Намиране на решения на система от линейни уравнения. Линейна алгебра. Несъвместими системи. Системи с общо решение. Частни решения Когато една матрица има безкрайно много решения

Раздели: Математика

Ако даден проблем има по-малко от три променливи, това не е проблем; ако е повече от осем, е неразрешим. Енон.

Във всички има проблеми с параметрите Опции за единен държавен изпит, тъй като решаването им най-ясно разкрива колко дълбоки и неформални са знанията на дипломанта. Трудностите, които учениците срещат при решаването на такива задачи, се дължат не само на относителната им сложност, но и на факта, че не им се обръща достатъчно внимание в учебниците. Във вариантите на КИМ по математика има два вида задачи с параметри. Първият: „за всяка стойност на параметъра решете уравнението, неравенството или системата.“ Второто: „намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които решенията на неравенството, уравнението или системата отговарят на дадените условия.“ Съответно отговорите на задачи от тези два вида се различават по същество. В първия случай отговорът изброява всички възможни стойности на параметъра и за всяка от тези стойности се записват решенията на уравнението. Втората изброява всички стойности на параметрите, при които са изпълнени условията на проблема. Записването на отговора е съществен етап от решението; много е важно да не забравяте да отразите всички етапи на решението в отговора. Студентите трябва да обърнат внимание на това.
Приложението към урока съдържа допълнителен материал по темата „Решаване на системи от линейни уравнения с параметри“, който ще помогне при подготовката на учениците за финалната атестация.

Цели на урока:

• систематизиране на знанията на учениците;
• развиване на умения за използване на графични изображения при решаване на системи от уравнения;
• развиване на умения за решаване на системи от линейни уравнения, съдържащи параметри;
• осъществяване на оперативен контрол и самоконтрол на учениците;
• развитие на изследователската и познавателна дейност на учениците, способността за оценка на получените резултати.

Урокът е с продължителност два часа.

По време на часовете

1. Организиране на времето

Съобщаване на темата, целите и задачите на урока.

1. Актуализиране на основните знания на учениците

Проверка на домашните. Като домашна работаучениците бяха помолени да решат всяка от трите системи от линейни уравнения

а) б) V)

графично и аналитично; направете заключение за броя на получените решения за всеки случай

Заключенията, направени от учениците, се изслушват и анализират. Резултатите от работата под ръководството на учителя се обобщават в тетрадки.

Най-общо система от две линейни уравнения с две неизвестни може да бъде представена като: .

Реши тази системауравнения графично означава намиране на координатите на пресечните точки на графиките на тези уравнения или доказване, че няма такива. Графиката на всяко уравнение на тази система върху равнина е определена права линия.

Има три възможни случая на взаимно разположение на две прави в една равнина:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

За всеки случай е полезно да направите чертеж.

1. Учене на нов материал

Днес в урока ще научим как да решаваме системи от линейни уравнения, съдържащи параметри. Ще наричаме параметър независима променлива, чиято стойност в задачата се счита за дадено фиксирано или произволно реално число или число, принадлежащо към предварително определено множество. Решаването на система от уравнения с параметър означава установяване на съответствие, което позволява за всяка стойност на параметъра да се намери съответният набор от решения на системата.

Решението на задача с параметър зависи от поставения в нея въпрос. Ако просто трябва да решите система от уравнения за различни стойности на параметър или да го изучите, тогава трябва да дадете обоснован отговор за всяка стойност на параметъра или за стойността на параметър, принадлежащ към набор, посочен по-рано в проблемът. Ако е необходимо да се намерят стойности на параметри, които отговарят на определени условия, тогава не се изисква пълно проучване и решението на системата е ограничено до намирането на тези специфични стойности на параметрите.

Пример 1.За всяка стойност на параметъра решаваме системата от уравнения

Решение.

1. Системата има уникално решение, ако

В този случай имаме

1. Ако a = 0, тогава системата приема формата

Системата е непоследователна, т.е. няма решения.

1. Ако тогава системата е написана във формата

Очевидно в този случай системата има безкрайно много решения от вида x = t; където t е всяко реално число.

Отговор:

Пример 2.

• има уникално решение;
• има много решения;
• няма решения?

Решение.

Отговор:

Пример 3.Нека намерим сумата от параметрите a и b, за които системата

има безброй решения.

Решение.Системата има безкрайно много решения, ако

Тоест, ако a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Отговор: 48.

