградих!
– матрица от алгебрични събирания на съответните елементи на матрицата.
И просто...
4) Намерете транспонираната матрица на алгебрични добавки.
– транспонирана матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
5) Отговор.
Нека си спомним нашата формула
Всичко е намерено!
Така че обратната матрица е: 
По-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като резултатът е дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.
Как да проверите решението?
Трябва да извършите матрично умножение или
Преглед: 
Получено вече споменато матрица на идентичносттае матрица с единици по главен диагонали нули на други места.
По този начин обратната матрица се намира правилно.
Ако извършите действието, резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато матричното умножение е пермутабилно, повече подробна информацияможете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (дробта) се изнася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартна техника.
Нека да преминем към по-често срещан случай в практиката - матрицата три по три:
Пример:
Намерете обратното на матрица 
Алгоритъмът е абсолютно същият като в случая "две по две".
Намираме обратната матрица по формулата: , където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
1) Намерете детерминантата на матрицата.
Тук се разкрива детерминантата на първия ред.
Освен това не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.
2) Намерете матрицата на минорите.
Матрицата на минорите има размерност „три по три“ 
и трябва да намерим девет числа.
Ще разгледам по-отблизо няколко непълнолетни:
Разгледайте следния матричен елемент: 
УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент: 
Записваме останалите четири числа в детерминанта „две по две“. 
Тази детерминанта две по две и е минорът на този елемент. Необходимо е да се изчисли: 
Това е всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица на минорите: 
Както вероятно се досещате, трябва да изчислите девет детерминанти две по две. Процесът, разбира се, е досаден, но случаят не е най-тежкият, може да бъде по-лош.
Е, за консолидиране – намиране на друг непълнолетен в снимките: 
Опитайте сами да изчислите останалите непълнолетни.
Краен резултат: 
– матрица от минори на съответните елементи на матрицата.
Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.
3) Намерете матрицата на алгебричните добавки.
В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЯНА НА ЗНАЦИстрого за следните елементи: 
В такъв случай:
Ние не разглеждаме намирането на обратната матрица за матрица „четири по четири“, тъй като такава задача може да бъде дадена само от садистичен учител (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанти „три по три“ ). В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът тестова работаплати доста скъпо за мъките ми =).
В редица учебници и ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но аз препоръчвам да използвате алгоритъма за решение, описан по-горе. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.