В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.
Нормальное распределение в статистике
История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.
Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.
Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b . Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.
Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.
График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая . У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.
На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.
Формула нормального распределения (плотности) следующая.
Формула состоит из двух математических констант:
π – число пи 3,142;
е – основание натурального логарифма 2,718;
двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:
m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a );
σ 2 – дисперсия;
ну и сама переменная x , для которой высчитывается плотность вероятности.
Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: (m ) и (σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2) или N(m, σ) . Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.
Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.
А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.
Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.
Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x , определяется функцией нормального распределения :
Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как
P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)
Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует. Называется стандартным нормальным распределением . На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).
Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:
где z
– новая переменная, которая используется вместо x;
m
– математическое ожидание;
σ
– стандартное отклонение.
Для выборочных данных берутся оценки:
Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.
В литературе встречается название z-оценка . Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.
Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок ). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:
Подставим вместо (x-m)/σ букву z , а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения :
График плотности:
Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0 ). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.
Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.
Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.
Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.
Таблица нормального распределения
Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:
— таблица плотности ;
— таблица функции (интеграла от плотности).
Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1 , т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.
В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0 , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).
Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z) , т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1 , что отчетливо видно на рисунке.
Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.
На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z .
В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения .
Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:
Это факт показан на картинке:
Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z) . Получится равенство, указанное чуть выше.
Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z) , то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:
Для наглядности можно взглянуть на рисунок.
На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z .
Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:
Рисунок ниже.
Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.
Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.
Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:
Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.
Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z : 1,64, 1,96 и 3.
Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64 , для которого табличное значение составляет 0,4495 . Проще всего пояснить смысл на рисунке.
То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64 , равна 0,4495 . При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.
Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64 , т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).
Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).
Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.
Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3 , оно равно по нашей таблице 0,4986 . Умножим на 2 и получим 0,997 . Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.
Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.
С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.
Нормальное распределение в Excel
В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.
Функция НОРМ.СТ.РАСП
Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z ).
=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)
z – значение стандартизованной переменной
интегральная
– если 0, то рассчитывается плотность
ϕ(z
)
, если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z
Рассчитаем плотность и значение функции для различных z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (их укажем в ячейке А2).
Для расчета плотности потребуется формула =НОРМ.СТ.РАСП(A2;0). На диаграмме ниже – это красная точка.
Для расчета значения функции =НОРМ.СТ.РАСП(A2;1). На диаграмме – закрашенная площадь под нормальной кривой.
В реальности чаще приходится рассчитывать вероятность того, что случайная величина не выйдет за некоторые пределы от средней (в среднеквадратичных отклонениях, соответствующих переменной z
), т.е. P(|Z|
Определим, чему равна вероятность попадания случайной величины в пределы ±1z, ±2z и ±3z от нуля. Потребуется формула 2Ф(z)-1 , в Excel =2*НОРМ.СТ.РАСП(A2;1)-1.
На диаграмме отлично видны основные основные свойства нормального распределения, включая правило трех сигм. Функция НОРМ.СТ.РАСП – это автоматическая таблица значений функции нормального распределения в Excel.
Может стоять и обратная задача: по имеющейся вероятности P(Z
Функция НОРМ.СТ.ОБР
НОРМ.СТ.ОБР рассчитывает обратное значение функции стандартного нормального распределения. Синтаксис состоит из одного параметра:
=НОРМ.СТ.ОБР(вероятность)
вероятность – это вероятность.
Данная формула используется так же часто, как и предыдущая, ведь по тем же таблицам искать приходится не только вероятности, но и квантили.
Например, при расчете доверительных интервалов задается доверительная вероятность, по которой нужно рассчитать величину z .
Учитывая то, что доверительный интервал состоит из верхней и нижней границы и то, что нормальное распределение симметрично относительно нуля, достаточно получить верхнюю границу (положительное отклонение). Нижняя граница берется с отрицательным знаком. Обозначим доверительную вероятность как γ (гамма), тогда верхняя граница доверительного интервала рассчитывается по следующей формуле.
Рассчитаем в Excel значения z (что соответствует отклонению от средней в сигмах) для нескольких вероятностей, включая те, которые наизусть знает любой статистик: 90%, 95% и 99%. В ячейке B2 укажем формулу: =НОРМ.СТ.ОБР((1+A2)/2). Меняя значение переменной (вероятности в ячейке А2) получим различные границы интервалов.
Доверительный интервал для 95% равен 1,96, то есть почти 2 среднеквадратичных отклонения. Отсюда легко даже в уме оценить возможный разброс нормальной случайной величины. В общем, доверительным вероятностям 90%, 95% и 99% соответствуют доверительные интервалы ±1,64, ±1,96 и ±2,58 σ.