1. Затвърдяване на наученото при решаване на задачи

1. № 15.24(a) . За всяка стойност на параметъра решете системата от уравнения

1. № 15.25(a) За всяка стойност на параметъра решете системата от уравнения

1. При какви стойности на параметър а системата от уравнения

а) няма решения; б) има безкрайно много решения.

Отговор: за a = 2 няма решения, за a = -2 има безкраен брой решения

1. Практическа работа в групи

Класът е разделен на групи от по 4-5 човека. Всяка група включва ученици с различно ниво на математическа подготовка. Всяка група получава карта със задача. Можете да поканите всички групи да решат една система от уравнения и да формализирате решението. Групата, която първа изпълни правилно задачата, представя нейното решение; останалите предават решението на учителя.

картаРешете система от линейни уравнения

за всички стойности на параметър a.

Отговор: кога системата има уникално решение ; когато няма решения; за a = -1 има безкрайно много решения от вида (t; 1- t), където t R

Ако класът е силен, на групите могат да бъдат предложени различни системи от уравнения, чийто списък е в Приложение 1. След това всяка група представя решението си пред класа.

Доклад на групата, която първа е изпълнила правилно задачата

Участниците изказват и обясняват своето решение и отговарят на въпроси, поставени от представители на други групи.

1. Самостоятелна работа

Опция 1

Вариант 2

1. Обобщение на урока

Решаването на системи от линейни уравнения с параметри може да се сравни с изследване, което включва три основни условия. Учителят кани учениците да ги формулират.

Когато решавате, помнете:

1. За да има една система еднозначно решение, е необходимо линиите, съответстващи на уравнението на системата, да се пресичат, т.е. условието трябва да е изпълнено;
2. за да няма решения, правите трябва да са успоредни, т.е. условието беше изпълнено
3. и накрая, за да има една система безкрайно много решения, линиите трябва да съвпадат, т.е. условието беше изпълнено.

Учителят оценява работата на класа като цяло и поставя оценки за урока на отделните ученици. След проверка на самостоятелната работа всеки ученик ще получи оценка за урока.

1. Домашна работа

При какви стойности на параметъра b системата от уравнения

• има безкрайно много решения;
• няма решения?

Графиките на функциите y = 4x + b и y = kx + 6 са симетрични спрямо ординатата.

• Намерете b и k,
• намерете координатите на пресечната точка на тези графики.

Решете системата от уравнения за всички стойности на m и n.

Решете система от линейни уравнения за всички стойности на параметъра a (всяка стойност по ваш избор).

Литература

1. Алгебра и началото на математическия анализ: учебник. за 11 клас общо образование институции: основни и профилни. нива / С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин - М.: Образование, 2008.
2. Математика: 9 клас: Подготовка за държавно окончателно атестиране / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин - М.: Ексмо, 2008.
3. Подготвяме се за университет. Математика. Част 2. Урокза подготовка за Единния държавен изпит, участие в централизирано тестване и преминаване на приемни тестове в Кубанския държавен технически университет / Кубан. състояние технолог. Университет; Институт за модерно технолог. и икон.; Съставител: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н. А. Наумова, А.В. Мартиненко, И.А. Палщикова. – Краснодар, 2006 г.
4. Колекция от задачи по математика за подготвителни курсове TUSUR: Учебник / З. М. Голдщайн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С. Н. Кудинова. – Томск: Томск. състояние Университет по системи за управление и радиоелектроника, 1998г.
5. Математика: интензивен курс за подготовка за изпити / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. – М.: Ролф, Ирис-прес, 1998.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната темакурс по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

• изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
• изучаване на теорията на избрания метод,
• решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробни решения на типични примери и проблеми.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими определения, понятия и въвеждаме обозначения.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се съсредоточим върху метода на Крамър, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът за последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това ще преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения общ изглед, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е единична. Нека формулираме теоремата на Кронекер-Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (ако са съвместими), използвайки концепцията за базисен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение ще разгледаме системи от уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни, както и различни проблеми, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на запис SLAE се нарича координирам.

IN матрична формаписането на тази система от уравнения има формата,
Където - основната матрица на системата, - колонна матрица от неизвестни променливи, - колонна матрица от свободни членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадени стойности на неизвестните променливи също става идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако система от уравнения няма решения, тогава тя се нарича неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава – несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на системата е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равно на нула, тогава ще наричаме такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват с помощта на формулите на метода на Cramer като . Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения с помощта на метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим неговата детерминанта (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (получаваме детерминантата, като заменим първата колона в матрица A с колона със свободни членове, детерминантата, като заменим втората колона с колона със свободни членове и като заменим третата колона на матрица A с колона със свободни членове) :

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминанти, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратна матрица).

