أوجد المصفوفة العكسية للمصفوفات التالية. طريقة المصفوفة لحل المستنقع: مثال على الحل باستخدام مصفوفة معكوسة. إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام الإضافات الجبرية

يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n

تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كان A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.

مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:

مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.

نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة

لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.

تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.

خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية

1. اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
2. باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
3. إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
4. اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.

مثال 1

بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1

الحل: نكتب المصفوفة A ونضع مصفوفة الهوية E على اليمين، وباستخدام تحويلات جوردان نختصر المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. الحسابات موضحة في الجدول 31.1.

دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.

ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.

إجابة:

حل المعادلات المصفوفية

يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:

الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،

حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.

يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.

على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.

لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.

يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.

مثال 2

حل المعادلة AX = B إذا

حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)

طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان يتم استخدام هذه الأساليب عند الضرورة التقييم المقارنأداء المنظمات وأقسامها الهيكلية.

في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن تمييز عدة مراحل.

في المرحلة الأولىيتم تشكيل النظام المؤشرات الاقتصاديةوعلى أساسها يتم تجميع مصفوفة البيانات المصدرية وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).

في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.

بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.

في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.

على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف الملكية الفكريةيتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.

يجب استخدام طرق المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، متى تحليل مقارنالمشاريع الاستثمارية المختلفة، وكذلك عند تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى للمنظمات.

سنتحدث في هذه المقالة عن طريقة المصفوفة لحل نظام من المعادلات الجبرية الخطية وإيجاد تعريفها وإعطاء أمثلة على الحلول.

التعريف 1

طريقة المصفوفة العكسية هي طريقة تستخدم لحل SLAEs إذا كان عدد المجهولين يساوي عدد المعادلات.

مثال 1

العثور على حل لنظام n المعادلات الخطيةمع مجهولين n:

أ 11 × 1 + أ 12 × 2 + . . . + أ 1 ن × ن = ب 1 أ ن 1 × 1 + أ ن 2 × 2 + . . . + أ ن ن × ن = ب ن

نوع تسجيل المصفوفة : أ × س = ب

حيث A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n هي مصفوفة النظام.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - عمود المجهول،

B = b 1 b 2 ⋮ b n - عمود المعاملات الحرة.

من المعادلة التي تلقيناها، من الضروري التعبير عن X. للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب طرفي معادلة المصفوفة على اليسار بـ A - 1:

أ - 1 × أ × X = أ - 1 × ب.

بما أن A - 1 × A = E، إذن E × X = A - 1 × B أو X = A - 1 × B.

تعليق

المصفوفة العكسية للمصفوفة A لها الحق في الوجود فقط إذا تم استيفاء الشرط d e t A الذي لا يساوي الصفر. لذلك، عند حل SLAEs باستخدام طريقة المصفوفة العكسية، تم العثور أولاً على d e t A.

في حالة أن d e t A لا يساوي الصفر، فإن النظام لديه خيار حل واحد فقط: استخدام طريقة المصفوفة العكسية. إذا كان d e t A = 0، فلا يمكن حل النظام بهذه الطريقة.

مثال على حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة العكسية

مثال 2

نحن نحل SLAE باستخدام طريقة المصفوفة العكسية:

2 × 1 - 4 × 2 + 3 × 3 = 1 × 1 - 2 × 2 + 4 × 3 = 3 3 × 1 - × 2 + 5 × 3 = 2

كيفية حل؟

• نكتب النظام على شكل معادلة مصفوفية A X = B حيث

أ = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5، X = × 1 × 2 × 3، ب = 1 3 2.

• نعبر عن X من هذه المعادلة:

• أوجد محدد المصفوفة A:

د ه أ = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A لا يساوي 0، وبالتالي فإن طريقة حل المصفوفة العكسية مناسبة لهذا النظام.

• نجد المصفوفة العكسية A - 1 باستخدام المصفوفة المتحالفة. نحسب المكملات الجبرية A i j للعناصر المقابلة للمصفوفة A:

أ 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

أ 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7،

أ 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5،

أ 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17،

أ 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1،

أ 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10،

أ 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

أ 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5،

أ 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• نكتب المصفوفة المتحالفة A*، والتي تتكون من المكملات الجبرية للمصفوفة A:

أ* = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• نكتب المصفوفة العكسية حسب الصيغة:

أ - 1 = 1 د ه ر أ (أ *) ت: أ - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• نضرب المصفوفة العكسية A - 1 في عمود المصطلحات الحرة B ونحصل على حل للنظام:

X = أ - 1 × ب = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

إجابة : س 1 = - 1 ; س 2 = 0 ; × 3 = 1

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

هذا الموضوع هو واحد من أكثر المواضيع التي يكرهها الطلاب. والأسوأ من ذلك، على الأرجح، هي التصفيات.

الحيلة هي أن مفهوم العنصر العكسي (وأنا لا أتحدث فقط عن المصفوفات) يحيلنا إلى عملية الضرب. حتى في المناهج المدرسية، يعتبر الضرب عملية معقدة، وضرب المصفوفات هو موضوع منفصل بشكل عام، وقد خصصت له فقرة كاملة ودرس فيديو.

