مساحة المستطيل، راجع كيفية حساب مساحة المستطيل: نصائح عملية. ماذا تفعل إذا تم إعطاء جوانب المستطيل

هو متوازي أضلاع تكون فيه جميع الزوايا تساوي 90 درجة، والأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في أزواج.

للمستطيل عدة خصائص لا يمكن دحضها تستخدم في حل العديد من المسائل، في صيغ مساحة المستطيل ومحيطه. ها هم:

يتم حساب طول الضلع أو القطر المجهول للمستطيل باستخدام أو باستخدام نظرية فيثاغورس. يمكن إيجاد مساحة المستطيل بطريقتين - بضرب أضلاعه أو بصيغة مساحة المستطيل من خلال القطر. تبدو الصيغة الأولى والأبسط كما يلي:

مثال لحساب مساحة المستطيل باستخدام هذه الصيغة بسيط للغاية. بمعرفة الضلعين، مثلاً أ = 3 سم، ب = 5 سم، يمكننا بسهولة حساب مساحة المستطيل:
نجد أن المساحة في هذا المستطيل تساوي 15 مترًا مربعًا. سم.

مساحة المستطيل من خلال الأقطار

في بعض الأحيان تحتاج إلى تطبيق صيغة مساحة المستطيل من خلال الأقطار. لا يتطلب الأمر معرفة طول الأقطار فحسب، بل يتطلب أيضًا معرفة الزاوية بينهما:

دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة المستطيل باستخدام الأقطار. افترض أن لدينا مستطيلًا قطره d = 6 سم وزاويته = 30 درجة. نقوم باستبدال البيانات في الصيغة المعروفة بالفعل:

لذلك، أظهر لنا مثال حساب مساحة المستطيل من خلال القطر أن إيجاد المساحة بهذه الطريقة، إذا أعطيت زاوية، هو أمر بسيط للغاية.
دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام ستساعدنا على توسيع أدمغتنا قليلاً.

مهمة:نظرا لمربع. مساحتها 36 مترا مربعا. سم أوجد محيط المستطيل الذي طول ضلعه ٩ سم ومساحته هي نفس المربع الموضح أعلاه.
لذلك لدينا عدة شروط. من أجل الوضوح، دعونا نكتبها لرؤية جميع المعلمات المعروفة وغير المعروفة:
جوانب الشكل متوازية ومتساوية في أزواج. وبالتالي فإن محيط الشكل يساوي ضعف مجموع أطوال أضلاعه:
من صيغة مساحة المستطيل، والتي تساوي حاصل ضرب ضلعي الشكل، نجد طول الضلع ب
من هنا:
نعوض بالبيانات المعروفة ونجد طول الضلع b:
احسب محيط الشكل:
هذه هي الطريقة، بمعرفة بعض الصيغ البسيطة، يمكنك حساب محيط المستطيل بمعرفة مساحته.

L * H = S للعثور على مساحة المستطيل، تحتاج إلى ضرب العرض في الطول. وبعبارة أخرى يمكن التعبير عنها على النحو التالي: مساحة المستطيل تساوي ناتج الجوانب.

1. دعونا نعطي مثالا على الحساب كيفية العثور على مساحة المستطيل، الأضلاع متساوية بكميات معلومة، مثلاً العرض 4 سم، الطول 8 سم.

كيفية العثور على مساحة المستطيل مع الجوانب 4 و 8 سم: الحل بسيط! 4 × 8 = 32 سم2. لحل هذه المشكلة البسيطة، تحتاج إلى حساب حاصل ضرب جوانب المستطيل أو ببساطة ضرب العرض في الطول، وستكون هذه هي المساحة!

2. هناك حالة خاصة للمستطيل وهو مربع، وهذا هو الحال عندما تكون أضلاع المستطيل متساوية، في هذه الحالة يمكنك إيجاد مساحة المربع باستخدام الصيغة أعلاه.

ما هي مساحة المستطيل؟

تعد القدرة على حساب مساحة المستطيل مهارة أساسية لحل عدد كبير من المشكلات اليومية أو الفنية. يتم تطبيق هذه المعرفة في جميع مجالات الحياة تقريبًا! على سبيل المثال، في الحالات التي تكون هناك حاجة إلى مساحات من أي سطح في البناء أو العقارات. عند حساب مساحات الأراضي وقطع الأراضي وجدران المنازل وأماكن المعيشة... من المستحيل تسمية منطقة واحدة من النشاط البشري حيث لا يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة!