Нека система от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , матрица A е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по лявата, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Така получихме решение на системата от линейни алгебрични уравнения матричен метод.

Пример.

Решете система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични добавки на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от трети.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на предния ход на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение, x n-1 се изчислява и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Пример.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени по:

Това завършва предния ход на метода на Гаус; започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.

Отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Като цяло броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и сингулярна.

Теорема на Кронекер–Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога неконсистентен е даден от Теорема на Кронекер–Капели:
За да бъде последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица, т.е. , ранг(A)=ранг(T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред, граничещи с него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е равен на две.

На свой ред, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът е от трети ред

различен от нула.

По този начин, Rang(A), следователно, използвайки теоремата на Kronecker–Capelli, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Системата няма решения.

И така, научихме се да установяваме несъответствието на система, използвайки теоремата на Кронекер–Капели.

Но как да се намери решение за SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базис минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

Нарича се минорът от най-високия порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От определението за базис минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минори; винаги има един базис минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е равен на r, тогава всички елементи на ред (и колона) на матрицата, които не формират избрания основен минор, се изразяват линейно чрез елементите на съответния ред (и колона), образуващи основата минор.

Какво ни казва теоремата за ранга на матрицата?

Ако съгласно теоремата на Кронекер–Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от основната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не формират избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след изхвърляне на ненужните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът е от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети порядък е нула

и минорът от втори ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер–Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основа минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:


Третото уравнение на системата не участва във формирането на базисния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:


Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим с помощта на метода на Cramer:


Отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава от лявата страна на уравненията оставяме членовете, които формират основата, второстепенни, и прехвърляме останалите членове в десните страни на уравнения на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (r от тях), останали от лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r части), които са от дясната страна Безплатно.

Сега вярваме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE с помощта на метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Нека го разгледаме с пример.

Пример.

Решете система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Нека намерим ранга на основната матрица на системата по метода на граничещи непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, граничещ с този минор:


Ето как намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:


По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Вземаме намерения ненулев минор от трети ред като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:


Оставяме членовете, включени в базисния минор от лявата страна на системните уравнения, и прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:


Нека дадем на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест приемаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата


Нека решим получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Крамер:


Следователно, .

В отговора си не забравяйте да посочите свободни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от общи линейни алгебрични уравнения, първо определяме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер–Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава ние избираме базов минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания базов минор.

Ако редът на осн равно на числотонеизвестни променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на системните уравнения оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в десните страни и даваме произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи, като използваме метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да бъдат тествани за последователност. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От изчислителна гледна точка методът на Гаус е за предпочитане.

Внимавай Подробно описаниеи анализирани примери в статията методът на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Писане на общо решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на фундаменталната система от решения.

В този раздел ще говорим за едновременни хомогенни и нееднородни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система от решенияхомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е колекция от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако означим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колонни матрици с размерност n чрез 1), тогава общото решение на тази хомогенна система е представено като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата определя всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, като вземем произволен набор от стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), използвайки формулата, ще получите едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да дефинираме всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.

Избираме базисния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,...,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например, използвайки метода на Cramer. Това ще доведе до X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2) . И така нататък. Ако присвоим стойностите 0.0,…,0.1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r) . По този начин ще бъде конструирана фундаментална система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, общото решение е представено във формата , където е общото решение на съответната хомогенна система, а е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, която получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите ​​0,0,…,0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на основната матрица, като използваме метода на граничещите второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемент a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Нека намерим граничния ненулев минор от втори ред:

Открит е минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е равен на две. Да вземем. За по-голяма яснота нека отбележим елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни отдясно:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи и редът на неговия основен минор е равен на две. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Нека го решим с помощта на метода на Cramer:

По този начин, .

Сега нека построим X (2) . За да направим това, даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 0, x 4 = 1, след което намираме основните неизвестни от системата от линейни уравнения
.

Нека отново използваме метода на Cramer:

Получаваме.