اليوم لن نخوض في تفاصيل حسابات المصفوفة. دعونا نتذكر فقط: كيف يتم تعيين المصفوفات، وكيف يتم ضربها، وما يتبع ذلك.

مراجعة: ضرب المصفوفات

في البداية دعونا نتفق على التدوين. المصفوفة $A$ ذات الحجم $\left[ m\times n \right]$ هي ببساطة جدول أرقام يحتوي بالضبط على صفوف $m$ وأعمدة $n$:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

لتجنب الخلط بين الصفوف والأعمدة عن طريق الخطأ (صدقني، في الاختبار يمكنك الخلط بين واحد واثنين، ناهيك عن بعض الصفوف)، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

تحديد المؤشرات لخلايا المصفوفة

ماذا يحدث؟ إذا قمت بوضع نظام الإحداثيات القياسي $OXY$ في اليسار الزاوية العلياوقم بتوجيه المحاور بحيث تغطي المصفوفة بأكملها، ثم يمكن ربط كل خلية في هذه المصفوفة بشكل فريد بالإحداثيات $\left(x;y\right)$ - سيكون هذا هو رقم الصف ورقم العمود.

لماذا يتم وضع نظام الإحداثيات في الزاوية اليسرى العليا؟ نعم، لأنه من هناك نبدأ في قراءة أي نصوص. من السهل جدًا أن تتذكرها.

لماذا يتم توجيه محور $x$ إلى الأسفل وليس إلى اليمين؟ مرة أخرى، الأمر بسيط: خذ نظام إحداثي قياسي (يتجه المحور $x$ إلى اليمين، ويتجه المحور $y$ إلى الأعلى) وقم بتدويره بحيث يغطي المصفوفة. هذا دوران بمقدار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة - نرى النتيجة في الصورة.

بشكل عام، اكتشفنا كيفية تحديد مؤشرات عناصر المصفوفة. الآن دعونا ننظر إلى الضرب.

تعريف. المصفوفات $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، عندما يتطابق عدد الأعمدة في الأولى مع عدد الصفوف في الثانية، تكون دعا متسقة.

بالضبط بهذا الترتيب. يمكن الخلط بين المرء والقول إن المصفوفات $A$ و$B$ تشكل زوجًا مرتبًا $\left(A;B \right)$: إذا كانت متسقة بهذا الترتيب، فليس من الضروري على الإطلاق أن يكون $B $ و $A$ تلك. الزوج $\left(B;A \right)$ ثابت أيضًا.

يمكن ضرب المصفوفات المتطابقة فقط.

تعريف. حاصل ضرب المصفوفات المتطابقة $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$ هو المصفوفة الجديدة $C=\left[ m\times k \right ]$ ، يتم حساب عناصرها $((c)_(ij))$ وفقًا للصيغة:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

بمعنى آخر: للحصول على العنصر $((c)_(ij))$ من المصفوفة $C=A\cdot B$، عليك أن تأخذ الصف $i$-من المصفوفة الأولى، $j$ -العمود من المصفوفة الثانية، ثم قم بضرب العناصر من هذا الصف والعمود في أزواج. قم بإضافة النتائج.

نعم، هذا تعريف قاسٍ. عدة حقائق تتبع على الفور:

1. ضرب المصفوفة، بشكل عام، هو عملية غير تبادلية: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. ومع ذلك، الضرب هو ترابطي: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. وحتى توزيعيًا: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ومرة أخرى بشكل توزيعي: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

كان لا بد من وصف توزيع الضرب بشكل منفصل لعامل المجموع الأيسر والأيمن على وجه التحديد بسبب عدم تبادلية عملية الضرب.

إذا اتضح أن $A\cdot B=B\cdot A$، فإن هذه المصفوفات تسمى تبادلية.

من بين جميع المصفوفات التي يتم ضربها بشيء هناك، هناك مصفوفات خاصة - تلك التي، عند ضربها في أي مصفوفة $A$، تعطي مرة أخرى $A$:

تعريف. تسمى المصفوفة $E$ بالهوية إذا كان $A\cdot E=A$ أو $E\cdot A=A$. في حالة المصفوفة المربعة $A$ يمكننا أن نكتب:

تعتبر مصفوفة الهوية ضيفًا متكررًا عند حل معادلات المصفوفات. وبشكل عام ضيف متكرر في عالم المصفوفات. :)

وبسبب هذا $E$، جاء شخص ما بكل هذا الهراء الذي سيتم كتابته بعد ذلك.

ما هي المصفوفة العكسية

نظرًا لأن مضاعفة المصفوفات هي عملية كثيفة العمالة (عليك مضاعفة مجموعة من الصفوف والأعمدة)، فقد تبين أيضًا أن مفهوم المصفوفة العكسية ليس الأكثر تافهة. ويتطلب بعض التوضيح.

تعريف المفتاح

حسنا، حان الوقت لمعرفة الحقيقة.