لو حساب مساحة المستطيليسبب لك صعوبات - فقط استخدم الآلة الحاسبة لدينا! سيوفر O على الفور جميع الحسابات اللازمة ويكتب نص الحل مع الشرح بالتفصيل.

حساب مساحة المستطيل مع الحل التفصيلي. تقوم الآلة الحاسبة بالعثور على المساحة باستخدام الصيغة باستخدام طول المستطيل وعرضه. الطرق الأساسية وشرح الصيغ التي يمكنك من خلالها حل مشاكلك بنفسك.

آلة حاسبة على الانترنت

أولا، دعونا نفهم التعريف. المستطيل له 4 جوانب. كل ضلع يساوي نظيره ويوازيه. من المهم أن تفهم هنا أن الجوانب الأربعة لا يمكن أن تكون متساوية، وإلا فسوف ينتهي بك الأمر بمربع. سيكون للمستطيل ضلعان متطابقان بطول أحدهما وضلعان متطابقان للآخر.

جميع الزوايا الأربع داخل المستطيل هي زوايا قائمة. أي أن كل زاوية قياسها 90 درجة.

صيغة مساحة المستطيل باستخدام جوانبه

للعثور على المنطقة س س سالمستطيل، تحتاج إلى ضرب الجانبين: الجانب أ أتتضاعف جنبا إلى جنب ب ب ب.

س = أ ⋅ ب. S = أ\كدوت ب. س=أ ⋅ب.

لدينا مستطيل أ ب ج د أ ب ج د ا ب ت ث. جانب واحد منه أ ب أ ب أ بيساوي 5 5 5 سم، الثانية ب ج ق.م ب جيساوي 3 3 3 سم وعلينا أن نجد مساحتها س س س.

حل:

للعثور على المنطقة س س س، تحتاج إلى مضاعفة الجانب أ ب أ ب أ بإلى الجانب ب ج ق.م ب جونحصل على: S = 5 ⋅ 3 S = 5 \cdot 3 س=5 ⋅ 3 .

إجابة: ق = 15 ق = 15 س=1 5 سم 2.

صيغة مساحة المستطيل باستخدام الأقطار

S = 1 2 د 2 خطيئة ⁡ α . S = \frac (1)(2)d^2 \sin \alpha.س=2 1 ​ د 2 الخطيئةα.

تذكر أن أطوال الأقطار في المستطيل متساوية وتنقسم إلى نصفين عند تقاطعها.

نظرا للمستطيل أ ب ج د أ ب ج د ا ب ت ث. قطري لها ايه سي سي أ جيساوي 8 8 8 سم والزاوية الحادة بين القطرين 30° 30° 30°. أوجد مساحة الشكل.

باستخدام الصيغة أعلاه نحصل على:
S = 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 ⋅ 64 ⋅ 1 2 = 64 4 = 16 S = \frac(1)(2) \cdot 8^2 \cdot \sin 30^(\circ ) = \frac(1)(2) \cdot 64 \cdot \frac(1)(2) = \frac(64)(4) = 16س=2 1 ​ ⋅ 8 2 ⋅ الخطيئة 3 0 ∘ = 2 1 ​ ⋅ 6 4 ⋅ 2 1 ​ = 4 6 4 ​ = 1 6

إجابة: س = 16 ق = 16 س=1 6 سم 2.

لحساب مساحة ومحيط المربع، عليك أن تفهم مفاهيم هذه الكميات. المربع عبارة عن مستطيل به أربعة أضلاع متساوية فقط وقياس كل منها للآخر 90 درجة. المحيط هو مجموع أطوال جميع الجوانب. المساحة هي حاصل ضرب طول الشكل المستطيل وعرضه.

مساحة المربع وكيفية العثور عليه

كما ذكرنا أعلاه، المربع عبارة عن مستطيل له 4 أضلاع متساوية، لذا فإن إجابة السؤال: “كيفية العثور على مساحة المربع” هي الصيغة: S = a*a أو S = a 2 ، حيث a هو جانب المربع. بناءً على هذه الصيغة، من السهل العثور على ضلع المربع إذا كانت مساحته معروفة. للقيام بذلك، تحتاج إلى استخراج المربع من القيمة المشار إليها.