В целом функции НОРМ.СТ.РАСП и НОРМ.СТ.ОБР позволяют произвести любой расчет, связанный с нормальным распределением. Но, чтобы облегчить и уменьшить количество действий, в Excel есть несколько других функций. Например, для расчета доверительных интервалов средней можно использовать ДОВЕРИТ.НОРМ. Для проверки о средней арифметической есть формула Z.ТЕСТ.
Рассмотрим еще пару полезных формул с примерами.
Функция НОРМ.РАСП
Функция НОРМ.РАСП отличается от НОРМ.СТ.РАСП лишь тем, что ее используют для обработки данных любого масштаба, а не только нормированных. Параметры нормального распределения указываются в синтаксисе.
=НОРМ.РАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)
среднее – математическое ожидание, используемое в качестве первого параметра модели нормального распределения
стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение – второй параметр модели
интегральная
– если 0, то рассчитывается плотность, если 1 – то значение функции, т.е. P(X
Например, плотность для значения 15, которое извлекли из нормальной выборки с матожиданием 10, стандартным отклонением 3, рассчитывается так:
Если последний параметр поставить 1, то получим вероятность того, что нормальная случайная величина окажется меньше 15 при заданных параметрах распределения. Таким образом, вероятности можно рассчитывать напрямую по исходным данным.
Функция НОРМ.ОБР
Это квантиль нормального распределения, т.е. значение обратной функции. Синтаксис следующий.
=НОРМ.ОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)
вероятность – вероятность
среднее – матожидание
стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение
Назначение то же, что и у НОРМ.СТ.ОБР , только функция работает с данными любого масштаба.
Пример показан в ролике в конце статьи.
Моделирование нормального распределения
Для некоторых задач требуется генерация нормальных случайных чисел. Готовой функции для этого нет. Однако В Excel есть две функции, которые возвращают случайные числа: СЛУЧМЕЖДУ и СЛЧИС. Первая выдает случайные равномерно распределенные целые числа в указанных пределах. Вторая функция генерирует равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1. Чтобы сделать искусственную выборку с любым заданным распределением, нужна функция СЛЧИС .
Допустим, для проведения эксперимента необходимо получить выборку из нормально распределенной генеральной совокупности с матожиданием 10 и стандартным отклонением 3. Для одного случайного значения напишем формулу в Excel.
НОРМ.ОБР(СЛЧИС();10;3)
Протянем ее на необходимое количество ячеек и нормальная выборка готова.
Для моделирования стандартизованных данных следует воспользоваться НОРМ.СТ.ОБР.
Процесс преобразования равномерных чисел в нормальные можно показать на следующей диаграмме. От равномерных вероятностей, которые генерируются формулой СЛЧИС, проведены горизонтальные линии до графика функции нормального распределения. Затем от точек пересечения вероятностей с графиком опущены проекции на горизонтальную ось.
Нормальное распределение - наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится встречаться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии , медицине и других областях знаний.
Термин «нормальное распределение» применяется в условном смысле как общепринятый в литературе, хотя и не совсем удачный. Так, утверждение, что какой-то признак подчиняется нормальному закону распределения, вовсе не означает наличие каких-либо незыблемых норм, якобы лежащих в основе явления, отражением которого является рассматриваемый признак, а подчинение другим законам распределения не означает какую-то анормальность данного явления.
Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие распределения. Нормальное распределение впервые открыто Муавром в 1733 году. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Плотность нормального закона распределения имеет вид .
Математическое ожидание для нормального закона распределения равно . Дисперсия равна .
Основные свойства нормального распределения.
1. Функция плотности распределения определена на всей числовой оси Ох , то есть каждому значению х соответствует вполне определённое значение функции.
2. При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох .
3. Предел функции плотности при неограниченном возрастании х равен нулю, .
4. Функция плотности нормального распределения в точке имеет максимум .
5. График функции плотности симметричен относительно прямой .
6. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами и .
7. Мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а .
8. Форма нормальной кривой не изменяется при изменении параметра а .
9. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.
Очевидна важность вычисления этих коэффициентов для эмпирических рядов распределения, так как они характеризуют скошеннность и крутость данного ряда по сравнению с нормальным.
Вероятность попадания в интервал находится по формуле , где нечётная табулированная функция.
Определим вероятность того, что нормально распределённая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на величину, меньшую , то есть найдём вероятность осуществления неравенства , или вероятность двойного неравенства . Подставляя в формулу, получим
Выразив отклонение случайной величины Х в долях среднего квадратического отклонения, то есть положив в последнем равенстве, получим .