تعريف. المصفوفة $B$ تسمى معكوس المصفوفة $A$ if

يُشار إلى المصفوفة العكسية بـ $((A)^(-1))$ (يجب عدم الخلط بينه وبين الدرجة!)، لذلك يمكن إعادة كتابة التعريف على النحو التالي:

يبدو أن كل شيء بسيط للغاية وواضح. ولكن عند تحليل هذا التعريف، تطرح على الفور عدة أسئلة:

1. هل توجد مصفوفة معكوسة دائمًا؟ وإذا لم يكن دائما، فكيف تحدد: متى يكون موجودا، ومتى لا يكون؟
2. ومن قال أن هناك مصفوفة واحدة بالضبط؟ ماذا لو كان هناك مجموعة كاملة من المعكوسات لبعض المصفوفات الأولية $A$؟
3. كيف تبدو كل هذه "الانتكاسات"؟ وكيف يجب أن نحسبها بالضبط؟

أما بالنسبة لخوارزميات الحساب، فسنتحدث عن هذا بعد قليل. لكننا سنجيب على الأسئلة المتبقية الآن. دعونا نقوم بصياغتها في شكل بيانات منفصلة.

الخصائص الأساسية

لنبدأ بالطريقة التي يجب أن تبدو بها المصفوفة $A$، من حيث المبدأ، حتى تكون $((A)^(-1))$ موجودة لها. الآن سوف نتأكد من أن كلا المصفوفتين يجب أن تكونا مربعتين، وبنفس الحجم: $\left[ n\times n \right]$.

ليما 1. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. إذن كلتا المصفوفتين مربعتان، ومن نفس الترتيب $n$.

دليل. انه سهل. اجعل المصفوفة $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. بما أن المنتج $A\cdot ((A)^(-1))=E$ موجود حسب التعريف، فإن المصفوفات $A$ و$((A)^(-1))$ متسقة بالترتيب الموضح:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( محاذاة)\]

هذه نتيجة مباشرة لخوارزمية ضرب المصفوفة: المعاملان $n$ و$a$ هما "عبور" ويجب أن يكونا متساويين.

في الوقت نفسه، يتم تعريف الضرب العكسي أيضًا: $((A)^(-1))\cdot A=E$، وبالتالي فإن المصفوفات $((A)^(-1))$ و$A$ هي متسقة أيضًا بالترتيب المحدد:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( محاذاة)\]

وبالتالي، دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. ومع ذلك، وفقًا لتعريف $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$، وبالتالي فإن أحجام المصفوفات تتطابق تمامًا:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

لذلك اتضح أن المصفوفات الثلاث - $A$، $((A)^(-1))$ و $E$ - هي مصفوفات مربعة بالحجم $\left[ n\times n \right]$. تم إثبات الليما.

حسنا، هذا جيد بالفعل. نرى أن المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن عكسها. الآن دعونا نتأكد من أن المصفوفة العكسية هي نفسها دائمًا.

ليما 2. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. ثم هذه المصفوفة العكسية هي الوحيدة.

دليل. لنبدأ بالتناقض: دع المصفوفة $A$ تحتوي على معكوسين على الأقل - $B$ و$C$. ومن ثم، وفقا للتعريف، فإن المساواة التالية صحيحة:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \النهاية(محاذاة)\]

من Lemma 1 نستنتج أن جميع المصفوفات الأربع - $A$، $B$، $C$ و $E$ - هي مربعات بنفس الترتيب: $\left[ n\times n \right]$. ولذلك يتم تعريف المنتج:

بما أن ضرب المصفوفات عملية ترابطية (ولكنها ليست تبادلية!)، فيمكننا أن نكتب:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لقد حصلنا على الخيار الوحيد الممكن: نسختان من المصفوفة العكسية متساويتان. تم إثبات الليما.

الحجج المذكورة أعلاه تكرر حرفيًا تقريبًا الدليل على تفرد العنصر العكسي للجميع أرقام حقيقية$ب\ن 0$. الإضافة المهمة الوحيدة هي مراعاة أبعاد المصفوفات.

ومع ذلك، ما زلنا لا نعرف شيئًا عما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قابلة للعكس أم لا. هنا يأتي المحدد لمساعدتنا - وهذه خاصية أساسية لجميع المصفوفات المربعة.

ليما 3. نظرا لمصفوفة $A$. إذا كانت المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ موجودة، فإن محدد المصفوفة الأصلية يكون غير صفر:

\[\يسار| أ\يمين|\ني 0\]

دليل. نحن نعلم بالفعل أن $A$ و$((A)^(-1))$ عبارة عن مصفوفات مربعة بحجم $\left[ n\times n \right]$. لذلك، يمكننا حساب المحدد لكل واحد منهم: $\left| أ\يمين|$ و$\يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|$. ومع ذلك، فإن محدد المنتج يساوي منتج المحددات:

\[\يسار| أ\cdot ب \يمين|=\يسار| \يمين|\cdot \يسار| ب \يمين|\يمين السهم \يسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|\]

لكن وفقًا للتعريف، $A\cdot ((A)^(-1))=E$، ومحدد $E$ يساوي دائمًا 1، لذلك

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \اليسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\يمين|; \\ & \اليسار| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \يمين|=1. \\ \النهاية(محاذاة)\]

حاصل ضرب رقمين يساوي واحدًا فقط إذا كان كل رقم من هذه الأرقام غير صفر:

\[\يسار| أ \يمين|\ني 0;\رباعية \يسار| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

لذلك اتضح أن $\left| \right|\ne 0$. تم إثبات الليما.