على سبيل المثال، S = 121، إذن a = √121 = 11. إذا كانت القيمة المعطاة غير موجودة في جدول المربعات، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة: S = 94، a = √94 = 9.7.

كيفية العثور على محيط المربع

يمكن إيجاد محيط المربع باستخدام الصيغة السهلة: P = 4a، حيث a هو ضلع المربع.

مثال:

• طول ضلع المربع = 5، وبالتالي P = 4*5 = 20
• طول ضلع المربع = 3، وبالتالي P = 4*3 = 12

ولكن هناك مشاكل حيث يتم تحديد المنطقة بوضوح، ولكن عليك العثور على المحيط. عند الحل، تحتاج إلى الصيغ التي تم تقديمها في وقت سابق.

على سبيل المثال: كيف يمكن العثور على محيط المربع إذا كانت مساحته معروفة بـ 144؟

خطوات الحل:

1. أوجد طول أحد الضلع: أ = √144 = 12
2. أوجد المحيط: P = 4*12 = 48.

إيجاد محيط المربع المدرج

هناك عدة طرق أخرى للعثور على محيط المربع. لنفكر في إحداها: إيجاد المحيط من خلال نصف قطر الدائرة المحددة. يظهر هنا مصطلح جديد "المربع المنقوش" - وهو مربع تقع رؤوسه على دائرة.

خوارزمية الحل:

• وبما أننا نتعامل مع مربع، فيمكن التعبير عن الصيغة على النحو التالي: أ 2 + أ 2 = (2ص) 2 ؛
• ثم يجب أن تكون المعادلة أبسط: 2أ 2 = 4(ص) 2 ;
• قسّم المعادلة على 2: (أ 2 ) = 2(ص) 2 ;
• استخرج الجذر: أ = √(2ر).

ونتيجة لذلك، حصلنا على الصيغة الأخيرة: أ (جانب المربع) = √(2ر).

1. يتم ضرب الضلع الذي تم العثور عليه في المربع بـ 4، ثم يتم تطبيق الصيغة القياسية لإيجاد المحيط: P = 4√(2r).

مهمة:

إذا كان المربع محاطًا بدائرة، فإن نصف قطره هو 5. وهذا يعني أن قطر المربع هو 10. نطبق نظرية فيثاغورس: 2(أ) 2 ) = 10 2 ، أي 2أ2 = 100. اقسم الناتج على اثنين فيكون الناتج: أ 2 = 50. وبما أن هذه ليست قيمة جدولية، فإننا نستخدم الآلة الحاسبة: a = √50 = 7.07. اضرب في 4: P = 4*7.07 = 28.2. تم حل المشكلة!

دعونا نفكر في سؤال آخر

في كثير من الأحيان نواجه حالة أخرى في المشاكل: كيفية العثور على مساحة المربع إذا كان المحيط معروفًا؟

لقد نظرنا بالفعل في جميع الصيغ اللازمة، لذلك لحل المشاكل من هذا النوع، من الضروري تطبيقها بمهارة وربطها مع بعضها البعض. لننتقل مباشرة إلى مثال توضيحي: مساحة المربع 25 سم 2 ، أوجد محيطها.

خطوات الحل:

1. أوجد ضلع المربع: أ = √25 = 5.

1. نجد المحيط نفسه: P = 4*a = 4*5 = 20.

لتلخيص، من المهم أن نتذكر أن هذه الصيغ البسيطة قابلة للتطبيق ليس فقط في الأنشطة التعليمية، ولكن أيضا في الحياة اليومية. يتعلم الأطفال العثور على محيط ومساحة الشكل في المدرسة الابتدائية. في الصفوف المتوسطة، يظهر موضوع جديد - الهندسة، حيث تكون نظرية فيثاغورس في بداية الدراسة. يتم أيضًا اختبار أساسيات الرياضيات هذه في نهاية مدرسة OGE وUSE، لذلك من المهم معرفة هذه الصيغ وتطبيقها بشكل صحيح.

ما هي المنطقة وما هو المستطيل

المساحة هي كمية هندسية يمكن استخدامها لتحديد حجم أي سطح من الأشكال الهندسية.

لقرون عديدة، كان من المعتاد أن يسمى حساب المساحة بالتربيع. وهذا يعني أنه لمعرفة مساحة الأشكال الهندسية البسيطة، كان يكفي حساب عدد مربعات الوحدات التي تم تغطية الأشكال بها بشكل تقليدي. والشكل الذي له مساحة يسمى مربعًا.