Тогда при получим ,
при получим ,
при получим .
Из последнего неравенства следует, что практически рассеяние нормально распределённой случайной величины заключено на участке . Вероятность того, что случайная величина не попадёт на этот участок, очень мала, а именно равна 0,0027, то есть это событие может произойти лишь в трёх случаях из 1000. Такие события можно считать практически невозможными. На приведённых рассуждениях основано правило трёх сигм , которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения .
Пример 28 . Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
Решение. Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера от проектного. Деталь будет признана годной, если случайная величина принадлежит интервалу . Вероятность изготовления годной детали найдём по формуле . Следовательно, процент годных деталей, изготавливаемых автоматом, равен 95,44%.
Биномиальное распределение
Биномиальным является распределение вероятностей появления m числа событий в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р . Вероятность возможного числа появлений события вычисляется по формуле Бернулли: ,
где . Постоянные п и р , входящие в это выражение, параметры биномиального закона. Биномиальным распределением описывается распределение вероятностей дискретной случайной величины.
Основные числовые характеристики биномиального распределения. Математическое ожидание равно . Дисперсия равна . Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны и . При неограниченном возрастании числа испытаний А и Е стремятся к нулю, следовательно, можно предположить, что биномиальное распределение сходится к нормальному с возрастанием числа испытаний.
Пример 29 . Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А в одном испытании, если дисперсия числа появлений в трёх испытаниях равна 0,63.
Решение. Для биномиального распределения . Подставим значения, получим отсюда или тогда и .
Распределение Пуассона
Закон распределения редких явлений
Распределение Пуассона описывает число событий m , происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. При этом число испытаний п велико, а вероятность появления события в каждом испытании р мала. Поэтому распределение Пуассона называют законом редких явлений или простейшим потоком. Параметром распределения Пуассона является величина , характеризующая интенсивность появления событий в п испытаниях. Формула распределения Пуассона .
Пуассоновским распределением хорошо описываются число требований на выплату страховых сумм за год, число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определённое время, число отказов элементов при испытании на надёжность, число бракованных изделий и так далее.
Основные числовые характеристики для распределения Пуассона. Математическое ожидание равно дисперсии и равно а . То есть . Это является отличительной особенностью этого распределения. Коэффициенты асимметрии и эксцесса соответственно равны .
Пример 30 . Среднее число выплат страховых сумм в день равно двум. Найти вероятность того, что за пять дней придётся выплатить: 1) 6 страховых сумм; 2) менее шести сумм; 3) не менее шести.распределение.
Это распределение часто наблюдается при изучении сроков службы различных устройств, времени безотказной работы отдельных элементов, частей системы и системы в целом, при рассмотрении случайных промежутков времени между появлениями двух последовательных редких событий.
Плотность показательного распределения определяется параметром , который называют интенсивностью отказов . Этот термин связан с конкретной областью приложения - теорией надёжности.
Выражение интегральной функции показательного распределения можно найти, используя свойства дифференциальной функции:
Математическое ожидание показательного распределения , дисперсия , среднее квадратическое отклонение . Таким образом, для этого распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию. При любом значении параметра коэффициенты асимметрии и эксцесса - постоянные величины .
Пример 31 . Среднее время работы телевизора до первого отказа равно 500 часов. Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор проработает без поломок более 1000 часов.
Решение. Так как среднее время работы до первого отказа равно 500, то . Искомую вероятность найдём по формуле .
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.
| № | Показатель | Нормальный закон распределения | Примечание |
|---|---|---|---|
| Определение | Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид | ||
| где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднее квадратическое отклонение | |||
| 2 | Функция распределения |  |
|
| Вероятность попадания в интервал (а;b) |  |
 - интегральная функция Лапласа |
|
| Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ |  |
при m x = 0 |
Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»
Задача.
Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по
нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое
отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения
не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых
от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X
с вероятностью 0,95.
Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим :
при условии, что m x =20, σ =0,2.
б)
Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть
в интервал (19,7; 20,3) определяется :
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5)
= 2*0,4332 = 0,8664.
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
в)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем
:
Р(|Х-20| < 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значение Ф(0,5) = 0,1915 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
г) Поскольку вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,383, то отсюда следует, что в среднем 38,3 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,3%.
д) Поскольку процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%, то Р(|Х-20| < δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.
Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 0,74. Отсюда δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 мм.
е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения m x = 20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству 20 − δ < X < 20 + δ или |x − 20| < δ .
По условию вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95, значит P(|x − 20| < δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.