في الواقع، هذا المطلب منطقي تمامًا. سنقوم الآن بتحليل الخوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية - وسيصبح من الواضح تمامًا سبب عدم وجود مصفوفة معكوسة من حيث المبدأ مع وجود محدد صفري.

لكن أولاً، دعونا نقوم بصياغة تعريف "مساعد":

تعريف. المصفوفة المفردة هي مصفوفة مربعة حجمها $\left[ n\times n \right]$ ومحددها صفر.

وبالتالي، يمكننا القول أن كل مصفوفة قابلة للعكس هي غير مفردة.

كيفية العثور على معكوس المصفوفة

الآن سننظر في خوارزمية عالمية للعثور على المصفوفات العكسية. بشكل عام، هناك خوارزميتان مقبولتان بشكل عام، وسننظر أيضًا في الخوارزمية الثانية اليوم.

ما سيتم مناقشته الآن فعال للغاية بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم $\left[ 2\times 2 \right]$ و - جزئيًا - الحجم $\left[ 3\times 3 \right]$. لكن بدءًا من الحجم $\left[ 4\times 4 \right]$ فمن الأفضل عدم استخدامه. لماذا - الآن سوف تفهم كل شيء بنفسك.

الإضافات الجبرية

إستعد. الآن سيكون هناك ألم. لا، لا تقلق: ممرضة جميلة ترتدي تنورة، لن تأتي إليك جوارب من الدانتيل وتعطيك حقنة في الأرداف. كل شيء أكثر واقعية: الإضافات الجبرية وصاحبة الجلالة "مصفوفة الاتحاد" تأتي إليك.

لنبدأ بالشيء الرئيسي. لتكن هناك مصفوفة مربعة الحجم $A=\left[ n\times n \right]$، والتي تسمى عناصرها $((a)_(ij))$. ثم يمكننا تحديد مكمل جبري لكل عنصر من هذا القبيل:

تعريف. المكمل الجبري $((A)_(ij))$ للعنصر $((a)_(ij))$ الموجود في الصف $i$th والعمود $j$th من المصفوفة $A=\left[ n \times n \right]$ عبارة عن بناء للنموذج

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

حيث $M_(ij)^(*)$ هو محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من $A$ الأصلي عن طريق حذف نفس الصف $i$th والعمود $j$th.

مرة أخرى. يُشار إلى المكمل الجبري لعنصر المصفوفة بإحداثيات $\left(i;j \right)$ بالرمز $((A)_(ij))$ ويتم حسابه وفقًا للمخطط:

1. أولاً، نقوم بحذف العمود $i$-row والعمود $j$-th من المصفوفة الأصلية. حصلنا على مصفوفة مربعة جديدة، ونشير إلى محددها بالرمز $M_(ij)^(*)$.
2. ثم نضرب هذا المحدد في $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - في البداية قد يبدو هذا التعبير مذهلًا، ولكن في جوهره نحن ببساطة نكتشف العلامة الموجودة أمام $M_(ij)^(*) $.
3. نحن نحسب ونحصل على رقم محدد. أولئك. فالإضافة الجبرية هي على وجه التحديد رقم، وليست مصفوفة جديدة، وما إلى ذلك.

المصفوفة $M_(ij)^(*)$ نفسها تسمى ثانوية إضافية للعنصر $((a)_(ij))$. وبهذا المعنى، فإن التعريف أعلاه للمكمل الجبري هو حالة خاصة لتعريف أكثر تعقيدًا - وهو ما تناولناه في الدرس حول المحدد.

ملاحظة مهمة. في الواقع، في الرياضيات "الكبار"، يتم تعريف الإضافات الجبرية على النحو التالي:

1. نحن نأخذ صفوف $k$ وأعمدة $k$ في مصفوفة مربعة. عند تقاطعهما نحصل على مصفوفة بالحجم $\left[ k\times k \right]$ - يُطلق على محددها اسم ثانوي من الرتبة $k$ ويُشار إليه بـ $((M)_(k))$.
2. ثم نقوم بشطب هذه الصفوف $k$ "المحددة" والأعمدة $k$. مرة أخرى، تحصل على مصفوفة مربعة - محددها يُسمى مصفوفة ثانوية إضافية ويُشار إليها بـ $M_(k)^(*)$.
3. اضرب $M_(k)^(*)$ في $((\left(-1 \right))^(t))$، حيث $t$ هو (انتبه الآن!) مجموع أرقام جميع الصفوف المحددة والأعمدة . ستكون هذه الإضافة الجبرية.

انظر إلى الخطوة الثالثة: يوجد بالفعل مبلغ قدره 2 ألف دولار! شيء آخر هو أنه بالنسبة إلى $k=1$ سنحصل على حدين فقط - سيكونان نفس $i+j$ - "إحداثيات" العنصر $((a)_(ij))$ الذي نحن عليه أبحث عن مكمل جبري.