ومن ثم، يمكننا تلخيص أن المساحة هي كمية توضح لنا حجم جزء من المستوى المتصل بالقطاعات.

المستطيل هو شكل رباعي جميع زواياه قائمة. أي أن الشكل رباعي الأضلاع الذي له أربع زوايا قائمة وأضلاعه المتقابلة متساوية يسمى مستطيلًا.

كيفية العثور على مساحة المستطيل

أسهل طريقة للعثور على مساحة المستطيل هي أخذ ورق شفاف، مثل ورق الشفاف أو القماش الزيتي، ورسمه إلى مربعات متساوية مقاس 1 سم، ثم لصقه على صورة المستطيل. سيكون عدد المربعات المملوءة هو المساحة بالسنتيمتر المربع. على سبيل المثال، في الشكل يمكنك أن ترى أن المستطيل ينقسم إلى 12 مربعًا، مما يعني أن مساحته 12 مترًا مربعًا. سم.

ولكن للعثور على مساحة الأجسام الكبيرة، مثل الشقة، هناك حاجة إلى طريقة أكثر عالمية، لذلك تم إثبات صيغة للعثور على مساحة المستطيل عن طريق ضرب طوله في عرضه.

الآن دعونا نحاول كتابة قاعدة إيجاد مساحة المستطيل في شكل صيغة. دعنا نشير إلى مساحة الشكل الخاص بنا بالحرف S، والحرف a سيشير إلى طوله، والحرف b سيشير إلى عرضه.

ونتيجة لذلك نحصل على هذه الصيغة:

ق = أ * ب.

إذا طبقنا هذه الصيغة على رسم المستطيل أعلاه، فسنحصل على نفس 12 سم مربع، لأن أ = 4 سم، ب = 3 سم، و ق = 4 * 3 = 12 سم مربع.

إذا أخذت شكلين متطابقين وقمت بتركيبهما أحدهما فوق الآخر، فسوف يتطابقان وسيُطلق عليهما اسم متساويان. هذه الأرقام المتساوية سيكون لها أيضًا مساحات ومحيطات متساوية.

لماذا تعرف كيفية العثور على المنطقة

أولاً، إذا كنت تعرف كيفية العثور على مساحة الشكل، فباستخدام صيغته يمكنك بسهولة حل أي مشاكل في الهندسة وعلم المثلثات.
ثانيًا، بعد أن تعلمت إيجاد مساحة المستطيل، ستتمكن أولاً من حل المسائل البسيطة، وبمرور الوقت ستنتقل إلى حل المسائل الأكثر تعقيدًا، وتتعلم إيجاد مساحة الأشكال التي مكتوبة في مستطيل أو بالقرب منه.
ثالثًا، بمعرفة هذه الصيغة البسيطة مثل S = a * b، يمكنك الحصول على الفرصة لحل أي مشاكل يومية بسيطة بسهولة (على سبيل المثال، العثور على شقق أو منازل S)، وبمرور الوقت ستتمكن من تطبيقها على حل المشكلات المعمارية المعقدة المشاريع.

أي أننا إذا قمنا بتبسيط صيغة إيجاد المساحة تمامًا، فستبدو كما يلي:

ف = الطول × العرض،

ما ترمز إليه P هو المساحة المطلوبة، وD هو طولها، وW هو عرضها، وx هي علامة الضرب.

هل تعلم أنه يمكن تقسيم مساحة أي مضلع بشكل مشروط إلى عدد معين من الكتل المربعة الموجودة داخل هذا المضلع؟ ما هو الفرق بين المساحة والمحيط

دعونا نستخدم مثالا لفهم الفرق بين المحيط والمساحة. على سبيل المثال، تقع مدرستنا في منطقة مسيجة بسياج - سيكون الطول الإجمالي لهذا السياج هو المحيط، والمساحة الموجودة داخل السياج ستكون المنطقة.

وحدات المساحة

إذا كان المحيط أحادي البعد ويتم قياسه بوحدات خطية، وهي البوصات والأقدام والأمتار، فإن S تشير إلى حسابات ثنائية الأبعاد ولها طول وعرض خاص بها.