Така че имаме два вектора на фундаменталната система от решения и сега можем да запишем общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения:

, където C 1 и C 2 са произволни числа., са равни на нула. Ние също ще вземем второстепенното като основно, ще елиминираме третото уравнение от системата и ще преместим членовете със свободни неизвестни в дясната страна на уравненията на системата:

За да намерим, нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 0 и x 4 = 0, тогава системата от уравнения ще приеме формата , откъдето намираме основните неизвестни променливи, използвайки метода на Cramer:

Ние имаме , следователно,

където C 1 и C 2 са произволни числа.

Трябва да се отбележи, че решенията на неопределена хомогенна система от линейни алгебрични уравнения генерират линейно пространство

Решение.

Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна декартова координатна система има формата . Нашата задача е да определим параметрите a, b и c. Тъй като елипсоидът минава през точки A, B и C, тогава при заместване на техните координати в каноничното уравнение на елипсоида, той трябва да се превърне в идентичност. Така получаваме система от три уравнения:

Нека обозначим , тогава системата ще се превърне в система от линейни алгебрични уравнения .

Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата:

Тъй като не е нула, можем да намерим решението с помощта на метода на Крамър:
). Очевидно x = 0 и x = 1 са корените на този полином. Частно от деление На е . Така имаме разширение и оригиналният израз приема формата .

Нека използваме метода на неопределените коефициенти.

Приравнявайки съответните коефициенти на числителите, стигаме до система от линейни алгебрични уравнения . Неговото решение ще ни даде желаните неопределени коефициенти A, B, C и D.

Нека решим системата с помощта на метода на Гаус:

Използвайки обратния метод на Гаус, намираме D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Получаваме

Отговор:

.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения е един от основните проблеми на линейната алгебра. Този проблем има важно приложно значение при решаването на научни и технически проблеми, освен това е спомагателен при изпълнението на много алгоритми в изчислителната математика, математическата физика и обработката на резултатите от експериментални изследвания.

Система от линейни алгебрични уравнениясе нарича система от уравнения от вида: (1)

Където – неизвестен; - безплатни членове.

Решаване на система от уравнения(1) извикайте всеки набор от числа, които, когато са поставени в система (1) на мястото на неизвестните преобразува всички уравнения на системата в правилни числени равенства.

Системата от уравнения се нарича става, ако има поне едно решение, и неставни, ако няма решения.

Едновременната система от уравнения се нарича определени, ако има едно уникално решение и несигурен, ако има поне две различни решения.

Двете системи уравнения се наричат еквивалентенили еквивалентен, ако имат еднакъв набор от решения.

Система (1) се нарича хомогенен, ако безплатните условия са нула:

Хомогенната система винаги е последователна – тя има решение (може би не единственият).

Ако в системата (1), тогава имаме системата нлинейни уравнения с ннеизвестен: Където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

Линейна системаможе да има едно решение, безкрайно много решения или изобщо да няма решение.

Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни

Ако тогава системата има уникално решение;

Ако тогава системата няма решения;

Ако тогава системата има безкраен брой решения.

Пример.Системата има уникално решение за двойка числа

Системата има безкраен брой решения. Например решенията на дадена система са двойки числа и т.н.

Системата няма решения, тъй като разликата на две числа не може да приеме две различни стойности.

Определение. Детерминанта от втори реднаречен израз на формата:

.

Детерминантата е обозначена със символа D.

Числа А 11, …, А 22 се наричат ​​елементи на определителя.

Диагонал, образуван от елементи А 11 ; А 22 са наречени основендиагонал, образуван от елементи А 12 ; А 21 − страна

По този начин детерминантът от втори ред е равен на разликата между продуктите на елементите на главния и второстепенния диагонал.

Имайте предвид, че отговорът е число.

Пример.Нека изчислим детерминантите:

Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни: Където х 1, х 2 – неизвестен; А 11 , …, А 22 – коефициенти за неизвестни, b 1 ,б 2 – безплатни членове.

Ако система от две уравнения с две неизвестни има уникално решение, тогава то може да бъде намерено с помощта на детерминанти от втори ред.

Определение.Извиква се детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни системен фактор: D= .

Колоните на детерминантата D съдържат съответно коефициентите за х 1 и в , Х 2. Нека представим две допълнителен квалификатор,които се получават от детерминантата на системата чрез замяна на една от колоните с колона от свободни членове: D 1 = D 2 = .

Теорема 14(Крамър, за случая n=2).Ако детерминантата D на системата е различно от нула (D¹0), тогава системата има уникално решение, което се намира с помощта на формулите:

Тези формули се наричат Формули на Крамер.