لذا، سنستخدم اليوم تعريفًا مبسطًا بعض الشيء. ولكن كما سنرى لاحقا، سيكون أكثر من كاف. الأمر التالي هو الأهم بكثير:

تعريف. المصفوفة المتحالفة $S$ مع المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ هي مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times n \right]$، والتي تم الحصول عليها من $A$ بالاستبدال $(( a)_(ij))$ بالإضافات الجبرية $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

الفكرة الأولى التي تطرأ في لحظة تحقيق هذا التعريف هي "كم يجب حسابه!" استرخ: سيتعين عليك العد، ولكن ليس كثيرًا. :)

حسنًا، كل هذا جميل جدًا، لكن لماذا هو ضروري؟ لكن لماذا.

النظرية الرئيسية

دعونا نعود قليلا. تذكر، في Lemma 3، ذكر أن المصفوفة القابلة للعكس $A$ هي دائمًا غير مفردة (أي أن محددها غير صفر: $\left| A \right|\ne 0$).

لذا، فإن العكس هو الصحيح أيضًا: إذا كانت المصفوفة $A$ ليست مفردة، فهي دائمًا قابلة للعكس. ويوجد أيضًا نظام بحث عن $((A)^(-1))$. تحقق من ذلك:

نظرية المصفوفة العكسية. لنفترض أن المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ محددة، ومحددها غير صفر: $\left| \right|\ne 0$. ثم توجد المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ ويتم حسابها بالصيغة:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

والآن - كل شيء هو نفسه، ولكن بخط واضح. للعثور على المصفوفة العكسية، تحتاج إلى:

1. احسب المحدد $\left| A \right|$ وتأكد من أنه غير صفر.
2. قم ببناء مصفوفة الاتحاد $S$، أي. احسب 100500 إضافة جبرية $((A)_(ij))$ ووضعها في مكانها $((a)_(ij))$.
3. قم بتبديل هذه المصفوفة $S$، ثم اضربها ببعض الأرقام $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

هذا كل شئ! تم العثور على المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

حل. دعونا نتحقق من إمكانية الرجوع. دعونا نحسب المحدد:

\[\يسار| أ\يمين|=\يسار| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

المحدد يختلف عن الصفر. وهذا يعني أن المصفوفة قابلة للعكس. لنقم بإنشاء مصفوفة اتحادية:

دعونا نحسب الإضافات الجبرية:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \يمين|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \يمين|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \يمين|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\صحيح|=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

يرجى ملاحظة: المحددات |2|، |5|، |1| و |3| هي محددات لمصفوفات الحجم $\left[ 1\times 1 \right]$، وليست وحدات. أولئك. إذا كانت هناك أرقام سالبة في المحددات، فلا داعي لإزالة "الطرح".

في المجمل، تبدو مصفوفة الاتحاد لدينا كما يلي:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (صفيف)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. حلت المشكلة.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

حل. نحسب المحدد مرة أخرى:

\[\begin(محاذاة) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

المحدد غير صفري، المصفوفة قابلة للعكس. لكن الآن سيكون الأمر صعبًا للغاية: نحتاج إلى حساب ما يصل إلى 9 (تسعة، أيها اللعين!) من الإضافات الجبرية. وسيحتوي كل واحد منهم على المحدد $\left[ 2\times 2 \right]$. طار:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \النهاية(مصفوفة)\]

باختصار، ستبدو مصفوفة الاتحاد كما يلي:

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية ستكون:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(صفيف) \right]\]

هذا كل شيء. هنا هو الجواب.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

كما ترون، في نهاية كل مثال قمنا بإجراء فحص. وفي هذا الصدد ملاحظة مهمة:

لا تكن كسولًا للتحقق. اضرب المصفوفة الأصلية بالمصفوفة العكسية التي تم العثور عليها - يجب أن تحصل على $E$.

يعد إجراء هذا الفحص أسهل وأسرع بكثير من البحث عن خطأ في العمليات الحسابية الإضافية، عندما تقوم، على سبيل المثال، بحل معادلة مصفوفة.

طريقة بديلة

كما قلت، فإن نظرية المصفوفة العكسية تعمل بشكل رائع مع الأحجام $\left[ 2\times 2 \right]$ و $\left[ 3\times 3 \right]$ (في الحالة الأخيرة، فهي ليست "رائعة" " )، ولكن بالنسبة للمصفوفات الأكبر حجمًا، يبدأ الحزن.

لكن لا تقلق: هناك خوارزمية بديلة يمكنك من خلالها العثور على المعكوس بهدوء حتى بالنسبة للمصفوفة $\left[ 10\times 10 \right]$. ولكن، كما يحدث غالبًا، للنظر في هذه الخوارزمية، نحتاج إلى القليل من الخلفية النظرية.

التحولات الأولية

من بين جميع تحويلات المصفوفات الممكنة، هناك العديد من التحولات الخاصة - يطلق عليها اسم "الابتدائية". هناك بالضبط ثلاثة من هذه التحولات:

1. عمليه الضرب. يمكنك أخذ الصف (العمود) $i$ وضربه بأي رقم $k\ne 0$;
2. إضافة. أضف إلى الصف (العمود) $i$-th أي صف (عمود) $j$-th آخر، مضروبًا في أي رقم $k\ne 0$ (يمكنك بالطبع إجراء $k=0$، ولكن ما هو النقطة؟؟ لن يتغير شيء).
3. إعادة الترتيب. خذ الصفوف (الأعمدة) $i$th و $j$th وقم بتبديل الأماكن.