Используя приложение (таблица 2
), находим δ/σ = 1,96. Отсюда δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Искомый интервал
: (20 – 0,392; 20 + 0,392) или (19,608; 20,392).
Нормальный закон распределения вероятностей
Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма: 
Перед вами принципиальный вид функции плотности
нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.
Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.
Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.
Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение и рассчитываем высоту:
Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.
На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость ! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота , и «залезать» за неё категорически нельзя!
При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений и .
При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма»)
график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево
соответственно. Так, например, при функция принимает вид 
и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:
Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная
; её функция плотности 
– чётная
, и график симметричен относительно оси ординат.
В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а»)
, график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении график становится более узким и высоким
– получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении
«сигмы» в два раза: предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:
Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков
.
Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным
, а если оно ещё и центрировано
(наш случай), то такое распределение называют стандартным
. Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа
: 
. Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.
Ну а теперь смотрим кино:
Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей
. Вспоминаем её определение
:
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.
Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению ставится в соответствие несобственный интеграл
, который равен некоторому числу
из интервала .
Почти все значения не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции 
стандартного распределения соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:
=НОРМСТРАСП(z)
Раз, два – и готово:
На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения
, и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты
и точку перегиба .
Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение из интервала
. Геометрически эта вероятность равна площади
между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:
но каждый раз вымучивать приближенное значение 
неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу
:
.
! Вспоминает также , что
Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?
Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать
значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:
Примечание
: функцию легко получить из общего случая
с помощью линейной замены
. Тогда и:
и из проведённой замены как раз следует формула 
перехода от значений произвольного распределения – к соответствующим значениям стандартного распределения.
Зачем это нужно? Дело в том, что значения скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа
:
Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа 
, то решаем через неё:
Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5
макета
.
Напоминаю, что 
, и во избежание путаницы всегда контролируйте
, таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.
Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:
– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов
Тренируемся самостоятельно:
Пример 3
Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.
В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.
И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:
Параметр «дельта» называют отклонением
от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля
:
– вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания менее чем на .
Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.
Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое
правило «трех сигм»
Его суть состоит в том, что практически достоверным
является тот факт, что нормально распределённая случайная величина примет значение из промежутка 
.
И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на составляет:
или 99,73%
В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.
В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез .
Продолжаем решать суровые советские задачи:
Пример 4
Случайная величина ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.
Решение
очень простое. По условию, и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то)
мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение и по формуле 
:
– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.
Ответ :
Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении . Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте) , а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.
Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.
…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)
Самостоятельно решаем обратную задачу:
Пример 5
Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет длина диаметра валика.
Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.
И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:
Пример 6
Нормально распределенная случайная величина задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:
а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что примет значение из интервала 
;
в) найти вероятность того, что отклонится по модулю от не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .
Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц;)
Ну а я разберу пример повышенной сложности:
Пример 7
Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид 
. Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .
Решение : прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение . И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:
Так как функция 
определена при любом
действительном значении , и её можно привести к виду 
, то случайная величина распределена по нормальному закону.
Приводим. Для этого выделяем полный квадрат
и организуем трёхэтажную дробь
:
Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:
, что мы и хотели увидеть.
Таким образом:
– по правилу действий со степенями
«отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:
Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид и , то:
, откуда выражаем и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид 
.
Построим график плотности: 
и график функции распределения 
:
Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке функция распределения принимает значение 
и здесь находится
Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой
где - функция распределения величины .
Найдем функцию распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины равна:
.
(6.3.2)
Отсюда находим функцию распределения
. (6.3.3)
Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной
и приведем его к виду:
(6.3.4)
Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:
;
и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции
. (6.3.5)
Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .
Условимся называть функцию нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .
Выразим функцию распределения (6.3.3) величины с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,
.
(6.3.6)
Теперь найдем вероятность попадания случайной величины на участок от до . Согласно формуле (6.3.1)
Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.
Как и всякая функция распределения, функция обладает свойствами:
3. - неубывающая функция.
Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что
Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения как для положительных, так и для отрицательных аргументов.
На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):
Учитывая свойство (6.3.8) функции и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:
.
(6.3.10)
Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.
По формуле (6.3.7) находим:
(6.3.11)
Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.
Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:
0,34; 0,14; 0,02.
Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке .
Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .
Пример 1. Случайная величина , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонения ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).
Решение. Ошибка измерения есть случайная величина , подчиненная нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от до . По формуле (6.3.7) имеем:
Пользуясь таблицами функции (приложение, табл. 1), найдем:
;
,
Пример 2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.
Решение. По формуле (6.3.10), полагая , найдем:
.
Пример 3. По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднее квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.