Пример.Нека решим системата с помощта на правилото на Крамър:

Решение.Нека намерим числата

Отговор.

Определение. Детерминанта от трети реднаречен израз на формата:

Елементи А 11; А 22 ; А 33 – образуват главния диагонал.

Числа А 13; А 22 ; А 31 – образуват страничен диагонал.

Записът с плюс включва: произведение на елементи по главния диагонал, останалите два члена са произведение на елементи, разположени във върховете на триъгълници с основи, успоредни на главния диагонал. Отрицателните членове се формират по същата схема по отношение на вторичния диагонал.

Пример.Нека изчислим детерминантите:

Където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

В случай на уникално решение, система от 3 линейни уравнения с три неизвестни може да бъде решена с помощта на детерминанти от 3-ти ред.

Детерминантата на система D има формата:

Нека въведем три допълнителни детерминанти:

Теорема 15(Крамър, за случая n=3).Ако детерминантата D на системата е различно от нула, тогава системата има уникално решение, което се намира с помощта на формулите на Cramer:

Пример.Нека решим системата според правилото на Крамър.

Решение.Нека намерим числата

Нека използваме формулите на Cramer и намерим решението на оригиналната система:

Отговор.

Обърнете внимание, че теоремата на Крамър е приложима, когато броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и когато детерминантата на системата D е различна от нула.

Ако детерминантата на системата е равна на нула, то в този случай системата може или да няма решения, или да има безкраен брой решения. Тези случаи се изучават отделно.

Нека отбележим само един случай. Ако детерминантата на системата е равна на нула (D=0) и поне една от допълнителните детерминанти е различна от нула, то системата няма решения, т.е. тя е непоследователна.

Теоремата на Крамър може да се обобщи за системата нлинейни уравнения с ннеизвестен: Където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

Ако детерминантата на система от линейни уравнения с неизвестни тогава единственото решение на системата се намира с помощта на формулите на Cramer:

Допълнителен квалификатор се получава от детерминантата D, ако съдържа колона от коефициенти за неизвестното x iзамени с колона от безплатни членове.

Обърнете внимание, че детерминантите D, D 1 , … , D нима ред н.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения

Един от най-разпространените методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни −Метод на Гаус. Този метод е обобщение на метода на заместване и се състои в последователно елиминиране на неизвестни, докато остане едно уравнение с едно неизвестно.

Методът се основава на някои трансформации на система от линейни уравнения, което води до система, еквивалентна на оригиналната система. Алгоритъмът на метода се състои от два етапа.

Първият етап се нарича право напредМетод на Гаус. Състои се от последователно елиминиране на неизвестни от уравненията. За да направите това, в първата стъпка разделете първото уравнение на системата на (в противен случай пренаредете уравненията на системата). Те обозначават коефициентите на полученото редуцирано уравнение, умножават го по коефициента и го изваждат от второто уравнение на системата, като по този начин го елиминират от второто уравнение (нулиране на коефициента).

Направете същото с останалите уравнения и получете нова система, във всички уравнения на която, започвайки от второто, коефициентите за , съдържат само нули. Очевидно резултатът нова система, ще бъде еквивалентен на оригиналната система.

Ако новите коефициенти за не всички са равни на нула, те могат да бъдат изключени по същия начин от третото и следващите уравнения. Продължавайки тази операция за следните неизвестни, системата се довежда до така наречената триъгълна форма:

Тук символите показват числовите коефициенти и свободните членове, които са се променили в резултат на трансформации.

От последното уравнение на системата останалите неизвестни се определят по уникален начин и след това чрез последователно заместване.

Коментирайте.Понякога, в резултат на трансформации, в някое от уравненията всички коефициенти и дясна частсе превръща в нула, тоест уравнението се превръща в идентичността 0=0. Чрез елиминирането на такова уравнение от системата броят на уравненията се намалява в сравнение с броя на неизвестните. Такава система не може да има едно единствено решение.

Ако в процеса на прилагане на метода на Гаус всяко уравнение се превърне в равенство от вида 0 = 1 (коефициентите за неизвестните се превръщат в 0, а дясната страна приема ненулева стойност), тогава оригиналната система няма решение, тъй като такова равенство е невярно за всякакви неизвестни стойности.

Да разгледаме система от три линейни уравнения с три неизвестни:

(2)

Където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.