لماذا تسمى هذه التحولات أولية (بالنسبة للمصفوفات الكبيرة لا تبدو أولية جدًا) ولماذا يوجد ثلاثة منها فقط - هذه الأسئلة خارج نطاق درس اليوم. ولذلك لن ندخل في التفاصيل.

شيء آخر مهم: علينا إجراء كل هذه الانحرافات على المصفوفة المجاورة. نعم، نعم: سمعت الحق. الآن سيكون هناك تعريف آخر - الأخير في درس اليوم.

مصفوفة مجاورة

بالتأكيد قمت في المدرسة بحل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة الجمع. حسنًا، اطرح سطرًا آخر من سطر واحد، واضرب سطرًا ما برقم - هذا كل شيء.

لذلك: الآن سيكون كل شيء هو نفسه، ولكن "للبالغين". مستعد؟

تعريف. اسمح بالحصول على مصفوفة $A=\left[ n\times n \right]$ ومصفوفة هوية $E$ بنفس الحجم $n$. ثم المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \right]$ عبارة عن مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times 2n \right]$ تبدو بالشكل التالي:

\[\left[ A\left| ه\صحيح. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((أ)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

باختصار، نأخذ المصفوفة $A$، ونخصص لها على اليمين مصفوفة الهوية $E$ الحجم الصحيح، نفصل بينهما بخط عمودي للجمال - إليكم الخط المرفق. :)

ما الفائدة؟ إليك ما يلي:

نظرية. دع المصفوفة $A$ تكون قابلة للعكس. خذ بعين الاعتبار المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$. في حالة استخدام تحويلات السلسلة الأوليةأحضره إلى النموذج $\left[ E\left| ساطع. \right]$، أي عن طريق ضرب الصفوف وطرحها وإعادة ترتيبها للحصول على المصفوفة $E$ من $A$ على اليمين، ثم المصفوفة $B$ التي تم الحصول عليها على اليسار هي معكوس $A$:

\[\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]\إلى \يسار[ E\يسار| ساطع. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

بكل بساطة! باختصار، تبدو خوارزمية العثور على المصفوفة العكسية كما يلي:

1. اكتب المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$;
2. إجراء تحويلات السلسلة الأولية حتى يظهر $E$ بدلاً من $A$؛
3. بالطبع، سيظهر أيضًا شيء ما على اليسار - مصفوفة معينة $B$. وهذا سيكون العكس.
4. ربح!:)

وبطبيعة الحال، فإن قول هذا أسهل بكثير من فعله. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة: للأحجام $\left[ 3\times 3 \right]$ و$\left[ 4\times 4 \right]$.

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

حل. نقوم بإنشاء المصفوفة المجاورة:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\]

بما أن العمود الأخير من المصفوفة الأصلية مليء بالآحاد، اطرح الصف الأول من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

لا توجد وحدات أخرى، باستثناء السطر الأول. لكننا لا نلمسها، وإلا فإن الوحدات التي تمت إزالتها حديثًا ستبدأ في "التكاثر" في العمود الثالث.

لكن يمكننا طرح السطر الثاني مرتين من الأخير - نحصل على واحد في الزاوية اليسرى السفلية:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

يمكننا الآن طرح الصف الأخير من الأول ومرتين من الثاني - وبهذه الطريقة نقوم "بصفر" العمود الأول:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ إلى \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

اضرب السطر الثاني في −1، ثم اطرحه 6 مرات من الأول وأضف مرة واحدة إلى الأخير:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (مصفوفة)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

كل ما تبقى هو تبديل السطرين 1 و 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\end(صفيف) \يمين]\]

مستعد! على اليمين توجد المصفوفة العكسية المطلوبة.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(مصفوفة) \يمين]\]

حل. نحن نؤلف المجاور مرة أخرى:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

دعونا نبكي قليلاً، ونحزن على مقدار ما علينا أن نحصيه الآن... ونبدأ بالعد. أولاً، دعونا "نحذف" العمود الأول عن طريق طرح الصف 1 من الصفين 2 و3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

نرى الكثير من "السلبيات" في السطور 2-4. اضرب جميع الصفوف الثلاثة في −1، ثم احرق العمود الثالث عن طريق طرح الصف 3 من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & ​​5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

حان الوقت الآن "لقلي" العمود الأخير من المصفوفة الأصلية: اطرح السطر 4 من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(صفيف ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

الرمية النهائية: "حرق" العمود الثاني عن طريق طرح السطر 2 من السطرين 1 و 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

ومرة أخرى تكون مصفوفة الهوية على اليسار، مما يعني أن المعكوس على اليمين. :)

إجابة. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(مصفوفة) \يمين]$

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. قم بالفحص بنفسك - أنا ثمل. :)

جبر المصفوفات - المصفوفة العكسية

مصفوفة معكوسة

مصفوفة معكوسةهي مصفوفة، عند ضربها على اليمين وعلى اليسار في مصفوفة معينة، فإنها تعطي مصفوفة الهوية.
دعونا نشير إلى المصفوفة العكسية للمصفوفة أمن خلال ، ثم حسب التعريف نحصل على:

أين ه- مصفوفة الهوية.
مصفوفة مربعةمُسَمًّى غير خاص (غير منحط) إذا كان محدده ليس صفراً. وإلا فإنه يسمى خاص (منحط) أو صيغة المفرد.