ويتم قياس S بالوحدات المربعة، مثل:

ملليمتر مربع واحد، حيث S من المربع طول ضلعه يساوي ملليمترًا واحدًا؛
السنتيمتر المربع به S مثل هذا المربع الذي يساوي طول ضلعه سنتيمترًا واحدًا؛
الديسيمتر المربع يساوي S من هذا المربع الذي يبلغ طول ضلعه ديسيمترًا واحدًا؛
المتر المربع به مربع S، وطول ضلعه متر واحد؛
وأخيرًا، الكيلومتر المربع به مربع S، وطول ضلعه كيلومتر واحد.

لقياس مساحات المساحات الكبيرة على سطح الأرض يتم استخدام وحدات مثل:

واحد أو مائة متر مربع - إذا كان ضلع المربع S عشرة أمتار؛
الهكتار الواحد يساوي مربع S الذي طول ضلعه مائة متر.

المهام والتمارين

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

في الشكل 62، تم رسم شكل مكون من ثمانية مربعات وكل ضلع من هذه المربعات يساوي سنتيمترًا واحدًا. لذلك، S من هذا المربع سيكون سنتيمترا مربعا.

إذا كتبته سيكون كالتالي:

1 سم2. و S من هذا الشكل، الذي يتكون من ثمانية مربعات، سيكون مساويا 8 متر مربع.

إذا أخذت أي شكل وقسمته إلى مربعات "p" طول ضلعها سنتيمتر واحد فإن مساحتها ستكون مساوية:

ص سم 2.

لننظر إلى المستطيل الموضح في الشكل 63. يتكون هذا المستطيل من ثلاثة خطوط، وينقسم كل شريط إلى خمسة مربعات متساوية يبلغ طول ضلعها 1 سم.

دعونا نحاول العثور على مساحتها. وهكذا نأخذ خمسة مربعات، ونضربها في ثلاث شرائح ونحصل على مساحة تساوي 15 سم مربع:

النظر في المثال التالي. ويبين الشكل 64 مستطيلاً ABCD، مقسماً إلى جزأين بواسطة الخط المتقطع KLMN. جزءه الأول مساحته 12 سم2، والثاني مساحته 9 سم2. الآن لنجد مساحة المستطيل بأكمله:

لذا، خذ ثلاثة واضربها في سبعة واحصل على 21 سم مربع:

3 7 = 21 سم مربع. في هذه الحالة 21 = 12 + 9.

ونتوصل إلى نتيجة مفادها أن مساحة الشكل بأكمله تساوي مجموع مساحات أجزائه الفردية.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. وهكذا في الشكل 65 يظهر مستطيل، والذي، باستخدام القطعة AC، مقسم إلى مثلثين متساويين ABC وADC

وبما أننا نعلم بالفعل أن المربع هو نفس المستطيل، وله جوانب متساوية فقط، فإن مساحة كل مثلث ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل بأكمله.

لنتخيل أن ضلع المربع يساوي a، ثم:

ق = أ = أ2.

نستنتج أن صيغة مساحة المربع ستبدو كما يلي:

والمدخل a2 يسمى مربع الرقم a.

وبالتالي، إذا كان طول ضلع المربع أربعة سنتيمترات، فإن مساحته ستكون:

4 4، أي 4 * 2 = 16 سم مربع.

الأسئلة والمهام

أوجد مساحة الشكل المقسم إلى ستة عشر مربعًا، تساوي أضلاعها سنتيمترًا واحدًا.
تذكر صيغة المستطيل واكتبها.
ما هي القياسات التي يجب إجراؤها لمعرفة مساحة المستطيل؟
تحديد أرقام متساوية.
هل يمكن أن تحتوي المناطق المختلفة على أرقام متساوية؟ ماذا عن محيط؟
إذا كنت تعرف مساحة الأجزاء الفردية من الشكل، فكيف يمكنك معرفة مساحته الإجمالية؟
قم بصياغة وكتابة مساحة المربع.

مرجع تاريخي

هل تعلم أن القدماء في بابل عرفوا كيفية حساب مساحة المستطيل؟ قام المصريون القدماء أيضًا بإجراء حسابات لأشكال مختلفة، ولكن نظرًا لأنهم لم يعرفوا الصيغ الدقيقة، فقد كانت الحسابات تحتوي على أخطاء صغيرة.

في كتابه "العناصر"، يصف عالم الرياضيات اليوناني القديم الشهير إقليدس طرقًا مختلفة لحساب مساحات الأشكال الهندسية المختلفة.