النظرية تحمل: كل مصفوفة غير مفردة لها مصفوفة معكوسة.

تسمى عملية إيجاد المصفوفة العكسية جاذبيةالمصفوفات. دعونا ننظر في خوارزمية انعكاس المصفوفة. دعونا نعطي مصفوفة غير مفردة ن- الترتيب الرابع :

حيث Δ = ديت أ ≠ 0.

إضافة جبرية لعنصرالمصفوفات ن- الترتيب أيسمى محدد المصفوفة المأخوذة بعلامة معينة ( ن-1)الترتيب الذي تم الحصول عليه عن طريق الحذف أنا- السطر و يعمود المصفوفة أ:

لنقم بإنشاء ما يسمى ب مُرفَقمصفوفة:

أين هي المكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة أ.
لاحظ أن الإضافات الجبرية لعناصر صف المصفوفة أيتم وضعها في الأعمدة المقابلة للمصفوفة Ã أي أنه يتم نقل المصفوفة في نفس الوقت.
بتقسيم جميع عناصر المصفوفة Ã بواسطة Δ – قيمة محدد المصفوفة أ، نحصل على المصفوفة العكسية كنتيجة:

دعونا نلاحظ عددا من الخصائص الخاصة للمصفوفة العكسية:
1) لمصفوفة معينة أمصفوفتها العكسية هو الوحيد؛
2) إذا كان هناك مصفوفة معكوسة عكس الحقو عكس اليساروتتطابق المصفوفات معه؛
3) لا تحتوي المصفوفة المربعة المفردة (المفردة) على مصفوفة معكوسة.

الخصائص الأساسية للمصفوفة العكسية:
1) محددات المصفوفة المعكوسة ومحددات المصفوفة الأصلية مقلوبتان؛
2) المصفوفة العكسية لمنتج المصفوفات المربعة تساوي منتج المصفوفة العكسية للعوامل، بترتيب عكسي:

3) المصفوفة العكسية المنقولة تساوي المصفوفة العكسية للمصفوفة المنقولة المعطاة:

مثال احسب معكوس المصفوفة المعطاة.

دعونا نواصل المحادثة حول الإجراءات مع المصفوفات. وهي، خلال دراسة هذه المحاضرة سوف تتعلم كيفية العثور على المصفوفة العكسية. يتعلم. حتى لو كانت الرياضيات صعبة.

ما هي المصفوفة العكسية؟ هنا يمكننا إجراء تشبيه بالأرقام العكسية: خذ على سبيل المثال الرقم المتفائل 5 ورقمه العكسي. حاصل ضرب هذه الأعداد يساوي واحدًا: . كل شيء مشابه للمصفوفات! حاصل ضرب المصفوفة ومصفوفتها العكسية يساوي - مصفوفة الهوية، وهو المصفوفة التناظرية للوحدة العددية. لكن، أول الأشياء أولًا – دعونا نحل أولًا مسألة عملية مهمة، وهي أن نتعلم كيفية إيجاد هذه المصفوفة المعكوسة.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله للعثور على المصفوفة العكسية؟ يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار تصفيات. يجب أن تفهم ما هو عليه مصفوفةوتكون قادرة على القيام ببعض الإجراءات معهم.

هناك طريقتان رئيسيتان للعثور على المصفوفة العكسية:
باستخدام الإضافات الجبريةو باستخدام التحولات الأولية.

اليوم سوف ندرس الطريقة الأولى والأبسط.

لنبدأ بالأكثر فظاعة وغير المفهومة. دعونا نفكر مربعمصفوفة. يمكن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة التالية:

أين محدد المصفوفة، هو المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

مفهوم المصفوفة العكسية موجود فقط للمصفوفات المربعة، المصفوفات "اثنان في اثنين"، "ثلاثة في ثلاثة"، وما إلى ذلك.

التسميات: كما لاحظت بالفعل، تتم الإشارة إلى المصفوفة العكسية بخط مرتفع

لنبدأ بأبسط حالة - مصفوفة رتبة اثنين في اثنين. في أغلب الأحيان، بالطبع، مطلوب "ثلاثة في ثلاثة"، ولكن، مع ذلك، أوصي بشدة بدراسة مهمة أبسط لإتقانها المبدأ العامحلول.

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

دعونا نقرر. من الملائم تقسيم تسلسل الإجراءات نقطة تلو الأخرى.

1) أولا نجد محدد المصفوفة.

إذا لم يكن فهمك لهذا الإجراء جيدًا، فاقرأ المادة كيفية حساب المحدد؟

مهم!إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفر- مصفوفة معكوسة غير موجود.

في المثال قيد النظر، كما اتضح فيما بعد، مما يعني أن كل شيء في محله.

2) العثور على مصفوفة القصر.

لحل مشكلتنا، ليس من الضروري معرفة ما هو القاصر، ولكن من المستحسن قراءة المقال كيفية حساب المحدد.

مصفوفة القاصرين لها نفس أبعاد المصفوفة، في هذه الحالة.
كل ما عليك فعله هو العثور على أربعة أرقام ووضعها بدلاً من العلامات النجمية.

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا
دعونا نلقي نظرة على العنصر العلوي الأيسر أولاً:

كيفية العثور عليه صغير?
ويتم ذلك على النحو التالي: قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

العدد المتبقي هو طفيفة من هذا العنصر، والتي نكتبها في مصفوفة القصر لدينا:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يظهر فيه هذا العنصر عقليًا:

ويتبقى هو الأصغر من هذا العنصر، والذي نكتبه في مصفوفتنا:

وكذلك نعتبر عناصر الصف الثاني ونجد صغراتها:


مستعد.

انه سهل. في مصفوفة القصر التي تحتاجها علامات التغييررقمين:

هذه هي الأرقام التي قمت بوضع دائرة عليها!

– مصفوفة الإضافات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

و فقط...

4) أوجد المصفوفة المنقولة للإضافات الجبرية.

- مصفوفة منقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

5) الإجابة.

دعونا نتذكر الصيغة لدينا
تم العثور على كل شيء!

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي:

ومن الأفضل ترك الإجابة كما هي. لا حاجةاقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة على 2، لأن النتيجة هي أرقام كسرية. تمت مناقشة هذا الفارق الدقيق بمزيد من التفصيل في نفس المقالة. الإجراءات مع المصفوفات.

كيفية التحقق من الحل؟

تحتاج إلى إجراء ضرب المصفوفة أو

فحص:

تلقى سبق ذكره مصفوفة الهويةهي مصفوفة مع تلك التي قطري الرئيسيوالأصفار في أماكن أخرى.

وهكذا تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

إذا قمت بتنفيذ الإجراء، فستكون النتيجة أيضًا مصفوفة هوية. هذه إحدى الحالات القليلة التي يكون فيها ضرب المصفوفات قابلاً للتبديل معلومات مفصلةيمكن العثور عليها في المقال خصائص العمليات على المصفوفات. تعبيرات المصفوفة. لاحظ أيضًا أنه أثناء الفحص، يتم تقديم الثابت (الكسر) ومعالجته في النهاية - بعد ضرب المصفوفة. هذه هي التقنية القياسية.

دعنا ننتقل إلى حالة أكثر شيوعًا عمليًا - المصفوفة ثلاثة في ثلاثة:

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

الخوارزمية هي نفسها تمامًا كما في حالة "اثنان في اثنين".

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة: حيث توجد المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

1) أوجد محدد المصفوفة.

وهنا يتم الكشف عن المحدد على السطر الأول.

ولا تنسَ أيضًا ذلك، مما يعني أن كل شيء على ما يرام - المصفوفة العكسية موجودة.

2) العثور على مصفوفة القصر.

مصفوفة القاصرين لها بعد "ثلاثة في ثلاثة" وعلينا العثور على تسعة أرقام.

سألقي نظرة على اثنين من القاصرين بالتفصيل:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

نكتب الأعداد الأربعة المتبقية في المحدد "اثنين في اثنين".

هذا اثنين من اثنين المحدد و هو قاصر هذا العنصر. يجب أن يتم حسابها:


هذا كل شيء، تم العثور على القاصر، نكتبه في مصفوفة القاصرين لدينا:

كما خمنت على الأرجح، تحتاج إلى حساب تسعة محددات من الرتبة اثنين في اثنين. العملية، بالطبع، مملة، لكن الحالة ليست هي الأشد، يمكن أن تكون أسوأ.

حسنًا، للدمج – العثور على قاصر آخر في الصور:

حاول حساب القاصرين المتبقين بنفسك.

النتيجة النهائية:
- مصفوفة ثانوية من العناصر المقابلة للمصفوفة.

إن حقيقة أن جميع القاصرين كانت سلبية هي مجرد حادث.

3) أوجد مصفوفة الإضافات الجبرية.

في مصفوفة القصر فمن الضروري علامات التغييربدقة للعناصر التالية:

في هذه الحالة:

نحن لا نفكر في العثور على مصفوفة معكوسة لمصفوفة "أربعة في أربعة"، حيث لا يمكن إعطاء هذه المهمة إلا بواسطة معلم سادي (لكي يقوم الطالب بحساب محدد "أربعة في أربعة" و16 محددًا "ثلاثة في ثلاثة" ). في ممارستي، لم يكن هناك سوى حالة واحدة من هذا القبيل، والعميل عمل اختباريدفعت ثمناً باهظاً لعذابي =).

في عدد من الكتب المدرسية والأدلة، يمكنك العثور على طريقة مختلفة قليلاً للعثور على المصفوفة العكسية، لكنني أوصي باستخدام خوارزمية الحل الموضحة أعلاه. لماذا؟ لأن احتمال الخلط في الحسابات والإشارات أقل بكثير.